北師大版高中數(shù)學(xué)選修21教案

北師大版高中數(shù)學(xué)選修21教案_范文寫作網(wǎng)學(xué)問點(diǎn)一拋物線的簡潔性質(zhì)

考點(diǎn)一拋物線的性質(zhì)及應(yīng)用

例1(1)等腰直角△ABO內(nèi)接于拋物線y2＝2px(p＞0)，O為拋物線的頂點(diǎn)，OA⊥OB，則△ABO的面積是()

A．8p2B．4p2C．2p2D．p2

(2)(2023·全國卷Ⅰ)已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)．若d6e1f5c353cfc65d5e4d9125007dd99b.png＝4c4727ccb2e8b30b39192e30734aba3a6.png，則|QF|＝()

A.94f7b8d3c31ae0e329bed2998dfaf493.pngB．3C.33773559c5e642b3ea04e179079c8dfc.pngD．2

(3)對稱軸是x軸，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．

【名師指津】

1．求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟可用如下框圖表示：

2．需對焦點(diǎn)在直線上、焦點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線過橢圓的焦點(diǎn)等予以關(guān)注，此時(shí)，可能有兩個(gè)焦點(diǎn)或準(zhǔn)線方程，相應(yīng)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程也就有兩個(gè)．

練習(xí)1．邊長為1的等邊三角形AOB，O為原點(diǎn)，AB⊥x軸，以O(shè)為頂點(diǎn)且過A，B的拋物線方程是()

A．y2＝73af71e67c538b00a278ec1222f64d3e.pngxB．y2＝－73af71e67c538b00a278ec1222f64d3e.pngxC．y2＝±73af71e67c538b00a278ec1222f64d3e.pngxD．y2＝±9b5a8389ddff9c6536978ac9de052a07.pngx

考點(diǎn)二拋物線焦點(diǎn)弦問題

例2.斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長．

【名師指津】

1．拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)A(x0，y0)是拋物線上任一點(diǎn)，則|AF|＝x0＋df46a8b4378b6eb47fbdd78b9d99b65c.png.

2．與拋物線的焦點(diǎn)弦長有關(guān)的問題，可直接應(yīng)用公式求解．解題時(shí)，需依據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定弦長公式是由交點(diǎn)橫坐標(biāo)定還是由交點(diǎn)縱坐標(biāo)定，是p與交點(diǎn)坐標(biāo)的和還是交點(diǎn)坐標(biāo)的差．這是正確解題的關(guān)鍵．

練習(xí)1．過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)，假如x1＋x2＝8，則|AB|的值為()

A．10B．8C．6D．4

考點(diǎn)三拋物線中的最值問題

例3.(1)已知P是拋物線y2＝4x上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，求點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x＝－1的距離之和的最小值；

(2)求拋物線y＝4x2上一點(diǎn)，使它到直線l：4x－y－5＝0的距離最短，并求此距離．

【名師指津】

(1)若曲線與直線相離，在曲線上求一點(diǎn)到直線的距離的最小問題，可找與已知直線平行的直線，使其與曲線相切，則切點(diǎn)為所要求的點(diǎn)．(2)利用拋物線的定義將問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”或“點(diǎn)到直線的垂線段最短”來解決，這種方法在解題中有著廣泛的應(yīng)用，要深刻體會(huì)．

練習(xí)1．已知拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又有點(diǎn)A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

例4.已知拋物線y2＝2px(p＞0)，直線l過拋物線焦點(diǎn)Fc5a65fb1b9c6c808330f80dddbf7e272.png與拋物線交于A，B兩點(diǎn)．求證：以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．

思索

探究1怎么快速、精確地畫出拋物線的簡圖？

探究2拋物線y2＝2px(p＞0)是有界曲線嗎？

探究3拋物線上的點(diǎn)P(x0，y0)與焦點(diǎn)F之間的線段稱為焦半徑，記作r＝|PF|.依據(jù)拋物線的定義，你能寫出焦半徑公式嗎？

探究4設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的弦，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)．你能總結(jié)有關(guān)焦點(diǎn)弦的結(jié)論嗎？

探究5過拋物線焦點(diǎn)的直線肯定會(huì)與拋物線相交形成焦點(diǎn)弦嗎？

探究6已知拋物線y2＝66cb1286d2ae3e9092235381221e59d2.pngx，則弦長為定值1的焦點(diǎn)弦有幾條？

課堂練習(xí)

1．過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作始終線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|＝5，則這樣的直線()

A．有且只有一條B．有且只有兩條

C．有無窮多條D．不存在

2．將兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2＝2px(p＞0)上，另一個(gè)頂點(diǎn)是此拋物線焦點(diǎn)的正三角個(gè)數(shù)記為n，則()

A．n＝0B．n＝1

C．n＝2D．n≥3

3．拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其通徑的兩端與頂點(diǎn)連成的三角形的面積為4，則此拋物線的方程是()

