名人名言摘錄

世紀(jì)是信息社會(huì),需要會(huì)學(xué)習(xí)、會(huì)思考、善發(fā)現(xiàn)、知識(shí)廣博、開(kāi)拓進(jìn)取、標(biāo)新立異、具有發(fā)現(xiàn)能力的人才.數(shù)學(xué)教學(xué)要以“多出人才,快出人才,出好人才”為目標(biāo),培養(yǎng)學(xué)生素質(zhì)的數(shù)學(xué)觀,數(shù)學(xué)為大眾的教育觀,確立四個(gè)觀念:①確立邏輯思維能力與非邏輯思維能力、智力與非智力因素共同培養(yǎng)的觀念;②數(shù)學(xué)應(yīng)用觀念;③思維開(kāi)放的觀念;④重視數(shù)學(xué)思想方法的觀念.新的課堂教學(xué),首先要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境要以教師為主導(dǎo);調(diào)動(dòng)學(xué)生思維積極性要以學(xué)生活動(dòng)為主體;教學(xué)生數(shù)學(xué)思維要以學(xué)生思維為核心;以學(xué)生的數(shù)學(xué)思維為主線;探索問(wèn)題要明確是什么方式;對(duì)數(shù)學(xué)思維的材料的加工過(guò)程要以能力為立意;讓學(xué)生在情境中沉思,在情境中領(lǐng)悟,在一系列問(wèn)題解決中,完成知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程.使學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上獲得“一雙能用數(shù)學(xué)視角觀察世界的眼睛;一個(gè)能用數(shù)學(xué)思維思考世界的頭腦;一幅為國(guó)家謀富強(qiáng)、為人民謀幸福的心腸”真正做到“一切為了學(xué)生,為了一切學(xué)生,為了學(xué)生的一切.”只有貫徹新的教育理念:以學(xué)生活動(dòng)為中心(一個(gè)中心);學(xué)會(huì)學(xué)習(xí),學(xué)會(huì)創(chuàng)造(兩個(gè)學(xué)會(huì));才能有三個(gè)轉(zhuǎn)變:以教師為中心向以學(xué)生活動(dòng)為中心轉(zhuǎn)變;以研究教法為中心向研究學(xué)法為中心轉(zhuǎn)變;以學(xué)習(xí)知識(shí)為中心向以創(chuàng)造為中心轉(zhuǎn)變.引進(jìn)數(shù)學(xué)美、對(duì)稱美、和諧美、簡(jiǎn)潔美、思維美是為了學(xué)生學(xué)得簡(jiǎn)單一點(diǎn),有趣一點(diǎn),輕松一點(diǎn),鮮活一點(diǎn),以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.這種數(shù)學(xué)語(yǔ)言敘述美極了,使很多“只能會(huì)意,不能言傳”的數(shù)學(xué)知識(shí)一說(shuō)即明白.數(shù)學(xué)是人類(lèi)的一種文化,它的內(nèi)容、思想、方法和語(yǔ)言是現(xiàn)代文明的重要組成部分.數(shù)學(xué)教師不放過(guò)任何一個(gè)機(jī)會(huì)來(lái)訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言,訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維與訓(xùn)練數(shù)學(xué)語(yǔ)言同樣重要.當(dāng)然,教師強(qiáng)調(diào)證明在實(shí)數(shù)域(-1,上是增函數(shù)是訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維.所謂構(gòu)造法是構(gòu)造性策略.構(gòu)造法，即構(gòu)造性解題方法，它是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件或者結(jié)論的特征，以問(wèn)題中的數(shù)學(xué)關(guān)系為框架，以問(wèn)題的數(shù)學(xué)元素為“元件”，得出新的數(shù)學(xué)對(duì)象或者數(shù)學(xué)模型，從而使問(wèn)題轉(zhuǎn)化并得到解決的方法.[1]這里所說(shuō)的“元件”可以是:方程(組)、函數(shù)、代數(shù)式、不等式、幾何圖形、公式、向量、復(fù)數(shù)、算法與命題,甚至于構(gòu)造類(lèi)比問(wèn)題使問(wèn)題轉(zhuǎn)化,并得到解決.要明確,構(gòu)造“元件”是手段,轉(zhuǎn)化問(wèn)題是策略,證出了數(shù)學(xué)問(wèn)題是目的.下面以高中教材上的題講構(gòu)造法解題.教師既是知識(shí)的傳遞者,又是決策者,教學(xué)過(guò)程的引導(dǎo)者、組織者、指導(dǎo)者、學(xué)生構(gòu)建知識(shí)的幫助者、促進(jìn)者、中介者、評(píng)價(jià)者,但在人格上是平等的.其次,創(chuàng)設(shè)情境可以使學(xué)生“產(chǎn)生情緒高昂和智力振奮的內(nèi)心狀態(tài)”本文一開(kāi)始就創(chuàng)設(shè)了構(gòu)造一次函數(shù)證明不等式的情境,吊起學(xué)生的胃口;其三是教師從知識(shí)的權(quán)威者轉(zhuǎn)變?yōu)榕c學(xué)生平等的參與者、主動(dòng)研數(shù)學(xué)可以給你一雙明亮的眼晴,提供你觀察數(shù)量關(guān)系的本領(lǐng),還可給你一顆探索數(shù)學(xué)規(guī)律的好奇心,點(diǎn)燃你追求上進(jìn)的求知欲望,好好學(xué)數(shù)學(xué)吧!它給你越來(lái)越睿智的頭腦,讓你越來(lái)越聰明.