中考數(shù)學(xué)最值問題的解題思路與策略

探討中考數(shù)學(xué)最值問題的解題思路與策略本文以一道中考題為例，與各位共同探討最值問題的解題思路與策略.一、注重分析，講究方法最值問題是初中數(shù)學(xué)中的難點之一我們在分析解答時要特別注重分析已知條件，緊扣已有的知識經(jīng)驗，力求做到思路清晰，水到渠成.【試題呈現(xiàn)】已知點與點，，是一平行四邊形的四個頂點，則長的最小值為【分析】1、由動點定直線.(“點動成線”)感悟1:動點定直線.感悟2:動點定直線2、由定直線定角度.(一次函數(shù)系數(shù)為士1時，可能出現(xiàn)特殊角)感悟3:由定直線定角度或.3、已知兩個頂點如何作平行四邊形?情形一:如圖1，兩頂點的連線段作為平行四邊形的邊，使點落在直線上的點處，點落在點處，連結(jié)，易得，所以.情形二:如圖2，兩頂點的連線段作為平行四邊形的對角線，在直線上，取點.如何確定點?方法一是平移線段，使點與點重合，得線段;方法二是連結(jié)線段，取線段中點;連結(jié)并延長一倍至點，連結(jié)、.【解答】方法一如圖3，要使得的長最小，只要長最小.點是定點，點是直線上的動點，所以，當(dāng)直線時，長最短.作直線于點，易得，則，所以長的最小值為.方法二如圖4，作直線于點.設(shè)直線的解析式為，把代入，得到直線的解析式為，與直線的交點坐標(biāo)為.又因為點的坐標(biāo)為(4,3)，所以，所以長的最小值為.方法三如圖5，平移線段，使點與點重合，得線段;設(shè)點的坐標(biāo)為，根據(jù)坐標(biāo)平移的規(guī)律，得到點的坐標(biāo)為.所以，所以長的最小值為.方法四如圖6，作直線于點;作直線于點.由梯形的中位線定理，得到，而，所以，所以長的最小值為.二、最值問題的其它幾種方法（一）“作對稱”轉(zhuǎn)化最值如圖7，在直線上確定點使得最短;〔拓展〕①圖8，在射線上確定點，射線上確定點，使得最短;②如圖9,，點是上的定點,，在邊上分別確定點，使得最短，求這個最短距離;③如圖10，，點是上的定點，，在邊上確定點，在上確定點，使得最短，求這個最短距離.例1如圖4，矩形中，=2,=3，以為圓心，1為半徑畫圓，是⊙上一動點，是上的一動點，則的最小值是.圖4分析類比上述問題，不難將動點轉(zhuǎn)化到定點，構(gòu)建鋪水管最短問題模型.故作關(guān)于直線的對稱點，連結(jié)與的交點即為點.解析作點關(guān)于直線的對稱點，連結(jié)與的交點即為點.在中，,=4,=3，則=5，的最小值為－1=4.評注本題是以矩形為素材的線段和最小值問題，考查了動點轉(zhuǎn)化成定點，利用作對稱圖化歸為鋪水管最短問題，培養(yǎng)了學(xué)生的建模思想，突出考查學(xué)生的幾何綜合能力.

（二）科用函數(shù)性質(zhì)求最值例2如圖5是一種帶有黑白雙色，邊長是20的正方形裝飾瓷磚，用這樣的四塊瓷磚可以拼成如圖6的圖案.已知制作圖5這樣的瓷磚，其黑、白兩部分所用材料的成本分別為0.02元/和0.0l元/，那么制作這樣一塊瓷磚所用黑白材料的最低成本是元.(取3.14,結(jié)果精確到0.0l元)圖5圖6解析設(shè)圖5中扇形的半徑為，則正方形邊上的另一段線段長為，一塊瓷磚的成本為元，則.當(dāng)時，的最小值為6.73元.評注本題是以正方形為載體的成本最值問題，它是一種難度較大的綜合問題.求解的關(guān)鍵是:1、抓住題目中成本單價的單位聯(lián)系的含義—面積聯(lián)想構(gòu)成瓷磚的圖形面積;2,借助問題的最低成本，建立函數(shù)模型求解最小值.本題將幾何問題代數(shù)化，突出考查了學(xué)生幾何、代數(shù)知識轉(zhuǎn)化技能及函數(shù)思想方法.

