2021-2022學(xué)年湖北省荊州市石首市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

20212022學(xué)年湖北省荊州市石首市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知向量，如果，那么等于（

）A． B．1 C． D．5【答案】B【分析】利用空間向量共線的條件求解即可【詳解】，，，故選：B2．過點且平行于直線的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)直線的方程為，代入點的坐標(biāo)即得解.【詳解】解：設(shè)直線的方程為，把點坐標(biāo)代入直線方程得.所以所求的直線方程為.故選：A3．兩平行直線和間的距離是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把直線化簡得，然后利用兩平行線間的距離公式求解即可【詳解】由，得．故兩平行直線間的距離，故選：A4．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為的正方形，若，且，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由向量線性運算得，利用數(shù)量積的定義和運算律可求得，由此可求得.【詳解】由題意得：，，且，又，，，，.故選：D.5．如圖，已知棱長為的正方體，分別為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出和的坐標(biāo)，利用空間向量夾角公式即可求解.【詳解】如圖分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、，所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則，故選：A【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法（1）定義法，由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計算向量夾角（直線方向向量與直線方向向量、直線方向向量與平面法向量，平面法向量與平面法向量）余弦值，即可求出結(jié)果.6．已知直線：是圓作圓的一條切線，切點為，則A．2 B． C．6 D．【答案】C【詳解】試題分析：直線l過圓心，所以，所以切線長，選C.【解析】切線長7．已知圓和圓恰有三條公共切線，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】根據(jù)兩圓有三條公切線得到兩圓的位置關(guān)系，從而得到滿足的等式，再根據(jù)的幾何意義求解出的最小值.【詳解】因為圓與圓有三條公切線，所以圓與圓外切，因為，，，，所以，所以，所以的軌跡是圓心在原點、半徑為的圓，又因為表示與的距離，所以.故選：B.【點睛】方法點睛：(1)兩圓外離時有四條公切線，外切時有三條公切線，相交時有兩條公切線；(2)圓外一定點到圓上動點距離的最大值為定點到圓心的距離加上半徑，最小值為定點到圓心的距離減去半徑.8．在正方體中，E是側(cè)面內(nèi)的動點，且平面，則直線與直線AB所成角的正弦值的最小值是A．B．C．D．【答案】B【分析】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法求出直線與直線AB所成角的正弦值的最小值．【詳解】解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體中棱長為1，設(shè)0，，，，1，，1，，0，，1，，，1，，1，，設(shè)平面的法向量y，，則，取，得，平面，，解得，，，設(shè)直線與直線AB所成角為，1，，，，，．直線與直線AB所成角的正弦值的最小值是．故選B．【點睛】本題考查線線角的正弦值的最小值的求法，空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，函數(shù)與方程思想，是中檔題．二、多選題9．（多選）已知正方體，則下列各式運算結(jié)果是的為（

）.A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用向量加法的線性運算對四個選項逐一驗證即可.【詳解】選項A中，；選項B中，；選項C中，；選項D中，.故選：ABC.【點睛】本題主要考查了向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，屬于基礎(chǔ)題.10．對于直線：，下列說法正確的是（

