2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強(qiáng)化測試（新高考專用）專題43 直線、平面平行的判定與性質(zhì)（含解析）

第第頁2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強(qiáng)化測試（新高考專用）專題43直線、平面平行的判定與性質(zhì)（含解析）專題43直線、平面平行的判定與性質(zhì)

知識梳理考綱要求

考點(diǎn)預(yù)測

常用結(jié)論

方法技巧

題型歸類題型一：直線與平面平行的判定與性質(zhì)

題型二：平面與平面平行的判定與性質(zhì)

題型三：平行關(guān)系的綜合應(yīng)用

培優(yōu)訓(xùn)練訓(xùn)練一：

訓(xùn)練二：

訓(xùn)練三：

訓(xùn)練四：

訓(xùn)練五：

訓(xùn)練六：

強(qiáng)化測試單選題：共8題

多選題：共4題

填空題：共4題

解答題：共6題

一、【知識梳理】

【考綱要求】

1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明.

2.掌握直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)，并會簡單應(yīng)用．

【考點(diǎn)預(yù)測】

1.直線與平面平行

(1)直線與平面平行的定義

直線l與平面α沒有公共點(diǎn)，則稱直線l與平面α平行.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行aα，bα，a∥ba∥α

性質(zhì)定理一條直線和一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行a∥α，aβ，α∩β＝ba∥b

2.平面與平面平行

(1)平面與平面平行的定義

沒有公共點(diǎn)的兩個平面叫做平行平面.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

判定定理如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行aβ，bβ，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β

性質(zhì)兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面α∥β，aαa∥β

性質(zhì)定理兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝ba∥b

【常用結(jié)論】

(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.

(2)平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.

(3)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即a⊥α，b⊥α，則a∥b.

(4)若α∥β，aα，則a∥β.

【方法技巧】

1.判斷或證明線面平行的常用方法

①利用線面平行的定義(無公共點(diǎn))．

②利用線面平行的判定定理(aα，bα，a∥ba∥α)．

③利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，aαa∥β)．

④利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，aβ，a∥αa∥β)．

2.應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時需要經(jīng)過已知直線作輔助平面確定交線．

3.證明面面平行的方法

(1)面面平行的定義．

(2)面面平行的判定定理．

(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行．

(4)兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行．

(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．

4.解決這種數(shù)值或存在性問題的題目時，注意先給出具體的值或先假設(shè)存在，然后再證明．

二、【題型歸類】

【題型一】直線與平面平行的判定與性質(zhì)

【典例1】如圖所示，正方形ABCD與正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE、BD上各有一點(diǎn)P、Q，且AP＝DQ.求證：PQ∥平面BCE.

【解析】證明法一如圖所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，連接MN.

∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共邊AB.

又AP＝DQ，∴PE＝QB，

又PM∥AB∥QN，

∴＝＝＝，∴＝.

又AB∥DC，且AB=DC，∴PM∥QN，且PM=QN，∴四邊形PMNQ為平行四邊形，

∴PQ∥MN.又MN平面BCE，PQ平面BCE，

∴PQ∥平面BCE.

法二如圖，在平面ABEF內(nèi)，過點(diǎn)P作PM∥BE交AB于點(diǎn)M，連接QM.

則PM∥平面BCE，

∵PM∥BE，

∴＝，又AE＝BD，AP＝DQ，

∴PE＝BQ，∴＝，∴＝，

∴MQ∥AD，又AD∥BC，∴MQ∥BC，

∴MQ∥平面BCE，又PM∩MQ＝M，

∴平面PMQ∥平面BCE，又PQ平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.

【典例2】如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和PA作平面交BD于點(diǎn)H.求證：PA∥GH.

【解析】證明如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OM，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴O是AC的中點(diǎn)，

又M是PC的中點(diǎn)，∴PA∥OM，

又OM平面BMD，PA平面BMD，

∴PA∥平面BMD，

又平面PAHG∩平面BMD＝GH，

∴PA∥GH.

【典例3】如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是矩形，M是線段EF的中點(diǎn).

(1)求證：AM∥平面BDE；

(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，試分析l與m的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【解析】(1)證明如圖，記AC與BD的交點(diǎn)為O，連接OE.

因為O，M分別為AC，EF的中點(diǎn)，

四邊形ACEF是矩形，

所以四邊形AOEM是平行四邊形，所以AM∥OE.

又因為OE平面BDE，AM平面BDE，

所以AM∥平面BDE.

(2)解l∥m，證明如下：

由(1)知AM∥平面BDE，

又AM平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，

所以l∥AM，

同理，AM∥平面BDE，

又AM平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，

所以m∥AM，所以l∥m.

【題型二】平面與平面平行的判定與性質(zhì)

【典例1】如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，過BC的平面與上底面A1B1C1交于GH(GH與B1C1不重合)．

(1)求證：BC∥GH；

(2)若E，F(xiàn)，G分別是AB，AC，A1B1的中點(diǎn)，求證：平面EFA1∥平面BCHG.

【解析】證明(1)∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，

∴平面ABC∥平面A1B1C1，

又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，

且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，

∴由面面平行的性質(zhì)定理得BC∥GH.

