【湖南專版】年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)圓與圓有關(guān)的計(jì)算

§5.2與圓有關(guān)的計(jì)算中考數(shù)學(xué)

(湖南專用)A組2014—2018年湖南中考題組五年中考考點(diǎn)一弧長、扇形面積的計(jì)算1.(2017湖南湘潭,7,3分)如圖,在半徑為4的☉O中,CD是直徑,AB是弦,且CD⊥AB,垂足為點(diǎn)E,∠

AOB=90°,則陰影部分的面積是

()

A.4π-4

B.2π-4

C.4πD.2π答案

D因?yàn)镃D⊥AB,∠AOB=90°,所以∠AOC=∠BOC=45°,故S陰影=S扇形AOC=

=

=2π,故選D.思路分析

先將陰影部分合成一個(gè)扇形,再計(jì)算扇形的面積.2.(2018湖南永州,16,4分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(1,1),以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心,將點(diǎn)A逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B的位置,則?的長為

.

答案

思路分析

由點(diǎn)A(1,1),可得OA=

=

,點(diǎn)A在第一象限的角平分線上,那么∠AOB=45°,再根據(jù)弧長公式計(jì)算即可.解析∵點(diǎn)A(1,1),∴OA=

=

,點(diǎn)A在第一象限的角平分線上,∵以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心,將點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B的位置,∴∠AOB=45°,∴

的長為

=

.故答案為

.解題關(guān)鍵

本題考查了弧長公式:l=

(弧長為l,圓心角的度數(shù)為n°,圓的半徑為R),也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),求出OA=

以及∠AOB=45°是解題的關(guān)鍵.3.(2017湖南懷化,14,4分)如圖,☉O的半徑為2,點(diǎn)A,B在☉O上,∠AOB=90°,則陰影部分的面積為

.

答案

π-2解析∵∠AOB=90°,OA=OB,∴△OAB是等腰直角三角形.∵OA=2,∴S陰影=S扇形OAB-S△OAB=

-

×2×2=π-2.4.(2016湖南懷化,11,4分)已知扇形的半徑為6cm,面積為10πcm2,則該扇形的弧長等于

.答案

cm解析設(shè)扇形的弧長為lcm,∵扇形的半徑為6cm,面積為10πcm2,∴

l×6=10π,解得l=

.故答案為

cm.評析本題考查的是扇形面積的計(jì)算,熟記扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵.5.(2016湖南常德,14,3分)如圖,△ABC是☉O的內(nèi)接正三角形,☉O的半徑為3,則圖中陰影部分

的面積是

.

答案3π解析∵△ABC是☉O的內(nèi)接正三角形,∴∠ACB=60°,∴∠AOB=120°,∴S陰影=

=3π.思路分析

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及圓周角定理可得扇形所對的圓心角度數(shù),再根據(jù)扇形面

積公式計(jì)算即可.解題關(guān)鍵

關(guān)鍵是利用圓周角定理求圓心角度數(shù).6.(2016湖南岳陽,11,4分)在半徑為6cm的圓中,120°的圓心角所對的弧長為

cm.答案4π解析半徑為6cm的圓中,120°的圓心角所對的弧長為

=4π(cm).故答案為4π.7.(2015湖南益陽,12,5分)如圖,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于☉O,☉O的半徑為1,則?的長為

.

答案

解析連接OA,OB,∵六邊形ABCDEF為正六邊形,∴∠AOB=360°×

=60°,

的長為

=

.8.(2017湖南長沙,23,9分)如圖,AB與☉O相切于點(diǎn)C,OA,OB分別交☉O于點(diǎn)D,E,?=?.(1)求證:OA=OB;(2)已知AB=4

,OA=4,求陰影部分的面積.

解析(1)證明:如圖,連接OC,則OC⊥AB,

∵?=?,∴∠AOC=∠BOC.在△AOC與△BOC中,

∴△AOC≌△BOC(ASA),∴OA=OB.(2)由(1)知AC=BC=

AB=2

,在Rt△AOC中,OC=

=?=2=

OA,∴∠OAC=30°,∴∠COE=∠AOC=60°,∴S陰影=S△OBC-S扇形OCE=

×2×2

-

=2

-

π.思路分析

(1)連接OC,則OC⊥AB,然后根據(jù)等弧對等角求得∠AOC=∠BOC,再判定△AOC≌

△BOC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得證;(2)由(1)可求得AC=2

,運(yùn)用勾股定理求出OC的長,進(jìn)而求得∠COE=60°,利用S陰影=S△OBC-S扇形OCE求得結(jié)果.考點(diǎn)二圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖1.(2018湖南郴州,15,3分)如圖,圓錐的母線長為10cm,高為8cm,則該圓錐的側(cè)面展開圖(扇形)

的弧長為

cm.(結(jié)果用π表示)

答案12π解析設(shè)圓錐的底面圓半徑為r,則r=

=6cm,所以圓錐的側(cè)面展開圖的弧長=2πr=12πcm.2.(2017湖南郴州,14,3分)已知圓錐的母線長為5cm,高為4cm,則該圓錐的側(cè)面積為

cm2(結(jié)果保留π).

