2023-2024學年湖北省黃石二中高二（上）第三次統(tǒng)測數(shù)學試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年湖北省黃石二中高二（上）第三次統(tǒng)測數(shù)學試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.過點A(5,6)和點A.y?5x?6=y+12.已知扇形弧長為π3，圓心角為π6，則該扇形面積為(

)A.π6 B.π4 C.π33.直線xsinαA.[0,π) B.[0,π44.病毒研究所檢測甲乙兩組實驗小白鼠的某醫(yī)學指標值，得到樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖(如圖所示)，則下列結(jié)論正確的是(

)

A.甲組數(shù)據(jù)中位數(shù)大于乙組數(shù)據(jù)中位數(shù) B.甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)大于乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)

C.甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)大于甲組數(shù)據(jù)中位數(shù) D.乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)大于乙組數(shù)據(jù)中位數(shù)5.設a=cos1，b=ln(cos1A.a<b<c B.a<c6.已知某圓臺的上底面和下底面的面積分別為3π，12π，母線長為2，則該圓臺的體積為(

)A.6π B.18π C.7π7.已知f(x)=|lA.5 B.4 C.3 D.28.已知點A(3,0)，B(0,3)，M(1,0)，OA.4

B.5

C.25

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.若甲組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，……，xn(數(shù)據(jù)各不相同)的平均數(shù)為3，乙組樣本數(shù)據(jù)2x1+a，2xA.a的值不確定

B.乙組樣本數(shù)據(jù)的方差為甲組樣本數(shù)據(jù)方差的2倍

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的極差可能相等

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能相等10.已知事件A，B滿足P(A)=0.6，A.P(A?)=0.8,P(B?)=0.4

B.如果B?A，那么P11.半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成，體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.如圖，二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體截去八個一樣的四面體得到的，若它的所有棱長都為2，則(

)A.被截正方體的棱長為2

B.被截去的一個四面體的體積為43

C.該二十四等邊體的體積為203

D.12.如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1DA.三棱錐B1?A1D1P的體積為定值

B.存在點P，使得D1P⊥AD1

C.若D1P⊥B1D，則P點在正方形底面ABCD內(nèi)的運動軌跡長度為22

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知a=(2,?1,2)，b=(214.已知經(jīng)過點P(1,2)的直線在x軸和y15.已知直線l1：(m+3)x+5y=5?316.已知球O是正四面體P?ABC的外接球，E為棱PA的中點，F(xiàn)是棱PB上的一點，且FC=2四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

甲、乙兩位同學參加某知識闖關(guān)訓練，最后一關(guān)只有兩道題目，已知甲同學答對每道題的概率都為p，乙同學答對每道題的概率都為q(p>q)，且在考試中每人各題答題結(jié)果互不影響.已知同一題甲、乙至少一人答對的概率為56，兩人都答對的概率為13．

(1)求18.(本小題12.0分)

在△ABC中，已知A(1,1)，B(3,?2)．

(1)若直線l過點M(2,019.(本小題12.0分)

如圖，四棱錐P?ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，AD=22，PD=DC=220.(本小題12.0分)

文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者.某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求頻率分布直方圖中a的值；

(2)求樣本成績的第75百分位數(shù)；

(3)已知落在21.(本小題12.0分)

如圖2，在平行四邊形ABCD中，AB=2，BC=3，∠ABC=30°.將△DAC沿AC翻折，使點D到達點P位置(如圖3)，且平面PAC⊥平面PBC．

22.(本小題12.0分)

“精準扶貧，修路先行”，為解決城市A和山區(qū)B的物流運輸問題，方便B地的農(nóng)產(chǎn)品運輸?shù)匠鞘蠥交易，計劃在鐵路AD間的某一點C處修建一條筆直的公路到達B地．示意圖如圖所示，AB=3010千米，BD=302千米，∠BDA=45°．

