體幾何空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系理

第3節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系[考綱展示]1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義,并了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.2.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn),認(rèn)識和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題.知識鏈條完善考點(diǎn)專項突破知識鏈條完善把散落的知識連起來知識梳理1.平面的基本性質(zhì)及相關(guān)公(定)理互相平行m∥n相等或互補(bǔ)∠A=∠A′∠A+∠A′=π2.空間中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系直線與直線直線與平面平面與平面圖形語言符號語言a∥ba∥αα∥β交點(diǎn)個數(shù)000圖形語言符號語言a∩b=Aa∩α=Aα∩β=l交點(diǎn)個數(shù)11無數(shù)個圖形語言符號語言a,b是異面直線a?α交點(diǎn)個數(shù)0無數(shù)個3.異面直線所成的角(1)定義:已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a,b′∥b,把a(bǔ)′與b′所成的

叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).銳角(或直角)【重要結(jié)論】1.公理2的三個推論推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個平面;推論2:經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面;推論3:經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面.2.異面直線判定的一個定理過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線,與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線.對點(diǎn)自測B解析:順次連接空間四邊形四邊中點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,又因為空間四邊形的兩條對角線互相垂直,所以平行四邊形的兩鄰邊互相垂直,故順次連接四邊中點(diǎn)的四邊形一定是矩形.1.空間四邊形的兩條對角線互相垂直,順次連接四邊中點(diǎn)的四邊形一定是()(A)空間四邊形 (B)矩形(C)菱形 (D)正方形D解析:若三條線段共面,如果AB,BC,CD構(gòu)成等腰三角形,則直線AB與CD相交,否則直線AB與CD平行;若不共面,則直線AB與CD是異面直線.2.已知空間中有三條線段AB,BC和CD,且∠ABC=∠BCD,那么直線AB與CD的位置關(guān)系是(

)(A)AB∥CD(B)AB與CD異面(C)AB與CD相交(D)AB∥CD或AB與CD異面或AB與CD相交C解析:連接B1D1,D1C,則B1D1∥EF,故∠D1B1C為所求角,又B1D1=B1C=D1C,所以∠D1B1C=60°.3.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),則異面直線B1C與EF所成的角的大小為(

)(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°解析:通過舉實(shí)例說明,如三棱柱三個側(cè)面所在平面滿足兩兩相交,且三條交線互相平行,這三個平面將空間分為7部分.答案:74.若三個平面兩兩相交,且三條交線互相平行,則這三個平面把空間分成

個部分.

解析:沒有公共點(diǎn)的兩直線平行或異面,故①錯;如果與兩異面直線中一條交于一點(diǎn),則兩直線相交,故命題②錯;命題③,設(shè)兩條異面直線為a,b,c∥a,若c∥b,則a∥b,這與a,b異面矛盾,故c,b不可能平行,③正確;命題④正確,若c與兩異面直線a,b都相交,a,c可確定一個平面,b,c也可確定一個平面,這樣a,b,c共確定兩個平面.答案:①②5.下列命題中不正確的是

.(填序號)

①沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線;②分別和兩條異面直線都相交的兩直線異面;③一條直線和兩條異面直線中的一條平行,則它和另一條直線不可能平行;④一條直線和兩條異面直線都相交,則它們可以確定兩個平面.考點(diǎn)專項突破在講練中理解知識考點(diǎn)一平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用【例1】如圖所示,平面α∩平面β=l,點(diǎn)A∈α,點(diǎn)B∈α,點(diǎn)C∈β,點(diǎn)C?l,又AB∩l=R,設(shè)A,B,C三點(diǎn)確定的平面為γ,則β∩γ是(

)(A)直線AC (B)直線BC(C)直線CR (D)以上均錯解析:因為AB∩l=R,所以R∈l,R∈AB,又因為lβ,所以R∈β,又因為ABγ,所以R∈γ,所以R為平面β與γ的公共點(diǎn),又C∈β,C∈γ,即C為平面β與γ的公共點(diǎn),所以β∩γ=直線CR.故選C.確定兩個平面的交線的關(guān)鍵是找出兩個平面的兩個公共點(diǎn);若已知兩平面的交線,則這兩個平面的公共點(diǎn)必在交線上.反思?xì)w納【跟蹤訓(xùn)練1】