答案15π解析∵圓錐的高是4cm,母線長為5cm,∴根據(jù)勾股定理得圓錐的底面圓的半徑為3cm,∴圓錐的側(cè)面積=π×3×5=15πcm2.思路分析

首先利用勾股定理求得圓錐的底面圓的半徑,然后利用圓錐的側(cè)面積=π×底面圓

的半徑×母線長,把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解.解題關(guān)鍵

本題考查圓錐側(cè)面積公式的運(yùn)用,掌握公式是關(guān)鍵.3.(2017湖南永州,17,4分)如圖,這是某同學(xué)用紙板做成的一個(gè)底面直徑為10cm,高為12cm的

無底圓錐形玩具(接縫忽略不計(jì)),則做這個(gè)玩具所需紙板的面積是

cm2(結(jié)果保留π).

答案65π解析根據(jù)勾股定理可得PB=

=13.做這個(gè)玩具所需紙板的面積等于展開后扇形的面積,故面積S=

×10π×13=65πcm2.4.(2016湖南衡陽,17,3分)若圓錐底面圓的周長為8π,側(cè)面展開圖的圓心角為90°,則該圓錐的母

線長為

.答案16解析圓錐底面圓的周長相當(dāng)于側(cè)面展開所得扇形的弧長,圓錐的母線長相當(dāng)于側(cè)面展開所

得扇形的半徑,設(shè)圓錐的母線長為R,根據(jù)弧長公式可得

=8π,所以R=16,即圓錐的母線長為16.5.(2015湖南常德,13,3分)一個(gè)圓錐的底面半徑為1厘米,母線長為2厘米,則該圓錐的側(cè)面積是

厘米2(結(jié)果保留π).答案2π解析該圓錐的側(cè)面積是S側(cè)=

×2π×1×2=2π(厘米2).B組2014—2018年全國中考題組考點(diǎn)一弧長、扇形面積的計(jì)算1.(2018四川成都,9,3分)如圖,在?ABCD中,∠B=60°,☉C的半徑為3,則圖中陰影部分的面積是

()

A.πB.2πC.3πD.6π答案

C在?ABCD中,∠B=60°,∴∠C=120°.∵☉C的半徑為3,∴S陰影=

=3π.故選C.2.(2017甘肅蘭州,12,4分)如圖,正方形ABCD內(nèi)接于半徑為2的☉O,則圖中陰影部分的面積為

(

)

A.π+1

B.π+2 C.π-1

D.π-2答案

D連接AC,OD,則AC=4,所以正方形ABCD的邊長為2

,所以正方形ABCD的面積為8,由題意可知,☉O的面積為4π,根據(jù)圖形的對稱性,知S陰影=S扇形OAD-S△OAD=π-2,故選D.思路分析

把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化成一個(gè)扇形的面積減去一個(gè)三角形的面積進(jìn)行解答.方法規(guī)律

求陰影部分的面積,特別是不規(guī)則幾何圖形的面積時(shí),常通過平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ)等

方法,把不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的和或差來求解.3.(2017山東萊蕪,8,3分)如圖,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,BC=2,將Rt△ABC繞A點(diǎn)順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△ADE,則BC邊掃過的面積為

()

A.

B.(2-

)πC.

πD.π答案

D在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,BC=2,∴AC=2

,AB=4,∵將Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△ADE,∴△ABC的面積等于△ADE的面積,∠CAB=∠DAE,AE=AC=2

,AD=AB=4,∴∠CAE=∠DAB=90°,∴陰影部分的面積S=S扇形BAD+S△ABC-S扇形CAE-S△ADE=

+

×2×2

-

-

×2×2

=π.故選D.4.(2014四川成都,10,3分)在圓心角為120°的扇形AOB中,半徑OA=6cm,則扇形AOB的面積是

()A.6πcm2

B.8πcm2C.12πcm2

D.24πcm2

答案

C扇形AOB的面積S=

=

=12π(cm2),故選C.5.(2017安徽,13,5分)如圖,已知等邊△ABC的邊長為6,以AB為直徑的☉O與邊AC,BC分別交于

D,E兩點(diǎn),則劣弧?的長為

.

答案

π解析連接OD,OE,因?yàn)樵诘冗吶切蜛BC中,∠A=∠B=60°,又OA=OB=OE=OD=3,所以△

OBE,△ODA都是等邊三角形,所以∠AOD=∠BOE=60°,所以∠DOE=60°,所以劣弧?的長為

=π.思路分析

連接OD,OE,由三角形ABC是等邊三角形可推出△OBE,△ODA都是等邊三角形,從

而可求∠DOE的度數(shù),再由弧長公式求解即可.解題關(guān)鍵

作出輔助線OD,OE是解決本題的關(guān)鍵.6.(2014貴州貴陽,23,10分)如圖,PA,PB分別與☉O相切于點(diǎn)A,B,∠APB=60°,連接AO,BO.(1)?所對的圓心角∠AOB=

度;(2)求證:PA=PB;(3)若OA=3,求陰影部分的面積.

解析(1)120.

(3分)(2)證明:連接OP,∵PA,PB分別切☉O于點(diǎn)A,B,

∴∠OAP=∠OBP=90°.∵OA=OB,OP=OP,∴Rt△OAP≌Rt△OBP,∴PA=PB.