已知農(nóng)產(chǎn)品的鐵路運費為每千米1百元，公路運費為每千米2百元，農(nóng)產(chǎn)品從B到A的總運費為y百元．為了求總運費y的最小值，現(xiàn)提供兩種方案建立函數(shù)關(guān)系，方案1：設AC=x千米；方案2：設∠BCD

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：過點A(5,6)和點B(?1,2)的直線的兩點式方程是：

y?22?2.【答案】C

【解析】解：設扇形的半徑為r，則π3=π6?r，解得r=2，

所以扇形的面積為S=123.【答案】B

【解析】【分析】本題考查直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，屬于基礎題．

由直線的方程可確定直線的斜率，可得其范圍，進而可求傾斜角的取值范圍．【解答】解：直線xsinα+y+2=0的斜率為k=?sin4.【答案】C

【解析】解：根據(jù)甲組的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可知為單峰的，

直方圖在右邊“拖尾”，所以甲組的平均數(shù)大于中位數(shù)，且都小于7，

∴甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)中位數(shù)，故A錯誤；

甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)，故B錯誤；

甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)大于甲組數(shù)據(jù)中位數(shù)，故C正確；

乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)中位數(shù)，故D錯誤．

故選：C．

根據(jù)直方圖的形態(tài)可得甲組的平均數(shù)大于中位數(shù)，且都小于7，乙組的平均數(shù)

小于中位數(shù)，且都大于7，進而可得．

本題考查中位數(shù)、平均數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．5.【答案】C

【解析】解：0<cos1<1，ln(cos1)<ln1=0，ecos1>e6.【答案】C

【解析】解：因為圓臺的上底面和下底面的面積分別為3π，12π，

所以該圓臺上底面和下底面的半徑分別為3,23，

所以該圓臺的高為22?(237.【答案】A

【解析】解：函數(shù)y=2f2(x)?3f(x)+1=[2f(x)?1][f(x)?1]的零點，

即方程f(x8.【答案】C

【解析】解：∵過A(3,0)，B(0,3)兩點的直線方程為x+y?3=0

設M(1,0)關(guān)于直線x+y?3=0對稱的點N(x,y)，

則yx?1=1x+12+12y?3=0，解可得，x=3，y=2，即N(3,2)9.【答案】AB【解析】解：由題意可知，2×3+a=5，a=?1，故A錯誤；

易知乙組樣本數(shù)據(jù)的方差為甲組樣本數(shù)據(jù)方差的22=4倍，故B錯誤；

不妨設x1<x2<????<xn，則甲組數(shù)據(jù)的極差為xn?x1，

乙組數(shù)據(jù)的極差為(2xn?1)?(2x110.【答案】BC【解析】解：對于選項A，P(A?)=1?P(A)=0.4,P(B?)=1?P(B)=0.8，故A錯誤；

對于選項B，如果

B?A，那么P(A?B)=P11.【答案】AC【解析】解：選項A：該二十四等邊體各個頂點均為原正方體的棱中點，

則被截正方體的棱長為AB2+BC2=2+2=2.判斷正確；

選項B：由被截正方體的棱長為2可得，

被截去的一個四面體的體積為13×12×1×1×1=16.判斷錯誤；

選項C：由被截正方體的棱長為2可得，

該二十四等邊體的體積為23?812.【答案】AC【解析】解：對于A，由題意及圖形可知平面ABCD//平面A1B1C1D1，

所以點P到平面A1B1C1D1距離d為定值．

所以VB1?A1D1P=VP?A1D1B1=13?d?S△A1D1B1，

又S△A1D1B1為定值，故三棱錐B1?A1D1P的體積為定值．故A正確；

對于B，因A1D⊥AD1，則若D1P⊥AD1，必有A1D//D1P.

但A1D?平面ADD1A1，D1∈平面ADD1A1，P∈AD?平面ADD1A1或P?平面ADD1A1，

所以A1D與D1P相交或A1D與D1P異面．

所以不存在相應的點P，使D1P⊥AD1.故B錯誤；

對于C，如圖有B1D⊥平面D1AC．

理由如下：連接DB，A1D.

