數(shù)學(xué)特色課第一講

數(shù)學(xué)特色課堂第一講本節(jié)內(nèi)容：1、數(shù)學(xué)發(fā)展史2、你也能像他們一樣優(yōu)秀3、夢想從這里開始數(shù)學(xué)，起源于人類早期的生產(chǎn)活動，為古中國六藝之一，亦被古希臘學(xué)者視為哲學(xué)之起點。數(shù)學(xué)的希臘語μαθηματικ??)意思是“學(xué)問的基礎(chǔ)”，源于μ?θημα（“科學(xué)，知識，學(xué)問”）。數(shù)學(xué)最早用于人們計數(shù)、天文、度量甚至是貿(mào)易的需要。首先是從我們稱之為初等代數(shù)的——自然數(shù)和整數(shù)以及它們的算術(shù)關(guān)系式開始的。更深層次的研究是數(shù)論。

數(shù)學(xué)起源對空間的研究則是從幾何學(xué)開始的，首先是歐幾里德幾何學(xué)和類似于三維空間（也適用于多或少維）的三角學(xué)。后來產(chǎn)生了非歐幾里德幾何學(xué)，在相對論中扮演著重要角色。到了16世紀(jì)，算術(shù)、初等代數(shù)、以及三角學(xué)等初等數(shù)學(xué)已大體完備。17世紀(jì)變量概念的產(chǎn)生使人們開始研究變化中的量與量的互相關(guān)系和圖形間的互相變換。隨著自然科學(xué)和技術(shù)的進一步發(fā)展，為研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)而產(chǎn)生的集合論和數(shù)理邏輯等也開始慢慢發(fā)展。（1）首先是伽里略實驗數(shù)學(xué)方法的出現(xiàn)，它表明了數(shù)學(xué)與自然科學(xué)的一種嶄新的結(jié)合。其特點是在所研究的現(xiàn)象中，找出一些可以度量的因素，并把數(shù)學(xué)方法應(yīng)用到這些量的變化規(guī)律中去。具體可歸結(jié)為：(1)從所要研究的現(xiàn)象中，選擇出若干個可以用數(shù)量表示出來的特點；(2)提出一個假設(shè)，它包含所觀察各量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式；(3)從這個假設(shè)推導(dǎo)出某些能夠?qū)嶋H驗證的結(jié)果；(4)進行實驗觀測—改變條件—再現(xiàn)測，并把觀察結(jié)果盡可能地用數(shù)值表示以來；(5)以實驗結(jié)果來肯定或否定所提的假設(shè)；(6)以肯定的假設(shè)為起點，提出新假設(shè)，再度使新假設(shè)接受檢驗。數(shù)學(xué)輝煌的17世紀(jì)（2）第二件大事是笛卡兒的重要著作《方法談》及其附錄《幾何學(xué)》于1637年發(fā)表。它引入了運動著的一點的坐標(biāo)的概念，引入了變量和函數(shù)的概念。由于有了坐標(biāo)，平面曲線與二元方程之間建立起了聯(lián)系，由此產(chǎn)生了一門用代數(shù)方法研究幾何學(xué)的新學(xué)科——解析幾何學(xué)。這是數(shù)學(xué)的一個轉(zhuǎn)折點，也是變量數(shù)學(xué)發(fā)展的第一個決定性步驟。第三件大事是微積分學(xué)的建立，最重要的工作是由牛頓和萊布尼茲各自獨立完成的。他們認(rèn)識到微分和積分實際上是一對逆運算，從而給出了微積分學(xué)基本定理，即牛頓—萊布尼茲公式。到1700年，現(xiàn)在大學(xué)里學(xué)習(xí)的大部分微積分內(nèi)容已經(jīng)建立起來，其中還包括較高等的內(nèi)容，例如變分法。第一本微積分課本出版于1696年，是洛比達寫的。