）A．直線恒過定點B．直線斜率必定存在C．時直線的傾斜角為D．時直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為【答案】AD【分析】：，令：，分別令，，求得x，y軸上的截距求解判斷.【詳解】對于直線：，令，得，所以直線恒過定點，故A正確；當(dāng)時，直線斜率不存在，故B錯誤；當(dāng)時，，因為，則，所以直線的傾斜角為，故錯誤；D.當(dāng)時，直線：，令，得，令，得，所以直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，故正確.故選：AD11．已知，，圓，則以下選項正確的有A．圓C上到B的距離為2的點有兩個B．圓C上任意一點P都滿足C．若過A的直線被圓C所截得的弦為，則的最小值為D．若點D滿足過D作圓C的兩條切線互相垂直，則的最小值為【答案】BCD【解析】由以點為圓心，半徑為的圓與圓相切判斷A；設(shè)，分別求出，即可判斷B；由圓的對稱性可知當(dāng)時，最小，從而判斷C；對于D項，先確定點的軌跡為圓心為原點，半徑為的圓，從而得出的最小值.【詳解】對于A，以點為圓心，半徑為的圓與圓相切，即圓C上到B的距離為2的點只有一個，則A錯誤；對于B，設(shè)，滿足，，，則B正確；對于C，過點的直線被圓C所截得的弦為，要最小，即時，最小，，則C正確；對于D，設(shè)過點的兩條直線與圓的切點分別為，則，且，，則四邊形為正方形，即，設(shè)點，則有，即點的軌跡為圓心為原點，半徑為的圓，由此當(dāng)點在軸的正半軸時，最小，為，則D正確；故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點睛：對于A項，關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為兩圓的位置關(guān)系進行求解；對于D項，關(guān)鍵是確定點的軌跡為圓心為原點，半徑為的圓，從而得出的最小值.12．如圖，菱形邊長為，，為邊的中點．將沿折起，使到，且平面平面，連接，．則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．四面體的外接球表面積為C．與所成角的余弦值為 D．直線與平面所成角的正弦值為【答案】BCD【分析】根據(jù)題意知EB，ED，EA‘兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求得異面直線，線面夾角問題.【詳解】由題知，為正三角形，，將沿折起，使到，且平面平面，則，，兩兩垂直，以E點坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，對于A，，，，，，，則，故與不垂直，故A錯誤；對于B，取CE的中點F，聯(lián)結(jié)DF，又，則，過F作平面CDE，四面體的外接球球心O在FO上，作，設(shè)，，在，中，有，解得，，故四面體的外接球表面積為，故B正確；對于C，，，設(shè)與所成角為，則，故C正確；對于D，，，，設(shè)平面的法向量則，取，則，則，故直線與平面所成角的正弦值為，D正確；故選：BCD三、填空題13．已知向量，，，則______【答案】9【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運算直接計算可得.【詳解】因為，，所以，所以.故答案為：914．已知直線，直線，若，則實數(shù)______．【答案】【分析】由由有，即可求，然后驗證、是否重合.【詳解】∵，有，∴，解得或，當(dāng)時，，，即、為同一條直線；當(dāng)時，，，即；∴，故答案為：15．如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面邊長為2，高為1，則點D到平面ACD1的距離是_____．【答案】【分析】利用等體積法，根據(jù)可得.【詳解】因為四棱柱ABCDA1B1C1D1為正四棱柱，，，所以，記AC中點為O，則，所以，記三棱錐的高為h，因為，所以，解得.故答案為：.16．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線，已知的頂點、，其歐拉線的方程為，則的外接圓方程為______.【答案】【分析】求出線段的垂直平分線方程，與歐拉線方程聯(lián)立，求出的外接圓圓心坐標(biāo)，并求出外接圓的半徑，由此可得出的外接圓方程.【詳解】直線的斜率為，線段的中點為，所以，線段的垂直平分線的斜率為，則線段的垂直平分線方程為，即，聯(lián)立，解得，即的外心為，所以，的外接圓的半徑為，因此，的外接圓方程為.故答案為：.【點睛】方法點睛：求圓的方程，主要有兩種方法：（1）幾何法：具體過程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理．如：①圓心在過切點且與切線垂直的直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時，切點與兩圓心三點共線；（2）待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關(guān)量．一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標(biāo)準式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個獨立參數(shù)，所以應(yīng)該有三個獨立等式．四、解答題17．已知三個頂點的坐標(biāo)分別為.（1）求邊中線所在直線的方程；（2）求的面積.