2023-2024學(xué)年福建重點大學(xué)附中高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年福建重點大學(xué)附中高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知向量a=(2,?1,4)A.?6 B.?2 C.2 2.點A(3,?2,4)A.(?3,4,?10) 3.已知A，B，C，D四點在平面α內(nèi)，且任意三點都不共線，點P在α外，且滿足AP+BP?A.0 B.1 C.2 D.34.直線l，m的方向向量分別是a=(0,1,1)A.30° B.60° C.120°5.如圖所示，已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，M，G分別是BC，CD

A.AD B.GA C.AG6.若{a,b,A.a,a+b,a?b 7.已知點N與點M(1,?2,3)A.(1,2,?3) B.8.已知點P是棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1A.[12,2] B.[2二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.已知空間中三點A(?1,2,1)A.AB⊥AC

B.與BC方向相反的單位向量的坐標是(31111,10.下列選項正確的是(

)A.空間向量a=(1,?1,2)與向量b=(?2,2,?4)共線

B.已知向量a=(2,x,4)，b=(0,1,2)，c=(11.關(guān)于空間向量，下列說法正確的是(

)A.直線l的方向向量為a=(1,1,?2)，直線m的方向向量為b=(2,?1,12)，則l⊥m

B.直線l的方向向量為a=(0,?1,?1)，平面α12.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為4，F(xiàn)是側(cè)面ADD1A.平面AD1E被正方體ABCD?A1B1C1D1截得截面為三角形

B.若DF=FD1，直線三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知點A(?1,2,?1)，平面α經(jīng)過原點O，且垂直于向量n14.已知向量a=(1,1,0),b=15.已知a=(1?t,116.已知空間向量a=(?2,1,m)，b=(1,?1四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

已知a=(3,2,?1)，b=(2,1,18.(本小題12.0分)

在如圖所示的斜三棱柱ABC?A1B1C1中，BC=BA=BB1=3．

(1)設(shè)19.(本小題12.0分)

如圖，已知四棱錐P?ABCD的底面是菱形，對角線AC，BD交于點O，OA=4，OB=3，OP=4，OP⊥底面ABCD，設(shè)點M滿足P20.(本小題12.0分)

如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，側(cè)棱AA1的長為3，底面ABCD是邊長為2的正方形，E21.(本小題12.0分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，已知AB⊥側(cè)面BB1C1C，BC=2，AB=CC1=2，∠BC22.(本小題12.0分)

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，D為棱AB的中點，E為側(cè)棱CC1的動點，且CE=λCC1(0<λ<1)．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：由題意，

∵a=(2,?1,4)，b=(x,y,?8)，且a//b，

∴2.【答案】A

【解析】【分析】本題考查了中點坐標公式，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)點A關(guān)于點(0,1,?3)的對稱點為A【解答】

解：設(shè)點A關(guān)于點(0,1,?3)的對稱點為A′(x,y,z)，

則(0,1,?3)為線段AA′3.【答案】B

【解析】解：因為A，B，C，D四點在平面α內(nèi)，點P在α外，

由空間向量的共面定理可知，存在實數(shù)x，y，m，使得PA=xPB+yPC+mPD且x+y+m=1，

因為A4.【答案】B

【解析】解：因為a=(0,1,1),b=(2,?2,0)，

所以cos?a,b?=a?b|a|?|5.【答案】C

【解析】【分析】本題考查向量的化簡，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想和空間向量加法法則的合理運用．

取BD中點O，連結(jié)BG、OG【解答】

解：取BD中點O，連結(jié)BG、OG、MG，

∵空間四邊形ABCD，連接AC，BD，

M，G分別是BC，CD的中點，

如圖示：

∴A6.【答案】D

【解析】解：對A選項，a=12(a+b)+12(a?b)，故三向量共面，A錯誤；

對B選項，若a+b,a?b,a+2b共面，則a+b=m(a?b7.【答案】A

【解析】解：依題意，點M(1,?2,3)關(guān)于x軸的對稱點N(1,8.【答案】B

【解析】解：如圖所示，建立空間直角坐標系．

A1(0,0,0)，A(0,0,1)，C(2,2,2)，

設(shè)P(x,y,0)，(x,y∈[0,2])．

PA=(?x,?y,2)，P9.【答案】AB【解析】解：對于A，∵A(?1,2,1)，B(1,3,1)，C(?2,4,2)，

∴AB=(2,1,0)，AC=(?1,2,1)，

∴AB?AC=?2+2=0，∴AB⊥AC，故A正確；

對于B，∵BC=(?3,110.【答案】AB【解析】解：A，∵a=(1,?1,2)與向量b=(?2,2,?4)，∴b=?2a，∴a與b共線，∴正確，

B，設(shè)a=λb+μc，∴(2,x,4)=λ(0,1,2)+μ(1,0,0)，

則2=μx=λ4=2λ，∴11.【答案】AD【解析】【分析】本題考查的知識要點：直線的方向向量，向量垂直的充要條件，向量的共面的充要條件，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．

