導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的含參問題

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的含參問題已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性.解:（1）當(dāng)所以因此,即曲線又所以曲線（2）因?yàn)?所以,令(I)當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，>0，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，<0，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.(II)當(dāng)時(shí)，由，即，解得.①當(dāng)時(shí)，，恒成立，此時(shí)，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減;②當(dāng)時(shí)，，時(shí)，,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減時(shí)，<0,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減③當(dāng)時(shí)，由于,時(shí)，,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減：時(shí)，<0,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減;函數(shù)在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；函數(shù)在上單調(diào)遞增；函數(shù)在上單調(diào)遞減.分析:本題分類時(shí)要注意a=0的特殊情況;當(dāng)g(x)是二次函數(shù)時(shí),可以嘗試十字相乘法進(jìn)行因式分解,若可以說明有根,直接比較根的大小即可,若不可以則要計(jì)算,從有沒有根的角度進(jìn)行分類.例2.設(shè)（1）若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，在上的最小值為，求在該區(qū)間上的最大值．解：（1）由當(dāng)令所以，當(dāng)上存在單調(diào)遞增區(qū)間（2）令所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增當(dāng)在[1，4]上的最大值為又所以在[1，4]上的最小值為得，從而在[1，4]上的最大值為分析:本題雖有參數(shù),但是不需要分類,根據(jù)參數(shù)所在范圍可知極值點(diǎn),但因?yàn)槎x域的限制,要判斷極值點(diǎn)有沒有在定義域內(nèi),沒有的要舍去,本題是舍去了.,(1)當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線的方程;(2)求的極值.解:（Ⅱ）由可知：①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為上的增函數(shù)，函數(shù)無極值；②當(dāng)時(shí)，由，解得；時(shí)，，時(shí)，在處取得極小值，且極小值為，無極大值．綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極小值，無極大值．分析:本題分類討論時(shí)也注意結(jié)合定義域,學(xué)生易漏掉的特殊情況,在這種情況下導(dǎo)數(shù)符號直接確定是不需要列表的;另外,只有在時(shí),的極值點(diǎn)才會存在,所以不能一開始就求極值點(diǎn).例4.2010江西理數(shù)）19.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)。（1）當(dāng)a=1時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間。（2）若在上的最大值為求a的值。解：對函數(shù)求導(dǎo)得：，定義域?yàn)椋?，2）當(dāng)a=1時(shí)，令當(dāng)為增區(qū)間；當(dāng)為減函數(shù)。(2)當(dāng)有最大值，則必不為減函數(shù)，且>0，為單調(diào)遞增區(qū)間。最大值在右端點(diǎn)取到。。分析:區(qū)間上的最值問題，通過導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)和端點(diǎn)的比較得到，確定待定量a的值。例5.2013·新課標(biāo)I理）（21）（本小題滿分共12分）已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲線y＝f(x)和曲線y＝g(x)都過點(diǎn)P(0，2)，且在點(diǎn)P處有相同的切線y＝4x+2（Ⅰ）求a，b，c，d的值（Ⅱ）若x≥－2時(shí)，f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍。解:（1）因?yàn)榍€y＝f(x)和曲線y＝g(x)都過點(diǎn)P(0，2)，所以b=d=2；因?yàn)椋?；，故，故；所以，；?）令，則，由題設(shè)可得，故，令得，（1）若即，則，從而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即在上最小值為，此時(shí)f(x)≤kg(x)恒成立；（2）若即，，故在上單調(diào)遞增，因?yàn)樗詅(x)≤kg(x)恒成立（3）若即，則，故f(x)≤kg(x)不恒成立；綜上所述k的取值范圍為.分析:（2）構(gòu)造函數(shù)“”，轉(zhuǎn)化為恒成立問題,本題用分離變量法做法太復(fù)雜,不妨直接求,只要>0即可.在求時(shí),有一個(gè)極值點(diǎn)不確定,需討論與區(qū)間端點(diǎn)-2的關(guān)系,從而找到正確答案.注意:由5個(gè)例題可知,(1)不是所有含參的問題都需要分類討論,要善于根據(jù)給出的參數(shù)范圍,定義域確定導(dǎo)數(shù)符號,盡量避開分類討論;(2)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值，都要注意結(jié)合定義域，都是通過討論函數(shù)的單調(diào)性來求極值、最值的，思路方法一致。導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的含參問題――最值與恒成立問題二．典例分析例2.已知函數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求在區(qū)間[0，1]上的最小值例3.（2011北京，18，13）已知函數(shù)求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對于任意的，求k的取值范圍。變式訓(xùn)練：1.已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)。（Ⅰ）若，求的值及曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值。2.已知，其中是自然常數(shù)，（Ⅰ）討論時(shí),的單調(diào)性、極值；（Ⅱ）求證：在（Ⅰ）的條件下，;3.已知函數(shù)曲線過點(diǎn)P(1,0),且在P點(diǎn)處的切線斜率為2,求(1)求的值;(2)證明:4.（2012安徵）設(shè)函數(shù)（1）求在的最小值；（2）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷）理】設(shè)函數(shù)(其中).(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值.，，其中為實(shí)數(shù).（1）若在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最小值，求的取值范圍；（2）若在上是單調(diào)增函數(shù)，試求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的含參問題――已知單調(diào)性求參數(shù)例3.（2011北京，18，13）已知函數(shù)求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對于任意的，求k的取值范圍。變式訓(xùn)練1.(2010年北京理18)(本小題共13分)已知函數(shù)()=In(1+)-+(≥0)。(Ⅰ)=2時(shí)，求曲線=()在點(diǎn)(1，(1))處的切線方程；(Ⅱ)求()的單調(diào)區(qū)間。2.已知，其中是自然常數(shù)，（Ⅰ）討論時(shí),的單調(diào)性、極值；（Ⅱ）求證：在（Ⅰ）的條件下，;例1.解（1）當(dāng)所以因此,即曲線又所以曲線（2）因?yàn)?所以,令當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，>0，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，<0，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，由，即，解得.①當(dāng)時(shí)，，恒成立，此時(shí)，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減;②當(dāng)時(shí)，，時(shí)，,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減時(shí)，<0,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減③當(dāng)時(shí)，由于,時(shí)，,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減：時(shí)，<0,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)