高中數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)及基本思想方法總結(jié)1-集合與簡(jiǎn)易邏輯

PAGEPAGE8高中數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)及基本思想方法總結(jié)第一章集合與簡(jiǎn)易邏輯¤第一部分·集合與集合運(yùn)算¤◆內(nèi)容概述◆集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念，專門研究集合的理論叫做集合論。“瘋?cè)藬?shù)學(xué)家”康托爾(Cantor,G.F.P,1845-1918年，德國(guó)人)是集合論的創(chuàng)始者。目前集合論的基本思想已滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域。集合的思想、集合的語(yǔ)言和集合的符號(hào)在高中數(shù)學(xué)的很多章節(jié)如函數(shù)、數(shù)列、方程和不等式、立體幾何、解析幾何等中都被廣泛的使用。要求理解集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集的概念。了解空集和全集的意義。了解屬于、包含、相等關(guān)系的意義。掌握有關(guān)術(shù)語(yǔ)和符號(hào)，并會(huì)用它們正確表示一些簡(jiǎn)單的集合?！糁R(shí)點(diǎn)撥◆※<1>※集合與元素。一般地，某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合（確定性）。集合中每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素?！咀⒁狻竣偌系拇_定性如何體現(xiàn)？（例如很高的山，一條快樂(lè)的魚能成為一個(gè)集合么）②元素與集合的關(guān)系。（屬于、不屬于）【例題】設(shè)集合，若，試判斷a+b與A、B的關(guān)系?！挤治觥絻蓚€(gè)集合中的k不可以理解成是同一個(gè)變量，即解作：，此法失去任意性?！冀獯稹舰奂现性氐娜齻€(gè)特征。（確定性、互異性、無(wú)序性）【例題】已知，其中。（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)為何值時(shí)，集合的表示不正確？〖解答〗④集合的表示方法有哪些？（列舉法、描述法、圖示法、區(qū)間法）【思考】各表示方法的特點(diǎn)，比如描述法注意限制決定條件、條件決定元素、元素決定集合。【例題1】用符號(hào)語(yǔ)言表示圖中陰影部分的集合，〖解答〗。【例題2】A．P=MB．Q=RC．R=MD．Q=N〖解答〗D．集合中的許多概念都是用“元素”來(lái)定義的，因此遇到集合問(wèn)題時(shí)首先要弄清楚集合中的元素是什么，這是解題的關(guān)鍵。⑤常用數(shù)集記住了嗎？（）※<2>※集合與集合之間的關(guān)系。（對(duì)于集合A、B、C、U）①包含關(guān)系：②運(yùn)算關(guān)系：③重要性質(zhì)及結(jié)論：【注意】?。┳⒅?cái)?shù)與形的結(jié)合是解集合問(wèn)題的常用技巧，解題時(shí)要盡可能地借助數(shù)軸（多用于集合運(yùn)算，含絕對(duì)值不等式求解，標(biāo)根法等）、直角坐標(biāo)系或文氏圖（多用于集合關(guān)系的表示等）等工具，將抽象的代數(shù)問(wèn)題具體化、形象化、直觀化，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決。【例題1】（08北京1）已知全集U=R，集合，那么集合等于（D）A．B．C．D．【例題2】（05全國(guó)Ⅰ理2）設(shè)I為全集，是I的三個(gè)非空子集且，則下面判斷正確的是（）A．B．C．D．〖解答〗C.本題是抽象集合的關(guān)系問(wèn)題，結(jié)合已知畫出文氏圖觀察即可，也可以用特例法?！