A．y2＝8a5ee308c74686f6fc715cfc411104dee.pngxB．y2＝±4a5ee308c74686f6fc715cfc411104dee.pngx

C．y2＝±4xD．y2＝±8a5ee308c74686f6fc715cfc411104dee.pngx

4．若點(diǎn)P在拋物線y2＝x上，點(diǎn)Q在圓(x－3)2＋y2＝1上，則|PQ|的最小值為________．

5．定長為3的線段AB的端點(diǎn)A、B在拋物線y2＝x上移動(dòng)，求AB的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離的最小值，并求出此時(shí)AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)．

【根底達(dá)標(biāo)】

一、選擇題

1．(2023·河南中原聯(lián)考)過拋物線y＝ax2(a＞0)的焦點(diǎn)F作始終線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AF、BF的長分別為m，n，則15ee65caf62faf137e8695ece23d0501.png等于()

A.9a35029a40c305c2f21877e125fb1005.pngB．26c1aee199ae23ff2948a22bbb57ef25.pngC．2aD．bb147f053a9b7947467f20fc6b665e46.png

2．(2023·全國甲卷)設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，曲線y＝14d3a1e6487ef4d18c38f3c5987a8230.png(k＞0)與C交于點(diǎn)P，PF⊥x軸，則k＝()

A.df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngB．1C．003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.pngD．2

3．設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)，A是拋物線上的一點(diǎn)，40e8e4b77c4b6a3486755b200a8ae8e7.png與x軸正向的夾角為60°，則|OA|為()

A.14e8696940f8508f400b746091b5f430.pngpB．c48c4443b2b18bf00635b8d45fbf89bc.pngpC.f4e3356e637d4227901a13fd8e8e5c46.pngpD．3b7f1b440d10f173cf6e7f19248e0be8.pngp

4．過點(diǎn)P(4,4)與拋物線y2＝2x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有()

A．0條B．1條C．2條D．3條

5．設(shè)F為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上三點(diǎn)，若40e8e4b77c4b6a3486755b200a8ae8e7.png＋d5dd65a6c7a84b9cb6abefba31150cf5.png＋6e344ef6f0955dab8ce4d4a7f9b28031.png＝0，則|83fc6354545fb0e21ca5a02c953fe1c3.png|＋|d5dd65a6c7a84b9cb6abefba31150cf5.png|＋|6e344ef6f0955dab8ce4d4a7f9b28031.png|＝()

A．9B．6C．4D．3

二、填空題

6．已知拋物線的離心率為e，焦點(diǎn)為(0，e)，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．

7．已知A(2,0)，點(diǎn)B為拋物線y2＝x上的一點(diǎn)，求|AB|的最小值為________．

8．(2023·長沙高二檢測)已知定點(diǎn)A(－3,0)，B(3,0)，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線y2＝2x上移動(dòng)，則816f790ea39c38fdcca9bd0d80813b7e.png·55ff70978bc3616dd0f5825aa1088b69.png的最小值等于________．

三、解答題

9．拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是橢圓9ddfe8849e5d88f8d7170e091606f32d.png＋75f218cfd4f8e4ccd6354255779b32ad.png＝1短軸所在的直線，拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3，求拋物線的方程及準(zhǔn)線方程．

10．若拋物線y2＝2px(p>0)上有一點(diǎn)M到準(zhǔn)線及對稱軸的距離分別為10和6，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．

【力量提升】

1．過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O為原點(diǎn)，若|AF|＝3，則△AOB的面積為()

A.193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.pngB．1553867a52c684e18d473467563ea33b.pngC.9795d5eb88ac5291c8ccf1e153605847.pngD．21553867a52c684e18d473467563ea33b.png

2．如圖3-2-2，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為()

A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝60ce9f9713b0e5e83e562eb700dc31e0.pngx

3．(2023·山東濟(jì)南期末考試)已知定點(diǎn)Q(2，－1)，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P為拋物線上任意一點(diǎn)，當(dāng)|PQ|＋|PF|取最小值時(shí)，P的坐標(biāo)為________．

4．過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)．點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸．求證：直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.

第十二講雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1．把握雙曲線的定義及其應(yīng)用．(重點(diǎn))

2．把握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過程．(難點(diǎn))

3．會(huì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(易混點(diǎn))

學(xué)問點(diǎn)一雙曲線的定義

我們把平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之差的肯定值等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|)的點(diǎn)的集合叫作雙曲線．

定點(diǎn)F1、F2叫作雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫作雙曲線的焦距．

學(xué)問點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

考點(diǎn)一雙曲線的定義及應(yīng)用

例1.以下命題是真命題的是________(將全部真命題的序號(hào)都填上)．

①已知定點(diǎn)F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，則滿意|PF1|－|PF2|＝27b27a075f28548bc2b72023fca2223a.png的點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；

②已知定點(diǎn)F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，則滿意||PF1|－|PF2||＝4的點(diǎn)P的軌跡為兩條射線；