19世紀(jì)20年代出現(xiàn)了一個偉大的數(shù)學(xué)成就，它就是把微積分的理論基礎(chǔ)牢固地建立在極限的概念上?？挛饔?821年在《分析教程》一書中，發(fā)展了可接受的極限理論，然后極其嚴(yán)格地定義了函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)和積分，強調(diào)了研究級數(shù)收斂性的必要，給出了正項級數(shù)的根式判別法和積分判別法?？挛鞯闹髡饎恿水?dāng)時的數(shù)學(xué)界，他的嚴(yán)謹(jǐn)推理激發(fā)了其他數(shù)學(xué)家努力擺脫形式運算和單憑直觀的分析。今天的初等微積分課本中寫得比較認(rèn)真的內(nèi)容，實質(zhì)上是柯西的這些定義。19世紀(jì)20年代19世紀(jì)前半葉，數(shù)學(xué)上出現(xiàn)兩項革命性的發(fā)現(xiàn)——非歐幾何與不可交換代數(shù)。大約在1826年，人們發(fā)現(xiàn)了與通常的歐幾里得幾何不同的、但也是正確的幾何——非歐幾何。這是由羅巴契夫斯基和里耶首先提出的。非歐幾何的出現(xiàn)，改變了人們認(rèn)為歐氏幾何唯一地存在是天經(jīng)地義的觀點。它的革命思想不僅為新幾何學(xué)開辟了道路，而且是20世紀(jì)相對論產(chǎn)生的前奏和準(zhǔn)備。

1854年，黎曼推廣了空間的概念，開創(chuàng)了幾何學(xué)一片更廣闊的領(lǐng)域——黎曼幾何學(xué)。非歐幾何學(xué)的發(fā)現(xiàn)還促進了公理方法的深入探討，研究可以作為基礎(chǔ)的概念和原則，分析公理的完全性、相容性和獨立性等問題。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期在1843年，哈密頓發(fā)現(xiàn)了一種乘法交換律不成立的代數(shù)——四元數(shù)代數(shù)。不可交換代數(shù)的出現(xiàn)，改變了人們認(rèn)為存在與一般的算術(shù)代數(shù)不同的代數(shù)是不可思議的觀點。它的革命思想打開了近代代數(shù)的大門。