(2)∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，

∵EF平面BCHG，BC平面BCHG，

∴EF∥平面BCHG.

又G，E分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，A1B1∥AB，且A1B1=AB，

∴A1G∥EB，且A1G=EB，

∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.

∵A1E平面BCHG，GB平面BCHG，

∴A1E∥平面BCHG.

又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF平面EFA1，

∴平面EFA1∥平面BCHG.

【典例2】如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G分別為B1C1，A1B1，AB的中點(diǎn)．

(1)求證：平面A1C1G∥平面BEF；

(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求證：H為BC的中點(diǎn)．

【解析】證明(1)∵E，F(xiàn)分別為B1C1，A1B1的中點(diǎn)，

∴EF∥A1C1，

∵A1C1平面A1C1G，EF平面A1C1G，

∴EF∥平面A1C1G，

又F，G分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，

∴A1F＝BG，

又A1F∥BG，

∴四邊形A1GBF為平行四邊形，

則BF∥A1G，

∵A1G平面A1C1G，BF平面A1C1G，

∴BF∥平面A1C1G，

又EF∩BF＝F，EF，BF平面BEF，

∴平面A1C1G∥平面BEF.

(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，

平面A1C1G與平面ABC有公共點(diǎn)G，則有經(jīng)過G的直線，設(shè)交BC于點(diǎn)H，如圖，

則A1C1∥GH，得GH∥AC，

∵G為AB的中點(diǎn)，∴H為BC的中點(diǎn)．

【典例3】如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．

(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；

(2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝直線l，證明：B1D1∥l.

【解析】證明(1)由題設(shè)知BB1，DD1平行且相等，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以BD∥B1D1.

又BD平面CD1B1，B1D1平面CD1B1，

所以BD∥平面CD1B1.

因為A1D1，B1C1，BC平行且相等.

所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，

所以A1B∥D1C.

又A1B平面CD1B1，D1C平面CD1B1，

所以A1B∥平面CD1B1.

又因為BD∩A1B＝B，BD，A1B平面A1BD，

所以平面A1BD∥平面CD1B1.

(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，

又平面ABCD∩平面CD1B1＝直線l，

平面ABCD∩平面A1BD＝直線BD，

所以直線l∥直線BD，

在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四邊形BDD1B1為平行四邊形，

所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.

【題型三】平行關(guān)系的綜合應(yīng)用

【典例1】如圖，在四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點(diǎn)，AC與BE交于O點(diǎn)，G是線段OF上一點(diǎn).

(1)求證：AP∥平面BEF；

(2)求證：GH∥平面PAD.

【解析】證明(1)如圖，連接EC，因為AD∥BC，BC＝AD，

所以BC∥AE，BC＝AE，

所以四邊形ABCE是平行四邊形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn).

又因為F是PC的中點(diǎn)，所以FO∥AP，

因為FO平面BEF，AP平面BEF，

所以AP∥平面BEF.

(2)連接OH，因為F，H分別是PC，CD的中點(diǎn)，

所以FH∥PD，

因為PD平面PAD，F(xiàn)H平面PAD，

所以FH∥平面PAD.

又因為O是AC的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)，

所以O(shè)H∥AD，

因為AD平面PAD，OH平面PAD，

所以O(shè)H∥平面PAD.

又FH∩OH＝H，F(xiàn)H，OH平面OHF，

所以平面OHF∥平面PAD.

又因為GH平面OHF，

所以GH∥平面PAD.

【典例2】如圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn).求證：

(1)BE∥平面DMF；

(2)平面BDE∥平面MNG.

【解析】證明(1)如圖，連接AE，則AE必過DF與GN的交點(diǎn)O，因為四邊形ADEF為平行四邊形，所以O(shè)為AE的中點(diǎn).

連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO，

又BE平面DMF，MO平面DMF，

所以BE∥平面DMF.

(2)因為N，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點(diǎn)，所以DE∥NG，

又DE平面MNG，NG平面MNG，

所以DE∥平面MNG.

因為M為AB的中點(diǎn)，N為AD的中點(diǎn)，

所以MN為△ABD的中位線，

所以BD∥MN，

又BD平面MNG，MN平面MNG，

所以BD∥平面MNG，

又DE與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線，

所以平面BDE∥平面MNG.

【典例3】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分別為對角線BD，CD1上的點(diǎn)，且＝＝.

(1)求證：PQ∥平面A1D1DA；

(2)若R是AB上的點(diǎn)，的值為多少時，能使平面PQR∥平面A1D1DA？請給出證明．

【解析】(1)證明連接CP并延長，與DA的延長線交于M點(diǎn)，如圖，連接MD1，因為四邊形ABCD為正方形，

所以BC∥AD，

故△PBC∽△PDM，

所以＝＝，

又因為＝＝，

所以＝＝，

所以PQ∥MD1.

又MD1平面A1D1DA，PQ平面A1D1DA，

故PQ∥平面A1D1DA.

(2)解當(dāng)?shù)闹禐闀r，能使平面PQR∥平面A1D1DA.如圖，

證明如下：

因為＝，

即＝，

故＝.

