單位沖擊函數(shù)-卷積課件

d-Function

一、定義fn(x)可以是Nrect(Nx),Nsinc(Nx),NGaus(Nx),二維圓域函數(shù)等等.

物理系統(tǒng)已無法分辨更窄的函數(shù)定義1.定義2.基于函數(shù)系列的極限:練習:畫出rect(x),10rect(10x),sinc(x),10sinc(10x)的示意圖.可描述:等等.單位沖擊函數(shù)_卷積§0-2單位沖擊函數(shù)d-Function

一、定義(續(xù))0xd(x)110xd(x,y)yd-函數(shù)的圖示:定義3:設(shè)任意函數(shù)f(x)在x=0點連續(xù),則 f(x)稱為檢驗函數(shù).單位沖擊函數(shù)_卷積§0-2d-函數(shù)

二、性質(zhì)1.篩選性質(zhì)sifting(由定義3直接可證)

設(shè)f(x)在x0點連續(xù),則證明思路:二者對檢驗函數(shù)在積分中的作用相同.(練習)推論:d(x)是偶函數(shù)2.縮放性質(zhì)scaling與普通函數(shù)縮放性質(zhì)的區(qū)別:普通函數(shù):因子a不影響函數(shù)的高度,但影響其寬度d-函數(shù):因子a不影響函數(shù)的寬度,但影響其高度通過此積分,可從f(x)中篩選出單一的f(x0)值.單位沖擊函數(shù)_卷積§0-2d-函數(shù)

二、性質(zhì)(續(xù))3.乘積性質(zhì)

設(shè)f(x)在x0點連續(xù),則:f(x)d(x-x0)=f(x0)d(x-x0)

任意函數(shù)與d-函數(shù)的乘積,是幅度變化了的d-函數(shù)練習：計算sinc(x)d(x) 2.sinc(x)d(x-0.5) 3.sinc(x)d(x-1) 4.(3x+5)d(x+3)單位沖擊函數(shù)_卷積§0-2d-函數(shù)

三、d-函數(shù)的陣列--梳狀函數(shù)comb(x)表示沿x軸分布、間隔為1的無窮多脈沖的系列.例如：不考慮縫寬度和總尺寸的線光柵.間隔為t的脈沖系列:定義:

n為整數(shù)單位沖擊函數(shù)_卷積§0-2d-函數(shù)

三、d-函數(shù)的陣列--梳狀函數(shù)comb(x)梳狀函數(shù)與普通函數(shù)的乘積:f(x)0x=x0xcomb(x).0利用comb(x)可以對函數(shù)f(x)進行等間距抽樣.xy二維梳狀函數(shù):comb(x,y)=comb(x)comb(y)單位沖擊函數(shù)_卷積練習0-4：已知連續(xù)函數(shù)f(x)，若x0>b>0,利用d函數(shù)可篩選出函數(shù)在x=

x0+b的值，試寫出運算式。0-5:f(x)為任意連續(xù)函數(shù)，a>0,求函數(shù)

g(x)=f(x)[d(x+a)-d(x-a)]并作出示意圖。0-6：已知連續(xù)函數(shù)f(x)，a>0和b>0。求出下列函數(shù)：

(1)h(x)=f(x)d(ax-x0) (2)g(x)=f(x)comb[(x-x0)/b]單位沖擊函數(shù)_卷積§0-2d-函數(shù)練習0-4:0-5:0-6:g(x)=f(x)[d(x+a)-d(x-a)]=f(x)d(x+a)-f(x)d(x-a)=f(-a)d(x+a)-f(a)d(x-a)h(x)=f(x)d(ax-x0)作圖單位沖擊函數(shù)_卷積§0-2梳狀函數(shù)

練習

0-6(2)單位沖擊函數(shù)_卷積練習0-7畫函數(shù)圖形(1)(2)單位沖擊函數(shù)_卷積§0-3卷積convolution

一、概念的引入

例題

用寬度為a的狹縫，對平面上光強分布 f(x)=2+cos(2pf0x)

掃描，在狹縫后用光電探測器記錄。求輸出光強分布。單位沖擊函數(shù)_卷積卷積 概念的引入探測器輸出的光功率分布axf(x)1/f0x卷積運算單位沖擊函數(shù)_卷積§0-3卷積convolution

一、概念的引入(II)設(shè)：物平面光軸上的單位脈沖在像平面產(chǎn)生的分布為h(x)物體分布成像系統(tǒng)像平面分布像平面上的分布是物平面上各點產(chǎn)生的分布疊加以后的結(jié)果.需用卷積運算來描述f(x)成像xx0x1f(x1)h(x-x1)x2f(x2)h(x-x2)f(0)h(x)單位沖擊函數(shù)_卷積§0-3卷積convolution

一、概念的引入物平面光軸上的單位脈沖在像平面產(chǎn)生的分布為h(x)像平面上的分布是物平面上各點產(chǎn)生的分布疊加以后的結(jié)果.需用卷積運算來描述f(x)成像xx0x1f(x1)h(x-x1)x2f(x2)h(x-x2)f(0)h(x)x單位沖擊函數(shù)_卷積§0-3卷積convolution