(6分)(3)由(2)知Rt△OAP≌Rt△OBP,則∠OPA=∠OPB=

∠APB=30°.在Rt△OAP中,OA=3,∴AP=3

,∴S△OPA=

×3×3

=

,

(8分)∴S陰影=2×

-

=9

-3π.

(10分)考點(diǎn)二圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖1.(2017四川綿陽,8,3分)“趕陀螺”是一項(xiàng)深受人們喜愛的運(yùn)動(dòng),如圖所示是一個(gè)陀螺的立體

結(jié)構(gòu)圖.已知底面圓的直徑AB=8cm,圓柱體部分的高BC=6cm,圓錐體部分的高CD=3cm,則這

個(gè)陀螺的表面積是

()

A.68πcm2

B.74πcm2C.84πcm2

D.100πcm2

答案

C由陀螺的立體結(jié)構(gòu)圖可知,陀螺的表面積由底面圓面積、圓柱側(cè)面積和圓錐側(cè)面

積組成.底面圓的半徑r=4cm,底面圓的周長為2πr=8πcm,圓錐的母線長為

=5cm,所以陀螺的表面積為π×42+8π×6+

×8π×5=84πcm2,故選C.2.(2015山東威海,8,3分)若用一張直徑為20cm的半圓形鐵片做一個(gè)圓錐的側(cè)面,接縫忽略不

計(jì),則所得圓錐的高為

()A.5

cmB.5

cmC.

cmD.10cm答案

A設(shè)圓錐底面圓的半徑為rcm,依題意,得

×20π=2πr,解得r=5,則所得圓錐的高為

=5

cm.故選A.3.(2018新疆烏魯木齊,14,4分)將半徑為12,圓心角為120°的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面,則此圓

錐的底面圓的半徑為

.答案4解析由弧長公式得l=

=8π,設(shè)底面圓的半徑為r,則2πr=8π,解得r=4.思路分析

先求出扇形的弧長,這個(gè)弧長就是底面圓的周長,再由圓的周長公式求出半徑即可.4.(2017遼寧鞍山,13,3分)若一個(gè)圓錐的底面圓半徑為1cm,其側(cè)面展開圖的圓心角為120°,則圓

錐的母線長為

cm.答案3解析設(shè)圓錐的母線長為lcm,則

=2π×1,解得l=3.故答案為3.5.(2014江蘇鎮(zhèn)江,9,2分)已知圓錐的底面半徑為3,母線長為8,則圓錐的側(cè)面積等于

.答案24π解析

S側(cè)面積=

×2π×3×8=24π.評析圓錐側(cè)面展開圖的弧長是圓錐的底面周長,半徑是圓錐的母線長,屬容易題.C組教師專用題組考點(diǎn)一弧長、扇形面積的計(jì)算1.(2018遼寧沈陽,10,2分)如圖,正方形ABCD內(nèi)接于☉O,AB=2

,則?的長是

()

A.πB.

πC.2πD.

π答案

A連接AC、BD交于點(diǎn)O',∵四邊形ABCD是正方形,∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°,∴AC、BD是直徑,∴點(diǎn)O'與點(diǎn)O重合,∴∠AOB=90°,AO=BO,∵AB=2

,∴AO=2,∴

的長為

=π.思路分析

由正方形的性質(zhì)可得,∠AOB=90°,又AO=BO,由勾股定理可得圓的半徑,將所得到

的結(jié)果代入弧長公式即可.方法總結(jié)

求弧長一般需要兩個(gè)條件,一個(gè)是圓心角度數(shù),一個(gè)是圓半徑.常用連接半徑的方

法,構(gòu)造等腰三角形,或加上弦心距,構(gòu)造直角三角形求解.2.(2017廣西南寧,9,3分)如圖,☉O是△ABC的外接圓,BC=2,∠BAC=30°,則劣弧?的長等于

()

A.

B.

C.

D.

答案

A連接OB、OC,∵∠BAC=30°,∴∠BOC=2∠BAC=2×30°=60°,又∵OB=OC,∴△BOC是等邊三角形,∴OB=OC=BC=2,∴l(xiāng)

=

=

.3.(2017內(nèi)蒙古包頭,9,3分)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=45°,以AB為直徑的☉O交BC于

點(diǎn)D.若BC=4

,則圖中陰影部分的面積為

()

A.π+1

B.π+2

C.2π+2

D.4π+1答案

B連接AD,OD,∵AB是直徑,AB=AC,∴AD⊥BC,BD=CD,∴OD是△ABC的中位線,易知

∠CAB=90°,由BC=4

可得AB=AC=4,∴OB=2.∴S陰影=S△OBD+S扇形OAD=

×2×2+

π×22=2+π.思路分析

先將陰影部分分割成一個(gè)三角形和一個(gè)扇形,再分別計(jì)算這兩個(gè)圖形的面積并求

和.4.(2014江蘇揚(yáng)州,6,3分)如圖,已知正方形的邊長為1,若圓與正方形的四條邊都相切,則陰影部

分的面積與下列各數(shù)最接近的是

()

A.0.1

B.0.2

C.0.3

D.0.4答案

B陰影部分的面積=正方形的面積-圓的面積=12-

π≈0.2.故選B.5.(2018廣東,15,4分)如圖,矩形ABCD中,BC=4,CD=2,以AD為直徑的半圓O與BC相切于點(diǎn)E,連

接BD,則陰影部分的面積為

.(結(jié)果保留π)

答案

π解析連接OE.陰影部分的面積=S△BCD-(S正方形OECD-S扇形OED)=

×2×4-

=π.一題多解

如圖,連接OE,交BD于點(diǎn)H,則S△BEH=S△OHD,所以陰影部分的面積=S扇形OED=

π×22=π.