所以PR∥DA.

又DA平面A1D1DA，PR平面A1D1DA，

所以PR∥平面A1D1DA，

又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR平面PQR，

所以平面PQR∥平面A1D1DA.

三、【培優(yōu)訓(xùn)練】

【訓(xùn)練一】(多選)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，P是線段BC1上的一動點(diǎn)，則下列說法中正確的是()

A.A1P∥平面AD1C

B.A1P與平面BCC1B1所成角的正切值的最大值是

C.A1P＋PC的最小值為

D.以A為球心，為半徑的球面與側(cè)面DCC1D1的交線長是

【解析】對于A，由于平面A1BC1∥平面AD1C，A1P平面A1BC1，所以A1P∥平面AD1C，所以A正確；

對于B，當(dāng)B1P⊥BC1時，A1P與平面BCC1B1所成角的正切值最大，易求最大值是，所以B錯誤；

對于C，將△A1C1B沿BC1翻折與△BCC1在同一平面，且點(diǎn)A1，C在直線BC1的異側(cè)，此時在△A1CC1中，由三角恒等變換可求得cos∠A1C1C＝－，由余弦定理可得A1C＝，所以A1P＋PC的最小值為，C正確；

對于D，由于AD⊥平面DCC1D1，所以交線為以D為圓心，1為半徑的圓周的四分之一，所以交線長是，D正確.

故選ACD.

【訓(xùn)練二】在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，則點(diǎn)Q滿足條件________時，有平面D1BQ∥平面PAO.

【解析】如圖所示，設(shè)Q為CC1的中點(diǎn)，因為P為DD1的中點(diǎn)，所以QB∥PA.連接DB，因為P，O分別是DD1，DB的中點(diǎn)，所以D1B∥PO，又D1B平面PAO，QB平面PAO，PO平面PAO，PA平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q為CC1的中點(diǎn)時，有平面D1BQ∥平面PAO.

【訓(xùn)練三】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分別為對角線BD，CD1上的點(diǎn)，且＝＝.

(1)求證：PQ∥平面A1D1DA；

(2)若R是AB上的點(diǎn)，的值為多少時，能使平面PQR∥平面A1D1DA？請給出證明.

【解析】(1)證明連接CP并延長與DA的延長線交于M點(diǎn)，如圖，連接MD1，

因為四邊形ABCD為正方形，所以BC∥AD，

故△PBC∽△PDM，所以＝＝，

又因為＝＝，

所以＝＝，

所以PQ∥MD1.

又MD1平面A1D1DA，

PQ平面A1D1DA，

故PQ∥平面A1D1DA.

(2)解當(dāng)?shù)闹禐闀r，能使平面PQR∥平面A1D1DA.

如圖，證明：

因為＝，

即＝，故＝.所以PR∥DA.

又DA平面A1D1DA，PR平面A1D1DA，

所以PR∥平面A1D1DA，

又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR平面PQR，

所以平面PRQ∥平面A1D1DA.

【訓(xùn)練四】如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為AB1，A1C1上的點(diǎn)，A1N＝AM.

(1)求證：MN∥平面BB1C1C；

(2)求MN的最小值．

【解析】(1)證明如圖，作NE∥A1B1交B1C1于點(diǎn)E，作MF∥AB交BB1于點(diǎn)F，連接EF，

則NE∥MF.

∵NE∥A1B1，∴＝.

又MF∥AB，∴＝，

∵A1C1＝AB1，A1N＝AM，

∴C1N＝B1M.

∴＝，

又AB＝A1B1，∴NE＝MF.

∴四邊形MNEF是平行四邊形，∴MN∥EF，

又MN平面BB1C1C，EF平面BB1C1C，

∴MN∥平面BB1C1C.

(2)解設(shè)B1E＝x，∵NE∥A1B1，

∴＝.

又∵M(jìn)F∥AB，∴＝，

∵A1N＝AM，A1C1＝AB1＝a，

B1C1＝BB1＝a，B1E＝x，

∴＋＝＋，

∴＋＝1，

∴B1F＝a－x，

從而MN＝EF＝

＝

＝，

∴當(dāng)x＝時，MN的最小值為a.

【訓(xùn)練五】如圖，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，PA＝AB＝2，AD＝3BC＝3，E在棱AD上，且AE＝1，若平面CEF與棱PD相交于點(diǎn)F，且平面CEF∥平面PAB.

(1)求的值；

(2)求點(diǎn)F到平面PBC的距離．

【解析】(1)∵平面CEF∥平面PAB，

且平面CEF∩平面PAD＝EF，平面PAB∩平面PAD＝PA，

∴PA∥EF，

又AE＝1＝AD，∴PF＝PD，∴＝.

(2)∵F為PD的三等分點(diǎn)，

∴F到平面PBC的距離等于D到平面PBC的距離的，

設(shè)D到平面PBC的距離為h，

∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥BC，

又∵BC∥AD，AB⊥AD，∴BC⊥AB，

∵PA∩AB＝A，PA，AB平面PAB，

∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，

由等體積法得VD－PBC＝VP－BCD，

即S△PBC·h＝S△DBC·PA，

∵PA＝AB＝2，AD＝3BC＝3，

∴PB＝2，BC＝1，

∴S△PBC＝PB·BC＝，S△DBC＝BC·AB＝1，

∴h＝，

∴F到平面PBC的距離等于.