③到定點(diǎn)F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)距離之差的肯定值等于7的點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；

④若點(diǎn)P到定點(diǎn)F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)的距離的差的肯定值等于點(diǎn)M(1,2)到點(diǎn)N(－3，－1)的距離，則點(diǎn)P的軌跡為雙曲線．

例2如圖，若F1，F(xiàn)2是雙曲線93fa74874e43bd227077cf4fed5e2dc3.png－67db93bdf957239a69d703be6c3c9ccc.png＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)．

(1)若雙曲線上一點(diǎn)M到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于16，求點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離；

(2)若P是雙曲線左支上的點(diǎn)，且|PF1|·|PF2|＝32，試求△F1PF2的面積．

【名師指津】

1．求雙曲線上一點(diǎn)到某一焦點(diǎn)的距離時(shí)，若已知該點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，則依據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可求結(jié)果；若已知該點(diǎn)到另一焦點(diǎn)的距離，則依據(jù)||PF1|－|PF2||＝2a求解，留意對所求結(jié)果進(jìn)展必要的驗(yàn)證(負(fù)數(shù)應(yīng)當(dāng)舍去，且所求距離應(yīng)當(dāng)不小于c－a)．

2．在解決雙曲線中與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問題時(shí)，首先要留意定義中的條件||PF1|－|PF2||＝2a的應(yīng)用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面積公式等學(xué)問進(jìn)展運(yùn)算，在運(yùn)算中要留意整體思想和一些變形技巧的應(yīng)用．

練習(xí)1．已知雙曲線167e1a43dd6c7c77f40f2b690bcc57a0.png－67db93bdf957239a69d703be6c3c9ccc.png＝1的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，若雙曲線上一點(diǎn)P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面積．

考點(diǎn)二求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

例3依據(jù)以下條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(1)求以橢圓840278f724c953edf53f5603390d5d6e.png＋75f218cfd4f8e4ccd6354255779b32ad.png＝1的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)A(4，－5)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知雙曲線通過M(1,1)，N(－2,5)兩點(diǎn)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

【名師指津】

求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法：

(1)定義法：若由題設(shè)條件能夠推斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿意雙曲線的定義，則可依據(jù)雙曲線的定義確定方程．

(2)用待定系數(shù)法，詳細(xì)步驟如下：

練習(xí)2．求適合以下條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)焦點(diǎn)在x軸上，經(jīng)過點(diǎn)(4，－2)和(2fa4a92309c2de95d317265960bf451b0.png，21553867a52c684e18d473467563ea33b.png)；

(2)a＝2a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png，經(jīng)過點(diǎn)A(2，－5)，焦點(diǎn)在y軸上．

考點(diǎn)三求雙曲線的軌跡方程

例4已知?jiǎng)訄AM與圓C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，與圓C2：(x－4)2＋y2＝2內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．

【名師指津】

1．此題易忽視|MC1|－|MC2|＝227b27a075f28548bc2b72023fca2223a.png沒有“肯定值”，故忘加“x≥1553867a52c684e18d473467563ea33b.png”這一條件．

2．求曲線的軌跡方程時(shí)，應(yīng)盡量利用幾何條件探求軌跡的曲線類型，從而再用待定系數(shù)法求出軌跡的方程，這樣可以削減運(yùn)算量，提高解題速度與質(zhì)量．在運(yùn)用雙曲線定義時(shí)，應(yīng)特殊留意定義中的條件“差的肯定值”，弄清所求軌跡是整條雙曲線，還是雙曲線的一支，若是一支，是哪一支，需用變量的范圍確定．

練習(xí)3．在△ABC中，B(4,0)，C(－4,0)，動(dòng)點(diǎn)A滿意sinB－sinC＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngsinA．求點(diǎn)A的軌跡．

思索

探究1雙曲線定義中的“的肯定值”能否去掉？

探究2設(shè)點(diǎn)M是雙曲線上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，如何確定|MF1|－|MF2|的符號(hào)？

探究1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png－8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1(a＞0，b＞0)和60565303bea4e66e79ce544697f847a6.png－d75d0221b1c94a12ed0233219e368a46.png＝1(a＞0，b＞0)有何異同點(diǎn)？

探究2橢圓、雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程之間有什么區(qū)分？

例5設(shè)雙曲線與橢圓48230af4d0506bcbdaecd7b9a5350bf0.png＋617cde8c81f90acc11958aaf8db63a6b.png＝1有一樣的焦點(diǎn)，且與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．

練習(xí)4．已知某雙曲線與840278f724c953edf53f5603390d5d6e.png－51631774022c90b97628a8677a25aa29.png＝1共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(31553867a52c684e18d473467563ea33b.png，2)，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．

課堂練習(xí)

1．推斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)

(1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差等于非零常數(shù)(小于兩定點(diǎn)間距離)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線．()

(2)在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png－8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1中，a＞0，b＞0且a≠b.()

(3)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b的大小關(guān)系是a＞b.()