研究者,從而成為與學(xué)生共同的發(fā)現(xiàn)者;其四,教師從知識(shí)的傳播者轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的促進(jìn)者、導(dǎo)演者與指導(dǎo)者,有時(shí)出現(xiàn)“師導(dǎo)生思”,有時(shí)又出現(xiàn)“師贊生高昂”的芬圍;其五是學(xué)生感到困難時(shí)多鋪墊,多啟發(fā),多互動(dòng),這樣既能激發(fā)學(xué)生積極思考,又能使教師“從當(dāng)局者變?yōu)榕杂^者”,以便應(yīng)付課堂上突然出現(xiàn)教師遇料之外的情況;最后要指出的是提問(wèn)式、討論式、研究式需要教師有豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)在實(shí)踐中、在事實(shí)上,在與學(xué)生的共同探索與發(fā)現(xiàn)中,教師既是表?yè)P(yáng)學(xué)生的鼓勵(lì)者、知識(shí)傳播者、創(chuàng)設(shè)情境的決策者、構(gòu)建學(xué)生知識(shí)的幫助者、與學(xué)生共同探索者、共同發(fā)現(xiàn)者,難得布魯納說(shuō):“探索是數(shù)學(xué)教學(xué)的生命線.”數(shù)學(xué)解題教學(xué)要貫徹、實(shí)施以“知識(shí)、方法、能力、素質(zhì)、創(chuàng)新”為要素的多維教育模式,創(chuàng)設(shè)、營(yíng)造學(xué)生主體參與、師生交流、生生交流、生師交流活躍的教學(xué)氛圍.(3)關(guān)于論證推理與合情推理—猜想論證推理與合情推理,波利亞說(shuō)：“一個(gè)認(rèn)真想把數(shù)學(xué)作為他終身事業(yè)的學(xué)生必須學(xué)習(xí)論證的推理;這是他的專業(yè)也是他那門(mén)學(xué)科的特殊標(biāo)志.然而為了取得真正的成就他還必須學(xué)習(xí)合情推理;這是他的創(chuàng)造性工作所賴以進(jìn)行的那種推理.”教學(xué)實(shí)踐表明,硬塞給學(xué)生的論證推理是不符合教育學(xué)規(guī)律的,在某種情況下,教合情推理,教猜想比教論證推理、教證明對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的能力更為重要波利亞說(shuō)：“合情推理就是猜想”猜想過(guò)程既需要觀察、又需要對(duì)比與想象。想象力比知識(shí)更重要，因?yàn)橄胂罅仁侵橇Φ某岚?，又能概括一個(gè)普遍的規(guī)律。(4)挖掘隱含條件什么是隱含條件?所謂隱含條件是指數(shù)學(xué)問(wèn)題中那些若明若暗,含而不露的已知條件,或者從題設(shè)中不斷挖掘并利用條件進(jìn)行推理和變形而重新發(fā)現(xiàn)的條件.數(shù)學(xué)問(wèn)題難度的標(biāo)志之一是隱含條件的深度與廣度.一般來(lái)說(shuō),隱含條件通常隱蔽在數(shù)學(xué)定義與性質(zhì)中;或者隱蔽在函數(shù)的定義域與值域之中;或者隱蔽在幾何圖形的特殊位置上;或者隱蔽在知識(shí)的相互聯(lián)系之中.挖掘隱含條件,用綜合法,從已知條件入手,由因?qū)Ч剡\(yùn)用推理手段,尋求隱含結(jié)論,它是結(jié)論成立的充分條件;或者用分析法,從結(jié)論出發(fā),執(zhí)果索因地尋求隱含條件,它是結(jié)論成立的必要條件.要注意的是這兩種尋求隱含條件的方向恰好相反.（5）關(guān)于學(xué)習(xí)遷移的論述所謂遷移力是把在一個(gè)情境中的觀察、感知、注意、記憶、思維、藝術(shù)基礎(chǔ)中學(xué)到的事物遷移到新情境中的能力.強(qiáng)行記憶叫強(qiáng)記憶,理解記憶容易遷移,強(qiáng)記憶弱遷移或負(fù)遷移.所謂知識(shí)條理化是指用恰當(dāng)?shù)姆蠢糜谥X(jué)學(xué)習(xí);概念學(xué)習(xí).對(duì)于何時(shí)、何地、如何運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的理解,通過(guò)反例來(lái)增強(qiáng)學(xué)習(xí)者的運(yùn)用知識(shí)的能力.為什么學(xué)生容易犯非本質(zhì)屬性泛化的毛病,是因?yàn)榉潜举|(zhì)屬性的負(fù)遷移的結(jié)果.為此可用反例及辯析題制造認(rèn)知沖突,使學(xué)生認(rèn)概念的本質(zhì)屬性.利用反例、辯析題、變式題進(jìn)行教學(xué)都屬于變式教學(xué)的范疇.反例的特點(diǎn)是改變對(duì)象本質(zhì)屬性而保持非本質(zhì)特征不變;辮析題的特點(diǎn)是改變對(duì)象的非本質(zhì)屬性而保持本質(zhì)特征不變.十六字訣“去粗取精,去偽存真,由此及彼,由表及里.”是實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移的好辦法.遷移本身是一種“想象”的體現(xiàn),知識(shí)或策略的遷移就是對(duì)不同事物間的想象.“如果—怎么辦”型的問(wèn)題解決本身,更是地地道道的“想象”的問(wèn)題,沒(méi)有對(duì)“如果”可能引出東西的“想象”,何以能找到“怎么辦”?“概括案例”也同樣離不開(kāi)“想象”,沒(méi)有“想象”,哪來(lái)的“抽象”,沒(méi)有“抽象”,哪來(lái)的“概括”.人失去了“想象”,知識(shí)將成為教條,智慧將趨于枯竭.培根說(shuō):“知識(shí)就是力量.”愛(ài)因斯坦補(bǔ)充說(shuō):“想象比知識(shí)更重要.”知識(shí)是由想象創(chuàng)造出來(lái)的,知識(shí)又是由想象激活的.知識(shí)又是由想象推動(dòng)發(fā)展的,知識(shí)更是由想象帶向無(wú)限的.大量的表面上看風(fēng)馬牛不相及的問(wèn)題之間的遷移是由于它們有共同的抽象結(jié)構(gòu)所至.