6.(2018新疆,12,5分)如圖,△ABC是☉O的內(nèi)接正三角形,☉O的半徑為2,則圖中陰影部分的面

積是

.

答案

π解析由題意得∠BAC=60°,∴∠BOC=120°,∴S陰影=

×22π=

π.7.(2018山東濰坊,17,3分)如圖,點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(2,0),過點(diǎn)A1作x軸的垂線交直線l:y=

x于點(diǎn)B1,以原點(diǎn)O為圓心,OB1的長為半徑畫弧交x軸正半軸于點(diǎn)A2;再過點(diǎn)A2作x軸的垂線交直線l于點(diǎn)B2,

以原點(diǎn)O為圓心,以O(shè)B2的長為半徑畫弧交x軸正半軸于點(diǎn)A3;…….按此作法進(jìn)行下去,則

的長是

.

答案

π解析把x=2代入y=

x可得y=2

,則tan∠A1OB1=

=

,∴∠A1OB1=60°.由OA1=2,得OB1=2OA1=4,故OA2=4,同理可得OA3=8,以此類推,可得OA2019=22019,∴?的長=

=

π.思路分析

根據(jù)題意求出直線與x軸夾角的度數(shù),結(jié)合OA1,OA2,OA3的長度得出OA2019的長度,即

所在扇形的半徑,利用弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可.8.(2018重慶,14,4分)如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,以點(diǎn)A為圓心,AD長為半徑畫弧,交AB于

點(diǎn)E,圖中陰影部分的面積是

(結(jié)果保留π).

答案6-π解析

S陰影=S矩形ABCD-S扇形ADE=2×3-

=6-π.方法總結(jié)

求不規(guī)則圖形的面積時(shí),最基本的思想就是轉(zhuǎn)化思想,即把所求的不規(guī)則圖形的面

積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積.9.(2018云南昆明,6,3分)如圖,正六邊形ABCDEF的邊長為1,以點(diǎn)A為圓心,AB的長為半徑,作扇

形ABF,則圖中陰影部分的面積為

(結(jié)果保留根號和π).

答案

-

解析

S陰影=S正六邊形ABCDEF-S扇形ABF=6×

×12-

=

-

.思路分析

分別求出正六邊形ABCDEF的面積和扇形ABF的面積,求這兩個(gè)面積的差即可得

出結(jié)果.解后反思

在正六邊形ABCDEF中可作出6個(gè)等邊三角形,每個(gè)等邊三角形的面積為

=

,進(jìn)而得到正六邊形ABCDEF的面積為

.10.(2017湖北恩施,15,3分)如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=30°,以直角邊AB為直徑作半圓交AC于

點(diǎn)D,以AD為邊作等邊△ADE,延長ED交BC于點(diǎn)F,BC=2

,則圖中陰影部分的面積為

.(結(jié)果不取近似值)

答案3

-

π解析如圖所示,設(shè)半圓的圓心為O,連接DO,過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G,作DN⊥CB于點(diǎn)N,∵在Rt△ABC中,∠BAC=30°,∴∠ACB=60°,∠ABC=90°,∵△ADE為等邊三角形,∴∠EAD=60°,∴∠EAB=60°+30°=90°,∴AE∥BC,則△ADE∽△CDF,∴△CDF是等邊三角形,∵在Rt△ABC中,∠BAC=30°,BC=2

,∴AC=4

,AB=6,∠DOG=60°,則AO=BO=3,故DG=DO·sin60°=

,則AD=3

,所以DC=AC-AD=

,故DN=DC·sin60°=

×

=

,則S陰影=S△ABC-S△AOD-S扇形DOB-S△DCF=

×2

×6-

×3×

-

-

×

×

=3

-

π.11.(2016黑龍江大慶,17,3分)如圖,在矩形ABCD中,AB=5,BC=10

,一圓弧過點(diǎn)B和點(diǎn)C,且與AD相切,則圖中陰影部分的面積為

.

答案75

-

解析設(shè)圓弧的圓心為O,與AD切于點(diǎn)E,連接OE,交BC于F,連接OB、OC,設(shè)圓O的半徑為x,則OF=x-5,由勾股定理得,OB2=OF2+BF2,即x2=(x-5)2+(5

)2,解得x=10,則∠BOF=60°,∠BOC=120°,則陰影部分的面積=矩形ABCD的面積-(扇形BOCE的面積-△BOC的面積)=10

×5-

+

×10

×5=75

-

.12.(2015浙江溫州,13,5分)已知扇形的圓心角為120°,弧長為2π,則它的半徑為

.答案3解析由弧長公式得

=2π,解得r=3.13.(2015重慶,16,4分)如圖,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AB=4

.以A為圓心,AC長為半徑作弧,交AB于點(diǎn)D,則圖中陰影部分的面積是

.(結(jié)果保留π)

答案8-2π解析在Rt△ABC中,BC=AC=AB·cos45°=4,所以陰影部分的面積為

×4×4-

=8-2π.14.(2015貴州遵義,18,4分)如圖,在圓心角為90°的扇形OAB中,半徑OA=2cm,C為?的中點(diǎn),D、E分別是OA、OB的中點(diǎn),則圖中陰影部分的面積為

cm2.