【訓(xùn)練六】如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，側(cè)面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，PB上的點(diǎn)，平面CEF∥平面PAD.

(1)確定點(diǎn)E，F(xiàn)的位置，并說明理由；

(2)求三棱錐FDCE的體積．

【解析】(1)因為平面CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面ABCD＝CE，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，

所以CE∥AD，又AB∥DC，

所以四邊形AECD是平行四邊形，

所以DC＝AE＝AB，

即點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．

因為平面CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面PAB＝EF，

平面PAD∩平面PAB＝PA，

所以EF∥PA，又點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)．

綜上，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn)．

(2)連接PE，由題意及(1)知PA＝PB，AE＝EB，

所以PE⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，

所以PE⊥平面ABCD.

又AB∥CD，AB⊥AD，

所以VFDEC＝VPDEC＝S△DEC×PE＝××2×2×2＝.

四、【強(qiáng)化測試】

【單選題】

1.下列命題中正確的是()

A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面

B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行

C．平行于同一條直線的兩個平面平行

D．若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，bα，則b∥α

【解析】A中，a可以在過b的平面內(nèi)；B中，a與α內(nèi)的直線也可能異面；C中，兩平面可能相交；D中，由直線與平面平行的判定定理知b∥α，正確．

故選D.

2.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點(diǎn)，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，則()

A．BD∥平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形

B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形

C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是菱形

D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形

【解析】由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF平行等于BD，又EF平面BCD，BD平面BCD，所以EF∥平面BCD.又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，所以HG平行等于BD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四邊形EFGH是梯形．

故選B.

3.在四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E∈PC，F(xiàn)∈PB，＝3，＝λ，如圖．若AF∥平面BDE，則λ的值為()

A．1B．3

C．2D．4

【解析】連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接OE.因為AF∥平面BDE，所以過點(diǎn)A作AH∥平面BDE，交PC于點(diǎn)H，連接FH，則得到平面AFH∥平面BDE，所以FH∥BE.因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以在△ACH與△OCE中，＝＝1，

即EC＝EH.又因為＝3，所以PH＝2HE.因為＝＝2，所以λ＝2.故選C.

故選C.

4.設(shè)a，b，c表示不同直線，α，β表示不同平面，下列命題：

①若a∥c，b∥c，則a∥b；②若a∥b，b∥α，則a∥α；③若a∥α，b∥α，則a∥b；④若aα，bβ，α∥β，則a∥b.

真命題的個數(shù)是()

A．1B．2

C．3D．4

【解析】由題意，對于①，根據(jù)線線平行的傳遞性可知①是真命題；對于②，根據(jù)a∥b，b∥α，可以推出a∥α或aα，故②是假命題；對于③，根據(jù)a∥α，b∥α，可以推出a與b平行、相交或異面，故③是假命題；對于④，根據(jù)aα，bβ.α∥β，可以推出a∥b或a與b異面，故④是假命題，所以真命題的個數(shù)是1，

故選A．

5.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點(diǎn)，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，則()

A．BD∥平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形

B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形

C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是菱形

D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形

【解析】由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EFBD，又EF平面BCD，所以EF∥平面BCD.又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，所以HGBD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四邊形EFGH是梯形．

故選B.

6.已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分別為AC，B1C1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為BC，B1B的中點(diǎn)，則直線MN與直線EF、平面ABB1A1的位置關(guān)系分別為()

A．平行、平行B．異面、平行C．平行、相交D．異面、相交

【解析】∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，

M，N分別為AC，B1C1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為BC，B1B的中點(diǎn)，

∴EF平面BCC1B1，MN∩平面BCC1B1＝N，NEF，

∴由異面直線判定定理得直線MN與直線EF是異面直線；

取A1C1的中點(diǎn)P，連接PM，PN，如圖，

則PN∥B1A1，PM∥A1A，

∵AA1∩A1B1＝A1，PM∩PN＝P，

∴平面PMN∥平面ABB1A1，

∵M(jìn)N平面PMN，

∴直線MN與平面ABB1A1平行．

故選B.

7.如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，P，Q分別為棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中點(diǎn)，則下列敘述中正確的是()

A．直線BQ∥平面EFG

B．直線A1B∥平面EFG

C．平面APC∥平面EFG

D．平面A1BQ∥平面EFG

【解析】過點(diǎn)E，F(xiàn)，G的截面如圖所示(H，I分別為AA1，BC的中點(diǎn))，連接A1B，BQ，AP，PC，易知BQ與平面EFG相交于點(diǎn)Q，故A錯誤；

∵A1B∥HE，A1B平面EFG，HE平面EFG，

∴A1B∥平面EFG，故B正確；

AP平面ADD1A1，HG平面ADD1A1，延長HG與PA必相交，故C錯誤；

易知平面A1BQ與平面EFG有交點(diǎn)Q，故D錯誤．

故選B.