影響知識(shí)遷移的因素有:①學(xué)習(xí)的情境;②問(wèn)題的表征;③遷移的條件;(為什么類(lèi)比推理是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)或成功遷移的一個(gè)有效途徑,“認(rèn)知要素”相同是指意義上的、理解上的、策略上的、原理上的,或者是間接的而不是直接的.④遷移與元認(rèn)知.遷移的實(shí)質(zhì)是什么? 遷移的實(shí)質(zhì)是一個(gè)要求學(xué)習(xí)者積極參與選擇和評(píng)估策略、思考資源和接受反饋的過(guò)程,也是把遷移看成一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程.關(guān)于弱抽像與強(qiáng)抽象的論述規(guī)律性、探索性的“先猜后證”為什么如此重要?因?yàn)榭茖W(xué)的發(fā)明、創(chuàng)造、探索過(guò)程就是一種“先猜后證”的過(guò)程，為了訓(xùn)練學(xué)生的觀察能力、歸納能力、類(lèi)比能力、聯(lián)想能力、推理能力、猜想能力，必須在解題中出現(xiàn)“先猜后證”的數(shù)學(xué)題。而弱抽象與強(qiáng)抽象是先猜后證的理論基礎(chǔ).什么是“弱抽象”與“強(qiáng)抽象”呢?所謂“弱抽象”就是一般化,或者是“從考慮一個(gè)對(duì)象過(guò)渡到考慮包含該對(duì)象的一個(gè)集合,或者從考慮一個(gè)較小的集合過(guò)渡到考慮包含該較小集合的更大的集合”[1]弱抽象也可以叫做“概念擴(kuò)張式抽象”.這是指由原型中選取某一特征或側(cè)面加以抽象,從而形成比原型更為普遍、更為一般的概念或理論,并使前者成為后者的特例;所謂“強(qiáng)抽象”就是特殊化,換句話說(shuō)“特殊化是從考慮一組給定的對(duì)象集合過(guò)渡到考慮該集合中的一個(gè)較小集合,或僅僅一個(gè)對(duì)象.特殊化在求解問(wèn)題時(shí)常常很有用”[2].強(qiáng)抽象也可以叫做“概念強(qiáng)化式抽象”.這是指通過(guò)引入新特征強(qiáng)化原型完成抽象,從而,所獲得的新概念或理論就是原型的特例.一類(lèi)比名言數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬說(shuō):“在數(shù)學(xué)里用類(lèi)比得出的結(jié)論并不是真理,┉┉適合于某些特殊情況的法則可能是很有用的,但是不能作為科學(xué)的根據(jù),在這種情況下只能用證明來(lái)滿足要求.”數(shù)學(xué)定理和公式的證明，一般用演繹法。但是，去發(fā)現(xiàn)真理往往比事后論證更為重要，而發(fā)現(xiàn)真理既靠歸納，又靠類(lèi)比，更靠直覺(jué)。但20世紀(jì)以來(lái)，弄得直覺(jué)與猜想在數(shù)學(xué)教學(xué)中好像沒(méi)有地位了，直到國(guó)際數(shù)學(xué)教育家波利亞（Polya）的一些著作（怎樣解題、數(shù)學(xué)與猜想1、2卷）出版之后，才為數(shù)學(xué)中的猜想與直覺(jué)挽回一些聲譽(yù)，推理有兩種―論證推理與合情推理,深孚眾望的數(shù)學(xué)教育家G?波利亞說(shuō):“一個(gè)認(rèn)真想把數(shù)學(xué)作為他終身事業(yè)的學(xué)生必須學(xué)習(xí)論證的推理;這是他的專業(yè)也是他那門(mén)學(xué)科的特殊標(biāo)志,然而為了取得真正的成就他還必須學(xué)習(xí)合情推理;這是他的創(chuàng)造性工作所賴以進(jìn)行的那種推理,”〔1〕合情推理就導(dǎo)致猜想.邏輯推理需要分析與綜合、抽象與概括、一般化與特殊化、等思維操作；合情推理需要想象、歸納、類(lèi)比、聯(lián)想、等直覺(jué)思維的參與。先猜后證的數(shù)學(xué)思想能夠?qū)ⅰ安孪搿迸c“證明”、收斂思維與發(fā)散思維、左腦思維與右腦思維、邏輯推理與合情推理很好地結(jié)合起來(lái)。徐利治教授說(shuō)：“歷史上凡是有杰出貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家，無(wú)一例外的都是運(yùn)用歸納法與類(lèi)比法的大師。例如，最擅長(zhǎng)于演繹論證的高斯（Gauss）也曾自稱他的許多結(jié)果是利用歸納法猜到的。而證明只是補(bǔ)行手續(xù)。┅正如哈達(dá)碼（Hadamard）指出的，邏輯在這里起到驗(yàn)收“戰(zhàn)利品”的作用。事實(shí)上，從事數(shù)學(xué)創(chuàng)造性研究如同人在迷霧中摸索前進(jìn)一樣，需要用眼睛辯識(shí)方向，用雙腿邁向目的地。直覺(jué)就好比眼睛，起向?qū)ьI(lǐng)路作用。邏輯就是雙腿，沒(méi)有邏輯不可能到達(dá)目的地?！盵2]這是對(duì)合情推理與論證推理誰(shuí)更重要的辯證評(píng)價(jià)。正如國(guó)際數(shù)學(xué)教育家G。波利亞說(shuō)：“我們可以構(gòu)造出新問(wèn)題，這些新問(wèn)題我們很容易利用以前所解決的問(wèn)題加以解決，但這些易解決的新問(wèn)題又容易顯得索然無(wú)味?！庇终f(shuō)：“找出一個(gè)既有趣又好下手的新問(wèn)題并不那么容易，這需要經(jīng)驗(yàn)、鑒別力和好運(yùn)氣。但是，當(dāng)我們成功地解決了一個(gè)好問(wèn)題之后，我們應(yīng)當(dāng)去尋找更多的好問(wèn)題。好問(wèn)題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長(zhǎng)。找到一個(gè)以后，你應(yīng)當(dāng)在周?chē)艺?