數(shù)學(xué)特色課第一講

數(shù)學(xué)特色課堂第一講本節(jié)內(nèi)容：1、數(shù)學(xué)發(fā)展史2、你也能像他們一樣優(yōu)秀3、夢(mèng)想從這里開(kāi)始數(shù)學(xué)，起源于人類早期的生產(chǎn)活動(dòng)，為古中國(guó)六藝之一，亦被古希臘學(xué)者視為哲學(xué)之起點(diǎn)。數(shù)學(xué)的希臘語(yǔ)μαθηματικ??)意思是“學(xué)問(wèn)的基礎(chǔ)”，源于μ?θημα（“科學(xué)，知識(shí)，學(xué)問(wèn)”）。數(shù)學(xué)最早用于人們計(jì)數(shù)、天文、度量甚至是貿(mào)易的需要。首先是從我們稱之為初等代數(shù)的——自然數(shù)和整數(shù)以及它們的算術(shù)關(guān)系式開(kāi)始的。更深層次的研究是數(shù)論。

數(shù)學(xué)起源對(duì)空間的研究則是從幾何學(xué)開(kāi)始的，首先是歐幾里德幾何學(xué)和類似于三維空間（也適用于多或少維）的三角學(xué)。后來(lái)產(chǎn)生了非歐幾里德幾何學(xué)，在相對(duì)論中扮演著重要角色。到了16世紀(jì)，算術(shù)、初等代數(shù)、以及三角學(xué)等初等數(shù)學(xué)已大體完備。17世紀(jì)變量概念的產(chǎn)生使人們開(kāi)始研究變化中的量與量的互相關(guān)系和圖形間的互相變換。隨著自然科學(xué)和技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展，為研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)而產(chǎn)生的集合論和數(shù)理邏輯等也開(kāi)始慢慢發(fā)展。（1）首先是伽里略實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)方法的出現(xiàn)，它表明了數(shù)學(xué)與自然科學(xué)的一種嶄新的結(jié)合。其特點(diǎn)是在所研究的現(xiàn)象中，找出一些可以度量的因素，并把數(shù)學(xué)方法應(yīng)用到這些量的變化規(guī)律中去。具體可歸結(jié)為：(1)從所要研究的現(xiàn)象中，選擇出若干個(gè)可以用數(shù)量表示出來(lái)的特點(diǎn)；(2)提出一個(gè)假設(shè)，它包含所觀察各量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式；(3)從這個(gè)假設(shè)推導(dǎo)出某些能夠?qū)嶋H驗(yàn)證的結(jié)果；(4)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)觀測(cè)—改變條件—再現(xiàn)測(cè)，并把觀察結(jié)果盡可能地用數(shù)值表示以來(lái)；(5)以實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)肯定或否定所提的假設(shè)；(6)以肯定的假設(shè)為起點(diǎn)，提出新假設(shè)，再度使新假設(shè)接受檢驗(yàn)。數(shù)學(xué)輝煌的17世紀(jì)（2）第二件大事是笛卡兒的重要著作《方法談》及其附錄《幾何學(xué)》于1637年發(fā)表。它引入了運(yùn)動(dòng)著的一點(diǎn)的坐標(biāo)的概念，引入了變量和函數(shù)的概念。由于有了坐標(biāo)，平面曲線與二元方程之間建立起了聯(lián)系，由此產(chǎn)生了一門(mén)用代數(shù)方法研究幾何學(xué)的新學(xué)科——解析幾何學(xué)。這是數(shù)學(xué)的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，也是變量數(shù)學(xué)發(fā)展的第一個(gè)決定性步驟。第三件大事是微積分學(xué)的建立，最重要的工作是由牛頓和萊布尼茲各自獨(dú)立完成的。他們認(rèn)識(shí)到微分和積分實(shí)際上是一對(duì)逆運(yùn)算，從而給出了微積分學(xué)基本定理，即牛頓—萊布尼茲公式。到1700年，現(xiàn)在大學(xué)里學(xué)習(xí)的大部分微積分內(nèi)容已經(jīng)建立起來(lái)，其中還包括較高等的內(nèi)容，例如變分法。第一本微積分課本出版于1696年，是洛比達(dá)寫(xiě)的。