8.正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)M，N分別是棱BC，CC1的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在正方形BCC1B1(包括邊界)內(nèi)運(yùn)動，且PA1∥平面AMN，則PA1的長度范圍為()

A.B.

C.D.

【解析】取B1C1的中點(diǎn)E，BB1的中點(diǎn)F，連接A1E，A1F，EF，

取EF的中點(diǎn)O，連接A1O，如圖所示，

∵點(diǎn)M，N分別是棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中棱BC，CC1的中點(diǎn)，

∴AM∥A1E，MN∥EF，

∵AM∩MN＝M，A1E∩EF＝E，AM，MN平面AMN，A1E，EF平面A1EF，

∴平面AMN∥平面A1EF，

∵動點(diǎn)P在正方形BCC1B1(包括邊界)內(nèi)運(yùn)動，

且PA1∥平面AMN，

∴點(diǎn)P的軌跡是線段EF，

∵A1E＝A1F＝＝，EF＝＝，

∴A1O⊥EF，

∴當(dāng)P與O重合時，PA1的長度取最小值A(chǔ)1O，

A1O＝＝，

當(dāng)P與E(或F)重合時，PA1的長度取最大值A(chǔ)1E或A1F，A1E＝A1F＝.

∴PA1的長度范圍為.

故選B.

【多選題】

9.已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列說法錯誤的是()

A．若m⊥α，m⊥n，則n∥α

B．若m⊥α，n∥β且α∥β，則m⊥n

C．若mα，nα且m∥β，n∥β，則α∥β

D．若直線m，n與平面α所成的角相等，則m∥n

【解析】對于A，滿足m⊥α，m⊥n的n，α的位置關(guān)系可能是n∥α或nα，故A錯誤；對于B，由m⊥α，α∥β，得m⊥β，結(jié)合n∥β，知m⊥n，故B正確；對于C，根據(jù)面面平行的判定定理知需當(dāng)m，n為相交直線時，才有α∥β，故C錯誤；對于D，若m，n為圓錐的兩條母線，平面α為圓錐的底面所在平面，此時直線m，n與平面α所成的角相等，但此時m，n為相交直線，故D錯誤．

故選ACD.

10.在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點(diǎn)，下列四個推斷中正確的是()

A．FG∥平面AA1D1D

B．EF∥平面BC1D1

C．FG∥平面BC1D1

D．平面EFG∥平面BC1D1

【解析】因為在正方體ABCDA1B1C1D1中，F(xiàn)，G分別是B1C1，BB1的中點(diǎn)，

所以FG∥BC1，因為BC1∥AD1，

所以FG∥AD1，

因為FG平面AA1D1D，AD1平面AA1D1D，

所以FG∥平面AA1D1D，故A正確；

因為EF∥A1C1，A1C1與平面BC1D1相交，

所以EF與平面BC1D1相交，故B錯誤；

因為F，G分別是B1C1，BB1的中點(diǎn)，

所以FG∥BC1，因為FG平面BC1D1，BC1平面BC1D1，

所以FG∥平面BC1D1，故C正確；

因為EF與平面BC1D1相交，

所以平面EFG與平面BC1D1相交，故D錯誤．

故選AC.

11.如圖，正三棱柱ABCA1B1C1各條棱的長度均相等，D為AA1的中點(diǎn)，M，N分別是線段BB1和線段CC1上的動點(diǎn)(含端點(diǎn))，且滿足BM＝C1N，當(dāng)M，N運(yùn)動時，下列結(jié)論中正確的是()

A．在△DMN內(nèi)總存在與平面ABC平行的線段

B．平面DMN⊥平面BCC1B1

C．三棱錐A1DMN的體積為定值

D．△DMN可能為直角三角形

【解析】用平行于平面ABC的平面截平面DMN，則交線平行于平面ABC，故A正確；當(dāng)M，N分別在BB1，CC1上運(yùn)動時，若滿足BM＝C1N，則線段MN必過正方形BCC1B1的中點(diǎn)O，由DO⊥平面BCC1B1可得平面DMN⊥BCC1B1故B正確；當(dāng)M，N分別在BB1，CC1上運(yùn)動時，△A1DM的面積不變，點(diǎn)N到平面A1DM的距離不變，所以三棱錐NA1DM的體積不變，即三棱錐A1DMN的體積為定值，故C正確；若△DMN為直角三角形，則必是以∠MDN為直角的直角三角形，易證DM＝DN，所以△DMN為等腰直角三角形，所以DO＝OM＝ON，即MN＝2OD，設(shè)正三棱柱的棱長為2，則DO＝，MN＝2，因為MN的最大值為BC1＝2，所以MN不可能為2，所以△DMN不可能為直角三角形，故D錯誤．

故選ABC.

