江蘇省常州市中考數(shù)學(xué)試題及解析

第5頁（共31頁）2015年江蘇省常州市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題2分，共16分）1．（2分）（2015?潛江）﹣3的絕對(duì)值是（）A．3B．﹣3C．D．2．（2分）（2015?常州）要使分式有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞2B．x＜2C．x≠﹣2D．x≠23．（2分）（2015?常州）下列“慢行通過，注意危險(xiǎn)，禁止行人通行，禁止非機(jī)動(dòng)車通行”四個(gè)交通標(biāo)志圖（黑白陰影圖片）中為軸對(duì)稱圖形的是（）A．B．C．D．4．（2分）（2015?常州）如圖，BC⊥AE于點(diǎn)C，CD∥AB，∠B=40°，則∠ECD的度數(shù)是（）A．70°B．60°C．50°D．40°5．（2分）（2015?常州）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，則下列說法一定正確的是（）A．AO=ODB．AO⊥ODC．AO=OCD．AO⊥AB6．（2分）（2015?常州）已知a=，b=，c=，則下列大小關(guān)系正確的是（）A．a(chǎn)＞b＞cB．c＞b＞aC．b＞a＞cD．a(chǎn)＞c＞b7．（2分）（2015?常州）已知二次函數(shù)y=x2+（m﹣1）x+1，當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大，而m的取值范圍是（）A．m=﹣1B．m=3C．m≤﹣1D．m≥﹣18．（2分）（2015?常州）將一張寬為4cm的長方形紙片（足夠長）折疊成如圖所示圖形，重疊部分是一個(gè)三角形，則這個(gè)三角形面積的最小值是（）A．cm2B．8cm2C．cm2D．16cm2二、填空題（每小題2分，共20分）9．（2分）（2015?常州）計(jì)算（π﹣1）0+2﹣1=．10．（2分）（2015?常州）太陽半徑約為696000千米，數(shù)字696000用科學(xué)記數(shù)法表示為．11．（2分）（2015?常州）分解因式：2x2﹣2y2=．12．（2分）（2015?常州）已知扇形的圓心角為120°，弧長為6π，則扇形的面積是．13．（2分）（2015?常州）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，則BC的長是．14．（2分）（2015?常州）已知x=2是關(guān)于x的方程a（x+1）=a+x的解，則a的值是．15．（2分）（2015?常州）二次函數(shù)y=﹣x2+2x﹣3圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．16．（2分）（2015?常州）如圖是根據(jù)某公園的平面示意圖建立的平面直角坐標(biāo)系，公園的入口位于坐標(biāo)原點(diǎn)O，古塔位于點(diǎn)A（400，300），從古塔出發(fā)沿射線OA方向前行300m27．（10分）（2015?常州）如圖，一次函數(shù)y=﹣x+4的圖象與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，過點(diǎn)A作x軸的垂線l，點(diǎn)P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線AB與△OAP外接圓的交點(diǎn)，點(diǎn)P、Q與點(diǎn)A都不重合．（1）寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)P使得△OQB與△APQ全等？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．（3）若點(diǎn)M在直線l上，且∠POM=90°，記△OAP外接圓和△OAM外接圓的面積分別是S1、S2，求的值．28．（10分）（2015?常州）如圖，反比例函數(shù)y=的圖象與一次函數(shù)y=x的圖象交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是4．點(diǎn)P是第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，且在直線AB的上方．（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，4），直接寫出k的值和△PAB的面積；（2）設(shè)直線PA、PB與x軸分別交于點(diǎn)M、N，求證：△PMN是等腰三角形；（3）設(shè)點(diǎn)Q是反比例函數(shù)圖象上位于P、B之間的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)P、B不重合），連接AQ、BQ，比較∠PAQ與∠PBQ的大小，并說明理由．