纠}3】已知集合〖解答〗☆方法技巧☆處理集合運(yùn)算問(wèn)題先確定集合是前提，同時(shí)要清楚集合中的元素是什么，對(duì)于含參數(shù)的集合要注意討論，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系借助于數(shù)軸列出符合題意的不等式組求解。ⅱ）注意對(duì)空集的討論，空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集?！纠}】集合則實(shí)數(shù)a的值構(gòu)成的集合為?！冀獯稹?。注意對(duì)情況的討論，即對(duì)進(jìn)行討論。ⅲ）注重一些結(jié)論的應(yīng)用?！纠}1】（06重慶理1）已知集合U={1，2，3，4，5，6，7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},則集合=（）A.{1,6}B.{4,5}C.{2,3,4,5,7}D.{1,2,3,6,7}〖解答〗D.利用德摩根定律即可。【例題2】若A、B、C為三個(gè)集合，，則一定有（）A．B．C．D．〖解答〗A．本題也可以由圖示法求得?！纠}3】設(shè)集合A={1，2}，則滿足A∪B={1，2，3}的集合B的個(gè)數(shù)是（）A．1B．3C〖解答〗C．由已知只需求集合A的子集個(gè)數(shù)即可，即個(gè)。ⅳ）會(huì)用“補(bǔ)集思想”解決問(wèn)題（排除法、間接法）。【例題】已知函數(shù)，在區(qū)間上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c使f(c)>0，求實(shí)數(shù)p的取值范圍?！冀獯稹皆O(shè)所求p的范圍為A，則，注意到函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，∴，∴?！舾櫽?xùn)練（一）◆1.下列各組對(duì)象中不能形成集合的是（）A．所有的無(wú)理數(shù)B．26個(gè)英文字母C．所有的正三角形D．文靜的女孩2.已知集合A={a，b，c}中的三個(gè)元素，可成為△ABC的邊長(zhǎng)，則△ABC一定不是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．鈍角三角形3.（06福建理4）已知全集U=R，且則等于（）A.B.C.D.4.滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為（）A．6B．75.已知，則a的取值范圍是（）A.a<1或a>5B.a≤1或a≥5C.1<a<5D.1≤a≤56.已知，則集合中所有元素的和為。7.已知集合為無(wú)限集，則。8.含三個(gè)實(shí)數(shù)的集合既可表示為，也可表示為，求的值。9.已知集合若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。10.已知集合，求時(shí)實(shí)數(shù)k的取值范圍。¤第二部分·簡(jiǎn)易邏輯¤◆內(nèi)容概述◆邏輯是研究思維形式及其規(guī)律的一門學(xué)科，是人們認(rèn)識(shí)和研究問(wèn)題不可缺少的工具。對(duì)本部分的考查主要分兩方面，一是直接考查命題真假的判定、復(fù)合命題的組成、四種命題及充要條件的判定，以客觀題為主；二是體現(xiàn)其工具作用，從理解題意、分析解決問(wèn)題、敘述問(wèn)題、尋找等價(jià)問(wèn)題等進(jìn)行廣義上的考查。要求我們理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義。理解四種命題及其相互關(guān)系。掌握充要條件的意義?！糁R(shí)點(diǎn)撥◆※<3>※語(yǔ)句與命題?？梢耘袛嗾婕俚恼Z(yǔ)句叫做命題，一般為陳述句（也有反問(wèn)句）?！纠}】下列語(yǔ)句為命題的是，①集合A={x|x=2n,n∈Ζ}是奇數(shù)集;②2x=1;③x<3;④x2+1≥0;⑤小于直角的角;⑥很高的山頂常常終年積雪;⑦垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？⑧求證：若x∈R，方程x2-x+1=0無(wú)實(shí)根?！冀獯稹舰偈羌倜}；④是真命題。