12.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面邊長為2，側(cè)棱AA1＝1，P為上底面A1B1C1D1上的動點(diǎn)，下列四個結(jié)論中正確的為()

A．若PD＝3，則滿足條件的P點(diǎn)有且只有一個

B．若PD＝，則點(diǎn)P的軌跡是一段圓弧

C．若PD∥平面ACB1，則DP長的最小值為2

D．若PD∥平面ACB1，且PD＝，則平面BDP截正四棱柱ABCDA1B1C1D1的外接球所得平面圖形的面積為

【解析】如圖所示，因為正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面邊長為2，所以B1D1＝2，又側(cè)棱AA1＝1，所以DB1＝＝3，則P與B1重合時PD＝3，此時P點(diǎn)唯一，故A項正確；

因為PD＝∈(1，3)，DD1＝1，則PD1＝，即點(diǎn)P的軌跡是一段圓弧，故B項正確；

連接DA1，DC1，可得平面A1DC1∥平面ACB1，則當(dāng)P為A1C1中點(diǎn)時，DP有最小值，為＝，故C項錯誤；

由C選項知，平面BDP即為平面BDD1B1，平面BDP截正四棱柱ABCDA1B1C1D1的外接球所得平面圖形為外接球的大圓，其半徑為＝，面積為，故D項正確．

故選ABD.

【填空題】

13.如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長等于________．

【解析】因為EF∥平面AB1C，EF平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以點(diǎn)F為DC的中點(diǎn)．故EF＝AC＝.

14.在下面給出的條件中，若條件足夠推出a∥α，則在橫線上填“OK”；若條件不能保證推出a∥α，則請在橫線上補(bǔ)足條件：

(1)條件：a∥b，b∥c，cα，______，結(jié)論：a∥α；

(2)條件：α∩β＝b，a∥b，aβ，______，結(jié)論：a∥α.

【解析】因為a∥b，b∥c，cα，所以由直線與平面平行的判定定理得，當(dāng)aα?xí)r，a∥α.因為α∩β＝b，a∥b，aβ，則由直線與平面平行的判定定理得a∥α.

15.在四面體ABCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個面中與MN平行的是________．

【解析】如圖，取CD的中點(diǎn)E，連接AE，BE，

則EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，

所以MN∥AB.

因為AB平面ABD，MN平面ABD，AB平面ABC，MN平面ABC，

所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.

16.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中判斷下列位置關(guān)系：

(1)AD1所在的直線與平面BCC1的位置關(guān)系是______；

(2)平面A1BC1與平面ABCD的位置關(guān)系是______．

【解析】(1)AD1所在直線與平面BCC1的位置關(guān)系是平行．理由：AB∥C1D1，且AB＝C1D1，可得四邊形ABC1D1為平行四邊形，即有AD1∥BC1，AD1平面BCC1，BC1平面BCC1，則AD1∥平面BCC1.

(2)平面A1BC1與平面ABCD的位置關(guān)系是相交．理由：平面A1BC1與平面ABCD有一個交點(diǎn)B，由公理3得，如果兩個平面有一個公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)在一條直線上，這條直線為交線．如圖，過點(diǎn)B作AC的平行線l，即為交線．

【解答題】

17.已知在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝2AB，Q為PC的中點(diǎn).

(1)求證：BQ∥平面PAD；

(2)若PD＝3，BC＝，BC⊥BD，試在線段PC上確定一點(diǎn)S，使得三棱錐S－BCD的體積為.

【解析】(1)證明取PD的中點(diǎn)G，連接AG，GQ，

因為Q為PC的中點(diǎn)，所以GQ∥DC，且GQ＝DC，

又因為AB∥DC，DC＝2AB，所以GQ∥AB，GQ＝AB，

所以四邊形ABQG是平行四邊形，

所以BQ∥AG，

又BQ平面PAD，AG平面PAD，所以BQ∥平面PAD.

(2)解因為在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，DC＝2AB，

所以點(diǎn)B在線段CD的垂直平分線上，

又因為BC＝，BC⊥BD，

所以BD＝BC＝，

所以△BCD的面積S＝××＝1.

設(shè)點(diǎn)S到平面ABCD的距離為h，

所以×1×h＝，所以h＝2，

又PD⊥平面ABCD，PD＝3，

所以點(diǎn)S在線段PC上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)處.

18.如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn).

(1)證明：MN∥平面C1DE；

(2)求點(diǎn)C到平面C1DE的距離.

【解析】(1)證明如圖，連接B1C，ME.

因為M，E分別為BB1，BC的中點(diǎn)，

所以ME∥B1C，且ME＝B1C.

又因為N為A1D的中點(diǎn)，所以ND＝A1D.

由題設(shè)知A1B1平行且相等DC，

可得B1C平行且相等A1D，故ME平行且相等ND，

因此四邊形MNDE為平行四邊形，

所以MN∥ED.

又MN平面C1DE，DE平面C1DE，

所以MN∥平面C1DE.

(2)解過點(diǎn)C作C1E的垂線，垂足為H.

由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，又BC∩C1C＝C，BC，C1C平面C1CE，所以DE⊥平面C1CE，

故DE⊥CH.所以CH⊥平面C1DE，

故CH的長即為點(diǎn)C到平面C1DE的距離.

由已知可得CE＝1，C1C＝4，

所以C1E＝，故CH＝.

從而點(diǎn)C到平面C1DE的距離為.

19.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是BC，CC1，C1D1，AA1的中點(diǎn)，求證：

(1)BF∥HD1；

(2)EG∥平面BB1D1D；

(3)平面BDF∥平面B1D1H.