2015年江蘇省常州市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題2分，共16分）1．（2分）（2015?潛江）﹣3的絕對(duì)值是（）A．3B．﹣3C．D．考點(diǎn)：絕對(duì)值．分析：根據(jù)一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)得出．解答：解：|﹣3|=﹣（﹣3）=3．故選：A．點(diǎn)評(píng)：考查絕對(duì)值的概念和求法．絕對(duì)值規(guī)律總結(jié)：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0．2．（2分）（2015?常州）要使分式有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞2B．x＜2C．x≠﹣2D．x≠2考點(diǎn)：分式有意義的條件．專題：計(jì)算題．分析：根據(jù)分式有意義得到分母不為0，即可求出x的范圍．解答：解：要使分式有意義，須有x﹣2≠0，即x≠2，故選D．點(diǎn)評(píng)：此題考查了分式有意義的條件，分式有意義的條件為：分母不為0．3．（2分）（2015?常州）下列“慢行通過，注意危險(xiǎn)，禁止行人通行，禁止非機(jī)動(dòng)車通行”四個(gè)交通標(biāo)志圖（黑白陰影圖片）中為軸對(duì)稱圖形的是（）A．B．C．D．考點(diǎn)：軸對(duì)稱圖形．分析：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得出答案．解答：解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確；C、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱圖形，掌握軸對(duì)稱圖形的概念：軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合．4．（2分）（2015?常州）如圖，BC⊥AE于點(diǎn)C，CD∥AB，∠B=40°，則∠ECD的度數(shù)是（）A．70°B．60°C．50°D．40°考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)；垂線．專題：計(jì)算題．分析：由BC與AE垂直，得到三角形ABC為直角三角形，利用直角三角形兩銳角互余，求出∠A的度數(shù)，再利用兩直線平行同位角相等即可求出∠ECD的度數(shù)．解答：解：∵BC⊥AE，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，∠B=40°，∴∠A=90°﹣∠B=50°，∵CD∥AB，∴∠ECD=∠A=50°，故選C．點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行線的性質(zhì)，以及垂線，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．5．（2分）（2015?常州）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，則下列說法一定正確的是（）A．AO=ODB．AO⊥ODC．AO=OCD．AO⊥AB考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)．分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：對(duì)邊平行且相等，對(duì)角線互相平分進(jìn)行判斷即可．解答：解：對(duì)角線不一定相等，A錯(cuò)誤；對(duì)角線不一定互相垂直，B錯(cuò)誤；對(duì)角線互相平分，C正確；對(duì)角線與邊不一定垂直，D錯(cuò)誤．故選：C．點(diǎn)評(píng)：本題考查度數(shù)平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，對(duì)角線互相平分是解題的關(guān)鍵．6．（2分）（2015?常州）已知a=，b=，c=，則下列大小關(guān)系正確的是（）A．a(chǎn)＞b＞cB．c＞b＞aC．b＞a＞cD．a(chǎn)＞c＞b考點(diǎn)：實(shí)數(shù)大小比較．專題：計(jì)算題．分析：將a，b，c變形后，根據(jù)分母大的反而小比較大小即可．解答：解：∵a==，b==，c==，且＜＜，∴＞＞，即a＞b＞c，故選A．點(diǎn)評(píng)：此題考查了實(shí)數(shù)比較大小，將a，b，c進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃问墙獗绢}的關(guān)鍵．7．（2分）（2015?常州）已知二次函數(shù)y=x2+（m﹣1）x+1，當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大，而m的取值范圍是（）A．m=﹣1B．m=3C．m≤﹣1D．m≥﹣1考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)．分析：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸不大于1列式計(jì)算即可得解．解答：解：拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣，∵當(dāng)x＞1時(shí)，y的值隨x值的增大而增大，∴﹣≤1，解得m≥﹣1．