中考數(shù)學(xué)面積最值問(wèn)題（含答案）

中考數(shù)學(xué)面積最值問(wèn)題壓軸題解析1．1．定方向：面積最值問(wèn)題的分析思路不規(guī)則圖形面積分解為規(guī)則圖形再表示2．定目標(biāo)：確定待求條件3．定解法：解決待求條件題目中有角度或者三角函數(shù)值。（解直角三角形）題目中只有長(zhǎng)度。（相似）4．定最值：根據(jù)函數(shù)解析式和范圍求最值。規(guī)則圖形面積直接利用面積公式

模型一（動(dòng)點(diǎn)）例1：正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，M、N分別是BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，保持AM和MN垂直，（1）證明：Rt△ABM∽R(shí)t△MCN；（2）設(shè)BM=x，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABCN的面積最大，并求出最大面積；分析：（1）定方向：梯形（規(guī)則圖形）面積問(wèn)題；（2）定目標(biāo)：下底AB=4，高BC=4，缺上底CN（待求條件）（3）定解法：本題沒(méi)有明顯的角度或三角函數(shù)值，加之前一個(gè)問(wèn)題證明了相似。所以本題是利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比建立方程來(lái)表示CN的長(zhǎng)。（4）定最值：根據(jù)范圍確定最值在頂點(diǎn)取得。解析：（1）三直角結(jié)構(gòu)；（略）（2），（0<x<4）當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為10．練習(xí)：如圖：等腰梯形ABCD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．點(diǎn)M，N分別在邊AD，BC上運(yùn)動(dòng)，MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB。求當(dāng)AE等于多少時(shí)，四邊形MEFN面積的最大值．答案．當(dāng)x＝時(shí)，面積的最大值為．

模型二例2：如圖，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），過(guò)動(dòng)點(diǎn)作交于點(diǎn)試問(wèn)：當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r(shí)，的面積最大？最大面積是多少？分析：（1）定方向：直角三角形（規(guī)則圖形）面積問(wèn)題；（2）定目標(biāo)：△ADP的底PD，高AD都不知道（待求條件）（3）定解法：本題有明顯的角度或三角函數(shù)值。所以本題是利用解直角三角形求PD和AD的長(zhǎng)。（4）定最值：根據(jù)范圍確定最值在頂點(diǎn)取得。解析：設(shè)，∵，，∴，又∵，∴，，∴，而，∴（0<x<24）．∴PC等于12時(shí)，的面積最大，最大面積是．練習(xí)：如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），設(shè)△BPQ的面積為S（cm2），當(dāng)t等于多少時(shí)，S最大？答案：．（）；當(dāng)t=3,

模型三（坐標(biāo)系）例1：如圖：已知拋物線(xiàn)（a≠0）與軸交于點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(－3，0)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線(xiàn)的解析式；(2)若點(diǎn)E為第二象限拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．分析：（1）定方向：不規(guī)則圖形四邊形的面積問(wèn)題，先分解為△BEF和梯形CEFO；（分解方法不唯一）（2）定目標(biāo)：需要利用E點(diǎn)坐標(biāo)表示BF,EF,OF的長(zhǎng)以及求出OC的長(zhǎng)（待求條件）（3）定解法：利用坐標(biāo)表示長(zhǎng)度要關(guān)注所處的象限。（4）定最值：根據(jù)范圍確定最值在頂點(diǎn)取得。解析：(1)(2)解法1：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F,設(shè)E∴EF=，BF=a＋3，OF=－a∴S四邊形BOCE==BF·EF+(OC+EF)·OF=(a＋3)·(－－2a＋3)+(－－2a＋6)·（－a）=(－3<a<0)∴當(dāng)a=－時(shí)，S四邊形BOCE最大,最大值為．此時(shí)，點(diǎn)E坐標(biāo)為(－，)解法2：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)E(a,b)則S四邊形BOCE=(3+b)·(－a)+(3+a)·b=(b－a)=()=－+(－3<a<0)∴當(dāng)a=－時(shí)，S四邊形BOCE最大，且最大值為．此時(shí)，點(diǎn)E坐標(biāo)為(－，)點(diǎn)睛：（1）本質(zhì)：求E點(diǎn)坐標(biāo)本質(zhì)就是求EF和OF的長(zhǎng)。（2）設(shè)法：兩種設(shè)點(diǎn)E的方法本質(zhì)是相同的，都是用橫坐標(biāo)表示縱坐標(biāo)。只是表示的時(shí)機(jī)不同而已。（3）易錯(cuò)：長(zhǎng)度和坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化要考慮象限；練習(xí)1：如圖，拋物線(xiàn)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，）．（1），點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（2）在x軸下方的拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；答案：S=．∴存在點(diǎn)D，使四邊形ABDC的面積最大為．模型四例2：如圖，拋物線(xiàn)與x軸交與A(1,0),B(-3，0)兩點(diǎn)。（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；（2）在（1）中的拋物線(xiàn)上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大？，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值.若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.分析：（1）定方向：斜△PBC（不規(guī)則圖形）面積問(wèn)題，分解四邊形PCOB減去△BOC；（2）定目標(biāo)：利用P點(diǎn)坐標(biāo)表示BE,PE,OE，及求OC的長(zhǎng)（待求條件）（3）定解法：利用坐標(biāo)表示長(zhǎng)度要關(guān)注所處的象限。（4）定最值：根據(jù)范圍確定最值在頂點(diǎn)取得。解析：(1)（2）答：存在。解法1：設(shè)P點(diǎn)=＝當(dāng)，最大＝∴點(diǎn)P坐標(biāo)為解法2：解法3：過(guò)P作PF∥X軸，過(guò)B作BG∥Y軸.點(diǎn)睛：（1）本質(zhì)：三法都是將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形。法1和法2體現(xiàn)面積的“割”；而法3是面積的“補(bǔ)”。（2）技巧：法二的分割方法為鉛垂高分割法；簡(jiǎn)潔方便，值得記憶。練習(xí)2．如圖，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)三點(diǎn)．（1）求出拋物線(xiàn)的解析式；（2）在直線(xiàn)AC上方的拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)D，使得的面積最大，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．答案：（1）．（2）