（三）取中點轉(zhuǎn)化最值如圖11,，矩形的頂點分別在邊上.當(dāng)點在邊上運(yùn)動時，點隨之在邊上運(yùn)動，矩形的形狀保持不變，其中，運(yùn)動過程中，點到點的最大距離為.〔分析解答〕取線段的中點，連結(jié)，這樣就將線段最短問題轉(zhuǎn)化成了三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，可得，當(dāng)時，線段的長度最大也即當(dāng)點在一直線上時點到點的距離最大，最大值等于.〔拓展〕如圖12，已知是邊長為4的等邊三角形，分別是軸上的動點，點在第一象限內(nèi)，在的運(yùn)動過程中，則線段的最大值為.

（四）利用特殊位置求最值例3(2010年無錫模擬)如圖7，在中，,,,⊙為的外接圓，為上任一點，則四邊形的周長的最大值是.圖7分析本題四邊形的周長中、是半徑為定值，是定值5，故周長要想最大，則需要的值最大，其位置應(yīng)在點處，即可求得的長為的最大值.解析過點作于點,連結(jié).當(dāng)點在點的位置時，四邊形的周長最大為:評注本題是以質(zhì)點運(yùn)動為背景的幾何圖形周長最值問題.解決此類動點問題的關(guān)鍵是分析題意，找到不變的量和變化的量，利用幾何圖形中的特殊位置確定變量的最值來確定周長的最值.本題突出考查學(xué)生的幾何識圖能力，圓中特殊元素的特征，靈活構(gòu)建特殊圖形模型的意義建構(gòu)能力.

（五）添輔助圓轉(zhuǎn)化最值1、同一端點出發(fā)的等長線段例1如圖1，在直角梯形中，，點是線段上一動點，將沿翻折到，連結(jié).當(dāng)點在上運(yùn)動時，分別求的最小值.解析如圖1，當(dāng)點在點時，與重合;當(dāng)點在點時，設(shè)點在點處，由翻折可知.所以，點在以為圓心，為半徑的圓上，運(yùn)動軌跡為弧.如圖2，點在⊙內(nèi)，延長交⊙于點.當(dāng)點在點時最小，最小值為.點在⊙外，設(shè)交⊙于點，當(dāng)點在點時最小，最小值為.設(shè)與⊙交點為，當(dāng)點在點時最小，最小值為.點評當(dāng)條件中有同一端點出發(fā)的等長線段時，根據(jù)圓的定義，以該端點為圓心，等長為半徑構(gòu)造圓，將原問題轉(zhuǎn)化為定點與圓上點的距離問題.模型1如圖3，點在⊙外，到⊙上各點連線段中最短；如圖4，點在⊙內(nèi)，到⊙上各點連線段中最短.證明在⊙上任取一點，不與點重合，連結(jié)，如圖3.,得證.如圖4,，得證.2、動點對定線段所張的角為定值模型2如圖5,為定線段，點為外一動點，為定值，則點形成的軌跡是弧、弧(不含點).證明設(shè)⊙為的外接圓，在上方任取三點，點分別在⊙外、⊙上、⊙內(nèi).,當(dāng)為定值時，點形成的軌跡是弧、弧(不含點).=1\*GB3①動點時定線段所張的角為直角例2如圖6，正方形邊長為2，點是正方形內(nèi)一動點，，連結(jié)，求的最小值.解析為定線段，由模型2可知，點在以為直徑的圓上.連交⊙于點，由模型1，當(dāng)在點處時最短，最小值是.點評當(dāng)動點對定線段所張的角為直角時，根據(jù)直徑所對圓周角為直角，以定線段為直徑構(gòu)造圓.