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了二次函數(shù)的增減性，熟記性質(zhì)并列出不等式是解題的關(guān)鍵．8．（2分）（2015?常州）將一張寬為4cm的長方形紙片（足夠長）折疊成如圖所示圖形，重疊部分是一個(gè)三角形，則這個(gè)三角形面積的最小值是（）A．cm2B．8cm2C．cm2D．16cm2考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）．分析：當(dāng)AC⊥AB時(shí)，重疊三角形面積最小，此時(shí)△ABC是等腰直角三角形，面積為8cm2．解答：解：如圖，當(dāng)AC⊥AB時(shí)，三角形面積最小，∵∠BAC=90°∠ACB=45°∴AB=AC=4cm，∴S△ABC=×4×4=8cm2．故選：B．點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)AC⊥AB時(shí)，重疊三角形的面積最小是解決問題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題2分，共20分）9．（2分）（2015?常州）計(jì)算（π﹣1）0+2﹣1=1．考點(diǎn)：負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；零指數(shù)冪．分析：分別根據(jù)零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果．解答：解：（π﹣1）0+2﹣1=1+=1．故答案為：1．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算．負(fù)整數(shù)指數(shù)為正整數(shù)指數(shù)的倒數(shù)；任何非0數(shù)的0次冪等于1．10．（2分）（2015?常州）太陽半徑約為696000千米，數(shù)字696000用科學(xué)記數(shù)法表示為6.96×105．考點(diǎn)：科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)．專題：應(yīng)用題．分析：科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．本題中696000有6位整數(shù)，n=6﹣1=5．解答：解：696000=6.96×105．點(diǎn)評(píng)：此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．11．（2分）（2015?常州）分解因式：2x2﹣2y2=2（x+y）（x﹣y）．考點(diǎn)：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．分析：先提取公因式2，再根據(jù)平方差公式進(jìn)行二次分解即可求得答案．解答：解：2x2﹣2y2=2（x2﹣y2）=2（x+y）（x﹣y）．故答案為：2（x+y）（x﹣y）．點(diǎn)評(píng)：本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式進(jìn)行二次分解，注意分解要徹底．12．（2分）（2015?常州）已知扇形的圓心角為120°，弧長為6π，則扇形的面積是27π．考點(diǎn)：扇形面積的計(jì)算．分析：利用弧長公式即可求扇形的半徑，進(jìn)而利用扇形的面積公式即可求得扇形的面積．解答：解：設(shè)扇形的半徑為r．則=6π，解得r=9，∴扇形的面積==27π．故答案為：27π．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了扇形面積求法，用到的知識(shí)點(diǎn)為：扇形的弧長公式l=；扇形的面積公式S=．13．（2分）（2015?常州）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，則BC的長是6．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)．分析：由平行可得對(duì)應(yīng)線段成比例，即AD：AB=DE：BC，再把數(shù)值代入可求得BC．解答：解：∵DE∥BC，∴，∵AD：DB=1：2，DE=2，∴，解得BC=6．故答案為：6．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平行線分線段成比例的性質(zhì)，掌握平行線分線段成比例中的對(duì)應(yīng)線段是解題的關(guān)鍵．14．（2分）（2015?常州）已知x=2是關(guān)于x的方程a（x+1）=a+x的解，則a的值是．考點(diǎn)：一元一次方程的解．專題：計(jì)算題．分析：把x=2代入方程計(jì)算即可求出a的值．解答：解：把x=2代入方程得：3a=a+2，解得：a=．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．15．（2分）（2015?常州）二次函數(shù)y=﹣x2+2x﹣3圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，﹣2）．考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)．