利用直線的方向向量和向量垂直的充要條件，法向量和平面的關(guān)系，向量的共面的充要條件，判斷A、B、C、D即可．【解答】

解：對于A：直線l的方向向量為a=(1,1,?2)，直線m的方向向量為b=(2,?1,12)，

故a?b=0，則l⊥m，故A正確；

對于B：直線l的方向向量為a=(0,?1,?1)，平面α的法向量為b=(0,1,1)，

可得a||b；則l⊥α，故12.【答案】CD【解析】解：A：過E作EG//BC1交BC于G，又AD1/?/BC1，故AD?1//EG，

∴平面AD1E被正方體ABCD?A1B1C1D1截得截面為四邊形，因此A錯誤；

B：取CH=14CC1，又DF=FD1，|C1E|=1，則FD1=EH=2，顯然FD1//EH，

∴FHED1為平行四邊形，∴FH//ED1，

連接AH，而AF=25,FH=17,AH=33，

顯然AF2+FH2≠AH2，即AF，F(xiàn)H不垂直，

∴AF⊥D1E不成立，因此B錯誤；

C：將面BB1D1D與面CC1D1D展開在一個平面內(nèi)，如下圖，

要使BF+13.【答案】6【解析】解：由題意，OA=(?1,2,?1)，n=(1,?1,3)，14.【答案】(?【解析】因為a=(1,1,0),b=(?1,0,2)，

所以a+kb=(1?k,1,2k)，2a15.【答案】5【解析】【分析】

本題主要考查空間向量的坐標運算、空間向量模的求解和二次函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

先利用向量減法及向量模的公式求得|a?b|，進而利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得其最小值．

【解答】

解：|a?b|=(1?t?316.【答案】?6【解析】解：若a、b、c共面，則a=λb+μc，

即(?2,1,m)17.【答案】解：(1)已知a=(3,2,?1)，b=(2,1,2)，

則a2=14，b2【解析】(1)根據(jù)數(shù)量積的運算律結(jié)合數(shù)量積的坐標公式計算即可；

(2)由(k18.【答案】解：(1)在三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)面BCC1B1為平行四邊形，

又BA=a，BC=b，BB1=c，

【解析】(1)根據(jù)向量的運算求解；

(219.【答案】解：(1)∵平面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，

又OP⊥底面ABCD，AC，BD?面ABCD，

所以O(shè)P⊥AC，OP⊥BD，

所以AC，BD，OP兩兩垂直，

以O(shè)為坐標原點，以O(shè)A，OB，OP為坐標軸建立空間直角坐標系O?ABP如圖所示：

則A(4,0,0)，B(0,3,0)，C(?4,0,0)，D(0,?3,0)，P(0,0,4)，

∴【解析】本題考查了線面角與線面距離的計算，空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．

(1)以O(shè)為坐標原點，以O(shè)A，OB，OP為坐標軸建立坐標系，求出平面BDM的法向量n和PA的坐標，則直線PA與平面BDM所成角的正弦值為|cos<PA,20.【答案】解：以點D為原點，DA,DC,DD1分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系D?xyz，則B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,3)，D1(1,2,0)，∵DC⊥AD是棱△ABC的中點，

∴E(1【解析】(1)建系，求出平面C1DE的一個法向量，BD1=(?2,?221.【答案】證明：(1)在三棱柱ABC?A1B1C1中，BC=2，CC1=2，∠BCC1=π4，

在△BCC1中，由余弦定理得C1B=4+2?2×2×2×cos45°=2，

即有C1B2+BC2=CC12，于是C1B⊥BC，又AB⊥側(cè)面BCC1B1，BC1?側(cè)面BCC1B1，【解析】(1)利用余弦定理求出C1B的長，再利用線面垂直的判定定理證明；

(2)由(122.【答案】解：(1)當E為CC1的中點時，即λ=12時，使得DE/?/平面AB1C1，

證明如下：連接A1B交AB1于F，由題意可知F為AB1的中點，連接DE，DF，

因為D為中點，所以DF//BB1，且DF=12BB1，

由題意C1E=12CC1=DF，