由題可得AC⊥DB，AC⊥BB1，

又DB∩BB1=B，DB，BB1?平面DBB1，所以AC⊥平面DBB1．

因為13.【答案】(8【解析】解：∵a=(2,?1,2)，b=(2,2,1)，

∴a14.【答案】x+y?【解析】解：當直線在x軸及y軸上截距為0時，此時直線經(jīng)過點(0,0)，此時直線方程為y=2x，

當直線在x軸及y軸上截距不為0時，可設直線方程為x+y=a，

由題意得1+2=a，即a=3，

此時直線方程為x+y?3=015.【答案】?8【解析】解：∵直線l1：(m+3)x+5y=5?3m，l2：2x+(m+6)y=8，l1//l2，

當m+6=16.【答案】9【解析】解：如圖，正四面體P?ABC中，頂點P在底面的射影為O1，球心O在PO1上，

設正四面體的棱長為2a，可得O1C=23×32×2a=233a，

則正四面體高PO1=PC2?O1C2=(2a)2?(233a)2=263a，

設外接球半徑為R，在直角三角形OO1C中，OC2=OO12+O1C2，

17.【答案】解：(1)根據(jù)題意，設A={甲同學答對第一題}，B={乙同學答對第一題}，則P(A)=p，P(B)=q．

由于二人答題互不影響，且每人各題答題結(jié)果互不影響，所以A與B相互獨立，

所以1?P(A?B?)【解析】(1)根據(jù)設A={甲同學答對第一題}，B={乙同學答對第一題}，再根據(jù)所給概率列式求解即可；

(2)設m，n分別表示最后一關(guān)甲、乙兩位同學答對的題目數(shù)，由題意得所求概率為18.【答案】解：(1)∵點A，B到l的距離相等，∴直線l過線段AB的中點或l/?/AB，

①當直線l過線段AB的中點N(2,?12)時，直線l斜率不存在，

則l的方程為x=2；

②當l/?/AB時，則斜率kl=kAB=?2?13?1=?32，

【解析】(1)直接利用分類討論思想的應用求出直線的方程；

(219.【答案】解：(1)證明：在矩形ABCD中，∠DAB=∠ABM=90°，

ADAB=ABBM=2，

∴△ABD∽△BMA，

∴∠BAM=∠ADB，

設AM與BD交于O點，

∴∠DOM=∠ADB+∠DAM=∠BAM+∠DAM=90°，

∴AM⊥BD，又∵PD⊥平面ABCD，AM?平面ABCD，

∴PD⊥A【解析】(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合相似三角形的判定定理和性質(zhì)、線面垂直的判定定理進行證明即可；

(220.【答案】解：(1)∵每組小矩形的面積之和為1，

∴(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，

∴a=0.030；

(2)成績落在[40,80)內(nèi)的頻率為(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65<0.75，

成績落在[40,90)內(nèi)的頻率為(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9>0.75，

所以第75百分位數(shù)落在[80,90)內(nèi)，

設第75百分位數(shù)為m，則0.65+(m?80)【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖中各個小矩形的面積之和為1求解；

(2)根據(jù)百分位數(shù)的定義求解；

21.【答案】解：(1)證明：在△ABC中，由余弦定理得AC2=32+12?2×3×1×32=1，

∴AC2+BC2=12+32=4=AB2，

∴CB⊥CA，

過點A作AM⊥PC交PC于點M，如圖所示，

又平面PAC⊥平面PBC，且平面PAC∩平面PBC=PC，

由AM?平面PAC，

所以AM⊥平面PBC，又BC?平面PBC，

所以AM⊥BC，又BC⊥AC【解析】(1)利用余弦定理求出AC的長，由勾股定理得CB⊥CA，過點A作22.【答案】解：(1)在△