2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試模擬試題文科數(shù)學（二）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁絕密★啟用前2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試模擬試題文科數(shù)學（二）試卷副標題考試范圍：xxx；考試時間：100分鐘；命題人：xxx題號一二三總分得分注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一、單選題1．如圖，三個圓的內(nèi)部區(qū)域分別代表集合，，，全集為，則圖中陰影部分的區(qū)域表示（

）A． B．C． D．2．復數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．3．上高中的小黑為弟弟解答《九章算術》中的一個題目：今有田，廣15步，縱16步，此田面積有多少畝？翻譯為：一塊田地，寬15步，長16步，則這塊田有多少畝？小黑忘記了畝與平方步之間的換算關系，只記得一畝約在200—250平方步之間，則這塊田地的畝數(shù)是（

）A． B．1 C． D．24．已知，用科學記數(shù)法表示為，則的值約為（

）A．8 B．9 C．10 D．115．執(zhí)行下圖的程序框圖，若輸入的，則輸出的值為（

）A．60 B．48C．24 D．126．如圖是一組實驗數(shù)據(jù)的散點圖，擬合方程，令，則關于的回歸直線過點，，則當時，的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．若過圓錐的軸的截面為邊長為4的等邊三角形，正方體的頂點，，，在圓錐底面上，，，，在圓錐側面上，則該正方體的棱長為（

）A． B． C． D．8．已知橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為，的延長線交于，，則的離心率（

）A． B． C． D．9．已知，給出以下不等式：①；②；③，則其中正確的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．310．已知雙曲線（，）一個虛軸的頂點為，右焦點為，分別以，為圓心作圓與雙曲線的一條斜率為正值的漸近線相切于，兩點，若，則該漸近線的斜率為（

）A． B．1 C． D．11．已知函數(shù)的一個對稱中心為，在區(qū)間上不單調(diào)，則的最小正整數(shù)值為（

）A．1 B．2 C．3 D．412．在三棱錐中，，，兩兩垂直，，若球與三棱錐各棱均相切，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分二、填空題13．2022年2月2日晚，萬眾期待的北京冬奧會比賽正式拉開帷幕——冰壺項目的混雙循環(huán)賽率先在國家游泳中心“冰立方”開賽．冰壺又叫“冰上溜石”，冰壺的比賽場地稱作“冰道”，冰道的一端畫有一個直徑為1.83米的圓圈作為球員的擲壺區(qū)，被稱作本壘．冰道的另一端是由4個半徑分別為0.15米、0.61米、1.22米和1.83米的同心圓組成的營壘（如圖），營壘就是得分區(qū)，所投出的冰壺最接近營壘中心的隊伍得分，假定投出的冰壺都落在營壘內(nèi)，則投擲1個冰壺，該冰壺落在距離營壘中心0.3米至0.9米間的概率為______．14．已知實數(shù)，滿足則的最小值為______．15．在中，為的中點，為線段上一點（異于端點），，則的最小值為______．16．在中，，，點在內(nèi)部，，則的最小值為______．評卷人得分三、解答題17．若數(shù)列滿足，，．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．18．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，．(1)證明：平面；(2)若，求點到平面的距離．19．在一次數(shù)學考試中，將某班所有學生的成績按照性別繪制成如下莖葉圖，規(guī)定；分數(shù)不低于125分為優(yōu)秀．(1)求本次成績的眾數(shù)、中位數(shù)；(2)從該班中任意抽取一位學生，求該學生成績優(yōu)秀的概率；(3)完成下列列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為學生數(shù)學成績是否優(yōu)秀與性別有關？數(shù)學成績男生女生總計優(yōu)秀不優(yōu)秀總計附：，其中．0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63520．已知拋物線的焦點為，直線，當時，與相切．(1)求的值；(2)若交于，兩點，點是上一點，的重心為，求的值．21．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)．(1)求的最大值；(2)證明：當時，．22．在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，圓的極坐標方程為．(1)求的參數(shù)方程；(2)判斷與的位置關系．23．已知函數(shù)，．(1)當時，在坐標系中畫出和的圖象；(2)若不等式恒成立，求的取值范圍．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．B【解析】【分析】找到每一個選項對應的區(qū)域即得解.【詳解】解：如圖所示，A.對應的是區(qū)域1；

