線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納

Gauss消元法與矩陣的初等變換1．1線性方程組與Gauss消元法： A B表示的是A到B互換。增廣矩陣：給定一個(gè)線性方程組，把它的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)提取出來按原次序排列起來，就確定了一個(gè)長(zhǎng)方形的表，這個(gè)表稱為該線性方程組的增廣矩陣（augmentedmatrix）。反之，給定一個(gè)長(zhǎng)方形的表，也就確定了一個(gè)線性方程組。初等變換：（1）.互換兩個(gè)方程的位置（2）.用一個(gè)非零系數(shù)乘以某個(gè)方程（3）把第j個(gè)方程乘以一個(gè)非零數(shù)在加到第i個(gè)方程上這三種變形稱為線性方程組的初等變換。初等變換的重要性質(zhì)：定理1：施行初等變換不會(huì)改變線性方程組的解，即若一個(gè)m×n線性方程組經(jīng)過某一個(gè)初等變換后變?yōu)榱硪粋€(gè)方程組，那么這兩個(gè)方程組同解。1.2．矩陣的初等行變換與矩陣的秩系數(shù)矩陣：給定一個(gè)線性方程組，把它的系數(shù)取出來按原次序排列起來所確定的長(zhǎng)方形的表稱為該線性方程組的系數(shù)矩陣（coefficentmatrix）。規(guī)定：一個(gè)1×1矩陣就是一個(gè)數(shù)。對(duì)矩陣的3種變形成為矩陣的初等行變換。例：與“階梯形”方程組對(duì)應(yīng)的矩陣具有兩個(gè)特點(diǎn)：（1）.元素全為零的行（稱為零行）均在下方（如果有零行的話）；（2）.兩個(gè)相鄰的非零行中，下一行的從左邊數(shù)起的第一個(gè)非0元素（稱為該行的主元）必位于上一行的主元的右邊。我們稱具有這兩個(gè)特點(diǎn)的矩陣稱為行階梯形矩陣。定理：任何一個(gè)非零矩陣A都可以經(jīng)過一系列（有限次）初等行變換化成行階梯形矩陣，這個(gè)矩陣稱為A的一個(gè)行階梯形。結(jié)論：一個(gè)矩陣必然有無數(shù)個(gè)行階梯形，但是這些行階梯形中必有相同的非零行數(shù)。矩陣的秩：若非零矩陣的一個(gè)行階梯性有r個(gè)非零行，則稱r為矩陣A的秩（rank），記為rank（A）=r（或簡(jiǎn)寫為R(A)=r）。規(guī)定：零矩陣的秩為零。標(biāo)注：行階梯形矩陣的非零行數(shù)就是其主元的個(gè)數(shù)，所以R（A）就是的主元個(gè)數(shù)，因?yàn)榈闹髟匚挥诓煌男胁煌牧兴?，也就是說m和n總是成立的。推論：初等行變換不會(huì)改變矩陣的秩。1.3線性方程組解的存在性和唯一性定理1：設(shè)m×n線性方程組的系數(shù)矩陣為A，增廣矩陣為B，那么：（1）.當(dāng)且僅當(dāng)R(A)≠R(B)時(shí)，方程組無解（2）.當(dāng)且僅當(dāng)R(A)＝R(B)=n時(shí)，（n為未知量的個(gè)數(shù)）方程組有唯一解；（3）.當(dāng)且僅當(dāng)R(A)＝R(B)<n時(shí)方程組有無窮多個(gè)解。注意：因?yàn)镽(A)不可能大于R(B),所以當(dāng)R(A)≠R(B)時(shí)就只能意味著R(A)<R(B)。常數(shù)項(xiàng)均為0的線性方程組我們稱之為其次線性方程組m×n其次線性方程組的一般形式如下：顯然其次方程組至少有一個(gè)解，即（0，·····，0）（也就是）稱之為零解或者平凡解，除零解之外的其他解均被稱為非零解或者非平凡解注意：因?yàn)辇R次線性方程組必定有解所以R(A)＝R(B)若方程組只有零解即意味著有唯一解，那么就有R(A)＝n，因此n元齊次線性方程組只有零解的充分必要條件是R(A)＝n。定理2：n元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是R(A)<n，即系數(shù)矩陣的秩小于未知元的個(gè)數(shù)。推論（充分條件）：在齊次性方程組中，如果方程個(gè)數(shù)小于未知元個(gè)數(shù)，則該方程必有非零解。注：當(dāng)上述方程組有一個(gè)非零解時(shí)就意味著它有無窮多個(gè)非零解，事實(shí)上這時(shí)也是方程組的解，其中可取任意非零實(shí)數(shù)。1.4矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形定義：矩陣的3種初等行變換和3種初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。如果矩陣A通過一系列的初等變換變成矩陣B，則稱矩陣A和B是等價(jià)的（equivalent）,記為,矩陣的額等價(jià)滿足下列的性質(zhì)：（1）.（2）.若則（3）.若，，則；（4）.若，，則注：不同型的矩陣不可能等價(jià)。定理：（1）.任何非零矩陣都可以經(jīng)過有限次的初等變換變形成的矩陣，其中r=R（）；（2）.兩個(gè)等價(jià)的矩陣具有相同的標(biāo)準(zhǔn)形，反之亦然。注:表示：其中“左上角”是一個(gè)r階的單位矩陣，而其它元素全為0，我們稱這個(gè)矩陣為A的標(biāo)準(zhǔn)形。1.5綜合與提高中國(guó)古代問題：物不知數(shù)百雞百錢例1：今有物不知數(shù)，三三數(shù)之剩一，五五數(shù)之剩二，七七數(shù)之剩三。問物幾何？例2：今有百錢買只雞，雞翁一值錢五，雞母一值錢三，雞雛三值錢一，問：雞翁，雞母，雞雛各幾何？行列式n階行列式的定義2.1.1二階行列式的定義