分析：此題既可以利用y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，也可以利用配方法求出其頂點(diǎn)的坐標(biāo)．解答：解：∵y=﹣x2+2x﹣3=﹣（x2﹣2x+1）﹣2=﹣（x﹣1）2﹣2，故頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，﹣2）．故答案為（1，﹣2）．點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)有兩種方法①公式法，②配方法．16．（2分）（2015?常州）如圖是根據(jù)某公園的平面示意圖建立的平面直角坐標(biāo)系，公園的入口位于坐標(biāo)原點(diǎn)O，古塔位于點(diǎn)A（400，300），從古塔出發(fā)沿射線OA方向前行300m是盆景園B，從盆景園B向左轉(zhuǎn)90°后直行400m到達(dá)梅花閣C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（400，800）．考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用；坐標(biāo)確定位置；全等三角形的應(yīng)用．分析：根據(jù)題意結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出△AOD≌△ACB（SAS），進(jìn)而得出C，A，D也在一條直線上，求出CD的長即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)．解答：解：連接AC，由題意可得：AB=300m，BC=400m，在△AOD和△ACB中∵，∴△AOD≌△ACB（SAS），∴∠CAB=∠OAD，∵B、O在一條直線上，∴C，A，D也在一條直線上，∴AC=AO=500m，則CD=AC=AD=800m，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（400，800）．故答案為：（400，800）．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，得出C，A，D也在一條直線上是解題關(guān)鍵．17．（2分）（2015?常州）數(shù)學(xué)家歌德巴赫通過研究下面一系列等式，作出了一個(gè)著名的猜想．4=2+2；12=5+7；6=3+3；14=3+11=7+7；8=3+5；16=3+13=5+11；10=3+7=5+518=5+13=7+11；…通過這組等式，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是所有大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和（請(qǐng)用文字語言表達(dá)）．考點(diǎn)：規(guī)律型：數(shù)字的變化類．分析：根據(jù)以上等式得出規(guī)律進(jìn)行解答即可．解答：解：此規(guī)律用文字語言表達(dá)為：所有大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和，故答案為：所有大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和點(diǎn)評(píng)：此題考查規(guī)律問題，關(guān)鍵是根據(jù)幾個(gè)等式尋找規(guī)律再用文字表達(dá)即可．18．（2分）（2015?常州）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn)，則AC的長是．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理．分析：過C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得出∠E=∠CFD=∠CFA=90°，推出=，求出∠BAC=∠DAC，BC=CD，求出CE=CF，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)求出∠D=∠CBE，證△CBE≌△CDF，推出BE=DF，證△AEC≌△AFC，推出AE=AF，設(shè)BE=DF=x，得出5=x+3+x，求出x，解直角三角形求出即可．解答：解：過C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，則∠E=∠CFD=∠CFA=90°，∵點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn)，∴=，∴∠BAC=∠DAC，BC=CD，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF，∵A、B、C、D四點(diǎn)共圓，∴∠D=∠CBE，在△CBE和△CDF中∴△CBE≌△CDF，∴BE=DF，在△AEC和△AFC中∴△AEC≌△AFC，∴AE=AF，設(shè)BE=DF=x，∵AB=3，AD=5，∴AE=AF=x+3，∴5=x+3+x，解得：x=1，即AE=4，∴AC==，故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)，難度適中．