；很可能在附近就有幾個(gè)[1]”[1]G·波利亞著怎樣解題(M)北京科學(xué)出版社1984年版P65波利亞說(shuō):“得自許多類(lèi)似情況的類(lèi)比結(jié)論比得自較少情況的類(lèi)比結(jié)論要強(qiáng).但是這里質(zhì)量仍然比數(shù)量更為重要.清晰的類(lèi)比較模糊的相似更有價(jià)值,…”“類(lèi)比就是一種相似.”它是從一種特殊到另一種特殊的推理.先猜后證是一種數(shù)學(xué)思想,“猜”不是瞎猜、亂猜,而是要在探索中去猜,要以直覺(jué)為先導(dǎo),以聯(lián)想為手段,以邏輯為根據(jù),以觀察為向?qū)?以思維為核心地去猜.以研究性學(xué)習(xí)為園地,以類(lèi)比聯(lián)想為工具,以歸納發(fā)現(xiàn)為手段,以先猜后論的數(shù)學(xué)思想為指導(dǎo),正如英國(guó)心理學(xué)家培英說(shuō):“創(chuàng)造發(fā)明都是由于類(lèi)似聯(lián)想所引起的”,這時(shí)我們自然得出以下的合情推理的猜想.“類(lèi)比就是相似比較.”聯(lián)想是一種既有目的又有方向的想象,是由當(dāng)前感知或思考的問(wèn)題想起其它事物的心理活動(dòng).所謂類(lèi)比聯(lián)想是以類(lèi)比為方法、以聯(lián)想為導(dǎo)向的探求規(guī)律和探索解題思路的策略.波蘭數(shù)學(xué)家斯·巴拿赫說(shuō)：“一個(gè)人是數(shù)學(xué)家，那是因?yàn)樗朴诎l(fā)現(xiàn)判斷之間的類(lèi)似；如果能判明論證之間的類(lèi)似，他就是一個(gè)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家；可是，我認(rèn)為還應(yīng)當(dāng)有這樣的數(shù)學(xué)家，他能夠洞察類(lèi)似之間的類(lèi)似。”我們用類(lèi)比聯(lián)想的方法不但構(gòu)造了簡(jiǎn)單類(lèi)比聯(lián)想題(這是合情推理的猜想),而且還用論證推理證明了它.正于G·波利亞說(shuō):“在求解所提出問(wèn)題的過(guò)程中,我們經(jīng)?？梢岳靡粋€(gè)較簡(jiǎn)單的類(lèi)比問(wèn)題的解答;我們可能利用它的方法或者可能利用它的結(jié)果,或者可能三者同時(shí)利用”[1]G·波利亞著怎樣解題(M)北京科學(xué)出版社1984年版P,G.波利亞說(shuō)“如果把這種猜測(cè)的似真性當(dāng)作肯定性,那將是愚蠢的,但是忽視這種似真的猜測(cè)將是同樣愚蠢甚至更為愚蠢”「2」G.·波利亞著怎樣解題(M)科學(xué)出版社1982年P(guān)43由于“清晰的類(lèi)比較模糊的相似更有價(jià)值”在先猜后證的過(guò)程中必須分清歸納猜想與類(lèi)比猜想,還要分清是解題思路的類(lèi)比猜想還是探索數(shù)學(xué)規(guī)律的類(lèi)比猜想.類(lèi)比是數(shù)學(xué)思維的主旋律;聯(lián)想是數(shù)學(xué)思維的中介與橋梁;“天下數(shù)學(xué)一大猜”,猜想是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的主要工具;數(shù)學(xué)創(chuàng)造是數(shù)學(xué)賴以發(fā)展的原動(dòng)力.「3」傅世球著類(lèi)比聯(lián)想.猜想及數(shù)學(xué)創(chuàng)造(J)數(shù)學(xué)教學(xué)研究2002年4期p14讀者還可以看出“類(lèi)比不但有發(fā)現(xiàn)真理、認(rèn)識(shí)真理的認(rèn)識(shí)論基礎(chǔ),而且還有證明真理的方法論意義.”又說(shuō)“客觀事物之間的相似性和差異性是類(lèi)比推理的邏輯基礎(chǔ),相似性的存在提供了類(lèi)比的可能性,而差異性的存在又限制著類(lèi)比的范圍.如果強(qiáng)調(diào)了事物之間的相似性而忽視其差異性,那么就會(huì)把類(lèi)比視為萬(wàn)能的“法寶”到處亂用;反之,如果片面地強(qiáng)調(diào)事物之間的差異性而忽視其相似性,那么就會(huì)陷入“不可知論”的泥坑.”[2]傅世球中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的藝術(shù)(M)長(zhǎng)沙湖南教育出版社1989年5月首先我們看歷史上類(lèi)比在科學(xué)研究上起什么作用,荷蘭物理學(xué)家與數(shù)學(xué)家惠更斯在比較聲與光現(xiàn)象之后,證明了這兩種現(xiàn)象具有一系列相同的性質(zhì):聲與光都具有一種直線傳播規(guī)律,反射規(guī)律,折射規(guī)律和干擾規(guī)律,使他從聲波的概念用類(lèi)比思想方法推理而獲得光波的概念,用類(lèi)比思維和數(shù)學(xué)計(jì)算發(fā)現(xiàn)海王星的科學(xué)家開(kāi)普勒稱類(lèi)比是自己“最好的老師”和“自然秘密的參加者”哲學(xué)家康德說(shuō):“每當(dāng)理智缺乏可靠的論證的思路時(shí),類(lèi)比這方法往能指引我們前進(jìn).”數(shù)學(xué)家拉普拉斯說(shuō):“甚至在數(shù)學(xué)里,發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納與類(lèi)比”其次,數(shù)學(xué)的創(chuàng)造,發(fā)現(xiàn)過(guò)程,有兩個(gè)方面的精髓:內(nèi)容與結(jié)果;思想與方法.高斯說(shuō):“凡有自尊心的建筑師,在瑰麗的大廈建成之后,決不會(huì)把腳手架留在那里.”這就是說(shuō)結(jié)果留下,方法如同腳手架要拆走,恰恰是類(lèi)比的思想方法要留在學(xué)生的腦子里.類(lèi)比的思想方法就是腳手架,素質(zhì)教育要培養(yǎng)開(kāi)拓型,創(chuàng)新型人才,必須學(xué)會(huì)類(lèi)比的思想方法.G.