2．(2023·長春高二檢測)雙曲線167e1a43dd6c7c77f40f2b690bcc57a0.png－2aba3501881f51a24624f25340064ec5.png＝1的焦距為()

A.1553867a52c684e18d473467563ea33b.pngB．21553867a52c684e18d473467563ea33b.pngC.6d471a9004bac3d103dbea3c676ce7d0.pngD．8

3．(2023·安慶高二檢測)已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2是雙曲線0d2f6a866272862ce4c58d81d052ce05.png－8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上的一點(diǎn)，且608094dcefa045069e38ee58c3d10caa.png·d7b9e3ce7e40c0ba272478804606df48.png＝0，則△PF1F2的面積為()

A．a(chǎn)bB．df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngabC．b2D．a(chǎn)2

4．雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且a＋c＝9，b＝3，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．

5．求適合以下條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)已知焦點(diǎn)F1(0，－6)，F(xiàn)2(0,6)，雙曲線上的一點(diǎn)P到F1，F(xiàn)2的距離差的肯定值等于8；

(2)c＝fa4a92309c2de95d317265960bf451b0.png，經(jīng)過點(diǎn)A(－5,2)，焦點(diǎn)在x軸上．

【根底達(dá)標(biāo)】

一、選擇題

1．已知點(diǎn)F1(0，－13)，F(xiàn)2(0,13)，動(dòng)點(diǎn)P到F1與F2的距離之差的肯定值為26，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為()

A．y＝0B．y＝0(|x|≥13)

C．x＝0(|y|≥13)D．以上都不對

2．已知方程17b518ccbb8e27699c58b9a9c4217a7e.png－e8ee42bddf16ca162e3d91512f7e450b.png＝1表示雙曲線，則k的取值范圍是()

A．－1＜k＜1B．k＞0C．k≥0D．k＞1或k＜－1

3．(2023·福建高考)若雙曲線E：167e1a43dd6c7c77f40f2b690bcc57a0.png－67db93bdf957239a69d703be6c3c9ccc.png＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于()

A．11B．9C．5D．3

4．已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝()

A.70e7efdd0b858341812e625a071abd09.pngB．2e6bc1de54d06d6caa3cab8880a44998.pngC.265e19a4ae0afb453ff050334cc577b1.pngD．328a3b93f04d7060c617a203f2e833c5.png

5．已知點(diǎn)F1(－27b27a075f28548bc2b72023fca2223a.png，0)，F(xiàn)2(27b27a075f28548bc2b72023fca2223a.png，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿意|PF2|－|PF1|＝2，當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為71358c0a34e500b4e4713f6bbaa88121.png時(shí)，點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是()

A.9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngB．003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.pngC.393442fbf8ddeee570015b0ce3b89406.pngD．2

二、填空題

6．若雙曲線8kx2－ky2＝8的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,3)，則實(shí)數(shù)k的值為________．

7．若橢圓9f1888a7e4c101547af175e595d55632.png＋9d0b1b6d38192960b45f5206d50c54fb.png＝1(m＞n＞0)和雙曲線5feda8789b9a658af8896634426464a7.png－bda75b1f979565c37323f91627764770.png＝1(a＞0，b＞0)有一樣的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，則|PF1|·|PF2|＝________.

8．(2023·山東濟(jì)寧調(diào)研)P為雙曲線x2－f6f198fdce9e4df86e3dd2689e7db87c.png＝1右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓(x＋4)2＋y2＝4和圓(x－4)2＋y2＝1上的點(diǎn)，則|PM|－|PN|的最大值為________．

三、解答題

9.如圖，已知定圓F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圓F2：x2＋y2－10x＋9＝0，動(dòng)圓M與定圓F1、F2都外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．

10．已知雙曲線過點(diǎn)(3，－2)且與橢圓4x2＋9y2＝36有一樣的焦點(diǎn)．

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若點(diǎn)M在雙曲線上，F(xiàn)1、F2為左、右焦點(diǎn)，且|MF1|＋|MF2|＝60ce4760e9970e62401abb2674d7bf7f5.png，試判別△MF1F2的外形．

【力量提升】

1．已知F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)，滿意條件|PF1|－|PF2|＝2m－1的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支．以下數(shù)據(jù)：

①2；②－1；③4；④－3；⑤df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，則m可以是()

A．①②B．①③C．①②⑤D．②④

2．已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線96182d364ce038e9939718ff762fe2f1.png－51631774022c90b97628a8677a25aa29.png＝1的左、右焦點(diǎn)，P(3，1)為雙曲線內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)A在雙曲線的右支上，則|AP|＋|AF2|的最小值為()

A.b054fc4a48360670d275bc331b6f0133.png＋4B．b054fc4a48360670d275bc331b6f0133.png－4C.b054fc4a48360670d275bc331b6f0133.png－2a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.pngD．b054fc4a48360670d275bc331b6f0133.png＋2a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png