另一方面，由于一元方程根式求解條件的探究，引進了群的概念。19世紀(jì)20～30年代，阿貝爾和伽羅華開創(chuàng)了近世代數(shù)學(xué)的研究。近代代數(shù)是相對古典代數(shù)來說的，古典代數(shù)的內(nèi)容是以討論方程的解法為中心的。群論之后，多種代數(shù)系統(tǒng)(環(huán)、域、格、布爾代數(shù)、線性空間等)被建立。這時，代數(shù)學(xué)的研究對象擴大為向量、矩陣，等等，并漸漸轉(zhuǎn)向代數(shù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)本身的研究。哈密頓數(shù)學(xué)表現(xiàn)出幾個特點：(1)以微積分為基礎(chǔ)，發(fā)展出寬廣的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，成為后來數(shù)學(xué)發(fā)展中的一個主流；(2)數(shù)學(xué)方法完成了從幾何方法向解析方法的轉(zhuǎn)變；(3)數(shù)學(xué)發(fā)展的動力除了來自物質(zhì)生產(chǎn)之外，還來自物理學(xué)；(4)已經(jīng)明確地把數(shù)學(xué)分為純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)。(5)數(shù)學(xué)的對象、內(nèi)容在深度和廣度上都有了很大的發(fā)展，分析學(xué)、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)的思想、理論和方法都發(fā)生了驚人的變化，數(shù)學(xué)的不斷分化，不斷綜合的趨勢都在加強。(6)電子計算機進入數(shù)學(xué)領(lǐng)域，產(chǎn)生巨大而深遠(yuǎn)的影響。（7)數(shù)學(xué)滲透到幾乎所有的科學(xué)領(lǐng)域，并且起著越來越大的作用，純粹數(shù)學(xué)不斷向縱深發(fā)展，數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)已經(jīng)成為整個數(shù)學(xué)大廈基礎(chǔ)?？偨Y(jié)數(shù)學(xué)家的故事——歐拉智改羊圈歐拉是數(shù)學(xué)史上著名的數(shù)學(xué)家，他在數(shù)論、幾何學(xué)、天文數(shù)學(xué)、微積分等好幾個數(shù)學(xué)的分支領(lǐng)域中都取得了出色的成就。不過，這個大數(shù)學(xué)家在孩提時代卻一點也不討老師的喜歡，他是一個“自學(xué)成才”的小學(xué)生。事情是因為星星而引起的。當(dāng)時，小歐拉在一個教會學(xué)校里讀書。有一次，他向老師提問，天上有多少顆星星。老師是個神學(xué)的信徒，他不知道天上究竟有多少顆星，圣經(jīng)上也沒有回答過。其實，天上的星星數(shù)不清，是無限的。我們的肉眼可見的星星也有幾千顆。這個老師不懂裝懂，回答歐拉說：“天有多少顆星星，這無關(guān)緊要，只要知道天上的星星是上帝鑲嵌上去的就夠了?！睔W拉感到很奇怪：“天那么大，那么高，地上沒有扶梯，上帝是怎么把星星一顆一顆鑲嵌到一在幕上的呢？上帝親自把它們一顆一顆地放在天幕，他為什么忘記了星星的數(shù)目呢？上帝會不會太粗心了呢？”他向老師提出了心中的疑問，老師又一次被問住了，漲紅了臉，不知如何回答才好。老師的心中頓時升起一股怒氣，這不僅是因為一個才上學(xué)的孩子向老師問出了這樣的問題，使老師下不了臺，更主要的是，老師把上帝看得高于一切。小歐拉居然責(zé)怪上帝為什么沒有記住星星的數(shù)目，言外之意是對萬能的上帝提出了懷疑。在老師的心目中，這可是個嚴(yán)重的問題。在歐拉的年代，對上帝是絕對不能懷疑的，人們只能做思想的奴隸，絕對不允許自由思考。小歐拉沒有與教會、與上帝“保持一致”，老師就讓他離開學(xué)?；丶?。但是，在小歐拉心中，上帝神圣的光環(huán)消失了。他想，上帝是個窩囊廢，他怎么連天上的星星也記不?。克窒?，上帝是個獨裁者，連提出問題都成了罪。他又想，上帝也許是個別人編造出來的家伙，根本就不存在。

回家后無事，他就幫助爸爸放羊，成了一個牧童。爸爸的羊群漸漸增多了，達到了100只。原來的羊圈有點小了，爸爸決定建造一個新的羊圈。他用尺量出了一塊長方形的土地，長40米，寬15米，他一算，面積正好是600平方米，平均每一頭羊占地6平方米。正打算動工的時候，他發(fā)現(xiàn)他的材料只夠圍100米的籬笆，不夠用。若要圍成長40米，寬15米的羊圈，其周長將是110米（15+15+40+40=110）父親感到很為難，若要按原計劃建造，就要再添10米長的材料；要是縮小面積，每頭羊的面積就會小于6平方米。小歐拉卻向父親說，不用縮小羊圈，也不用擔(dān)心每頭羊的領(lǐng)地會小于原來的計劃。他有辦法。父親不相信小歐拉會有辦法，聽了沒有理他。小歐拉急了，大聲說：“只有稍稍移動一下羊圈的樁子就行了。”父親聽了直搖頭，心想：“世界上哪有這樣便宜的事情？”但是，小歐拉卻堅持說，他一定能兩全齊美。父親終于同意讓兒子試試看。小歐拉見父親同意了，站起身來，跑到準(zhǔn)備動工的羊圈旁。他以一個木樁為中心，將原來的40米邊長截短，縮短到25米。父親著急了，說：“那怎么成呢？那怎么成呢？這個羊圈太小了，太小了?！毙W拉也不回答，跑到另一條邊上，將原來15米的邊長延長，又增加了10米，變成了25米。經(jīng)這樣一改，原來計劃中的羊圈變成了一個25米邊長的正方形。然后，小歐拉很自信地對爸爸說：“現(xiàn)在，籬笆也夠了，面積也夠了。”父親照著小歐拉設(shè)計的羊圈扎上了籬笆，100米長的籬笆真的夠了，不多不少，全部用光。面積也足夠了，而且還稍稍大了一些。父親心里感到非常高興。孩子比自己聰明，真會動腦筋，將來一定大有出息。父親感到，讓這么聰明的孩子放羊?qū)嵲谑羌翱上Я恕：髞恚朕k法讓小歐拉認(rèn)識了一個大數(shù)學(xué)家伯努利。通過這位數(shù)學(xué)家的推薦，1720年，小歐拉成了巴塞爾大學(xué)的大學(xué)生。這一年，小歐拉13歲，是這所大學(xué)最年輕的大學(xué)生。愛動腦筋的你知道歐拉為什么能做到嗎？你不妨設(shè)計這樣的問題：已知有一個矩形，其周長為100米，怎樣設(shè)計它的長和寬，使得它的面積最大？可以檢驗幾種情形：（1）長=40米，寬=10米（如圖6-1）（2）長=30米，寬=20米（如圖6-2）（3）長=25米，寬=25米（如圖6-3）通過對這三種情形下面積的計算，你能猜想出什么樣的結(jié)果？隨著我們對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與探索，將會給出明確的證明。