波利亞也說(shuō)過(guò)類(lèi)似的話:“解答的最終形式會(huì)被記下來(lái),可是原來(lái)那個(gè)善變的方案和有利或不利的證據(jù)多半或完全被忘掉了.人們可以看得見(jiàn)留下來(lái)的是建立起來(lái)的大廈,但是建立大廈所需要的腳手架都被搬走了”為了使學(xué)生知其然,又知其所以然,一定要在教學(xué)過(guò)程中,再現(xiàn)腳手架,它是數(shù)學(xué)本質(zhì),數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)的再現(xiàn).其三,為什么類(lèi)比的思想方法在素質(zhì)教育中有如此重大的作用呢?數(shù)學(xué)解題中,同化論,激活論與遷移理論都應(yīng)該是類(lèi)比的思想方法的理論基礎(chǔ),“從同化論與激活論來(lái)看,新知識(shí)要獲得意義,學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中不僅應(yīng)該具備適當(dāng)?shù)脑兄R(shí),而且這種原有知識(shí)必須處于激活的狀態(tài).┉把電場(chǎng)中的電荷類(lèi)比為重力場(chǎng)中的物體,把電場(chǎng)類(lèi)比為重力場(chǎng).…激活的重力場(chǎng)知識(shí)有助于同化電場(chǎng)知識(shí).”最后我們指出,以上講的種種類(lèi)比既彼此聯(lián)系又各自區(qū)別,如對(duì)稱類(lèi)比中又有簡(jiǎn)化類(lèi)比,還有局部激活整體地認(rèn)知策略,還有遷移理論,形式類(lèi)比中也存在簡(jiǎn)化類(lèi)比,降維類(lèi)比要想使得類(lèi)比成為學(xué)生心目中獲取新知識(shí)的腳手架,必須把種種類(lèi)比溶化在血液中,轉(zhuǎn)化為能力.傅世球著高中數(shù)學(xué)解題的激活策略(J)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考2002年6期p34[2]G.·波利亞著怎樣解題(M)科學(xué)出版社1982年P(guān)43[3]傅世球著類(lèi)比聯(lián)想.猜想及數(shù)學(xué)創(chuàng)造(J)我們用國(guó)際數(shù)學(xué)教育家G.波利亞一段話加以說(shuō)明:“類(lèi)比與進(jìn)行思考的人的相似概念和意向有關(guān).譬如你看到兩個(gè)事物之間(或者,寧可說(shuō)是兩組事物之間)的某種相似性并有意地把這種相似歸納為明確的概念,就說(shuō)你是在進(jìn)行類(lèi)比推想”.[2]G.波利亞數(shù)學(xué)與猜想第二卷(M)北京科學(xué)出版社1984年3月版一數(shù)學(xué)教學(xué)藝術(shù)名言教育家烏申斯基說(shuō)：“教學(xué)的藝術(shù)勝于科學(xué)?！笔聦?shí)上，教高等數(shù)學(xué)不但要懂得它，懂得科學(xué)，而且要懂得如何去教它，前者是科學(xué)，后者是藝術(shù)，是科學(xué)與藝術(shù)的和諧統(tǒng)一我國(guó)古代教育名著《學(xué)記》也有教學(xué)藝術(shù)的辯證論述：“君子之教喻也：道而弗牽，強(qiáng)而弗抑，開(kāi)而弗達(dá)，道而弗牽則和，強(qiáng)而弗抑則易，開(kāi)而弗達(dá)則思?！边@種關(guān)于教學(xué)是引導(dǎo)而不是牽著鼻子走；是鼓勵(lì)而不是壓制；是啟發(fā)而不是注入的教學(xué)藝術(shù)對(duì)當(dāng)今的高等數(shù)學(xué)教學(xué)的教師，不能不說(shuō)是一種要提倡的教學(xué)藝術(shù)?！秾W(xué)記》中關(guān)于如何提問(wèn)的教學(xué)藝術(shù)，談得更為具體：“善問(wèn)者如撞鐘。叩之以小者則小鳴，叩之以大者則大鳴，待其從容，然后盡其聲?！鼻苗姳扔魈釂?wèn)，鐘要從容地敲，才能悠揚(yáng)悅耳，提問(wèn)要因材施教，循序漸進(jìn)，慢慢啟友，方能使學(xué)生積極思維。對(duì)于設(shè)計(jì)提問(wèn)的教學(xué)藝術(shù)，從方法上又提出：“善問(wèn)者如攻堅(jiān)木，先其易者，后其節(jié)目，及其久也，相說(shuō)以解，不善問(wèn)者反此?！边@些如何提問(wèn)與方法的教學(xué)藝術(shù)，仍是符合教育學(xué)、心理學(xué)、教學(xué)論、方法論與教學(xué)法的重要規(guī)律的。數(shù)學(xué)也是一種藝術(shù)數(shù)學(xué)教學(xué)的藝術(shù)既是熟練掌握教學(xué)原則，教學(xué)方法的升華；又是教學(xué)共性與個(gè)性的有機(jī)結(jié)合；更是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的規(guī)律性與教師的獨(dú)創(chuàng)性的完滿結(jié)合；還是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的求真求實(shí)的和諧統(tǒng)一；是選擇與協(xié)調(diào)的藝術(shù)。徐利治說(shuō)：“數(shù)學(xué)是實(shí)在世界的最一般的量與空間形式的科學(xué)，同時(shí)又作為實(shí)在世界中具有特殊性、實(shí)踐性與多樣性的量與空間形式的科學(xué)?！备叩葦?shù)學(xué)是以辯證邏輯為工具的更為廣泛的量與空間形式的科學(xué)。藝術(shù)，常常被人們認(rèn)為僅僅是“蒙娜麗莎”、“最后的晚餐”的油畫(huà)，“維納斯”的雕像?！包S河大合唱”的旋律、“二泉映月”的琴聲、蘇州的園林、黃山，張家介的風(fēng)景畫(huà)等；其實(shí)，高等數(shù)學(xué)與音樂(lè)、高等數(shù)學(xué)與繪畫(huà)在藝術(shù)感染力方面有很多相似之處。