3．(2023·黃石高二檢測)已知F是雙曲線9ddfe8849e5d88f8d7170e091606f32d.png－4801c6f9293f2fc0643ec281f31c236b.png＝1的左焦點(diǎn)，A(1,4)，點(diǎn)P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|＋|PA|的最小值是________．

4．如下圖，某建筑工地要挖一個(gè)橫截面為半圓的柱形土坑，挖出的土能沿AP，BP運(yùn)到P處，其中|AP|＝100m，|BP|＝150m，∠APB＝60°，怎樣運(yùn)土才能最省工？

第十三講雙曲線的簡潔性質(zhì)

1．結(jié)合雙曲線的圖形把握雙曲線的簡潔幾何性質(zhì)．(重點(diǎn))

2．感受雙曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想．(難點(diǎn))

學(xué)問點(diǎn)一雙曲線的簡潔性質(zhì)

考點(diǎn)一雙曲線的簡潔性質(zhì)的應(yīng)用

例1(1)(2023·廣東高考)若實(shí)數(shù)k滿意0＜k＜9，則曲線55ae724e09e248e580d8aed70999b80b.png－e94001348606e645d6b9191282a5a04d.png＝1與曲線6ffc2d716489806e55e8505b48eec20c.png－75f218cfd4f8e4ccd6354255779b32ad.png＝1的()

A．焦距相等B．實(shí)半軸長相等

C．虛半軸長相等D．離心率相等

(2)已知雙曲線C：9ddfe8849e5d88f8d7170e091606f32d.png－y2＝1，P為雙曲線上任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0)，求|PA|的最小值為________．

(3)雙曲線4x2－y2＝4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為________，離心率為________，漸近線方程為________．

【名師指津】

1．由雙曲線方程探究簡潔性質(zhì)時(shí)，需先看所給方程是否為標(biāo)準(zhǔn)方程，若不是，需先把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，這是依據(jù)方程求參數(shù)，a，b，c值的關(guān)鍵．

2．寫頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程時(shí)，需先由方程確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，否則易出錯(cuò)，需留意雙曲線方程與漸近線方程的對應(yīng)關(guān)系．

考點(diǎn)二利用雙曲線的性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

例2求適合以下條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

(1)頂點(diǎn)在x軸上，焦距為10，離心率是9d3355dd2ffe42827c14804d953fb335.png；

(2)焦點(diǎn)在y軸上，一條漸近線為y＝265e19a4ae0afb453ff050334cc577b1.pngx，實(shí)軸長為12；

(3)離心率e＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.png，且過點(diǎn)(－5,3)．

【名師指津】

1．求雙曲線方程，關(guān)鍵是求a，b的值，在解題過程中應(yīng)熟識(shí)a，b，c，e等元素的幾何意義及它們之間的聯(lián)系，并留意方程思想的應(yīng)用．

2．若已知雙曲線的漸近線方程ax±by＝0，可設(shè)雙曲線方程為a2x2－b2y2＝λ.

練習(xí)1．將本例(2)中“焦點(diǎn)在y軸上”去掉，其他不變．

考點(diǎn)三雙曲線的離心率

例3(1)(2023·全國卷Ⅰ)已知雙曲線7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png－d5c2ed309cb78a764fa430ccd9f50f13.png＝1(a＞0)的離心率為2，則a＝()

A．2B．393442fbf8ddeee570015b0ce3b89406.pngC.e2d4d9b7a9670a0dcc266bc350d814a2.pngD．1

(2)(2023·重慶高考)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線0d2f6a866272862ce4c58d81d052ce05.png－8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，則該雙曲線的離心率為()

A.1553867a52c684e18d473467563ea33b.pngB．a(chǎn)1c5c105c6891cf6e2f648731b058006.pngC．4D．c48744e4939687334f1a7860b6dbc890.png

【名師指津】

1．解決此題的關(guān)鍵是探尋a與c的關(guān)系．

2．求雙曲線的離心率的常見方法：一是依據(jù)條件求出a，c，再計(jì)算e＝15cfbb32683efed568c3f9d6af96693a.png；二是依據(jù)條件供應(yīng)的信息建立關(guān)于參數(shù)a，b，c的等式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的方程，再解出e的值．

練習(xí)2．已知雙曲線7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png－8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y＝b6ad479a47924ebb75f5c54d546eb338.pngx，則雙曲線的離心率為()

A.8b9de384b0dbf2e69afd01814f2a7191.pngB．b6ad479a47924ebb75f5c54d546eb338.pngC.9d3355dd2ffe42827c14804d953fb335.pngD．003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png

例4求適合以下條件的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程．

(1)頂點(diǎn)間距離為6，漸近線方程為y＝±003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.pngx.

