數(shù)學(xué)分析第十一章：反常積分-1反常積分概念

第十一章反常積分§1

反常積分概念

教學(xué)內(nèi)容：1.反常積分概念的引入2.無(wú)窮積分的定義3.瑕積分的定義教學(xué)重點(diǎn)：無(wú)窮積分?jǐn)可⑿缘母拍?、常用的收斂與發(fā)散的無(wú)窮積分

教學(xué)難點(diǎn)：反常積分概念的引入一.問(wèn)題的提出定積分有兩個(gè)基本的限制：積分區(qū)間是有限區(qū)間；函數(shù)為有界函數(shù),但實(shí)際問(wèn)題很多都涉及無(wú)窮區(qū)間上的“積分”和無(wú)界函數(shù)的“積分”。

例1：（第二宇宙速度問(wèn)題）在地球表面垂直發(fā)射火箭。要使火箭克服地球引力無(wú)限遠(yuǎn)離地球，試問(wèn)初速度至少要多大？從而火箭從地面上升到離地心r(>R)處需作的功為

最后由機(jī)械能守恒定律得

把各數(shù)值代入可求得結(jié)果。

例2：圓柱形桶的內(nèi)壁高為h,內(nèi)半徑為R，桶底有一半徑為r的小孔。試問(wèn)從盛滿水開始打開小孔直至流完桶中的水，共需多少時(shí)間？解：從物理學(xué)知道，當(dāng)桶內(nèi)水位高度為h-x

時(shí)，水從孔中流出的速度為設(shè)在很小一段時(shí)間dt內(nèi)，桶中液面降低的微小量為dx,它們滿足所以流完一桶水所需時(shí)間可寫為“積分”但是因?yàn)檫@里的被積函數(shù)是[0,h)上的無(wú)界函數(shù)，故從上面的例題我們知道，通過(guò)定積分和極限就可以定義無(wú)窮區(qū)間以及無(wú)界函數(shù)的“積分”。

二.無(wú)窮區(qū)間上的反常積分

1.定義無(wú)窮區(qū)間有三種，分別給出其定義：

定義1：

無(wú)窮限反常積分（簡(jiǎn)稱無(wú)窮積分）,記為收斂。

如果極限（1）不存在，

發(fā)散。

注意：

同理可給出當(dāng)且僅當(dāng)上式右邊兩個(gè)無(wú)窮積分都收斂時(shí)，左邊的無(wú)窮積分才收斂。

注意：

的收斂性與收斂時(shí)的值，都與實(shí)數(shù)a的選取無(wú)關(guān)。

Oxya2.

利用定義討論無(wú)窮積分的斂散性以及求其值方法：先求相應(yīng)的定積分，再討論其極限是否存在，若存在，無(wú)窮積分收斂，極限值就是無(wú)窮積分的值；若極限不存在，無(wú)窮積分發(fā)散。

例3：

結(jié)論：要求熟記注意：

下面再看如何利用此結(jié)論解題

例4：

解題思路：無(wú)窮積分是通過(guò)定積分及極限來(lái)定義，可以考慮用定積分的有關(guān)方法如換元積分法或分部積分法來(lái)處理3.

利用公式判別無(wú)窮積分的斂散性及求無(wú)窮積分的值在定積分里，我們有牛頓－萊布尼茲公式：

既然無(wú)窮積分是通過(guò)定積分及極限來(lái)定義，所以也可以考慮用類似的公式來(lái)判別無(wú)窮積分的斂散性及計(jì)算無(wú)窮積分。

公式：

注意：

上面的公式可以推廣到另外兩種無(wú)窮積分的情形。

例5：

三.無(wú)界函數(shù)的反常積分1.瑕點(diǎn)的定義

瑕點(diǎn)。2.無(wú)界函數(shù)反常積分的定義

定義2：無(wú)界函數(shù)

的反常積分（簡(jiǎn)稱瑕積分），記為

收斂。發(fā)散。注意：

同理可以給出另外幾種情形的定義：

當(dāng)且僅當(dāng)上式右邊兩個(gè)瑕積分都收斂時(shí)，左邊的瑕積分才收斂。

當(dāng)且僅當(dāng)上式右邊兩個(gè)瑕積分都收斂時(shí)，左邊的瑕積分才收斂。

注意：

2.討論無(wú)窮積分的斂散性以及求其值的方法(1)

利用定義方法：

先求相應(yīng)的定積分，再討論其極限是否存在，若存在，瑕積分收斂，極限值就是瑕積分的值；若極限不存在，瑕積分發(fā)散。

例6：

結(jié)論：要求熟記注意：

（1）此結(jié)論以后是經(jīng)常用到的，要熟記。

（2）此結(jié)論可以推廣為以下幾種情形：

由例3和例6的結(jié)論知，右邊兩個(gè)反常積分不能同