三、解答題（共10小題，共84分）19．（6分）（2015?常州）先化簡，再求值：（x+1）2﹣x（2﹣x），其中x=2．考點(diǎn)：整式的混合運(yùn)算—化簡求值．專題：計(jì)算題．分析：原式第一項(xiàng)利用完全平方公式化簡，第二項(xiàng)利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，去括號(hào)合并得到最簡結(jié)果，把x的值代入計(jì)算即可求出值．解答：解：原式=x2+2x+1﹣2x+x2=2x2+1，當(dāng)x=2時(shí)，原式=8+1=9．點(diǎn)評(píng)：此題考查了整式的混合運(yùn)算﹣化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．20．（8分）（2015?常州）解方程和不等式組：（1）；（2）．考點(diǎn)：解分式方程；解一元一次不等式組．專題：計(jì)算題．分析：（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解；（2）分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出解集的公共部分即可求出解集．解答：解：（1）去分母得：x=6x﹣2+1，解得：x=，經(jīng)檢驗(yàn)x=是分式方程的解；（2），由①得：x＞﹣2，由②得：x＜3，則不等式組的解集為﹣2＜x＜3．點(diǎn)評(píng)：此題考查了解分式方程，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．21．（8分）（2015?常州）某調(diào)查小組采用簡單隨機(jī)抽樣方法，對(duì)某市部分中小學(xué)生一天中陽光體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間進(jìn)行了抽樣調(diào)查，并把所得數(shù)據(jù)整理后繪制成如下的統(tǒng)計(jì)圖：（1）該調(diào)查小組抽取的樣本容量是多少？（2）求樣本學(xué)生中陽光體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1.5小時(shí)的人數(shù)，并補(bǔ)全占頻數(shù)分布直方圖；（3）請(qǐng)估計(jì)該市中小學(xué)生一天中陽光體育運(yùn)動(dòng)的平均時(shí)間．考點(diǎn)：頻數(shù)（率）分布直方圖；扇形統(tǒng)計(jì)圖；加權(quán)平均數(shù)．分析：（1）利用0.5小時(shí)的人數(shù)為：100人，所占比例為：20%，即可求出樣本容量；（2）利用樣本容量乘以1.5小時(shí)的百分?jǐn)?shù)，即可求出1.5小時(shí)的人數(shù)，畫圖即可；（3）計(jì)算出該市中小學(xué)生一天中陽光體育運(yùn)動(dòng)的平均時(shí)間即可．解答：解：（1）由題意可得：0.5小時(shí)的人數(shù)為：100人，所占比例為：20%，∴本次調(diào)查共抽樣了500名學(xué)生；（2）1.5小時(shí)的人數(shù)為：500×2.4=120（人）如圖所示：（3）根據(jù)題意得：，即該市中小學(xué)生一天中陽光體育運(yùn)動(dòng)的平均時(shí)間約1小時(shí)．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了條形統(tǒng)計(jì)圖以及扇形統(tǒng)計(jì)圖的應(yīng)用，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖得出正確信息是解題關(guān)鍵．22．（8分）（2015?常州）甲，乙，丙三位學(xué)生進(jìn)入了“校園朗誦比賽”冠軍、亞軍和季軍的決賽，他們將通過抽簽來決定比賽的出場順序．（1）求甲第一個(gè)出場的概率；（2）求甲比乙先出場的概率．考點(diǎn)：列表法與樹狀圖法．專題：計(jì)算題．分析：（1）畫樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出甲第一個(gè)出場的情況數(shù)，即可求出所求的概率；（2）找出甲比乙先出場的情況數(shù)，即可求出所求的概率．解答：解：（1）畫樹狀圖如下：所有等可能的情況有6種，其中甲第一個(gè)出場的情況有2種，則P（甲第一個(gè)出場）==；（2）甲比乙先出場的情況有3種，則P（甲比乙先出場）==．點(diǎn)評(píng)：此題考查了列表法與樹狀圖法，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．23．（8分）（2015?常州）如圖，在?ABCD中，∠BCD=120°，分別延長DC、BC到點(diǎn)E，F(xiàn)，使得△BCE和△CDF都是正三角形．（1）求證：AE=AF；（2）求∠EAF的度數(shù)．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．