第2講 映射概念課件

映射概念映射的定義 映射的性質(zhì)逆映射復合映射1第2講映射概念1映射的定義設(shè)A,B是任意給定的兩個集合，若存在一個對應(yīng)法則f，使得對于任意x∈A，均存在唯一的y∈B與它對應(yīng),則稱f是A到B的一個映射，記為f:A

B，且y=f(x)。

一映射的定義2第2講映射概念注意：映射f本質(zhì)上定義為一個對應(yīng)，這種對應(yīng)有可能有解析表達式（正如我們通常見到的一樣），但也可能不存在相應(yīng)的表達式，如A={a,b,c},B={0,1}規(guī)則f:a對應(yīng)于0，b對應(yīng)于1，c對應(yīng)于1。

f即為A到B的一個映射。又如A為有理數(shù)集,B為實數(shù)集特征函數(shù)假定A是論域U上的集合，定義3第2講映射概念2映射的相等設(shè)f,g是A到B的兩個映射，若對于任意x∈A，均有f(x)=g(x),則稱映射f,g是相等的，或是同一映射。4第2講映射概念3幾個相關(guān)的稱謂假定f:AB,y=f(x)，通常把x稱為自變量，自變量的取值范圍稱為定義域，記為domf。將y稱為因變量，而把由所有因變量構(gòu)成的集合稱為值域，記為ranf。對映射而言：對映射f:AB而言,必有

domf=A,ranf?B且如前所述，把因變量y稱為x在映射f下的像或函數(shù)值，記為y=f(x).5第2講映射概念定義：設(shè)f:AB,令X?A，用

f(X)={f(x)|x∈X}表示X在映射f下的像。同理令Y?B，用表示Y在映射f下的原像。注：這里的是一個整體記號。6第2講映射概念對于集合A和B，用(B上A)表示A到B的所有映射組成的集合，即有【例1-5】若求x1x2x3y1y27第2講映射概念定理：對于集合A和B，若|A|=m,|B|=n，則

注意:

B上A的記號與該結(jié)論的關(guān)系.證明：設(shè)f:AB,對于任意的x∈A,顯然f(x)可取B中n個元素中任意一個，而|A|=m,根據(jù)乘法原理，結(jié)論成立。8第2講映射概念n元函數(shù)定義在函數(shù)定義中，若，則對任意x∈A，有,這時稱f為到B的n元函數(shù)。9第2講映射概念二映射的性質(zhì)1單射定義：f:AB,若對任意,∈A，由可推出，（或），則稱f是A到B的單射，或稱f是A到B的一對一映射。2滿射定義：f:AB,若對任意y∈B，均存在x∈A，使得y=f(x)，則稱f是A到B的滿射，或稱f是A到B的映上的映射。3雙射定義：f:AB,若f既是單射又是滿射，則稱f是A到

B的雙射，或稱f是A到B的一一對應(yīng)。10第2講映射概念

11第2講映射概念5置換若A是有限集合，通常把A到A的雙射稱為A上的置換。4變換集合A到自身的映射習慣上稱為A的一個變換。例1.建立一個Z到N的一一對應(yīng)。例2.建立一個(0,1)到R的一一對應(yīng)。例3.寫出A={1,2,3}上的所有置換。12第2講映射概念三逆映射1定義設(shè)f:AB,若將對應(yīng)關(guān)系逆轉(zhuǎn)，能夠得到一個集合B到集合A的映射，則該映射稱為f的逆映射或逆函數(shù)，常稱為反函數(shù),記為。2定理設(shè)f:AB,則f的逆映射存在的充要條件是：f是雙射。13第2講映射概念

看下面映射是否存在逆映射？14第2講映射概念四復合映射定義設(shè)f:AB,g:BC，對任意的x∈A，h(x)=g(f(x))為A到C的映射，稱h為f和g的復合映射或復合函數(shù)，記為f?g。由復合函數(shù)定義知，15第2講映射概念16第2講映射概念恒等映射設(shè)A是集合，令f:AA,f(x)=x，稱f為集合A上的恒等映射，記為。定理若f:AB是雙射,則有特別地，若f:AA是雙射，則有17第2講映射概念定理設(shè)f:AB,g:BC,若f和g是單射，則f?g

是單射；若f和g是滿射，則f?g是滿射；(3)若f和g是雙射，則f?g是雙射且有證明：(1)因為f是A到B的單射函數(shù)，所以當，∈A，,又因為g是B到C單射函數(shù)，所以；即當時，(f?g)()≠(f?g)()，由此可見，復合函數(shù)g?f是單射函數(shù)同理可證明(2)與(3)。18第2講映射概念定理設(shè)f:AB,g:BC,若f?g是單射，則f是單射但g不一定；若f?g是滿射，則g是滿射而f不一定。

同理可證明(2)。19第2講映射概念定理設(shè)f:AB，g:BC，h:CD，則由上面定理可知，當多個函數(shù)求復合時可以不加括號，即證明：對任意x∈A，由于

((f?g)?h)(x)=h[(f?g)(x)]=h[g(f(x))]，而(f?(g?h))(x)=(g?h)(f(x))=h[g(f(x))]，即有((f?g)?h)(x)