中考數學面積最值問題（含答案）

中考數學面積最值問題壓軸題解析1．1．定方向：面積最值問題的分析思路不規(guī)則圖形面積分解為規(guī)則圖形再表示2．定目標：確定待求條件3．定解法：解決待求條件題目中有角度或者三角函數值。（解直角三角形）題目中只有長度。（相似）4．定最值：根據函數解析式和范圍求最值。規(guī)則圖形面積直接利用面積公式

模型一（動點）例1：正方形ABCD邊長為4，M、N分別是BC、CD上的兩個動點，當M點在BC上運動時，保持AM和MN垂直，（1）證明：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）設BM=x，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數關系式；當M點運動到什么位置時，四邊形ABCN的面積最大，并求出最大面積；分析：（1）定方向：梯形（規(guī)則圖形）面積問題；（2）定目標：下底AB=4，高BC=4，缺上底CN（待求條件）（3）定解法：本題沒有明顯的角度或三角函數值，加之前一個問題證明了相似。所以本題是利用相似三角形對應邊的比建立方程來表示CN的長。（4）定最值：根據范圍確定最值在頂點取得。解析：（1）三直角結構；（略）（2），（0<x<4）當時，取最大值，最大值為10．練習：如圖：等腰梯形ABCD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．點M，N分別在邊AD，BC上運動，MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB。求當AE等于多少時，四邊形MEFN面積的最大值．答案．當x＝時，面積的最大值為．

模型二例2：如圖，，點是邊上的動點（點與點不重合），過動點作交于點試問：當等于多少時，的面積最大？最大面積是多少？分析：（1）定方向：直角三角形（規(guī)則圖形）面積問題；（2）定目標：△ADP的底PD，高AD都不知道（待求條件）（3）定解法：本題有明顯的角度或三角函數值。所以本題是利用解直角三角形求PD和AD的長。（4）定最值：根據范圍確定最值在頂點取得。解析：設，∵，，∴，又∵，∴，，∴，而，∴（0<x<24）．∴PC等于12時，的面積最大，最大面積是．練習：如圖，已知△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運動，其中點P運動的速度是1cm/s，點Q運動的速度是2cm/s，當點Q到達點C時，P、Q兩點都停止運動，設運動時間為t（s），設△BPQ的面積為S（cm2），當t等于多少時，S最大？答案：．（）；當t=3,

模型三（坐標系）例1：如圖：已知拋物線（a≠0）與軸交于點A(1，0)和點B(－3，0)，與y軸交于點C．(1)求拋物線的解析式；(2)若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點的坐標．分析：（1）定方向：不規(guī)則圖形四邊形的面積問題，先分解為△BEF和梯形CEFO；（分解方法不唯一）（2）定目標：需要利用E點坐標表示BF,EF,OF的長以及求出OC的長（待求條件）（3）定解法：利用坐標表示長度要關注所處的象限。（4）定最值：根據范圍確定最值在頂點取得。解析：(1)(2)解法1：過點E作EF⊥x軸于點F,設E∴EF=，BF=a＋3，OF=－a∴S四邊形BOCE==BF·EF+(OC+EF)·OF=(a＋3)·(－－2a＋3)+(－－2a＋6)·（－a）=(－3<a<0)∴當a=－時，S四邊形BOCE最大,最大值為．此時，點E坐標為(－，)解法2：過點E作EF⊥x軸于點F，設E(a,b)則S四邊形BOCE=(3+b)·(－a)+(3+a)·b=(b－a)=()=－+(－3<a<0)∴當a=－時，S四邊形BOCE最大，且最大值為．此時，點E坐標為(－，)點睛：（1）本質：求E點坐標本質就是求EF和OF的長。（2）設法：兩種設點E的方法本質是相同的，都是用橫坐標表示縱坐標。只是表示的時機不同而已。（3）易錯：長度和坐標之間的轉化要考慮象限；練習1：如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，）．（1），點A的坐標為，點B的坐標為；（2）在x軸下方的拋物線上是否存在一點D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；答案：S=．∴存在點D，使四邊形ABDC的面積最大為．模型四例2：如圖，拋物線與x軸交與A(1,0),B(-3，0)兩點。（1）求該拋物線的解析式；（2）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P，使△PBC的面積最大？，若存在，求出點P的坐標及△PBC的面積最大值.若沒有，請說明理由.分析：（1）定方向：斜△PBC（不規(guī)則圖形）面積問題，分解四邊形PCOB減去△BOC；（2）定目標：利用P點坐標表示BE,PE,OE，及求OC的長（待求條件）（3）定解法：利用坐標表示長度要關注所處的象限。（4）定最值：根據范圍確定最值在頂點取得。解析：(1)（2）答：存在。解法1：設P點=＝當，最大＝∴點P坐標為解法2：解法3：過P作PF∥X軸，過B作BG∥Y軸.點睛：（1）本質：三法都是將不規(guī)則圖形轉化為規(guī)則圖形。法1和法2體現面積的“割”；而法3是面積的“補”。（2）技巧：法二的分割方法為鉛垂高分割法；簡潔方便，值得記憶。練習2．如圖，拋物線經過三點．（1）求出拋物線的解析式；（2）在直線AC上方的拋物線上有一點D，使得的面積最大，求出點D的坐標．答案：（1）．（2）

模型五例1：如圖，已知一個三角形紙片，邊的長為8，邊上的高為，和都為銳角，為一動點（點與點不重合），過點作，交于點，在中，設的長為，上的高為．（1）請你用含的代數式表示．（2）將沿折疊，使落在四邊形所在平面，設點落在平面的點為，與四邊形重疊部分的面積為，當為何值時，最大，最大值為多少？分析：（1）定方向：先畫出分類圖,得到三角形和梯形兩種情況，都是規(guī)則圖形面積問題；（2）定目標：三角形缺表示高A’D，梯形缺上底EF和梯形的高DG；（3）定解法：本題沒有明顯的角度或三角函數值，所以本題是利用相似比表示A’D，EF，DG的長。（4）定最值：分解求最值，在比較大小確定最終結果。解析：（1）（2）的邊上的高為，當點落在四邊形內或邊上時，=（0）當落在四邊形外時，如下圖，法1：高=h=；DG=AG-AD=6-,，則;=所以綜上所述：當時，，取，當時，，取，；當時，最大，法2：設的邊上的高為，則。所以綜上所述：當時，，取，；當時，，取，當時，最大，點睛：（1）法2有一定的高度，能從面積整體向面積整體轉化，屬于高級數學思維，值得學習。面積比與相似比之間的轉化屬于面積整體法系列。值得記憶。（2）養(yǎng)成先畫圖后分析的習慣。能將抽象問題具體化。練習：有一根直尺的短邊長2㎝，長邊長10㎝，還有一塊銳角為45°的直角三角形紙板，它的斜邊長12cm..如圖1，將直尺的短邊DE放置與直角三角形紙板的斜邊AB重合，且點D與點A重合.將直尺沿AB方向平移(如圖2)，設平移的長度為xcm(0≤x≤10)，直尺和三角形紙板的重疊部分(圖中陰影部分)的面積為S㎝2.(1)當x=0時(如圖1)，S=_____________；當x=