二、定義若f(x)與h(x)有界且可積,定義*:卷積符號

g(x)是f(x)與h(x)兩個函數(shù)共同作用的結(jié)果.對于給定的x,第一個函數(shù)的貢獻是f(x),則第二個函數(shù)的貢獻是h(x-x).需要對任何可能的x求和.g(x)稱為函數(shù)f(x)與h(x)的卷積.二維函數(shù)的卷積:單位沖擊函數(shù)_卷積§0-3卷積convolution

三、計算方法--借助幾何作圖th(t)1/5590f(t)1/346t0f(t)1/346t0th(-t)1/5-9-50xh(x-t)

x-9x-5t460練習:計算rect(x)*rect(x)9111315

g(x)

x02/151.用啞元t畫出函數(shù)f(t)和h(t);2.將h(t)折疊成h(-t);3.將h(-t)移位至給定的x,

h[-(t-x)]=h(x-t);4.二者相乘;5.乘積函數(shù)曲線下面積的值即為g(x).步驟:單位沖擊函數(shù)_卷積§0-3卷積convolution

三、計算方法--幾何作圖法練習:計算rect(x)*rect(x)-101

g(x)

x11.用啞元t畫出二個rect(t)2.將rect(t)折疊后不變;3.將一個rect(-t)移位至給定的x0,

rect[-(t-x0)]=rect(x0-t);4.二者相乘;乘積曲線下面積的值即為g(x0).rect(t)1t-1/201/2|x|>1;g(x)=0-1<x<0;g(x)=1[x+1/2-(-1/2)]=1+x0

<x<1;g(x)=1[1/2-(x-1/2)]=1-xrect(t)1t-1/201/2

x0-1/2x0

x0+1/2rect(t)1t-1/201/2rect(x)*rect(x)=tri(x)單位沖擊函數(shù)_卷積卷積 概念的引入：

回到前面的例題探測器輸出的光功率分布:af(x)1/f0xx單位沖擊函數(shù)_卷積計算這個卷積:討論這個結(jié)果f(x)=2+cos(2pf0x)單位沖擊函數(shù)_卷積練習若證明：令x-x=x’證:單位沖擊函數(shù)_卷積作業(yè)0-8若證明：單位沖擊函數(shù)_卷積§0-3卷積convolution

四、性質(zhì)1.卷積滿足交換律CommutativeProperty

f(x)*h(x)=h(x)*

f(x)

推論:卷積是線性運算Linearity

[av(x)+bw(x)]*h(x)=a[v(x)*

h(x)]+b[w(x)*

f(x)]2.卷積滿足分配律DistributiveProperty [v(x)+w(x)]*

h(x)=v(x)*

h(x)+w(x)*

f(x)3.卷積滿足結(jié)合律AssociativeProperty

[v(x)*

w(x)]*h(x)=[v(x)*h(x)]*w(x)=v(x)*[w(x)*

h(x)]單位沖擊函數(shù)_卷積§0-3卷積convolution

四、性質(zhì)(續(xù))4.卷積的位移不變性Shiftinvariance

若f(x)*h(x)=g(x),則

f(x-x0)*h(x)=g(x-x0)

或 f(x)*h(x-x0)=g(x-x0)5.卷積的縮放性質(zhì)Scaling

若f(x)*h(x)=g(x),則 單位沖擊函數(shù)_卷積§0-3卷積convolution

五、包含脈沖函數(shù)的卷積即任意函數(shù)與d(x)卷積后不變根據(jù)1.d-函數(shù)是偶函數(shù),2.d-函數(shù)的篩選性質(zhì),有:任意函數(shù)與脈沖函數(shù)卷積的結(jié)果,是將該函數(shù)平移到脈沖所在的位置.

f(x)*d(x-x0)=f(x-x0)

f(x)與脈沖陣列的卷積可在每個脈沖位置產(chǎn)生f(x)的函數(shù)波形,用于描述各種重復(fù)性的結(jié)構(gòu).=*bbaaa利用卷積的位移不變性可得:單位沖擊函數(shù)_卷積作業(yè)0-9.利用梳函數(shù)與矩形函數(shù)的卷積表示線光柵的透過率。假定縫寬為a，光柵常數(shù)為d，縫數(shù)為N.0-10.利用包含脈沖函數(shù)的卷積表示下圖所示雙圓孔屏的透過率。若在其中任一圓孔上嵌入p位相板，透過率怎樣變化？ldxy(透過率=輸出/輸入)單位沖擊函數(shù)_卷積利用卷積性質(zhì)求卷積的例子

作業(yè)0-11：用圖解法求圖示兩個函數(shù)的卷積

f(x)*h(x)若要求寫出解析運算式:f(x)=?+?寫成tri(x)的平移式h(x)=?+?寫成d(x)的平移式利用卷積的線性性質(zhì)利用d函數(shù)的卷積性質(zhì)利用卷積的平移性質(zhì)*=f(x)xAa-a0h(x)ka-a