(2)經(jīng)過點(diǎn)M(－3,29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png)，且與雙曲線167e1a43dd6c7c77f40f2b690bcc57a0.png－67db93bdf957239a69d703be6c3c9ccc.png＝1有共同的漸近線．

【名師指津】

求解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的難點(diǎn)是設(shè)雙曲線方程，常用的技巧如下：

①與雙曲線7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png－8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1(a＞0，b＞0)有一樣漸近線的雙曲線方程可設(shè)為7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png－8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝λ(λ≠0)，若λ＞0，則表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，若λ＜0，則表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線．

②與雙曲線7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png－8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1(a＞0，b＞0)有相等離心率的雙曲線方程可設(shè)為7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png－8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝λ(λ＞0)或60565303bea4e66e79ce544697f847a6.png－d75d0221b1c94a12ed0233219e368a46.png＝λ(λ＞0)．

③與雙曲線7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png－8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1(a＞0，b＞0)有一樣焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為95375935ed3f9b43ab746bbb7d365112.png－820f612adc4570c054f646a70c228f51.png＝1(－a2＜λ＜b2)．

④已知漸近線方程y＝±46a63e73981fdc69f8ec933364ecdd7a.pngx，雙曲線方程可設(shè)為7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png－8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝λ(λ≠0)，通過求λ確定雙曲線方程，而無需考慮其實(shí)、虛軸的位置．

練習(xí)3．雙曲線的漸近線方程為y＝±265e19a4ae0afb453ff050334cc577b1.pngx，則離心率為()

A.9d3355dd2ffe42827c14804d953fb335.pngB．e2d4d9b7a9670a0dcc266bc350d814a2.pngC.8b9de384b0dbf2e69afd01814f2a7191.png或9d3355dd2ffe42827c14804d953fb335.pngD．e2d4d9b7a9670a0dcc266bc350d814a2.png或28adc564ed36b56de589d94d515a9053.png

思索

問題1何為雙曲線的“虛軸”？

問題2如何確定雙曲線的外形？

問題3如何用幾何圖形解釋c2＝a2＋b2？a，b，c在雙曲線中分別表示哪些線段的長？

問題4雙曲線的漸近線具有什么特點(diǎn)？

問題5雙曲線的漸近線與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有什么關(guān)系？

課堂練習(xí)

1．雙曲線51631774022c90b97628a8677a25aa29.png－167e1a43dd6c7c77f40f2b690bcc57a0.png＝1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()

A．(0,2)(0，－2)B．(3,0)(－3,0)C．(0,2)(0，－2)(3,0)(－3,0)D．(0,2)(3,0)

2．如圖，雙曲線C：167e1a43dd6c7c77f40f2b690bcc57a0.png－89b80ea8111b3758becabb396110ec26.png＝1的左焦點(diǎn)為F1，雙曲線上的點(diǎn)P1與P2關(guān)于y軸對稱，則|P2F1|－|P1F1|的值是()

A．3B．6C．4D．8

3．(2023·全國卷)已知雙曲線C的離心率為2，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，則cos∠AF2F1＝()

A.70e7efdd0b858341812e625a071abd09.pngB．7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.pngC.454323c9915a711c22fe0c7f8d2cb103.pngD．3557cdbd8fbdb64fb994697605adfc16.png

4．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線0d2f6a866272862ce4c58d81d052ce05.png－8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)A，使∠F1AF2＝90°且|AF1|＝3|AF2|，則雙曲線的離心率為________．

5．(2023·大慶高二檢測)已知雙曲線7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png－8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1(a＞0，b＞0)和橢圓840278f724c953edf53f5603390d5d6e.png＋4a6095e145a1cac0b8ac0b6a913587ef.png＝1有一樣的焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的2倍，求雙曲線的方程．

【根底達(dá)標(biāo)】

一、選擇題

1．若點(diǎn)P(2,0)到雙曲線7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png－8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1的一條漸近線的距離為1553867a52c684e18d473467563ea33b.png，則雙曲線的離心率為()

A.1553867a52c684e18d473467563ea33b.pngB．9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngC．21553867a52c684e18d473467563ea33b.pngD．29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png

2．(2023·四川高考)過雙曲線x2－a969dea911edddf0cb4b2b9d9b050236.png＝1的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝()

A.7d4cb1c8f86088667a7701fcb8a485f8.pngB．29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngC．6D．49097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png

3．(2023·安徽高考)以下雙曲線中，焦點(diǎn)在y軸上且漸近線方程為y＝±2x的是()

A．x2－e6b99d8ae7d6fd4edebc987d22eacabf.png＝1B．9ddfe8849e5d88f8d7170e091606f32d.png－y2＝1C.e6b99d8ae7d6fd4edebc987d22eacabf.png－x2＝1D．y2－a1f8c958c10445c30d8148317d55fff2.png＝1

4．(2023·湖北高考)將離心率為e1的雙曲線C1的實(shí)半軸長a和虛半軸長b(a≠b)同時(shí)增加m(m＞0)個(gè)單位長度，得到離心率為e2的雙曲線C2，則()