如微分與積分以及定積分與不定積分的關(guān)系分別不但反映生產(chǎn)、技術(shù)、科學(xué)中的實(shí)際情況；而且在教學(xué)上歸納出“定積分解決了不定積分的存在問(wèn)題；而不定積分解決了定積分的計(jì)算問(wèn)題。”古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為“數(shù)學(xué)與音樂(lè)能凈化人的靈魂.”西爾維斯特說(shuō)：“難道說(shuō)音樂(lè)不就是感覺(jué)中的數(shù)學(xué)，而數(shù)學(xué)不就是推理中的音樂(lè)嗎？?jī)烧叩撵`魂是完全一致的！因此，音樂(lè)家可以感覺(jué)到數(shù)學(xué)，而數(shù)學(xué)家可以想象到音樂(lè)。雖說(shuō)音樂(lè)是夢(mèng)幻。而數(shù)學(xué)是現(xiàn)實(shí)，但當(dāng)人類(lèi)智慧升華到完美的境界時(shí)，音樂(lè)和數(shù)學(xué)就互相滲透而融為一體了?！卑褦?shù)學(xué)與音樂(lè)對(duì)比，不外乎是想說(shuō)音樂(lè)是藝術(shù)，數(shù)學(xué)也是藝術(shù)；把數(shù)學(xué)與繪畫(huà)對(duì)比，不外乎是想說(shuō)繪畫(huà)是藝術(shù)，數(shù)學(xué)也是藝術(shù)；類(lèi)比也如同臨摸繪畫(huà)一樣，歐拉在解決雅克。伯努利提出的關(guān)于求“自然數(shù)平方的倒數(shù)和的無(wú)窮級(jí)數(shù)求和”問(wèn)題時(shí)，歐拉不是像大畫(huà)家臨摸一樣將一個(gè)有限次代數(shù)方程的法則與無(wú)窮次非代數(shù)方程法則作類(lèi)比，進(jìn)行偉大的猜想，而創(chuàng)造性地得出使得雅克。伯努利的問(wèn)題得以徹底解決。還得到藝術(shù)收藏品—“歐拉乘積公式”，這不是臨摸藝術(shù)，是比繪畫(huà)大師的藝術(shù)更高操的猜想、發(fā)明藝術(shù)。高等數(shù)學(xué)也是推理的藝術(shù)，羌塞勞爾把數(shù)學(xué)的想象與推理與文學(xué)藝術(shù)相比，他說(shuō)：“正如文學(xué)誘導(dǎo)人們的情感與理解一樣，數(shù)學(xué)則啟發(fā)人們的想象與推理?！睌?shù)學(xué)推理中，都如同文學(xué)藝術(shù)一樣具有邏輯的感染力，使人們感覺(jué)到數(shù)學(xué)的美的藝術(shù)感召力。。比林斯利說(shuō)：“許多藝術(shù)能夠美化人們的心靈，但卻沒(méi)有哪一種藝術(shù)能比數(shù)學(xué)更有效地去美化和修飾人們的心靈?！彼^“理解”是一個(gè)從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的、復(fù)雜的、概括的、綜合性的認(rèn)知過(guò)程。用分馬策略、對(duì)數(shù)恒等式和兩個(gè)重要極限是建立在觀察與分析基礎(chǔ)之上的；并以抽象與概括是理解的關(guān)鍵；比較是理解的重要方法；能否在應(yīng)用過(guò)程中應(yīng)用分馬策略、對(duì)數(shù)恒等式和兩個(gè)重要極限是學(xué)習(xí)者理解的衡量標(biāo)準(zhǔn)。讀者也看出“分馬策略”也就是“和諧化策略”?！敖忸}策略是高層次的解題方法,是對(duì)解題途徑的概括性的認(rèn)識(shí).”具體的解題策略有順推與倒推、正面與反面、特殊化與普遍化、局部與整體、類(lèi)比與聯(lián)想和化歸等策略.如“以退求進(jìn)”也是一種正面與反面的解題策略解題的和諧化原則就是指解題策略應(yīng)遵循條件與結(jié)論﹑數(shù)與形﹑數(shù)學(xué)思想與解題思維途徑的和諧統(tǒng)一.換句話說(shuō)類(lèi)比所得出的猜想,有或然性.用辯證的觀點(diǎn)看問(wèn)題,不能認(rèn)為類(lèi)比所得出的結(jié)論不可靠就因噎廢食,在數(shù)學(xué)史上,類(lèi)比法推理得出種種猜想,若是真理,則是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的源泉.先猜后證是一種數(shù)學(xué)思想方法,“猜”不是瞎猜、亂猜,而是要在探索中去猜,要以直覺(jué)為先導(dǎo),以聯(lián)想為手段,以邏輯為根據(jù),以觀察為向?qū)?以思維為核心地去猜.牛頓說(shuō):“沒(méi)有大膽的猜想,就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)”.什么是創(chuàng)新思維?所謂創(chuàng)造性思維又叫做創(chuàng)新思維。它是打破常規(guī)，標(biāo)新立異，能超越傳統(tǒng)的習(xí)慣思維的束縛而能透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)的一種高層次的思維。創(chuàng)造性思維（創(chuàng)新思維）必須有創(chuàng)造性的想象的參與，愛(ài)因斯坦說(shuō)：“想象力比知識(shí)更重要，因?yàn)橹R(shí)是有限的，而想象力概括著世界上的一切，推動(dòng)著進(jìn)步，并且是知識(shí)進(jìn)化的源泉，嚴(yán)格地說(shuō)，想象力是科學(xué)研究中的實(shí)在因素。”創(chuàng)造性思維是新穎、獨(dú)特、流暢、變通、有推廣價(jià)值的思維。只有新穎它才獨(dú)特，它是發(fā)散思維的質(zhì)的標(biāo)志；而流暢性是發(fā)散思維的量的標(biāo)志，獨(dú)特、流暢、變通相互聯(lián)系，能流暢，方能變通，變通也是一種流暢，既流暢又變通才會(huì)出現(xiàn)超乎尋常的獨(dú)特，方法獨(dú)特才顯得新穎。