【解析】證明如圖．

(1)取B1B的中點(diǎn)M，

連接HM，MC1，易證四邊形HMC1D1是平行四邊形，

∴HD1∥MC1.

又MC1∥BF，

∴BF∥HD1.

(2)取BD的中點(diǎn)O，連接OE，OD1，

則OE平行且等于DC.

又D1G平行且等于DC，

∴OE平行且等于D1G.

∴四邊形OEGD1是平行四邊形，

∴EG∥D1O.

又D1O平面BB1D1D，EG平面BB1D1D，

∴EG∥平面BB1D1D.

(3)由(1)知BF∥HD1，由題意易證B1D1∥BD.

又B1D1，HD1平面B1D1H，BF，BD平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，

∴平面BDF∥平面B1D1H.

20.如圖，在四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點(diǎn)，AC與BE交于O點(diǎn)，G是線段OF上一點(diǎn)．

(1)求證：AP∥平面BEF；

(2)求證：GH∥平面PAD.

【解析】證明(1)如圖，連接EC，

因為AD∥BC，BC＝AD，

所以BC∥AE，BC＝AE，

所以四邊形ABCE是平行四邊形，

所以O(shè)為AC的中點(diǎn)．

又因為F是PC的中點(diǎn)，

所以FO∥AP，

因為FO平面BEF，

AP平面BEF，

所以AP∥平面BEF.

(2)連接FH，OH，因為F，H分別是PC，CD的中點(diǎn)，

所以FH∥PD，

因為PD平面PAD，F(xiàn)H平面PAD，

所以FH∥平面PAD.

又因為O是BE的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)，

所以O(shè)H∥AD，

因為AD平面PAD，OH平面PAD，

所以O(shè)H∥平面PAD.

又FH∩OH＝H，F(xiàn)H，OH平面OHF，

所以平面OHF∥平面PAD.

又因為GH平面OHF，

所以GH∥平面PAD.

21.如圖，在四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點(diǎn)，AC與BE交于O點(diǎn)，G是線段OF上一點(diǎn)．

(1)求證：AP∥平面BEF；

(2)求證：GH∥平面PAD.

【解析】證明(1)如圖，連接EC，因為AD∥BC，BC＝AD，

所以BC∥AE，BC＝AE，

所以四邊形ABCE是平行四邊形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)．

又因為F是PC的中點(diǎn)，

所以FO∥AP，

因為FO平面BEF，

AP平面BEF，

所以AP∥平面BEF.

(2)連接FH，OH，因為F，H分別是PC，CD的中點(diǎn)，

所以FH∥PD，

因為PD平面PAD，F(xiàn)H平面PAD，

所以FH∥平面PAD.

又因為O是BE的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)，

所以O(shè)H∥AD，

因為AD平面PAD，OH平面PAD，

所以O(shè)H∥平面PAD.

又FH∩OH＝H，F(xiàn)H，OH平面OHF，

所以平面OHF∥平面PAD.

又因為GH平面OHF，

所以GH∥平面PAD.

22.如圖，在四棱錐S－ABCD中，∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝DC＝SA＝BC＝2，點(diǎn)E，G分別在線段SA，AD上，且SE＝AE，AG＝GD，F(xiàn)為棱BC上一點(diǎn)，且CF＝1.

證明：平面SCD∥平面EFG.

【解析】證明因為點(diǎn)E，G分別在線段SA，AD上，

且SE＝AE，AG＝GD，

故EG∥SD，

又EG平面SCD，SD平面SCD，

故EG∥平面SCD；

因為∠ADC＝∠BCD＝90°，

故AD∥BC，因為GD＝FC＝1，

故四邊形GDCF為平行四邊形，故GF∥CD；

又GF平面SCD，CD平面SCD，故GF∥平面SCD，

因為GF平面EFG，EG平面EFG，EG∩FG＝G，

所以平面SCD∥平面EFG.專題43直線、平面平行的判定與性質(zhì)

知識梳理考綱要求

考點(diǎn)預(yù)測

常用結(jié)論

方法技巧

題型歸類題型一：直線與平面平行的判定與性質(zhì)

題型二：平面與平面平行的判定與性質(zhì)

題型三：平行關(guān)系的綜合應(yīng)用

培優(yōu)訓(xùn)練訓(xùn)練一：

訓(xùn)練二：

訓(xùn)練三：

訓(xùn)練四：

訓(xùn)練五：

訓(xùn)練六：

強(qiáng)化測試單選題：共8題

多選題：共4題

填空題：共4題

解答題：共6題

一、【知識梳理】

【考綱要求】

1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明.

2.掌握直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)，并會簡單應(yīng)用．

【考點(diǎn)預(yù)測】

1.直線與平面平行

(1)直線與平面平行的定義

直線l與平面α沒有公共點(diǎn)，則稱直線l與平面α平行.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行aα，bα，a∥ba∥α

性質(zhì)定理一條直線和一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行a∥α，aβ，α∩β＝ba∥b

2.平面與平面平行

(1)平面與平面平行的定義

沒有公共點(diǎn)的兩個平面叫做平行平面.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

判定定理如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行aβ，bβ，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β

性質(zhì)兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面α∥β，aαa∥β

性質(zhì)定理兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝ba∥b

【常用結(jié)論】

(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.