B.對應的是區(qū)域2；C.對應的是區(qū)域3；

D.對應的是區(qū)域4.故選：B2．A【解析】【分析】設，再代入式子根據(jù)復數(shù)相等，結合共軛復數(shù)的定義求解即可【詳解】設，則，故，即，故，解得，故，故故選：A3．B【解析】【分析】先求出總的面積為（平方步），再轉(zhuǎn)化為畝數(shù)為之間，對照四個選項，即可得到正確答案.【詳解】總的面積為（平方步）.因為一畝約在200—250平方步之間，所以轉(zhuǎn)化為畝數(shù)為之間，即之間，對照四個選項，只有B正確.故選：B4．B【解析】【分析】根據(jù)題意得，再分析求解即可.【詳解】因為，，所以，所以，所以，又無限接近于，所以.故選：B.5．C【解析】【分析】執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的的值，當時退出循環(huán)，輸出.【詳解】，，，，，，則輸出的值為24.故選:C.【點睛】本題主要考查“直到型”循環(huán)結構.屬于容易題.6．D【解析】【分析】先令可得，由關于的回歸直線過點，可得從而求得，再由的范圍求得的范圍，進而求得的范圍.【詳解】根據(jù)題意可得，由關于的回歸直線過點，可得：，所以，所以，由可得，所以，所以，所以，故選：D7．C【解析】【分析】設正方體棱長為，根據(jù)題意得，分析求解即可.【詳解】根據(jù)題意過頂點和正方體上下兩個平面的對角線作軸截面如下所示：所以，，所以，，為矩形，設，所以，所以，所以，即，即，解得.故選：C.8．D【解析】【分析】設，利用幾何法表示出，在中表示出；在中，，表示出，得到a、b、c的齊次式，即可求得.【詳解】由橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為，可得：.如圖示：.設，則.由橢圓的定義可得：，即，解得：.所以在中，，所以.在中，，所以.所以，即，所以，所以（舍去）.故選：D9．B【解析】【分析】對于①：利用基本不等式證明；對于②、③：取特殊值否定結論.【詳解】對于①：因為，所以，所以，即.故①正確；對于②：取滿足，但是，所以不一定成立.故②錯誤；對于③：取滿足，但是，，此時，所以不一定成立.故③錯誤.故選：B10．A【解析】【分析】根據(jù)漸近線傾斜角的正切值表達出，再化簡得到求解即可【詳解】由題意，如圖，設，則因為該漸近線的斜率為，故，，，又因為圓與漸近線相切，故，，故，,所以，即，所以，即，故，即，故該漸近線的斜率為故選：A11．B【解析】【分析】根據(jù)題意可得，所以，，由在區(qū)間上不單調(diào)可得在區(qū)間上有解，所以，在區(qū)間上有解，最終可得，，取值即可得解.【詳解】由函數(shù)的一個對稱中心為，可得，所以，，，，，由在區(qū)間上不單調(diào)，所以在區(qū)間上有解，所以，在區(qū)間上有解，所以，所以，，又，所以，所以，當時，，此時的最小正整數(shù)為.故選：B12．D【解析】【分析】以A為原點，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系.用坐標法求出球心和半徑，即可求出球的表面積.【詳解】如圖示，以A為原點，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系.則，，，.設與三棱錐各棱均相切的球的球心為，半徑為r，過O作OO1⊥面ABD于O1，則.在底面ABD中，即平面xoy內(nèi)，直線BD方程為：，，所以，所以，即①.過O作OE⊥AB于E，過O作OF⊥AC于F，過O作OG⊥AD于G，過O1作O1H⊥DB于H.由得：②.同理可得：③，④.②③④聯(lián)立可得.把與①聯(lián)立，解得：.所以該球的表面積為.故選：D13．【解析】【分析】利用幾何概型的概率公式直接求概率.【詳解】由題意可得：.距離營壘中心0.3米至0.9米間的環(huán)形的面積為.所以該冰壺落在距離營壘中心0.3米至0.9米間的概率為.故答案為：14．##-3.5【解析】【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義即可求解．【詳解】作出可行域如圖所示：由解得：.把轉(zhuǎn)化為直線l:.平移直線l，經(jīng)過點A時，縱截距最小，此時.故的最小值為.故答案為：15．##【解析】【分析】本題首先可根據(jù)題意得出，然后根據(jù)三點共線得出，最后通過基本不等式即可求出最值.【詳解】如圖，結合題意繪出圖象，因為，為邊的中點，所以，因為三點共線，所以，則，當且僅當，即、時取等號，故的最小值為，故答案為：.16．2【解析】【分析】先利用正弦定理求得的外接圓半徑，建立平面直角坐標系，利用坐標法把轉(zhuǎn)化為，即可求出的最小值.【詳解】因為，，所以.在中，由正弦定理得：（R為的外接圓半徑），所以，解得：.如圖所示：設的外接圓的圓心為O，建立如圖示的坐標系.設E為AC的中點，所以，.所以點M的軌跡為：，可寫出（為參數(shù)）.因為點在內(nèi)部，所以（其中滿足，）.所以因為滿足，，所以，所以當時最小.故答案為：217．(1)(2)【解析】【分析】（1）利用等比中項法判斷出為等比數(shù)列，設其公比為q（），由，求出，得到的通項公式；（2）先得到，利用錯位相減法求和.(1)因為數(shù)列滿足，，，所以.所以數(shù)列為等比數(shù)列，設其公比為q（）.所以，解得：.所以.即的通項公式為.(2)由（1）可知：，所以，所以