分析：（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，由等邊三角形的性質(zhì)得出BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，證出∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，根據(jù)SAS證明△ABE≌△FDA，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出∠AEB=∠FAD，求出∠AEB+∠BAE=60°，得出∠FAD+∠BAE=60°，即可得出∠EAF的度數(shù)．解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，∵△BCE和△CDF都是正三角形，∴BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，∴∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，在△ABE和△FDA中，，∴△ABE≌△FDA（SAS），∴AE=AF；（2）解：∵△ABE≌△FDA，∴∠AEB=∠FAD，∵∠ABE=60°+60°=120°，∴∠AEB+∠BAE=60°，∴∠FAD+∠BAE=60°，∴∠EAF=120°﹣60°=60°．點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形和等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．24．（8分）（2015?常州）已知某市的光明中學(xué)、市圖書館和光明電影院在同一直線上，它們之間的距離如圖所示．小張星期天上午帶了75元現(xiàn)金先從光明中學(xué)乘出租車去了市圖書館，付費(fèi)9元；中午再從市圖書館乘出租車去了光明電影院，付費(fèi)12.6元．若該市出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：不超過3公里計(jì)費(fèi)為m元，3公里后按n元/公里計(jì)費(fèi)．（1）求m，n的值，并直接寫出車費(fèi)y（元）與路程x（公里）（x＞3）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果小張這天外出的消費(fèi)還包括：中午吃飯花費(fèi)15元，在光明電影院看電影花費(fèi)25元．問小張剩下的現(xiàn)金夠不夠乘出租車從光明電影院返回光明中學(xué)？為什么？考點(diǎn)：一次函數(shù)的應(yīng)用．分析：（1）根據(jù)題意，不超過3公里計(jì)費(fèi)為m元，由圖示可知光明中學(xué)和市圖書館相距2公里，可由此得出m，由出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：不超過3公里計(jì)費(fèi)為m元，3公里后按n元/公里計(jì)費(fèi)．當(dāng)x＞3時(shí)，由收費(fèi)與路程之間的關(guān)系就可以求出結(jié)論；（2）分別計(jì)算小張所剩錢數(shù)和返程所需錢數(shù)，即可得出結(jié)論．解答：解：（1）∵由圖示可知光明中學(xué)和市圖書館相距2公里，付費(fèi)9元，∴m=9，∵從市圖書館乘出租車去光明電影院，路程5公里，付費(fèi)12.6元，∴（5﹣3）n+9=12.6，解得：n=1.8．∴車費(fèi)y（元）與路程x（公里）（x＞3）之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=1.8（x﹣3）+9=1.8x+3.6（x＞3）．（2）小張剩下坐車的錢數(shù)為：75﹣15﹣25﹣9﹣12.6=13.4（元），乘出租車從光明電影院返回光明中學(xué)的費(fèi)用：1.8×7+3.6=16.2（元）∵13.4＜16.2，故小張剩下的現(xiàn)金不夠乘出租車從光明電影院返回光明中學(xué)．點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)，一次函數(shù)的解析式，由一次含數(shù)的解析式求自變量和函數(shù)值，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵25．（8分）（2015?常州）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．（1）若AD=2，求AB；（2）若AB+CD=2+2，求AB．考點(diǎn)：勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．分析：（1）在四邊形ABCD中，由∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，得∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，△ADE與△BCF為等腰直角三角形，求得AE，利用銳角三角函數(shù)得BE，得AB；（2）設(shè)DE=x，利用（1）的某些結(jié)論，特殊角的三角函數(shù)和勾股定理，表示AB，CD，得結(jié)果．