②③為開(kāi)語(yǔ)句（含有變量），在給出變量值之前無(wú)法判斷；⑤⑥有不確定因素；⑦是疑問(wèn)句不是命題；⑧是祈使句不是命題（例：把門關(guān)上）?！咀⒁狻?．區(qū)分好邏輯聯(lián)結(jié)詞與日常用語(yǔ)。常用的邏輯聯(lián)結(jié)詞有“或”(∪)具有選擇性，即至少有一個(gè)成立；“且”(∩)具有兼有性，即同時(shí)成立；“非”(?)具有否定性，即對(duì)原命題的否定。2．命題按是否含有邏輯聯(lián)結(jié)詞可分為簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題（由簡(jiǎn)單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題）。對(duì)復(fù)合命題真值的判斷可分為三步：①確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式；②判斷各簡(jiǎn)單命題的真值；③用真值表判斷復(fù)合命題的真值。附真值表如下pq非pp且qp或q真真假真真真假假假真假真真假真假假真假假【例題1】命題p：若a,b∈R，則|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要條件。命題q：函數(shù)的定義域是，則（D）A.p或q為假B.p且q為真C.p真q假D.p假q真【例題2】如果命題p或q為真，p且q為假，則（D）A.命題p和命題q都是假命題B.命題p和命題q都是真命題C.命題p和命題非q真值不同D.命題p和命題非q真值相同☆方法技巧☆由真值表中原命題與命題的否定之間的真值相反的關(guān)系，我們能得到一種證明問(wèn)題的重要方法，即反證法（從命題結(jié)論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而證明原命題成立的證明方法），屬于間接證法。當(dāng)直接證明比較困難，如結(jié)論中含有“至多”、“至少”、“唯一”等語(yǔ)句時(shí)或證明一些存在性問(wèn)題時(shí)往往采用此法。其證明命題的一般步驟如下：⑴假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立（反設(shè)）；⑵從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾（歸謬）；⑶由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確（判定）。【例題3】證明：不論x,y取任何非零實(shí)數(shù)，等式總不成立?！甲C明〗假設(shè)存在非零實(shí)數(shù)使成立，帶入整理有，即，出現(xiàn)矛盾，所以假設(shè)不成立，原命題成立?！纠}4】若，試證|f(0)|,|f(1)|,|f(-1)|中至少有一個(gè)大于等于?！甲C明〗※<4>※命題的四種形式及其相互關(guān)系。命題由條件和結(jié)論兩部分構(gòu)成，即一般都可以寫成若p則q的形式，附四種形式關(guān)系圖：【思考】①原命題為真，它的逆命題、否命題不一定為真；②互為逆否命題的兩個(gè)命題同真假。☆方法技巧☆當(dāng)一個(gè)命題的真值難以判斷時(shí)，可以考慮其逆否命題的真值判斷?！纠}1】設(shè)原命題是“已知a,b,c,d是實(shí)數(shù)，若a=b且c=d，則a+c=b+d”寫出它的逆命題、否命題、逆否命題并判斷真值?！冀獯稹侥婷}：已知a,b,c,d是實(shí)數(shù)，若a+c=b+d，則a=b且c=d。假（舉反例即可）否命題：已知a,b,c,d是實(shí)數(shù)，若a≠b或c≠d，則a+c≠b+d。假（與逆命題真值相同）逆否命題：已知a,b,c,d是實(shí)數(shù)，若a+c≠b+d，則a≠b或c≠d。真（與原命題真值相同）【例題2】在原命題“若a>b，則a2>b2”的逆命題、否命題、逆否命題中，假命題的個(gè)數(shù)為3個(gè)?！舅伎肌棵}的四種形式中真（或假）命題的個(gè)數(shù)的特點(diǎn)（答：只能是偶數(shù)個(gè)）【注意】①區(qū)分命題的否定(只否定結(jié)論)和否命題(條件和結(jié)論全否)。