A．對任意的a，b，e1＞e2

B．當(dāng)a＞b時(shí)，e1＞e2；當(dāng)a＜b時(shí)，e1＜e2

C．對任意的a，b，e1＜e2

D．當(dāng)a＞b時(shí)，e1＜e2；當(dāng)a＜b時(shí)，e1＞e2

5．設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，假如直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為()

A.1553867a52c684e18d473467563ea33b.pngB．9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngC.0e0a27979260d6902b3df9f36b80b3f4.pngD．326c4cfeeb17b9be081d69dd3135207e.png

二、填空題

6．過雙曲線9ddfe8849e5d88f8d7170e091606f32d.png－d5c2ed309cb78a764fa430ccd9f50f13.png＝1的左焦點(diǎn)F1的直線交雙曲線的左支于M，N兩點(diǎn)，F(xiàn)2為其右焦點(diǎn)，則|MF2|＋|NF2|－|MN|的值為________．

7．(2023·湖南高考)設(shè)F是雙曲線C：7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png－8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1的一個(gè)焦點(diǎn)．若C上存在點(diǎn)P,使線段PF的中點(diǎn)恰為其虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，則C的離心率為__________．

8．若雙曲線x2－y2＝1右支上一點(diǎn)P(a，b)到直線y＝x的距離為60ce9f9713b0e5e83e562eb700dc31e0.png，則a＋b＝________.

三、解答題

9．已知雙曲線的方程是16x2－9y2＝144.

(1)求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和漸近線方程；

(2)設(shè)F1和F2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大?。?/p>

10．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為27b27a075f28548bc2b72023fca2223a.png，且過點(diǎn)P(4，－e3d7922dde6d1771ce9a575632814d61.png)．

(1)求雙曲線方程；

(2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，求證：c80a6412769de59ef8a22afd33980d61.png·1c67756876887908ecb247929ae702f6.png＝0；

(3)在(2)的條件下，求△F1MF2的面積．

【力量提升】

1．(2023·大連雙基考試)已知雙曲線C：7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png－8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1(a＞0，b＞0)的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，且C上的點(diǎn)P滿意d769c65a04d0d02b7d0dafdf85b6ff38.png·d7b9e3ce7e40c0ba272478804606df48.png＝0，|608094dcefa045069e38ee58c3d10caa.png|＝3，|d7b9e3ce7e40c0ba272478804606df48.png|＝4，則雙曲線C的離心率為()

A.8f30cd3c586a24d38d3786921d756934.pngB．a(chǎn)74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.pngC.33773559c5e642b3ea04e179079c8dfc.pngD．5

2．(2023·天津高考)已知雙曲線7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png－8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1(a>0，b>0)的一條漸近線過點(diǎn)(2，9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png)，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2＝490c0eb3fb685299c74a68d1756c077fb.pngx的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為()

A.fd7dab67f0d24613e241bfcf16738606.png－bd2d67fb4ffb5e51dbbd2f0d348b7539.png＝1B．f97696c7bd156693d3689fd591d6aafc.png－6cff4ef3a6b5074dbb4735ab53f4a9ed.png＝1C.95069d5c29720501c7fbb4548c8dbbd2.png－51631774022c90b97628a8677a25aa29.png＝1D．9ddfe8849e5d88f8d7170e091606f32d.png－d5c2ed309cb78a764fa430ccd9f50f13.png＝1

3．雙曲線7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png－8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1，8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png－7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png＝1的離心率分別為e1，e2，則e1＋e2的最小值為________．

4．已知雙曲線7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png－8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P7a2caf64915a5e685ca218fa5be1999a.png在雙曲線的右支上，且|PF1|＝3|PF2|，d769c65a04d0d02b7d0dafdf85b6ff38.png·d7b9e3ce7e40c0ba272478804606df48.png＝0，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

第十四講圓錐曲線復(fù)習(xí)

考點(diǎn)一圓錐曲線的定義及應(yīng)用

圓錐曲線的定義是相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)的“源”，對于圓錐曲線的有關(guān)問題，要有運(yùn)用圓錐曲線定義解題的意識(shí)，“回歸定義”是一種重要的解題策略．如：(1)在求軌跡時(shí)，若所求軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則依據(jù)圓錐曲線的方程，寫出所求的軌跡方程；(2)涉及橢圓、雙曲線上的點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形問題時(shí)，常用定義結(jié)合解三角形的學(xué)問來解決；(3)在求有關(guān)拋物線的最值問題時(shí)，常利用定義把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，結(jié)合幾何圖形利用幾何意義去解決．

例1.設(shè)F1、F2是橢圓93fa74874e43bd227077cf4fed5e2dc3.png＋51631774022c90b97628a8677a25aa29.png＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上的一點(diǎn)，已知P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且|PF1|＞|PF2|，求c1a83f222a8558cac20db648eb9d0c47.png的值．

練習(xí)1．已知點(diǎn)M(－3,0)、N(3,0)、B(1,0)，動(dòng)圓C與直線MN切于點(diǎn)B，過點(diǎn)M、N與圓C相切的兩直線相交于點(diǎn)P，則P點(diǎn)的軌跡方程為()