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出邊的中點為M，即可求出，用點斜式方程即可求解；（2）先求出線段BC和A到直線的距離，即可求出的面積.【詳解】（1）設(shè)邊的中點為M，則M點的坐標(biāo)為，∴.∴直線的方程為，即，∴邊中線所在直線的方程為.（2）∵，∴.由得直線的方程為，∴A到直線的距離，∴.18．已知圓：與圓：.(1)若圓與圓外切，求實數(shù)m的值;(2)在(1)的條件下，若直線l過點(2，1)，且與圓的相交弦長為，求直線l的方程.【答案】(1)m=5(2)或【分析】（1）根據(jù)兩圓外切，兩圓心之間的距離等于兩圓半徑之和可得；（2）先根據(jù)弦長求出圓心到直線的距離，然后分斜率存在和不存在兩種情況討論，利用點到直線的距離公式可得.【詳解】(1)圓：，則，半徑r1=1，由圓：，得，則，半徑.∵圓與圓外切，∴，∴，解得m=5.(2)由(1)得m=5，圓的方程為，則，r2=2.由題意可得圓心到直線l的距離，當(dāng)直線l斜率不存在時，直線方程為x=2，符合題意;當(dāng)直線l斜率為k時，則直線方程為，化為一般形式為，則圓心(3，0)到直線l的距離，解得k=0，得直線方程為y=1.綜上，直線l的方程為或.19．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，邊長為1，，為等邊三角形.(1)求證：平面；(2)若M為棱的中點，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用已知求出棱長，然后利用勾股定理證明，，然后可證；（2）以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法直接計算可得.【詳解】(1)，則，取中點為H，連接，，∵為等邊三角形，∴，，又，，平面，平面，∴面，∴，H為中點，AH為PB的垂直平分線，∴，∴，∴，同理由，得，又，平面，平面，∴平面.(2)底面是是正方形，由（1）可知，，兩兩垂直，分別以，，所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則有B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，D(0，1，0)，M(0，0，)設(shè)平面的法向量為，∵，，則有：，取得，又有設(shè)直線與平面所成角為，∴.20．（1）求過點且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線l的方程；（2）設(shè)直線l的方程為，若，直線l與x，y軸分別交于M，N兩點，O為坐標(biāo)原點，求面積取最小值時，直線l的方程．【答案】（1）x＋y－1＝0或3x＋4y＝0；（2）x＋y－2＝0【分析】（1）分直線過原點和不過原點，當(dāng)直線不過原點時設(shè)截距式方程，代入點可得；（2）求出M，N兩點坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示出面積，分離常數(shù)后使用基本不等式可得.【詳解】（1）當(dāng)直線不過原點時，設(shè)l的方程為＋＝1，∵點在直線上，∴＋＝1，解得，所以直線方程為x＋y－1＝0；當(dāng)直線過原點時，直線斜率，∴直線的方程為，即3x＋4y＝0.綜上知，所求直線方程為x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.（2）∵，∴M，，∴＝＝≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＋1＝，即a＝0時等號成立．故所求直線l的方程為x＋y－2＝0.21．已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，分別為和的中點，為棱上的點，．(1)證明：(2)當(dāng)為何值時，面與面所成的二面角的余弦值最大？【答案】(1)證明見解析(2)時，面與面所成的二面角的余弦值最大【分析】（1）利用線面垂直性質(zhì)可知，結(jié)合可證得平面，由和線面垂直性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用面面角的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】(1)三棱柱為直三棱柱，平面，又平面，，又，平面，，平面，又平面，；四邊形為正方形，，.(2)以為坐標(biāo)原點，為軸可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；又平面的一個法向量，，則當(dāng)時，，即當(dāng)時，面與面所成的二面角的余弦值最大.22．已知圓的圓心在射線上，截直線所得的弦長為6，且與直線相切．（1）求圓的方程；（2）已知點，在直線上是否存在點（異于點），使得對圓上的任一點，都有為定值？若存在，請求出點的坐標(biāo)及的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在,為,【分析】（1）由題,設(shè)圓心為,由相切關(guān)系求得半徑,再由弦長公式求出,進