所謂創(chuàng)新意識(shí)就是人對(duì)創(chuàng)新活動(dòng)的重要性有充分認(rèn)識(shí)。從而祟尚創(chuàng)新、追求創(chuàng)新、以創(chuàng)新為榮、主動(dòng)創(chuàng)新。所謂創(chuàng)新觀念就是敢于創(chuàng)新的理念；而所謂創(chuàng)新能力是指提出新思想、尋求新方法、構(gòu)建新理論、發(fā)明新技術(shù)的能力。創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新觀念、創(chuàng)新能力和發(fā)明創(chuàng)造,是振興中華的關(guān)健,而創(chuàng)新能力是核心,數(shù)學(xué)教學(xué)也是這樣,布魯納說(shuō):“探索是數(shù)學(xué)教學(xué)的生命線.”而探索真理的方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中只有歸納猜想和類(lèi)比猜想,有時(shí)也用直覺(jué)猜想.愛(ài)因斯坦說(shuō):“探索真理要比占有真理更可貴.”如何才能更好地探索真理呢?除了觀察問(wèn)題之外,還要提出問(wèn)題,正如李政道教授說(shuō):“最重要的是要會(huì)提出問(wèn)題,否則將來(lái)就做不了第一流的工作.”二普遍化與特殊化什么是普遍化方法呢?所謂“普遍化就是從考慮一個(gè)對(duì)象過(guò)渡到考慮包含該對(duì)象的一個(gè)集合;或者從考慮一個(gè)較小集合過(guò)渡到考慮一個(gè)包含該集合的更大的集合”[1].G.波利亞怎樣解題(M)北京科學(xué)出版社1982年版什么是特殊化呢?所謂特殊化是從考慮一組給定的對(duì)象集合過(guò)渡到考慮該集合中的一個(gè)較小集合,或僅僅一個(gè)對(duì)象.[2]簡(jiǎn)言之,特殊化是從一般命題過(guò)渡到特殊命題的一種思維方法.普遍化與特殊化是相互聯(lián)系,不可分割的.什么是“弱抽象”與“強(qiáng)抽象”呢?所謂“弱抽象”就是一般化,或者是“從考慮一個(gè)對(duì)象過(guò)渡到考慮包含該對(duì)象的一個(gè)集合,或者從考慮一個(gè)較小的集合過(guò)渡到考慮包含該較小集合的更大的集合”[1]所謂“強(qiáng)抽象”就是特殊化,換句話說(shuō)“特殊化是從考慮一組給定的對(duì)象集合過(guò)渡到考慮該集合中的一個(gè)較小集合,或僅僅一個(gè)對(duì)象.特殊化在求解問(wèn)題時(shí)常常很有用”[2]讀者注意把差改為和,這種先猜后證的探索、發(fā)現(xiàn)還成立嗎?讀者用特殊化,即“強(qiáng)抽象”也可以更好地發(fā)現(xiàn)這一個(gè)規(guī)律.因?yàn)樘厥饣步凶觥皬?qiáng)抽象”,可見(jiàn)“從特殊到一般,再由一般到特殊”就是認(rèn)識(shí)的一個(gè)基本規(guī)律,它們構(gòu)成了數(shù)學(xué)抽象思維的兩種基本形式.“強(qiáng)抽象”也可以更好地發(fā)現(xiàn)這一個(gè)規(guī)律.因?yàn)樘厥饣步凶觥皬?qiáng)抽象”,可見(jiàn)“從特殊到一般,再由一般到特殊”就是認(rèn)識(shí)的一個(gè)基本規(guī)律,它們構(gòu)成了數(shù)學(xué)抽象思維的兩種基本形式.可見(jiàn)“先猜”是數(shù)字等式，“后證”就是整式等式。不然的話就會(huì)出現(xiàn)“等式無(wú)窮，人生有限”的矛盾。也說(shuō)明引入代數(shù)式的必要性。牛頓說(shuō):“沒(méi)有大膽的猜想,就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)”.波利亞說(shuō):“雄心大的計(jì)劃,成功的希望也較大,這看起來(lái)矛盾,但當(dāng)一個(gè)問(wèn)題過(guò)渡到另一個(gè),我們常常看到,新的雄心大的問(wèn)題比原問(wèn)題更容易掌握,較多的問(wèn)題可能比只有一個(gè)問(wèn)題更容易回答,較復(fù)雜的定理可能更容易證明,較普遍的問(wèn)題可能更容易解決”[3]正如數(shù)學(xué)家梅森指出:“第一,只有通過(guò)特殊化才能很好地了解所面臨的問(wèn)題;第二只有通過(guò)特殊化才能認(rèn)識(shí)導(dǎo)致一般化的模式;笫三,對(duì)于所得出的結(jié)論又必須借助進(jìn)一步的特殊化去進(jìn)行檢驗(yàn),于是有如下的策略:由隨意的特殊化,去了解問(wèn)題;由系統(tǒng)的特殊化,為一般化提供基礎(chǔ);由巧妙的特殊化,去對(duì)一般性結(jié)論進(jìn)行檢驗(yàn)”.一般化剛好與特殊化思維方向相反,數(shù)學(xué)家梅森又說(shuō):“一般化是圍繞三個(gè)問(wèn)題展開(kāi)的:①什么看上去像是真?(猜想)②為什么它是真的?(檢驗(yàn))③它在怎樣的范圍內(nèi)看上去也是真v?(新的問(wèn)題.”梅森指出:“一般的解題過(guò)程可以劃分為三個(gè)階段:進(jìn)入、著手、回顧.”三心理學(xué)的思維規(guī)律(1)什么是思維的問(wèn)題律所謂思維的問(wèn)題律，是指思維過(guò)程從問(wèn)題開(kāi)始，在實(shí)踐中有解決問(wèn)題的需要使思維過(guò)程深化，而問(wèn)題的解決使思維轉(zhuǎn)入下一過(guò)程的必要性。眾所周知，“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，”數(shù)學(xué)家希爾伯特說(shuō)：“只要一門(mén)科學(xué)分支能提出大量的問(wèn)題，它就充滿著生命力；而缺乏問(wèn)題則預(yù)示著獨(dú)立發(fā)展的衰亡或終止?！闭?yàn)槿绱?