答案

-

+

解析連接OC,作CF⊥AO于點(diǎn)F,記AD、DC與?圍成的圖形的面積為S.

∵C為?的中點(diǎn),D、E分別為OA、OB的中點(diǎn),∴∠AOC=

∠AOB=45°,OD=OE=

OA=1cm.∴CF=OF=

cm.∴S=S扇形AOC-S△COD=

-

×OD·CF=

-

×1×

=

cm2.∴S陰影=S扇形AOB-S-S△DOE=

-

-

×1×1=

cm2.15.(2014重慶,16,4分)如圖,△OAB中,OA=OB=4,∠A=30°,AB與☉O相切于點(diǎn)C,則圖中陰影部分

的面積為

.(結(jié)果保留π)

答案4

-

π解析設(shè)OA,OB分別與☉O交于D,E兩點(diǎn),∵AB與☉O相切于點(diǎn)C,∴OC⊥AB.∵OA=OB=4,∠A=30°,∴∠B=∠A=30°,OC=2.∴∠AOB=120°,AB=4

.則題圖中陰影部分的面積=S△AOB-S扇形ODE=

×4

×2-

=4

-

π.16.(2017湖南張家界,21)在等腰△ABC中,AC=BC,以BC為直徑的☉O分別與AB,AC相交于點(diǎn)D,

E,過點(diǎn)D作DF⊥AC,垂足為點(diǎn)F.(1)求證:DF是☉O的切線;(2)分別延長CB,FD,相交于點(diǎn)G,∠A=60°,☉O的半徑為6,求陰影部分的面積.

解析(1)證明:連接OD,如圖所示.

∵AC=BC,OB=OD,∴∠ABC=∠A,∠ABC=∠ODB,∴∠A=∠ODB,∴OD∥AC,∵DF⊥AC,∴DF⊥OD,∵OD是☉O的半徑,∴DF是☉O的切線.(2)∵AC=BC,∠A=60°,∴△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=60°,∵OD=OB,∴△OBD是等邊三角形,∴∠BOD=60°,∵DF⊥OD,∴∠ODG=90°,∴∠G=30°,∴OG=2OD=2×6=12,∴DG=

OD=6

,∴陰影部分的面積=△ODG面積-扇形OBD的面積=

×6×6

-

=18

-6π.思路分析

(1)連接OD,由等腰三角形的性質(zhì)證出∠A=∠ODB,得出OD∥AC,證出DF⊥OD,即

可得出結(jié)論;(2)證明△OBD是等邊三角形,由等邊三角形的性質(zhì)得出∠BOD=60°,求出∠G=30°,由直角三角

形的性質(zhì)得出OG=2OD=2×6=12,由勾股定理得出DG的長,陰影部分的面積=△ODG的面積-扇

形OBD的面積,即可得出答案.17.(2017山東濰坊,22,8分)如圖,AB為半圓O的直徑,AC是☉O的一條弦,D為?的中點(diǎn),作DE⊥AC,交AB的延長線于點(diǎn)F,連接DA.(1)求證:EF為半圓O的切線;(2)若DA=DF=6

,求陰影區(qū)域的面積.(結(jié)果保留根號和π)

解析(1)證明:連接OD,∵D為?的中點(diǎn),∴∠CAD=∠BAD,∵OA=OD,∴∠BAD=∠ADO,∴∠CAD=∠ADO.

(2分)∵DE⊥AC,∴∠E=90°,∴∠CAD+∠EDA=90°,∴∠ADO+∠EDA=90°,即OD⊥EF,

(3分)又∵OD為半圓O的半徑,∴EF為半圓O的切線.

(4分)(2)連接OC,CD.

∵DA=DF,∴∠BAD=∠F,∴∠F=∠BAD=∠CAD,又∵∠BAD+∠CAD+∠F=90°,∴∠F=30°,∠BAC=60°,

(5分)∵OC=OA,∴△AOC為等邊三角形,∴∠AOC=60°,∴∠COB=120°.∵OD⊥EF,∠F=30°,∴∠DOF=60°.在Rt△ODF中,DF=6

,∴OD=DF·tan30°=6.

(6分)在Rt△AED中,DA=6

,∠CAD=30°,∴DE=DA·sin30°=3

,EA=DA·cos30°=9.

(7分)∵∠COD=180°-∠AOC-∠DOF=60°,OC=OD,∴△COD為等邊三角形,∴∠OCD=60°,∴CD∥AB,∴S△ACD=S△COD,∴S陰影=S△AED-S扇形COD=

×9×3

-

×π×62=

-6π.

(8分)思路分析

(1)直接利用切線的判定方法證明即可;(2)易得S△ACD=S△COD,再利用S陰影=S△AED-S扇形COD

求出答案.18.(2017貴州貴陽,22,10分)如圖,C,D是半圓O上的三等分點(diǎn),直徑AB=4,連接AD,AC,DE⊥AB,垂

足為E,DE交AC于點(diǎn)F.(1)求∠AFE的度數(shù);(2)求陰影部分的面積.(結(jié)果保留π和根號).