解答：解：（1）過A點(diǎn)作DE⊥AB，過點(diǎn)B作BF⊥CD，∵∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC=360°﹣45°﹣45°﹣105°=165°，∴∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，△ADE與△BCF為等腰直角三角形，∵AD=2，∴AE=DE==，∵∠ABC=105°，∴∠ABD=105°﹣45°﹣30°=30°，∴BE===，∴AB=；（2）設(shè)DE=x，則AE=x，BE===，∴BD==2x，∵∠BDF=60°，∴∠DBF=30°，∴DF==x，∴BF===，∴CF=，∵AB=AE+BE=，CD=DF+CF=x，AB+CD=2+2，∴AB=+1點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、含有30°角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線DE、BF，構(gòu)造直角三角形，求出相應(yīng)角的度數(shù)．26．（10分）（2015?常州）設(shè)ω是一個(gè)平面圖形，如果用直尺和圓規(guī)經(jīng)過有限步作圖（簡稱尺規(guī)作圖），畫出一個(gè)正方形與ω的面積相等（簡稱等積），那么這樣的等積轉(zhuǎn)化稱為ω的“化方”．（1）閱讀填空如圖①，已知矩形ABCD，延長AD到E，使DE=DC，以AE為直徑作半圓．延長CD交半圓于點(diǎn)H，以DH為邊作正方形DFGH，則正方形DFGH與矩形ABCD等積．理由：連接AH，EH．∵AE為直徑，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°∴∠HAD+∠AHD=90°∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽△HDE．∴，即DH2=AD×DE．又∵DE=DC∴DH2=AD×DC，即正方形DFGH與矩形ABCD等積．（2）操作實(shí)踐平行四邊形的“化方”思路是，先把平行四邊形轉(zhuǎn)化為等積的矩形，再把矩形轉(zhuǎn)化為等積的正方形．如圖②，請(qǐng)用尺規(guī)作圖作出與?ABCD等積的矩形（不要求寫具體作法，保留作圖痕跡）．（3）解決問題三角形的“化方”思路是：先把三角形轉(zhuǎn)化為等積的矩形（填寫圖形名稱），再轉(zhuǎn)化為等積的正方形．如圖③，△ABC的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，請(qǐng)作出與△ABC等積的正方形的一條邊（不要求寫具體作法，保留作圖痕跡，不通過計(jì)算△ABC面積作圖）．（4）拓展探究n邊形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n邊形轉(zhuǎn)化為等積的n﹣1邊形，…，直至轉(zhuǎn)化為等積的三角形，從而可以化方．如圖④，四邊形ABCD的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，請(qǐng)作出與四邊形ABCD等積的三角形（不要求寫具體作法，保留作圖痕跡，不通過計(jì)算四邊形ABCD面積作圖）．考點(diǎn)：相似形綜合題．分析：（1）首先根據(jù)相似三角形的判定方法，可得△ADH∽△HDE；然后根據(jù)等量代換，可得DH2=AD×DC，據(jù)此判斷即可．（2）首先把平行四邊形ABCD轉(zhuǎn)化為等積的矩形ADMN，然后延長AD到E，使DE=DM，以AE為直徑作半圓．延長MD交半圓于點(diǎn)H，以DH為邊作正方形DFGH，則正方形DFGH與矩形ABMN等積，所以正方形DFGH與平行四邊形ABCD等積，據(jù)此解答即可．（3）首先以三角形的底為矩形的長，以三角形的高的一半為矩形的寬，將△ABC轉(zhuǎn)化為等積的矩形MBCD；然后延長MD到E，使DE=DC，以ME為直徑作半圓．延長CD交半圓于點(diǎn)H，則DH即為與△ABC等積的正方形的一條邊．（4）首先根據(jù)AG∥EH，判斷出AG=2EH，然后根據(jù)CF=2DF，可得CF?EH=DF?AG，據(jù)此判斷出S△CEF=S△ADF，S△CDI=S△AEI，所以S△BCE=S四邊形ABCD，即△BCE與四邊形ABCD等積，據(jù)此解答即可．解答：解：（1）如圖①，連接AH，EH，，∵AE為直徑，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°，∴∠HAD+∠AHD=90°，∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽△HDE．∴，即DH2=AD×DE．又∵DE=DC，∴DH2=AD×DC，即正方形DFGH與矩形ABCD等積．（2）如圖②，延長AD到E，使DE=DM，連接AH，EH，，∵矩形ADMN的長和寬分別等于平行四邊形ABCD的底和高，∴矩形ADMN的面積等于平行四邊形ABCD的面積，∵AE為直徑，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°，∴∠HAD+∠AHD=90°，∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽△HDE．∴，即DH2=AD×DE．又∵DE=DM，∴DH2=AD×DM，即正方形DFGH與矩形ABMN等積，∴正方形DFGH與平行四邊形ABCD等積．