開辟新視野 獨創(chuàng)新解法-一元二次方程的解法探索 論文

PAGEPAGE1開辟新視野 獨創(chuàng)新解法——一元二次方程的解法探索摘要：工作實踐中總結的一元二次方程兩種解法。關鍵詞：一元二次方程的解法探索。b法,⑶公式法若a,b是任意一個實數,且b＞0,可用a＋ 來表示任意一實數。我b們平時會做到這樣的例題：已知x、y都是有理數，

3x-x+2y=

3+3,求x、y的值。解：∵

3x-x+2y=

3+33x+(-x+2y)=

3+3∴

3x=3

-x+2y=3∴x=1 y=2b解法的啟發(fā)，對任意一元二次方程:ax2＋bx＋c＝0,其根都可用a±表示(若b＜0,方程無實數根),則方程:ax2＋bx＋c＝0(a≠0)又有b了新的解法:㈠:型如(ax＋b)(cx＋d)＝m的解法:解下列一元二次方程:⑴:(x＋4)(x－1)＝6,⑵:(2x＋1)(2x－7)＝－16,b⑶:(4x＋1)(3x＋1)＝－1。解:（1）如前所分析設方程根為a＋ ,bbb則原方程就是(a＋ ＋4)(a＋ －1)＝6,bbb展開后并整理得(a2＋3a＋b)＋(2a＋3) ＝10,b等式右邊缺無理數,2a＋3＝0,且a2＋3a＋b＝10,4解得a＝－1.5,b＝49,4b∴ ＝3.5,bb其根x＝a± ＝－1.5±3.5b∴原方程的根x1＝2,x2＝－5。b（2）設方程根為a＋bbb原方程就是(2a＋1＋2 )(2a－7＋2 )＝－16,bbb展開并整理得4a2－12a＋4b＋(8a－12) ＝－9,b右邊缺無理數,8a－12＝0,解得a＝1.5,左邊有4a2－12a＋4b＝－9，又∵4×(1.5)2－12×1.5＋4b＝－9,∴b＝0,b其根x＝a± ＝1.5±0b∴原方程的解:x1＝x2＝1.5。b（3）設方程根為a＋bbb原方程改為(4a＋1＋4 )(3a＋1＋3 )＝－1,bbb24展開并整理得:12a2＋7a＋12b＋(24a＋7) ＝－2,右邊缺無理數24a＋7＝0,解得a＝－7,b24左邊有12a2＋7a＋12b＝－2又∵12(－7)2＋7(－7)＋12b＝－2,得b＜0,24 24b∴ 無意義,b∴原方程無實數根?？偨Y:形如(ax+b)(cx＋d)＝m的方程(ac≠0,a,b,c,d,m是有理b數)都可以通過設x＝a＋ ,按上面方法求解。當b＞0,方程有兩不b相等的實數根(b是完全平方數,方程有兩個有理數根);b＝0,方程有兩個相等的實數根;b＜0,方程無實數根。㈡:型如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解法:解下列一元二次方程:⑷:5x2－36x＋7＝0,⑸:3x2＋4x－2＝0,⑹:(2x2＋5x＋8＝0,⑺:4x2＋4x＋1＝0。b解：⑷設方程根為a＋bbb代入方程得5(a＋ )2－36(a＋ )＋7＝0,bbb展開并整理得5a2＋5b－36a＋(10a－36) ＝－7,b5等式右邊缺無理項10a－36＝0,解得a＝18,5左邊有5a2＋5b－36a＝－7,5∵5(185

)2＋5b－36(18

)＝－7∴b＝

2895255

, ＝±,b55±5其根x＝18 ,b55±55∴原方程的根x1＝7,x2＝1。5b（5）設方程根為a＋bbb代入方程得3(a＋ )2＋4(a＋ )＝2bbb展開并整理得(3a2＋4a＋3b)＋(6a＋4) ＝2,b,3等式右邊缺無理項6a＋4＝0,a＝－2,3左邊有3a2＋4a＋3b＝2,－－2 8

3 )2－3＋3b＝2,b∴b＝40, ＝±210,b9其根x＝

±－23±

3,210,3∴原方程的根,x1＝

－2＋2103

,x2＝

－2－210。3。b⑹:設方程根為a＋bbb代入方程得2(a＋ )2＋5(a＋ )＝－8,bbb展開并整理得(2a2＋5a＋2b)＋(4a＋5) ＝－8,b4等式右邊缺無理項4a＋5＝0,a＝－545－ 255∵2(

4 )2－4b39b39

＋2b＝－8,∴b＝

16 ＜0, 無意義,∴原方程無實數根。b⑺:設方程根為a＋bbb代入方程得4(a＋ )2＋4(a＋ )＝－1,bbb展開并整理得4(a2＋a＋b)＋4(2a＋1) ＝－1,b,2等式右邊缺無理項4(2a＋1)＝0，a＝－1,2左邊有4(a2＋a＋b)＝－1,又∵4(1－1＋b)＝－14 2∴b＝0,。2∴原方程的根x1＝x2＝－1。2bax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根為a＋ ,按上面方法求bb解,當b＞0,方程有兩不相等的實數根a± (b是完全