解析(1)如圖,連接OD,OC,∵C,D是半圓O的三等分點(diǎn),∴

=?=?,∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°,∴∠CAB=30°,∵DE⊥AB,∴∠AEF=90°,∴∠AFE=90°-30°=60°.

(5分)(2)由(1)可知,∠AOD=60°,∵OA=OD,AB=4,∴△AOD為等邊三角形,OA=2,∵DE⊥AO,∴DE為△AOD的高,且DE=

,∴S陰影=S扇形AOD-S△AOD=

-

×2×

=

π-

.

(10分)思路分析

(1)先根據(jù)C、D為半圓的三等分點(diǎn),求出∠CAB=30°,進(jìn)而求出結(jié)果;(2)根據(jù)已知條

件得出△AOD為等邊三角形,進(jìn)而求出扇形AOD和等邊三角形AOD的面積即可求出陰影部分

的面積.19.(2015四川綿陽,22,11分)如圖,O是△ABC的內(nèi)心,BO的延長線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D,

連接DC、DA、OA、OC,四邊形OADC為平行四邊形.(1)求證:△BOC≌△CDA;(2)若AB=2,求陰影部分的面積.

解析

(1)證明:∵O為△ABC的內(nèi)心,

∴∠2=∠3,∠5=∠6,∵∠1=∠2,∴∠1=∠3,

(3分)∵四邊形OADC為平行四邊形,∴AD

CO,∴∠4=∠5,∴∠4=∠6,∴△BOC≌△CDA(AAS).

(6分)(2)由(1)得BC=AC,∠3=∠4=∠6,∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,∴△ABC為等邊三角形,

(8分)∴△ABC的內(nèi)心O也是外心,∴OA=OB=OC.設(shè)E為BD與AC的交點(diǎn),則BE垂直平分AC.在Rt△OCE中,CE=

AC=

AB=1,∠OCE=30°,∴OA=OB=OC=

,易知∠AOB=120°,∴S陰影=S扇形AOB-S△AOB=

×

-

×2×

=

.

(11分)20.(2015甘肅蘭州,27,10分)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線AD交BC邊于點(diǎn)D,以

AB上一點(diǎn)O為圓心作☉O,使☉O經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)D.(1)判斷直線BC與☉O的位置關(guān)系,并說明理由;(2)若AC=3,∠B=30°.①求☉O的半徑;②設(shè)☉O與AB邊的另一個(gè)交點(diǎn)為E,求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的陰影部分的面積.(結(jié)果

保留根號和π)

解析

(1)相切.理由如下:如圖,連接OD,∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2,∵OA=OD,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴OD∥AC.又∠C=90°,∴OD⊥BC,∴BC與☉O相切.

(2)①∵AC=3,∠B=30°,∴AB=6.設(shè)OA=OD=r,∴OB=2r.∴2r+r=6,解得r=2,即☉O的半徑是2.②由①得OD=2,OB=4,∴BD=2

.S陰影=

×2

×2-

=2

-

.考點(diǎn)二圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖1.(2017寧夏,8,3分)圓錐的底面半徑r=3,高h(yuǎn)=4,則圓錐的側(cè)面積是

()

A.12πB.15πC.24πD.30π答案

B由勾股定理得:母線l=

=

=5,∴S側(cè)=

·2πr·l=πrl=π×3×5=15π.故選B.思路分析

先求圓錐的母線,再根據(jù)公式求圓錐的側(cè)面積.解題關(guān)鍵

本題考查了圓錐的計(jì)算,熟練掌握圓錐的母線和側(cè)面積公式是關(guān)鍵.2.(2017貴州遵義,8,3分)已知圓錐的底面積為9πcm2,母線長為6cm,則圓錐的側(cè)面積是

()A.18πcm2

B.27πcm2C.18cm2

D.27cm2

答案

A設(shè)圓錐的底面半徑為r,則πr2=9π,∴r=3cm,∴圓錐的底面周長為2πr=6πcm,∴圓錐

的側(cè)面積為

×6π×6=18πcm2.3.(2017云南,13,3分)正如我們小學(xué)學(xué)過的圓錐體積公式V=

πr2h(π表示圓周率,r表示圓錐的底面半徑,h表示圓錐的高)一樣,許多幾何量的計(jì)算都要用到π.祖沖之是世界上第一個(gè)把π計(jì)算到

小數(shù)點(diǎn)后第7位的中國古代科學(xué)家,創(chuàng)造了當(dāng)時(shí)世界上的最高水平,差不多過了1000年,才有人

把π計(jì)算得更精確.在輝煌成就的背后,我們來看看祖沖之付出了多少.現(xiàn)在的研究表明,僅僅就

計(jì)算來講,他至少要對9位數(shù)字反復(fù)進(jìn)行130次以上的各種運(yùn)算,包括開方在內(nèi).即使今天我們用

紙筆來算,也絕不是一件輕松的事情,何況那時(shí)候沒有現(xiàn)在的紙筆,數(shù)學(xué)計(jì)算不是用現(xiàn)在的阿拉

伯?dāng)?shù)字,而是用算籌(小竹棍或小竹片)進(jìn)行的,這需要怎樣的細(xì)心和毅力啊!他這種嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的