19世紀(jì)20年代出現(xiàn)了一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)成就，它就是把微積分的理論基礎(chǔ)牢固地建立在極限的概念上?？挛饔?821年在《分析教程》一書(shū)中，發(fā)展了可接受的極限理論，然后極其嚴(yán)格地定義了函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)和積分，強(qiáng)調(diào)了研究級(jí)數(shù)收斂性的必要，給出了正項(xiàng)級(jí)數(shù)的根式判別法和積分判別法。柯西的著作震動(dòng)了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界，他的嚴(yán)謹(jǐn)推理激發(fā)了其他數(shù)學(xué)家努力擺脫形式運(yùn)算和單憑直觀的分析。今天的初等微積分課本中寫(xiě)得比較認(rèn)真的內(nèi)容，實(shí)質(zhì)上是柯西的這些定義。19世紀(jì)20年代19世紀(jì)前半葉，數(shù)學(xué)上出現(xiàn)兩項(xiàng)革命性的發(fā)現(xiàn)——非歐幾何與不可交換代數(shù)。大約在1826年，人們發(fā)現(xiàn)了與通常的歐幾里得幾何不同的、但也是正確的幾何——非歐幾何。這是由羅巴契夫斯基和里耶首先提出的。非歐幾何的出現(xiàn)，改變了人們認(rèn)為歐氏幾何唯一地存在是天經(jīng)地義的觀點(diǎn)。它的革命思想不僅為新幾何學(xué)開(kāi)辟了道路，而且是20世紀(jì)相對(duì)論產(chǎn)生的前奏和準(zhǔn)備。

1854年，黎曼推廣了空間的概念，開(kāi)創(chuàng)了幾何學(xué)一片更廣闊的領(lǐng)域——黎曼幾何學(xué)。非歐幾何學(xué)的發(fā)現(xiàn)還促進(jìn)了公理方法的深入探討，研究可以作為基礎(chǔ)的概念和原則，分析公理的完全性、相容性和獨(dú)立性等問(wèn)題。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期在1843年，哈密頓發(fā)現(xiàn)了一種乘法交換律不成立的代數(shù)——四元數(shù)代數(shù)。不可交換代數(shù)的出現(xiàn)，改變了人們認(rèn)為存在與一般的算術(shù)代數(shù)不同的代數(shù)是不可思議的觀點(diǎn)。它的革命思想打開(kāi)了近代代數(shù)的大門(mén)。

另一方面，由于一元方程根式求解條件的探究，引進(jìn)了群的概念。19世紀(jì)20～30年代，阿貝爾和伽羅華開(kāi)創(chuàng)了近世代數(shù)學(xué)的研究。近代代數(shù)是相對(duì)古典代數(shù)來(lái)說(shuō)的，古典代數(shù)的內(nèi)容是以討論方程的解法為中心的。群論之后，多種代數(shù)系統(tǒng)(環(huán)、域、格、布爾代數(shù)、線性空間等)被建立。這時(shí)，代數(shù)學(xué)的研究對(duì)象擴(kuò)大為向量、矩陣，等等，并漸漸轉(zhuǎn)向代數(shù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)本身的研究。哈密頓數(shù)學(xué)表現(xiàn)出幾個(gè)特點(diǎn)：(1)以微積分為基礎(chǔ)，發(fā)展出寬廣的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，成為后來(lái)數(shù)學(xué)發(fā)展中的一個(gè)主流；(2)數(shù)學(xué)方法完成了從幾何方法向解析方法的轉(zhuǎn)變；(3)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力除了來(lái)自物質(zhì)生產(chǎn)之外，還來(lái)自物理學(xué)；(4)已經(jīng)明確地把數(shù)學(xué)分為純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)。(5)數(shù)學(xué)的對(duì)象、內(nèi)容在深度和廣度上都有了很大的發(fā)展，分析學(xué)、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)的思想、理論和方法都發(fā)生了驚人的變化，數(shù)學(xué)的不斷分化，不斷綜合的趨勢(shì)都在加強(qiáng)。(6)電子計(jì)算機(jī)進(jìn)入數(shù)學(xué)領(lǐng)域，產(chǎn)生巨大而深遠(yuǎn)的影響。（7)數(shù)學(xué)滲透到幾乎所有的科學(xué)領(lǐng)域，并且起著越來(lái)越大的作用，純粹數(shù)學(xué)不斷向縱深發(fā)展，數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)已經(jīng)成為整個(gè)數(shù)學(xué)大廈基礎(chǔ)。總結(jié)數(shù)學(xué)家的故事——?dú)W拉智改羊圈歐拉是數(shù)學(xué)史上著名的數(shù)學(xué)家，他在數(shù)論、幾何學(xué)、天文數(shù)學(xué)、微積分等好幾個(gè)數(shù)學(xué)的分支領(lǐng)域中都取得了出色的成就。不過(guò)，這個(gè)大數(shù)學(xué)家在孩提時(shí)代卻一點(diǎn)也不討老師的喜歡，他是一個(gè)“自學(xué)成才”的小學(xué)生。事情是因?yàn)樾切嵌鸬?。?dāng)時(shí)，小歐拉在一個(gè)教會(huì)學(xué)校里讀書(shū)。有一次，他向老師提問(wèn)，天上有多少顆星星。老師是個(gè)神學(xué)的信徒，他不知道天上究竟有多少顆星，圣經(jīng)上也沒(méi)有回答過(guò)。其實(shí)，天上的星星數(shù)不清，是無(wú)限的。我們的肉眼可見(jiàn)的星星也有幾千顆。這個(gè)老師不懂裝懂，回答歐拉說(shuō)：“天有多少顆星星，這無(wú)關(guān)緊要，只要知道天上的星星是上帝鑲嵌上去的就夠了。”歐拉感到很奇怪：“天那么大，那么高，地上沒(méi)有扶梯，上帝是怎么把星星一顆一顆鑲嵌到一在幕上的呢？上帝親自把它們一顆一顆地放在天幕，他為什么忘記了星星的數(shù)目呢？上帝會(huì)不會(huì)太粗心了呢？”他向老師提出了心中的疑問(wèn)，老師又一次被問(wèn)住了，漲紅了臉，不知如何回答才好。老師的心中頓時(shí)升起一股怒氣，這不僅是因?yàn)橐粋€(gè)才上學(xué)的孩子向老師問(wèn)出了這樣的問(wèn)題，使老師下不了臺(tái)，更主要的是，老師把上帝看得高于一切。小歐拉居然責(zé)怪上帝為什么沒(méi)有記住星星的數(shù)目，言外之意是對(duì)萬(wàn)能的上帝提出了懷疑。在老師的心目中，這可是個(gè)嚴(yán)重的問(wèn)題。在歐拉的年代，對(duì)上帝是絕對(duì)不能懷疑的，人們只能做思想的奴隸，絕對(duì)不允許自由思考。小歐拉沒(méi)有與教會(huì)、與上帝“保持一致”，老師就讓他離開(kāi)學(xué)校回家。但是，在小歐拉心中，上帝神圣的光環(huán)消失了。他想，上帝是個(gè)窩囊廢，他怎么連天上的星星也記不?。克窒?，上帝是個(gè)獨(dú)裁者，連提出問(wèn)題都成了罪。他又想，上帝也許是個(gè)別人編造出來(lái)的家伙，根本就不存在。

