山東省青島市青島第二中學2022-2023學年高二上學期期中數(shù)學試題（學生版）

青島二中2022-2023學年第一學期期中考試——高二試題(數(shù)學)第Ⅰ卷(共60分)一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若直線與直線垂直，則m值是()．A. B. C.2或 D.2.已知空間向量，，且，則()A.9 B. C.1 D.3.直線過點，且在x軸上的截距是在y軸上截距的2倍，則該直線的斜率是()．A. B. C.或 D.或4.已知的頂點B、C在橢圓上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則的周長是()．A. B.6 C. D.125.直線與圓的公共點個數(shù)為()．A.0個 B.1個 C.2個 D.1個或2個6.已知大小為的二面角棱上有兩點，，，，，，若，，，則的長為()．A.22 B.49 C.7 D.7.唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在區(qū)域為，若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為()．A. B. C. D.8.已知F是橢圓的一個焦點，若存在直線與橢圓相交于A，B兩點，且，則橢圓離心率的取值范圍是()．A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.已知空間中三點，，，則()．A. B.C. D.A，B，C三點共線10.在棱長為2的正方體中，、、分別為，，的中點，則下列選項正確的是()．A.B.直線與所成角的余弦值為C.三棱錐的體積為D.存在實數(shù)、使得11.已知與相交于A，B兩點，則下列結(jié)論正確的是()．A.直線AB的方程為B.過A，B兩點，且過點的圓的方程為C.與公切線的長度為D.以線段AB為直徑的圓的方程為12.在平面直角坐標系xOy中，方程對應的曲線為E，則()．A.曲線E是封閉圖形，其圍成的面積小于B.曲線E關于原點中心對稱C.曲線E上點到原點距離的最小值為D.曲線E上的點到直線距離的最小值為第Ⅱ卷(共90分)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知的三個頂點分別是，，，則的外接圓的方程為______．14.在平面直角坐標系中，直線與曲線有公共點，則實數(shù)的取值范圍是______．15.過點，且與橢圓有相同的焦點的橢圓標準方程是______．16.古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點A，B距離之比是常數(shù)的點的軌跡是一個圓心在直線以AB上的圓，該圓簡稱為阿氏圓．根據(jù)以上信息，解決下面的問題：在棱長為1的正方體中，點P是正方體的表面(包括邊界)上的動點，若動點P滿足，則點P所形成的阿氏圓的半徑為______；三棱錐體積的最大值是______．阿波羅尼奧斯四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖，在中，為邊上的一點，，且與的夾角為.(1)設，求，的值；(2)求的值.18.已知直線和的交點為P．(1)若直線l經(jīng)過點P且與直線平行，求直線l的方程；(2)若直線m經(jīng)過點P且與x軸，y軸分別交于A，B兩點，為線段的中點，求△OAB的面積．(其中O為坐標原點)．19.如圖，在四棱錐中，．(1)若，為的中點，求證：平面；(2)若是邊長為的正三角形，平面平面，直線與平面所成角的正切值為，且，求四棱錐的體積．20.如圖，點是橢圓短軸位于軸下方的端點，過作斜率為的直線交橢圓于點，若點的坐標為，且滿足軸，．(1)求橢圓的方程；(2)橢圓的左頂點為，左焦點為，點為橢圓上任意一點，求的取值范圍．21.已知圓．(1)若直線過點且被圓截得的弦長為，求直線的方程；(2)若直線過點與圓相交于，兩點，求的面積的最大值，并求此時直線的方程；(3)若點是直線上的動點，過點分別作圓的兩條切線，切點分別為，，求證：直線過定點．22.如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A，B的點，平面平面ABC，為正三角形，E，F(xiàn)分別是PC，PB上的動點．(1)求證：；(2)若，，