態(tài)度,不怕復(fù)雜計(jì)算的毅力,值得我們學(xué)習(xí).下面我們就來通過計(jì)算解決問題:已知圓錐的側(cè)面展開圖是個(gè)半圓,若該圓錐的體積等于9

π,則這個(gè)圓錐的高等于

()A.5

πB.5

C.3

πD.3

答案

D設(shè)圓錐的母線長為R,底面半徑為r,高為h,∵圓錐的側(cè)面展開圖是個(gè)半圓,∴

=2πr,∴R=2r,由勾股定理可得h=

r,∵圓錐的體積等于9

π,∴

πr2h=9

π,解得r=3,∴h=3

,故選D.4.(2017浙江杭州,8,3分)如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=1.把△ABC分別繞直線AB和

BC旋轉(zhuǎn)一周,所得幾何體的底面圓的周長分別記作l1,l2,側(cè)面積分別記作S1,S2,則

()

A.l1∶l2=1∶2,S1∶S2=1∶2B.l1∶l2=1∶4,S1∶S2=1∶2C.l1∶l2=1∶2,S1∶S2=1∶4D.l1∶l2=1∶4,S1∶S2=1∶4答案

A由題意可得l1∶l2=r1∶r2=1∶2,S1∶S2=r1∶r2=1∶2,此題選A.思路分析

根據(jù)圓的周長公式(C=2πr)和圓錐的側(cè)面積公式(S=πrl)可知l1∶l2=r1∶r2,S1∶S2=r

1∶r2,進(jìn)而得到比值.5.(2016江蘇無錫,7,3分)已知圓錐的底面半徑為4cm,母線長為6cm,則它的側(cè)面展開圖的面積

等于

()A.24cm2

B.48cm2

C.24πcm2

D.12πcm2

答案

C圓錐的底面半徑為4cm,則底面周長=8πcm,故側(cè)面展開圖的面積=

×8π×6=24π(cm2).故選C.思路分析

根據(jù)圓錐的側(cè)面積=

×底面圓的周長×母線長即可求解.6.(2015浙江寧波,9,4分)如圖,用一個(gè)半徑為30cm,面積為300πcm2的扇形鐵皮,制作一個(gè)無底

的圓錐(不計(jì)損耗),則圓錐的底面半徑r為

()

A.5cmB.10cmC.20cmD.5πcm答案

B∵扇形的半徑為30cm,面積為300πcm2,∴扇形的圓心角的度數(shù)為

=120°.∴扇形的弧長為

=20π(cm).∵圓錐的底面周長等于它的側(cè)面展開圖的弧長,∴2πr=20π,∴r=10cm.故選B.7.(2014浙江紹興,7,4分)如圖,圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3,圓心角為90°的扇形,則該圓錐的底

面周長為

()

A.

πB.

πC.

D.

答案

B∵圓錐底面周長等于扇形的弧長,∴底面周長=

×2π×3=

π,故選B.8.(2018黑龍江齊齊哈爾,12,3分)已知圓錐的底面半徑為20,側(cè)面積為400π,則這個(gè)圓錐的母線

長為

.答案20解析側(cè)面展開圖的弧長就是圓錐底面的周長,即40π,設(shè)圓錐的母線長為l,則

l·40π=400π,∴l(xiāng)=

=20.(注意:該題數(shù)據(jù)不嚴(yán)謹(jǐn),母線長要大于底面半徑才行)9.(2015湖南郴州,10,3分)已知圓錐的底面半徑是1cm,母線長為3cm,則該圓錐的側(cè)面積為

cm2.答案3π解析該圓錐的側(cè)面積為

×2π×1×3=3πcm2.10.(2015內(nèi)蒙古呼和浩特,14,3分)一個(gè)圓錐的側(cè)面積為8π,母線長為4,則這個(gè)圓錐的全面積為

.答案12π解析設(shè)圓錐的底面半徑為r,根據(jù)題意得

×2πr×4=8π,解得r=2,則圓錐的底面積是4π,故其全面積是12π.11.(2014江蘇南京,14,2分)如圖,沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平,得到一個(gè)扇形.若圓錐的底

面圓的半徑r=2cm,扇形的圓心角θ=120°,則該圓錐的母線長l為

cm.

答案6解析由題意得2π×2=

πl(wèi),故l=6cm.A組2016—2018年模擬·基礎(chǔ)題組考點(diǎn)一弧長、扇形面積的計(jì)算三年模擬1.(2018湖南郴州模擬,11)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,將Rt△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)30°后得到△ADE,則圖中陰影部分的面積為

()

A.

πB.

πC.

πD.

π答案

D在Rt△ABC中,∵AC=4,BC=3,∴AB=AD=

=5,由題意知∠EAC=∠DAB=30°,∴S陰影=S扇形ADB+S△ABC-S△AED=S扇形ABD=

=

π,故選D.2.(2018湖南衡陽模擬,17)圓心角為120°,半徑為6cm的扇形的弧長是

cm.答案4π解析由題意得n=120°,R=6cm,故扇形弧長l=

=4πcm.3.(2018湖南永州模擬,18)如圖,在矩形ABCD中,CD=2,以點(diǎn)C為圓心,CD長為半徑畫弧,交AB邊

于點(diǎn)E,且E為AB的中點(diǎn),則圖中陰影部分的面積為

.