回家后無(wú)事，他就幫助爸爸放羊，成了一個(gè)牧童。爸爸的羊群漸漸增多了，達(dá)到了100只。原來(lái)的羊圈有點(diǎn)小了，爸爸決定建造一個(gè)新的羊圈。他用尺量出了一塊長(zhǎng)方形的土地，長(zhǎng)40米，寬15米，他一算，面積正好是600平方米，平均每一頭羊占地6平方米。正打算動(dòng)工的時(shí)候，他發(fā)現(xiàn)他的材料只夠圍100米的籬笆，不夠用。若要圍成長(zhǎng)40米，寬15米的羊圈，其周長(zhǎng)將是110米（15+15+40+40=110）父親感到很為難，若要按原計(jì)劃建造，就要再添10米長(zhǎng)的材料；要是縮小面積，每頭羊的面積就會(huì)小于6平方米。小歐拉卻向父親說(shuō)，不用縮小羊圈，也不用擔(dān)心每頭羊的領(lǐng)地會(huì)小于原來(lái)的計(jì)劃。他有辦法。父親不相信小歐拉會(huì)有辦法，聽(tīng)了沒(méi)有理他。小歐拉急了，大聲說(shuō)：“只有稍稍移動(dòng)一下羊圈的樁子就行了?！备赣H聽(tīng)了直搖頭，心想：“世界上哪有這樣便宜的事情？”但是，小歐拉卻堅(jiān)持說(shuō)，他一定能兩全齊美。父親終于同意讓兒子試試看。小歐拉見(jiàn)父親同意了，站起身來(lái)，跑到準(zhǔn)備動(dòng)工的羊圈旁。他以一個(gè)木樁為中心，將原來(lái)的40米邊長(zhǎng)截短，縮短到25米。父親著急了，說(shuō)：“那怎么成呢？那怎么成呢？這個(gè)羊圈太小了，太小了。”小歐拉也不回答，跑到另一條邊上，將原來(lái)15米的邊長(zhǎng)延長(zhǎng)，又增加了10米，變成了25米。經(jīng)這樣一改，原來(lái)計(jì)劃中的羊圈變成了一個(gè)25米邊長(zhǎng)的正方形。然后，小歐拉很自信地對(duì)爸爸說(shuō)：“現(xiàn)在，籬笆也夠了，面積也夠了?！备赣H照著小歐拉設(shè)計(jì)的羊圈扎上了籬笆，100米長(zhǎng)的籬笆真的夠了，不多不少，全部用光。面積也足夠了，而且還稍稍大了一些。父親心里感到非常高興。孩子比自己聰明，真會(huì)動(dòng)腦筋，將來(lái)一定大有出息。父親感到，讓這么聰明的孩子放羊?qū)嵲谑羌翱上Я?。后?lái)，他想辦法讓小歐拉認(rèn)識(shí)了一個(gè)大數(shù)學(xué)家伯努利。通過(guò)這位數(shù)學(xué)家的推薦，1720年，小歐拉成了巴塞爾大學(xué)的大學(xué)生。這一年，小歐拉13歲，是這所大學(xué)最年輕的大學(xué)生。愛(ài)動(dòng)腦筋的你知道歐拉為什么能做到嗎？你不妨設(shè)計(jì)這樣的問(wèn)題：已知有一個(gè)矩形，其周長(zhǎng)為100米，怎樣設(shè)計(jì)它的長(zhǎng)和寬，使得它的面積最大？可以檢驗(yàn)幾種情形：（1）長(zhǎng)=40米，寬=10米（如圖6-1）（2）長(zhǎng)=30米，寬=20米（如圖6-2）（3）長(zhǎng)=25米，寬=25米（如圖6-3）通過(guò)對(duì)這三種情形下面積的計(jì)算，你能猜想出什么樣的結(jié)果？隨著我們對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與探索，將會(huì)給出明確的證明。