圖6-3圖6-1圖6-2諸葛亮考謀士相傳有一天，諸葛亮把將士們召集在一起，說：“你們中間不論誰，從1～1024中任意選出一個整數(shù)，記在心里，我提十個問題，只要求回答‘是’或‘不是’。十個問題全答完以后，我就會‘算’出你心里記的那個數(shù)?！敝T葛亮剛說完，一個謀士站起來說，他已經(jīng)選好了一個數(shù)。諸葛亮問道：“你選的數(shù)大于512？”謀士答：“不是。”諸葛亮又接連向這謀士提了九個問題，謀士都一一作了回答。諸葛亮最后說：“你記的那個數(shù)是1?！敝\士聽了極為驚奇，因為這個數(shù)果真是他選的數(shù)。你知道諸葛亮是怎樣妙算的嗎？其實方法很簡單，就是把1024一半一半的取，取到第十次時，就是“1”。根據(jù)這個道理，連續(xù)提十個問題，就能找到所需的數(shù)?？扇绻堰@道題編成普通的文字題，那該多沒意思啊！要是這樣的題目能引發(fā)同學(xué)們做題的興趣，那么我們何不把枯燥的文字題改編或想成有趣的題呢？這樣既能讓我們鍛煉自己的思維能力，又能讓我們靈活用腦，豈不是一舉兩得！我想如果這樣，同學(xué)們再也不會對數(shù)學(xué)感到乏味了。同學(xué)們，也許由于數(shù)學(xué)比較抽象，比較復(fù)雜，所以有的同學(xué)不喜歡數(shù)學(xué)。但是生活、工作離不開數(shù)學(xué)，目前正處于電子計算機時代，離開數(shù)學(xué)就會寸步難行。如果把枯燥的數(shù)學(xué)算式編成故事般的趣題，那么它就會引發(fā)你的興趣，使你懷著好奇而興奮的心情去做它。1、美術(shù)課上，老師要求同學(xué)們將右圖所示的白紙只沿虛線裁開，用裁開的紙片和白紙上的陰影部分圍成一個立體模型，然后放在桌面上，下面四個示意圖中，只有一個符合上述要求，那么這個示意圖是（）ABCDB相信自己，開動腦筋

2、如圖是正方體，四邊形APQC是表示用平面截正方體的截面，截面的線表現(xiàn)在展開圖的哪里呢？把大致的圖形在右面展開圖里畫出來．分析：把立體圖形表面的線條畫在平面展開圖上，只要抓住四邊形APQC四個頂點所在的位置這個關(guān)鍵，再進一步確定四邊形的四條邊所在的平面就可容易地畫出．解：（1）考慮到展開圖上有六個頂點沒有標(biāo)出，可想象將展開圖折成立體形，并在頂點上標(biāo)出對應(yīng)的符號