答案

-

解析由題意可知AB=CD=2,∵E為AB的中點(diǎn),∴EB=

AB=1,∴∠ECB=30°,∴∠DCE=60°,∴扇形CDE的面積為

=

,在Rt△BCE中,由勾股定理可知BC=

,∴AD=

,梯形EADC的面積為

(AE+CD)·AD=

=

,∴陰影部分的面積為

-

.4.(2018湖南張家界模擬,17)如圖,在扇形AOB中,AC為弦,∠AOB=130°,∠CAO=60°,OA=6,則?的長為

.

答案

π解析連接OC,如圖,∵OA=OC,∴∠OCA=∠CAO=60°,∴∠AOC=60°,∴∠BOC=130°-60°=70

°,∴

的長=

=

π.故答案為

π.考點(diǎn)二圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖1.(2016湖南永州二模,16)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,將△ABC繞邊AC所在直線旋轉(zhuǎn)

一周得到圓錐,則該圓錐的側(cè)面積是

()A.25πB.65πC.90πD.130π答案

B在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,∴AB=

=13,∴母線長l=13,∴圓錐的側(cè)面積S=πl(wèi)r=π×13×5=65π.故選B.2.(2016湖南株洲一模,7)如圖,圓錐的母線長為5cm,高線長為4cm,則圓錐的底面積是

()

A.3πcm2

B.9πcm2

C.16πcm2

D.25πcm2

答案

B根據(jù)勾股定理求得圓錐的底面圓的半徑=3cm,所以圓錐的底面積=π·32=9π(cm2).故選B.3.(2018湖南長沙四模,15)若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為12cm的半圓,則這個(gè)圓錐的底面

圓半徑是

cm.答案6解析設(shè)該圓錐的底面圓半徑為rcm,根據(jù)題意得2πr=π·12,解得r=6.故答案為6.4.(2017湖南長沙二模,16)打陀螺是一項(xiàng)古老的中國民間娛樂活動(dòng),在云南的少數(shù)民族地區(qū)開

展廣泛,特別是在思茅地區(qū)有著悠久的歷史傳統(tǒng),在思茅地區(qū)又以景谷縣陀螺運(yùn)動(dòng)開展得最好,

有著“陀螺之鄉(xiāng)”的稱號.已知木質(zhì)陀螺的外觀為圓錐形,測得該圓錐的母線長為6cm,底面圓

的半徑為3cm,則該圓錐的全面積為

cm2.答案27π解析這個(gè)圓錐的全面積=π×32+

×2π×3×6=27π(cm2).5.(2016湖南湘潭四模,13)用一個(gè)圓心角為90°、半徑為32cm的扇形作為一個(gè)圓錐的側(cè)面(接

縫處不重疊),則這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為

cm.答案8解析∵

=16πcm,圓錐的底面圓周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長,∴圓錐的底面圓周長是16πcm,設(shè)圓錐的底面圓的半徑是rcm,則2πr=16π,解得r=8.一、選擇題(每小題3分,共6分)B組2016—2018年模擬·提升題組(時(shí)間:30分鐘分值:40分)1.(2018湖南岳陽模擬,10)如圖,一個(gè)半徑為1的☉O1經(jīng)過一個(gè)半徑為

的☉O的圓心,則圖中陰影部分的面積為

()

A.1

B.

C.

D.

答案

A如圖,☉O的半徑為

,☉O1的半徑為1,點(diǎn)O在☉O1上,連接OA,OB,OO1,AB,∵OA=

,O1A=O1O=1,(

)2=12+12,∴OA2=O1A2+O1O2,∴△OO1A為直角三角形,∴∠AOO1=45°,同理可得∠BOO1=45°,∴∠AOB=90°,∴AB為☉O1的直徑,∴S陰影部分=S半圓AB-S弓形AB=S半圓AB-(S扇形OAB-S△OAB)=S半

圓AB-S扇形OAB+S△OAB=

π×12-

+

×

×

=1.故選A.

2.(2016湖南長沙模擬,18)如圖,AB為☉O的切線,切點(diǎn)為B,連接AO,AO與☉O交于點(diǎn)C,BD為☉O

的直徑,連接CD.若∠A=30°,☉O的半徑為2,則圖中陰影部分的面積為

()

A.

-

B.

-2

C.π-

D.

-

答案

A如圖,過O點(diǎn)作OE⊥CD于E,∵AB為☉O的切線,∴∠ABO=90°,∵∠A=30°,∴∠AOB

=60°,∴∠COD=120°,∠OCD=∠ODC=30°,∵☉O的半徑為2,∴OE=1,CE=DE=

,∴CD=2

,∴圖中陰影部分的面積為

-

×1×2

=

-

.故選A.

二、填空題(每小題4分,共8分)3.(2017湖南長沙一模,17)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,將Rt△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)30°后得到Rt△ADE,點(diǎn)B經(jīng)過的路徑為?,則圖中陰影部分的面積是

.

答案