圖6-3圖6-1圖6-2諸葛亮考謀士相傳有一天，諸葛亮把將士們召集在一起，說(shuō)：“你們中間不論誰(shuí)，從1～1024中任意選出一個(gè)整數(shù)，記在心里，我提十個(gè)問(wèn)題，只要求回答‘是’或‘不是’。十個(gè)問(wèn)題全答完以后，我就會(huì)‘算’出你心里記的那個(gè)數(shù)?！敝T葛亮剛說(shuō)完，一個(gè)謀士站起來(lái)說(shuō)，他已經(jīng)選好了一個(gè)數(shù)。諸葛亮問(wèn)道：“你選的數(shù)大于512？”謀士答：“不是?！敝T葛亮又接連向這謀士提了九個(gè)問(wèn)題，謀士都一一作了回答。諸葛亮最后說(shuō)：“你記的那個(gè)數(shù)是1?！敝\士聽(tīng)了極為驚奇，因?yàn)檫@個(gè)數(shù)果真是他選的數(shù)。你知道諸葛亮是怎樣妙算的嗎？其實(shí)方法很簡(jiǎn)單，就是把1024一半一半的取，取到第十次時(shí)，就是“1”。根據(jù)這個(gè)道理，連續(xù)提十個(gè)問(wèn)題，就能找到所需的數(shù)?？扇绻堰@道題編成普通的文字題，那該多沒(méi)意思啊！要是這樣的題目能引發(fā)同學(xué)們做題的興趣，那么我們何不把枯燥的文字題改編或想成有趣的題呢？這樣既能讓我們鍛煉自己的思維能力，又能讓我們靈活用腦，豈不是一舉兩得！我想如果這樣，同學(xué)們?cè)僖膊粫?huì)對(duì)數(shù)學(xué)感到乏味了。同學(xué)們，也許由于數(shù)學(xué)比較抽象，比較復(fù)雜，所以有的同學(xué)不喜歡數(shù)學(xué)。但是生活、工作離不開(kāi)數(shù)學(xué)，目前正處于電子計(jì)算機(jī)時(shí)代，離開(kāi)數(shù)學(xué)就會(huì)寸步難行。如果把枯燥的數(shù)學(xué)算式編成故事般的趣題，那么它就會(huì)引發(fā)你的興趣，使你懷著好奇而興奮的心情去做它。1、美術(shù)課上，老師要求同學(xué)們將右圖所示的白紙只沿虛線裁開(kāi)，用裁開(kāi)的紙片和白紙上的陰影部分圍成一個(gè)立體模型，然后放在桌面上，下面四個(gè)示意圖中，只有一個(gè)符合上述要求，那么這個(gè)示意圖是（）ABCDB相信自己，開(kāi)動(dòng)腦筋

2、如圖是正方體，四邊形APQC是表示用平面截正方體的截面，截面的線表現(xiàn)在展開(kāi)圖的哪里呢？把大致的圖形在右面展開(kāi)圖里畫(huà)出來(lái)．分析：把立體圖形表面的線條畫(huà)在平面展開(kāi)圖上，只要抓住四邊形APQC四個(gè)頂點(diǎn)所在的位置這個(gè)關(guān)鍵，再進(jìn)一步確定四邊形的四條邊所在的平面就可容易地畫(huà)出．解：（1）考慮到展開(kāi)圖上有六個(gè)頂點(diǎn)沒(méi)有標(biāo)出，可想象將展開(kāi)圖折成立體形，并在頂點(diǎn)上標(biāo)出對(duì)應(yīng)的符號(hào)