以下四個命題中,正確命題的個數(shù)是(

)①不共面的四點(diǎn)中,其中任意三點(diǎn)不共線;②若點(diǎn)A,B,C,D共面,點(diǎn)A,B,C,E共面,則A,B,C,D,E共面;③若直線a,b共面,直線a,c共面,則直線b,c共面;④依次首尾相接的四條線段必共面.(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①顯然是正確的,可用反證法證明;②中若A,B,C三點(diǎn)共線,則A,B,C,D,E五點(diǎn)不一定共面;③構(gòu)造長方體或正方體,如圖顯然b,c異面,故不正確;④中空間四邊形中四條線段不共面.故只有①正確.故選B.考點(diǎn)二空間兩條直線的位置關(guān)系【例2】(1)已知m,n是兩條不同的直線,α,β為兩個不同的平面,有下列四個命題:①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,則α⊥β;②若m∥α,n∥β,m⊥n,則α∥β;③若m⊥α,n∥β,m⊥n,則α∥β;④若m⊥α,n∥β,α∥β,則m⊥n.其中所有正確的命題是(

)(A)①④ (B)②④ (C)① (D)④解析:(1)借助于長方體模型來解決本題,對于①,可以得到平面α,β互相垂直,如圖(1)所示,故①正確;對于②,平面α,β可能垂直,如圖(2)所示,故②不正確;對于③,平面α,β可能垂直,如圖(3)所示,故③不正確;對于④,由m⊥α,α∥β可得m⊥β,因為n∥β,所以過n作平面γ,且γ∩β=g,如圖(4)所示,所以n與交線g平行,因為m⊥g,所以m⊥n,故④正確.故選A.答案:(1)A(2)(2018·吳忠模擬)如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,C1C的中點(diǎn),有以下四個結(jié)論:①直線AM與CC1是相交直線;②直線AM與BN是平行直線;③直線BN與MB1是異面直線;④直線AM與DD1是異面直線.其中正確的結(jié)論為

(注:把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號都填上).

解析:(2)因為點(diǎn)A在平面CDD1C1外,點(diǎn)M在平面CDD1C1內(nèi),直線CC1在平面CDD1C1內(nèi),CC1不過點(diǎn)M,所以AM與CC1是異面直線,故①錯;取DD1中點(diǎn)E,連接AE,則BN∥AE,但AE與AM相交,故②錯;因為B1與BN都在平面BCC1B1內(nèi),M在平面BCC1B1外,BN不過點(diǎn)B1,所以BN與MB1是異面直線,故③正確;同理④正確,故填③④.答案:(2)③④反思?xì)w納(1)點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系可以正方體或長方體為模型,以正方體或長方體為主線直觀感知并認(rèn)識空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,準(zhǔn)確判定線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直.(2)異面直線的判定常用的是反證法,先假設(shè)兩條直線不是異面直線,即兩條直線平行或相交,由假設(shè)的條件出發(fā),經(jīng)過嚴(yán)格的推理,導(dǎo)出矛盾,從而否定假設(shè)肯定兩條直線異面.此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到.【跟蹤訓(xùn)練2】(1)若直線l1與l2是異面直線,l1在平面α內(nèi),l2在平面β內(nèi),l是平面α與平面β的交線,則下列命題正確的是()(A)l與l1,l2都不相交(B)l與l1,l2都相交(C)l至多與l1,l2中的一條相交(D)l至少與l1,l2中的一條相交解析:(1)可用反證法.假設(shè)l與l1,l2都不相交,因為l與l1都在平面α內(nèi),于是l∥l1,同理l∥l2,于是l1∥l2,與已知矛盾,故l至少與l1,l2中的一條相交.故選D.(2)l1,l2表示空間中的兩條直線,若p:l1,l2是異面直線,q:l1,l2不相交,則(

)(A)p是q的充分條件,但不是q的必要條件(B)p是q的必要條件,但不是q的充分條件(C)p是q的充分必要條件(D)p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件解析:(2)兩直線異面,則兩直線一定無交點(diǎn),即兩直線一定不相交;而兩直線不相交,有可能是平行,不一定異面,故兩直線異面是兩直線不相交的充分不必要條件,故選A.反思?xì)w納異面直線所成角的求解技巧求異面直線所成的角采用“平移線段法”,平移的方法一般有三種類型:利用圖中已有的平行線平移;利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移;補(bǔ)形平移.計算異面直線所成的角通常放在三角形中進(jìn)行.其求解一般步驟為(1)平移:選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn),線段的中點(diǎn)或端點(diǎn),平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線;(2)證明:證明所作的角是異面直線所成的角;(3)尋找:在立體圖形中,尋找或作出含有此角的三角形,并解之;(4)取舍:因為異面直線所成角θ的取值范圍是0°<θ≤90°,所以所作的角為鈍角時,應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角.備選例題【例1】(2018·清遠(yuǎn)模擬)如圖為正方體表面的一種展開圖,則圖中的四條線段AB,CD,EF,GH在原正方體中互為異面的對數(shù)為

對.