（3）如圖③，延長MD到E，使DE=DC，連接MH，EH，，∵矩形MDBC的長等于△ABC的底，矩形MDBC的寬等于△ABC的高的一半，∴矩形MDBC的面積等于△ABC的面積，∵M(jìn)E為直徑，∴∠MHE=90°，∴∠HME+∠HEM=90°．∵DH⊥ME，∴∠MDH=∠EDH=90°，∴∠HMD+∠MHD=90°，∴∠MHD=∠HED，∴△MDH∽△HDE．∴，即DH2=MD×DE．又∵DE=DC，∴DH2=MD×DC，∴DH即為與△ABC等積的正方形的一條邊．（4）如圖④，延長BA、CD交于點(diǎn)F，作AG⊥CF于點(diǎn)G，EH⊥CF于點(diǎn)H，，△BCE與四邊形ABCD等積，理由如下：∵AG∥EH，∴，∴AG=2EH，又∵CF=2DF，∴CF?EH=DF?AG，∴S△CEF=S△ADF，∴S△CDI=S△AEI，∴S△BCE=S四邊形ABCD，即△BCE與四邊形ABCD等積．故答案為：△HDE、AD×DC、矩形．點(diǎn)評(píng)：（1）此題主要考查了相似形綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，要熟練掌握．（2）此題還考查了矩形、三角形的面積的求法，以及對(duì)等積轉(zhuǎn)化的理解，要熟練掌握．27．（10分）（2015?常州）如圖，一次函數(shù)y=﹣x+4的圖象與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，過點(diǎn)A作x軸的垂線l，點(diǎn)P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線AB與△OAP外接圓的交點(diǎn)，點(diǎn)P、Q與點(diǎn)A都不重合．（1）寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)P使得△OQB與△APQ全等？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．（3）若點(diǎn)M在直線l上，且∠POM=90°，記△OAP外接圓和△OAM外接圓的面積分別是S1、S2，求的值．考點(diǎn)：圓的綜合題．分析：（1）將y=0代入y=﹣x+4，求得x的值，從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）首先根據(jù)題意畫出圖形，然后在Rt△BOA中，由勾股定理得：AB的長度，然后由全等三角形的性質(zhì)求得QA的長度，從而得到BQ的長，然后根據(jù)PA=BQ求得PA的長度，從而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）首先根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)AP=m，由△OAM∽△PAO，可求得AM的長度，然后根據(jù)勾股定理可求得兩圓的直徑（用含m的式子表示），然后利用圓的面積公式求得兩圓的面積，最后代入所求代數(shù)式求解即可．解答：解（1）令y=0，得：﹣x+4=0，解得x=4，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）；（2）存在．理由：如圖下圖所示：將x=0代入y=﹣x+4得：y=4，∴OB=4，由（1）可知OA=4，在Rt△BOA中，由勾股定理得：AB==4．∵△BOQ≌△AQP．∴QA=OB=4，BQ=PA．∵BQ=AB﹣AQ=4﹣4，∴PA=4﹣4．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，4﹣4）．（3）如下圖所示：∵OP⊥OM，∴∠1+∠3=90°．又∵∠2+∠1=90°，∴∠2=∠3．又∵∠OAP=∠OAM=90°，∴△OAM∽△PAO．∴，設(shè)AP=m，則：，∴AM=．在Rt△OAP中，PO=，∴S1===，在Rt△OAM中，OM==，∴S2===，∴=+=1+=．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定以及勾股定理和一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)題意畫出圖形，利用全等三角形和相似三角形的性質(zhì)和判定求得AM和PA的長度是解題的關(guān)鍵．28．（10分）（2015?常州）如圖，反比例函數(shù)y=的圖象與一次函數(shù)y=x的圖象交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是4．點(diǎn)P是第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，且在直線AB的上方．（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，4），直接寫出k的值和△PAB的面積；（2）設(shè)直線PA、PB與x軸分別交于點(diǎn)M、N，求證：△PMN是等腰三角形；（3）設(shè)點(diǎn)Q是反比例函數(shù)圖象上位于P、B之間的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)P、B不重合），連接AQ、BQ，比較∠PAQ與∠PBQ的大小，并說明理由．考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題；三角形