①得：

②①-②得：所以18．(1)證明見解析.(2)【解析】【分析】（1）先證明，然后利用線面垂直的判定定理證明即可.（2）利用等體積法即即可求解.(1)解：∵平面平面，平面平面于,且，∴，平面，∴，又，∴，又，∴平面.(2)解：由（1）得，，又，，，∴，,∴,又平面平面，平面平面于，∴點到平面的距離即為點到直線的距離，故點到平面的距離為，則，設點到平面的距離為，∵,∴，即，解得：，即點到平面的距離為.19．(1)眾數(shù)為，中位數(shù)為(2)(3)答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)莖葉圖可得答案；（2）由圖可知，該班有50名學生，成績優(yōu)秀的有28名，根據(jù)古典概型概率計算公式可得答案；（3）根據(jù)莖葉圖完成列聯(lián)表，代入可得答案.(1)本次成績的眾數(shù)為，中位數(shù)為.(2)由圖可知，該班有50名學生，成績優(yōu)秀的有28名，所以從該班中任意抽取一名學生，該學生成績優(yōu)秀的概率為.(3)列聯(lián)表如下，數(shù)學成績男生女生總計優(yōu)秀161228不優(yōu)秀91322總計252550，因為，所以沒有90%的把握認為學生數(shù)學成績是否優(yōu)秀與性別有關.20．(1)2(2)-4【解析】【分析】（1）聯(lián)立直線方程和拋物線方程，直線與拋物線相切，利用即可求解.（2）由（1）可得點坐標，設點坐標為，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，利用韋達定理得出的值，進而得到的值，利用重心的性質(zhì)（在直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算數(shù)平均數(shù)）列方程組，消去，即可求解的值.(1)解：因為與相切，故，所以，解得或（舍去）.故.(2)解：由（1）得，，，且，因為點是拋物線上一點，故設點坐標為，設，則聯(lián)立，消去得，故，解得，且，所以，，又為的中心，所以，整理得：，即，解得：或，又，且，故.21．(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）利用導數(shù)的符號求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，通過單調(diào)區(qū)間可求得結果．（2）將問題轉(zhuǎn)化為證明，再分別證明及成立即可．(1)由已知得，，要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，令，得，即，解得，（），當時滿足題意，此時，在區(qū)間上是單調(diào)遞增的，故的最在值為.(2)當時，要證明，即證明，而，故需要證明.先證：，（）記，，時，，所以在上遞增，，故，即.再證：，（）令，則則,故對于，都有，因而在，上遞減，對于，都有，因此對于，都有.所以成立，即成立，故原不等式成立.【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵利用不等式放縮，從而使得問題得以順利解決.22．(1)（為參數(shù)）(2)直線與圓相切.【解析】【分析】（1）先將圓的極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程，求出圓心及半徑，再轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程即可；（2）將直線的極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程，利用圓心到直線的距離判斷直線與圓的位置關系即可.(1)解：因為圓的極坐標方程為，則，則其直角坐標方程為，即，圓心為，半徑為1,則圓的參數(shù)方程為（為參