模型五例1：如圖，已知一個(gè)三角形紙片，邊的長(zhǎng)為8，邊上的高為，和都為銳角，為一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，在中，設(shè)的長(zhǎng)為，上的高為．（1）請(qǐng)你用含的代數(shù)式表示．（2）將沿折疊，使落在四邊形所在平面，設(shè)點(diǎn)落在平面的點(diǎn)為，與四邊形重疊部分的面積為，當(dāng)為何值時(shí)，最大，最大值為多少？分析：（1）定方向：先畫(huà)出分類(lèi)圖,得到三角形和梯形兩種情況，都是規(guī)則圖形面積問(wèn)題；（2）定目標(biāo)：三角形缺表示高A’D，梯形缺上底EF和梯形的高DG；（3）定解法：本題沒(méi)有明顯的角度或三角函數(shù)值，所以本題是利用相似比表示A’D，EF，DG的長(zhǎng)。（4）定最值：分解求最值，在比較大小確定最終結(jié)果。解析：（1）（2）的邊上的高為，當(dāng)點(diǎn)落在四邊形內(nèi)或邊上時(shí)，=（0）當(dāng)落在四邊形外時(shí)，如下圖，法1：高=h=；DG=AG-AD=6-,，則;=所以綜上所述：當(dāng)時(shí)，，取，當(dāng)時(shí)，，取，；當(dāng)時(shí)，最大，法2：設(shè)的邊上的高為，則。所以綜上所述：當(dāng)時(shí)，，取，；當(dāng)時(shí)，，取，當(dāng)時(shí)，最大，點(diǎn)睛：（1）法2有一定的高度，能從面積整體向面積整體轉(zhuǎn)化，屬于高級(jí)數(shù)學(xué)思維，值得學(xué)習(xí)。面積比與相似比之間的轉(zhuǎn)化屬于面積整體法系列。值得記憶。（2）養(yǎng)成先畫(huà)圖后分析的習(xí)慣。能將抽象問(wèn)題具體化。練習(xí)：有一根直尺的短邊長(zhǎng)2㎝，長(zhǎng)邊長(zhǎng)10㎝，還有一塊銳角為45°的直角三角形紙板，它的斜邊長(zhǎng)12cm..如圖1，將直尺的短邊DE放置與直角三角形紙板的斜邊AB重合，且點(diǎn)D與點(diǎn)A重合.將直尺沿AB方向平移(如圖2)，設(shè)平移的長(zhǎng)度為xcm(0≤x≤10)，直尺和三角形紙板的重疊部分(圖中陰影部分)的面積為S㎝2.(1)當(dāng)x=0時(shí)(如圖1)，S=_____________；當(dāng)x=