A．x2－6878ed8eaff163a4ff2a7c2cb42b8ec1.png＝1(x＞1)B．x2－6878ed8eaff163a4ff2a7c2cb42b8ec1.png＝1(x＜－1)C．x2＋6878ed8eaff163a4ff2a7c2cb42b8ec1.png＝1(x＞0)D．x2－76f468d94ac031c9ad7cbc559f4d04bd.png＝1(x＞1)

考點(diǎn)二圓錐曲線簡潔性質(zhì)的應(yīng)用

有關(guān)圓錐曲線的焦點(diǎn)、離心率、漸近線等問題是考試中常見的問題，只要把握根本公式和概念，并且充分理解題意，大都可以順當(dāng)求解．

例2.已知橢圓7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png＋8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1(－c,0)，A(－a,0)，B(0，b)是兩個(gè)頂點(diǎn)，假如F1到直線AB的距離為f33c6b03d6493ddaad1d48ad4407d2ad.png，求橢圓的離心率e.

練習(xí)2．已知橢圓d587be951dc768e36b52931b02f575f8.png＋8fb410e834e4ca46b7f0e8fc84f5b904.png＝1和雙曲線6c2e613b7ed7ef1c70bb34e8dffb8899.png－78addecda1bbfd1787fc956e985e80dc.png＝1有公共的焦點(diǎn)，那么雙曲線的漸近線方程是()

A．x＝±ce094dcd206cc3d333e231f359e496da.pngyB．y＝±ce094dcd206cc3d333e231f359e496da.pngxC．x＝±9633213ca76a0993e59a41f924a4ff3d.pngyD．y＝±9633213ca76a0993e59a41f924a4ff3d.pngx

考點(diǎn)三直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判定：

直線l：f(x，y)＝0和曲線C：g(x，y)＝0的公共點(diǎn)坐標(biāo)是方程組4a31c1f5fff87358a8eb1bb8173e672c.png的解，l和C的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于方程組不同解的個(gè)數(shù)．這樣就將l和C的交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)的問題討論，對于消元后的一元二次方程，必需爭論二次項(xiàng)系數(shù)和判別式Δ，若能數(shù)形結(jié)合，借助圖形的幾何性質(zhì)則較為簡便，尤其在雙曲線中要留意漸近線的特別性．

2．弦長公式：

(1)斜率為k的直線被圓錐曲線截得弦AB，若A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝e530ec4fb9ae61ab65cf48eec37bf30b.png|x1－x2|＝226eadd97ef576d4ca972e7030044848.png或當(dāng)k存在且不為零時(shí)，|AB|＝b4011120edf7906cddd58077e50c9001.png|y1－y2|，(其中x1＋x2、x1x2(或y1＋y2、y1y2)依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得)．

(2)拋物線y2＝2px(p＞0)過焦點(diǎn)F的弦長|AB|＝x1＋x2＋p.

例3.已知橢圓7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png＋8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1(a＞b＞0)的離心率e＝b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.png，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－a,0)．

①若|AB|＝a0cc1ba1fb35e416a281222af322e436.png，求直線l的傾斜角；

②若點(diǎn)Q(0，y0)在線段AB的垂直平分線上，且1809adb91fcc49511d8151bf5cc75fd9.png·cee43e2ae57d2198a6e10fe0fa21506f.png＝4，求y0的值．

練習(xí)3．在拋物線y2＝16x內(nèi)，通過點(diǎn)(2,1)且在此點(diǎn)被平分的弦所在的直線的方程是________．

考點(diǎn)四曲線方程的求法

求曲線方程是解析幾何的根本問題之一，其求解的根本方法有：

(1)直接法：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)為(x，y)，依據(jù)幾何條件直接尋求x、y之間的關(guān)系式．

(2)代入法：利用所求曲線上的動(dòng)點(diǎn)與某一已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系，把所求動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為已知?jiǎng)狱c(diǎn)．

(3)定義法：假如所給幾何條件正好符合圓、橢圓、雙曲線、拋物線等曲線的定義，則可直接利用這些已知曲線的方程寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．

(4)參數(shù)法：當(dāng)很難找到形成曲線的動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)x，y所滿意的關(guān)系式時(shí)，借助第三個(gè)變量t，建立t和x，t和y的關(guān)系式x＝φ(t)，y＝Φ(t)，再通過一些條件消掉t就間接地找到了x和y所滿意的方程，從而求出動(dòng)點(diǎn)P(x，y)所形成的曲線的一般方程，

例4.設(shè)直線y＝ax＋b與雙曲線3x2－y2＝1交于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，求P(a，b)的軌跡方程．

練習(xí)4．已知橢圓7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png＋8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1(a＞b＞0)的離心率為a59ce3117b23ea9d9e111f3a6c270771.png，以原點(diǎn)為圓心、橢圓短半軸長為半徑的圓與直線y＝x＋2相切．

(1)求a與b；