(2)平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.

(3)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即a⊥α，b⊥α，則a∥b.

(4)若α∥β，aα，則a∥β.

【方法技巧】

1.判斷或證明線面平行的常用方法

①利用線面平行的定義(無公共點(diǎn))．

②利用線面平行的判定定理(aα，bα，a∥ba∥α)．

③利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，aαa∥β)．

④利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，aβ，a∥αa∥β)．

2.應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時需要經(jīng)過已知直線作輔助平面確定交線．

3.證明面面平行的方法

(1)面面平行的定義．

(2)面面平行的判定定理．

(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行．

(4)兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行．

(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．

4.解決這種數(shù)值或存在性問題的題目時，注意先給出具體的值或先假設(shè)存在，然后再證明．

二、【題型歸類】

【題型一】直線與平面平行的判定與性質(zhì)

【典例1】如圖所示，正方形ABCD與正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE、BD上各有一點(diǎn)P、Q，且AP＝DQ.求證：PQ∥平面BCE.

【典例2】如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和PA作平面交BD于點(diǎn)H.求證：PA∥GH.

【典例3】如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是矩形，M是線段EF的中點(diǎn).

(1)求證：AM∥平面BDE；

(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，試分析l與m的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【題型二】平面與平面平行的判定與性質(zhì)

【典例1】如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，過BC的平面與上底面A1B1C1交于GH(GH與B1C1不重合)．

(1)求證：BC∥GH；

(2)若E，F(xiàn)，G分別是AB，AC，A1B1的中點(diǎn)，求證：平面EFA1∥平面BCHG.

【典例2】如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G分別為B1C1，A1B1，AB的中點(diǎn)．

(1)求證：平面A1C1G∥平面BEF；

(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求證：H為BC的中點(diǎn)．

【典例3】如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．

(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；

(2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝直線l，證明：B1D1∥l.

【題型三】平行關(guān)系的綜合應(yīng)用

【典例1】如圖，在四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點(diǎn)，AC與BE交于O點(diǎn)，G是線段OF上一點(diǎn).

(1)求證：AP∥平面BEF；

(2)求證：GH∥平面PAD.

【典例2】如圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn).求證：

(1)BE∥平面DMF；

(2)平面BDE∥平面MNG.

【典例3】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分別為對角線BD，CD1上的點(diǎn)，且＝＝.

(1)求證：PQ∥平面A1D1DA；

(2)若R是AB上的點(diǎn)，的值為多少時，能使平面PQR∥平面A1D1DA？請給出證明．

三、【培優(yōu)訓(xùn)練】

【訓(xùn)練一】(多選)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，P是線段BC1上的一動點(diǎn)，則下列說法中正確的是()

A.A1P∥平面AD1C

B.A1P與平面BCC1B1所成角的正切值的最大值是

C.A1P＋PC的最小值為

D.以A為球心，為半徑的球面與側(cè)面DCC1D1的交線長是

【訓(xùn)練二】在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，則點(diǎn)Q滿足條件________時，有平面D1BQ∥平面PAO.

【訓(xùn)練三】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分別為對角線BD，CD1上的點(diǎn)，且＝＝.

(1)求證：PQ∥平面A1D1DA；

(2)若R是AB上的點(diǎn)，的值為多少時，能使平面PQR∥平面A1D1DA？請給出證明.

【訓(xùn)練四】如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為AB1，A1C1上的點(diǎn)，A1N＝AM.

(1)求證：MN∥平面BB1C1C；

(2)求MN的最小值．

【訓(xùn)練五】如圖，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，PA＝AB＝2，AD＝3BC＝3，E在棱AD上，且AE＝1，若平面CEF與棱PD相交于點(diǎn)F，且平面CEF∥平面PAB.

(1)求的值；

(2)求點(diǎn)F到平面PBC的距離．

【訓(xùn)練六】如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，側(cè)面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，PB上的點(diǎn)，平面CEF∥平面PAD.

(1)確定點(diǎn)E，F(xiàn)的位置，并說明理由；

(2)求三棱錐FDCE的體積．

四、【強(qiáng)化測試】

【單選題】

1.下列命題中正確的是()

A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面

B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行

C．平行于同一條直線的兩個平面平行

D．若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，bα，則b∥α

2.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點(diǎn)，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，則()

A．BD∥平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形

B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形

C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是菱形

D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形

3.在四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E∈PC，F(xiàn)∈PB，＝3，＝λ，如圖．若AF∥平面BDE，則λ的值為()

A．1B．3

C．2D．4

4.設(shè)a，b，c表示不同直線，α，β表示不同平面，下列命題：

①若a∥c，b∥c，則a∥b；②若a∥b，b∥α，則a∥α；③若a∥α，b∥α，則a∥b；④若aα，bβ，α∥β，則a∥b.

真命題的個數(shù)是()

A．1B．2

C．3D．4

5.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點(diǎn)，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，則()

A．BD∥平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形

B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形

C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是菱形

D．EH