*命題的否定只否定結(jié)論（若p則?q），強(qiáng)調(diào)語(yǔ)意的全面否定，其真值必然與原命題相反。*否命題對(duì)條件和結(jié)論要完全否定（若?p則?q），其真值與原命題無(wú)關(guān)。附常見(jiàn)否定詞表：原詞語(yǔ)=><是至多有一個(gè)至少有一個(gè)否定詞語(yǔ)≠≤≥不是至少有2個(gè)一個(gè)也沒(méi)有任意的能p或qp且q都是對(duì)所有x成立對(duì)任給x不成立某個(gè)不能?p且?q?p或?q不都是存在某個(gè)x不成立存在某x成立【例題】若x,y∈R且x2+y2=0，則x,y全為0。寫出其否定形式。〖解答〗若x,y∈R且x2+y2=0，則x,y不全為0?！纠}】命題“四邊相等的四邊形是正方形”的否命題是。〖解答〗四邊不相等的四邊形不是正方形。②確定命題為正確的要有嚴(yán)格的證明，確定命題為假只需舉一個(gè)反例即可（證成立要嚴(yán)密，不成立舉反例）?！?lt;5>※充分條件與必要條件?！罘椒记伞钆袛喑浞謼l件、必要條件及充要條件的方法主要有：（1）定義法：若，則p是q的充分條件，q是p的必要條件。定義反映了條件和結(jié)論的因果關(guān)系，其情況（p作條件，q作結(jié)論時(shí)）有4種，即充分不必要條件（）；充要條件（）；必要不充分條件（）；既不充分也不必要條件（）。表述時(shí)需要注意語(yǔ)序，一種是結(jié)論的什么條件是什么；另一種是條件是結(jié)論的什么條件?！纠}1】若p:-2<a<0,0<b<1，q:關(guān)于x的方程x2+ax+b=0有兩個(gè)小于1的正根，則p是q的什么條件？〖解答〗若a=-1,b=1/2,則△=a2-4b<0,關(guān)于x的方程x2+ax+b=0無(wú)實(shí)根，則。若關(guān)于x的方程x2+ax+b=0有兩個(gè)小于1的正根，不妨設(shè)為x1,x2,且0<x1≤x2<1,則0<x1+x2=-a<2,0<x1x2=b<1,則，可見(jiàn)p是q的必要不充分條件。【例題2】命題p：不等式的解集為{x|0<x<1}，命題q：在ΔABC中，“A>B”是“sinA>sinB”成立的必要非充分條件，則(A)A.p真q假B.p且q為真C.p或q為假D.p假q真（2）圖示法（傳遞法）：對(duì)于較復(fù)雜的、多個(gè)的或抽象的關(guān)系，常用等符號(hào)進(jìn)行傳遞?！纠}】若p是r的充分不必要條件，r是q的必要條件，r又是s的充要條件，q是s的必要條件，則(1)s是p的什么條件；(2)r是q的什么條件？〖解答〗如右圖，s是p的必要不充分條件；r是q的充要條件。（圖示中各語(yǔ)句構(gòu)成“順次封閉環(huán)”，則互為充要條件）（3）集合法：若，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件(小集合能推出大集合，反之不可以，集合相等時(shí)互為充要條件)；【例題1】已知p:|2x-3|<1,q:x(x-3)<0，則p是q的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件〖解答〗A.由已知p:1<x<2,q:0<x<3，則?！纠}2】已知p:x2-8x-20>0,q:x2-2x+1-a2>0若p是q的充分不必要條件，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是。〖分析〗從集合觀點(diǎn)看，建立命題p,q相應(yīng)的集合。，，那么有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：p是q的充分條件充分非必要必要條件必要不充分充要條件既不充分也不必要條件集合A、B〖解答〗（4）等價(jià)命題法：即利用等價(jià)關(guān)系進(jìn)行判斷，對(duì)于條件或結(jié)論是不等關(guān)系（或否定式）的命題，一般運(yùn)用此法?！纠}】已知，則的條件。答：充分不必要條件。可根據(jù)等價(jià)于?！舾櫽?xùn)練（二）◆1.（08湖南理2）“成立”是“成立”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件2.命題“對(duì)任意的，都有成立”的否定是（）A．對(duì)任意的，都有成立B．存在，使成