=2\*GB3②.動點時定線段所張的角為銳角例3如圖7,，一把直角三角形尺的兩個頂點分別在上移動，，求點到距離的最大值.解析如圖8,⊙為的外接圓，由模型2知，點的運(yùn)動軌跡是弧(兩點除外).過點作的垂線，垂足為點,交弧于點，當(dāng)點在點處時，到的距離最大，即為長..,.故到距離的最大值為.點評本題是定長，為定值，利用模型2，找到點的運(yùn)動軌跡是一段弧，這段弧所在的圓是一個定圓，于是原問題轉(zhuǎn)化為圓上一點到弦的距離問題.模型3如圖9,是⊙的一條弦，點是⊙上一動點(不與重合)，過點作，垂足為，交⊙于點在兩側(cè)).當(dāng)點在點處時，點到的距離最大，即為長.證明如圖9，作垂足為點,，得證.

=3\*GB3③動點對定線段所張的角為鈍角例4如圖10，正三角形邊長為2，射線，點是射線上一動點(不與點重合)，外接圓交于點，求的最小值.解析如圖10,.為定長，點的運(yùn)動軌跡是弧(不與重合).過點作垂足為，交弧于點，當(dāng)點在點時最小，最小值為.點評本題將動點轉(zhuǎn)化到動點，且因為,為定長，由模型2可知，點的運(yùn)動軌跡是弧，這段弧所在的圓是一個定圓.于是，的最小值問題轉(zhuǎn)化為圓外一點到圓上一點的最小值問題，由模型1即可求解.3、動點對定線段所張的角的最值例5如圖11，四邊形中，均有.在邊上，是否存在一點，使得的值最小?若存在，求出此時的值;若不存在，請說明理由.解析當(dāng)為銳角時，隨的增大而減小，求的值最小值，只要求最大值.于是，作中垂線交于點.設(shè)三點確定⊙，則⊙切于點.此時上的點(除點)都在⊙外，，所以當(dāng)點在點處時最大.由題意，可知.設(shè)⊙半徑為,則，解得，,所以最小值為.點評求動點對定線段所張角的最大值時，以定線段為弦所作的圓與動點所在的直線相切，由同弧所對的圓周角大于圓外角知，動點運(yùn)動至切點處時所張角最大.

（六）三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化最值如圖14，點在半徑為3的⊙內(nèi)，為⊙上一點，當(dāng)取最大值時，的長等于.〔分析解答〕過點作于點，則.因為正弦的函數(shù)值隨銳角角度的增大而增大，所以，由是定值，得知:要使得最大，只需最大.因為點是⊙上的動點，所以，當(dāng)與重合時，最大，此時，.關(guān)于幾何類的最值問題，還有如立體圖形展開最短路徑問題、直線運(yùn)動求面積的最值問題等等，解題時化動為靜，將變化的量通過定量的形式呈現(xiàn)出來，是解決幾何類最值問題的常用策略.我們要善于總結(jié)規(guī)律，就能從根本上提高解題能力.（七）利用幾何公理求最值例5如圖8(1)，已知圓柱體底面圓的半徑為，高為2,、分別是兩底面的直徑,、是母線.若一只小蟲從點出發(fā)，從側(cè)面爬行到點，則小蟲爬行的最短路線的長度是.(結(jié)果保留根號)圖8分析本題的難點是考查立體圖形中的最短路線，解決的關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)化為平面圖形求線段的長度.因此，將圓柱的側(cè)面展開，由于小蟲從點出發(fā)，從側(cè)面爬行到點只走過了圓柱的半個側(cè)面，故只需處理半側(cè)面上的線段長度計算.解析如圖8(2)展開圓柱的側(cè)面成矩形，則最短路線為線段.，又，故在中.答案.評注本題是以空間立休圖形為背景的路線最值間題.解決的關(guān)鍵是將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，利用幾何知識中的兩點之間線段最短公理，借助直角三角形的勾股定理解決.考查了學(xué)生的空間思維能力，以及立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化能力.

（八）利用圓中直徑最長求最位例6如圖9,是⊙的直徑，=4,點在⊙上，,是⊙上一動點，是的中點，連結(jié)，則的最小值為.圖9分析本題的突破口在于由最⊙的直徑聯(lián)想圓周角，又是