，他?800年世界數(shù)學(xué)大會(huì)上一口氣提出23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，使得當(dāng)時(shí)無(wú)數(shù)的數(shù)學(xué)大師為此奮斗，推動(dòng)了數(shù)學(xué)向前發(fā)展。(2)什么是思維的情境律呢？所謂思維的情境律，是思維從問(wèn)題開(kāi)始，在解決問(wèn)題的思維過(guò)程中受到一定的情境所制約，情境即問(wèn)題情境，它是指數(shù)學(xué)問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系與空間形式排列的情況，它直接影響著問(wèn)題的解決。(3)所什么是思維的多路律呢？所謂思維的多路律，或者叫思維的聯(lián)想律，是指在解決問(wèn)題的過(guò)程中，思路總不是單一的，而是多方位，多角度，多路的，憑借已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行廣泛聯(lián)想，是人們思維過(guò)程具有普遍意義的規(guī)律性(4)什么是思維的情動(dòng)律呢?所謂思維的情動(dòng)律,是指人的情感與動(dòng)機(jī)對(duì)思維過(guò)程的直接影響和促進(jìn)作用.情動(dòng)律要求在學(xué)習(xí)較難課題時(shí),要使學(xué)習(xí)者的情感與動(dòng)機(jī)處于較低的激動(dòng)水平;而在學(xué)習(xí)容易的課題時(shí),反而使學(xué)習(xí)者的情感與動(dòng)機(jī)處于較高的激動(dòng)水平.如果在學(xué)習(xí)較難的課題時(shí).可以設(shè)計(jì)它的簡(jiǎn)單類(lèi)比題,這時(shí),用“以退求進(jìn)”的策略,使學(xué)習(xí)者的情感與動(dòng)機(jī)反而處于較高的激動(dòng)水平,這也是運(yùn)用華羅庚教授說(shuō)的“要善于退,足夠地退，退到最原始而又不失去重要性的地方是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)決竅.”把難學(xué)課題轉(zhuǎn)化易學(xué)的課題,這樣可以運(yùn)用情動(dòng)律避免學(xué)習(xí)者情緒過(guò)分緊張.數(shù)學(xué)認(rèn)知心理學(xué)概念：數(shù)學(xué)證明的心理過(guò)程本質(zhì)上是尋求條件與結(jié)論之間的邏輯蘊(yùn)含關(guān)系的過(guò)程。在認(rèn)知心理學(xué)中將它分為知識(shí)點(diǎn)的激活；思路點(diǎn)的擴(kuò)展力和將條件與結(jié)論之間的線索接通這么三個(gè)階段。知識(shí)點(diǎn)的激活是前提與基礎(chǔ)；思路點(diǎn)的擴(kuò)展力是關(guān)鍵；條件與結(jié)論之間的線索接通是歸宿。四數(shù)學(xué)美雅致的圖形、流暢的曲線、對(duì)稱的方程、簡(jiǎn)單的解法、神奇的策略、意想不到的證明都顯示了數(shù)學(xué)美。徐利治談數(shù)學(xué)美：你也許會(huì)有經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)你觀察二項(xiàng)式系數(shù)所組成的楊輝三角時(shí),你會(huì)發(fā)現(xiàn)某種“對(duì)稱性”帶來(lái)的美感。又如果仔細(xì)欣賞圓周角定理時(shí),你還會(huì)感受到某種變化中隱含有“不變性”的美。特別是當(dāng)你學(xué)懂立體幾何中的著名定理“球面面積正好等于它的大圓面積的四倍”時(shí),你或許會(huì)產(chǎn)生某種驚嘆,而這條定埋正好顯示出幾何學(xué)中的“奇異美”,即一種出乎意料之外的美.數(shù)學(xué)里的美是隨處可見(jiàn)的:基本概念的簡(jiǎn)單性、定理與公式的普遍性與統(tǒng)一性、方法的精巧性等等也都是數(shù)學(xué)美的特征.有些人把數(shù)學(xué)看成為枯燥無(wú)味的科學(xué),甚至望而卻步,視為畏途。那真是一種誤解或偏見(jiàn)!但正如欣賞中國(guó)的字畫(huà)或西方的交響樂(lè)那樣,感受數(shù)學(xué)美是需要一個(gè)學(xué)習(xí)和領(lǐng)會(huì)的過(guò)程的.你對(duì)數(shù)學(xué)題材理解得越深刻,就越能領(lǐng)會(huì)并享受到“數(shù)學(xué)美”,這樣你就越喜愛(ài)數(shù)學(xué),從而越鉆越深,而決不會(huì)產(chǎn)生任何困倦或厭煩.數(shù)學(xué)是青年們準(zhǔn)備向科技進(jìn)軍的重要工具,但愿大家都能喜愛(ài)它、學(xué)好它![3]徐利治漫談學(xué)數(shù)學(xué)（M）徐利治談治學(xué)方法與數(shù)學(xué)教育（M）大連大連理工大學(xué)出版社2008年1月版p69“研究美的學(xué)問(wèn)稱之為美學(xué)[1]”.數(shù)學(xué)與美學(xué)的邊緣學(xué)科就是數(shù)學(xué)美學(xué)。馬克思說(shuō)：“人類(lèi)依照美的規(guī)律來(lái)造形?！毙炖谓淌谡f(shuō):“美不僅是現(xiàn)代科學(xué)文化人所追求的目標(biāo)之一,而且也是現(xiàn)代物質(zhì)文明和精神文明高度提升的實(shí)際標(biāo)志之一.人類(lèi)的物質(zhì)生產(chǎn)活動(dòng),現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,都是按照美學(xué)的規(guī)律而進(jìn)行的.數(shù)學(xué)科學(xué)當(dāng)然也毫不例外.所以,科學(xué)家和數(shù)學(xué)家依美學(xué)的觀點(diǎn)去探索和研究客觀世界,并有所發(fā)明創(chuàng)造,當(dāng)是一件順理成章和易于理解的事情.[1]”[1]徐利治著徐利治談數(shù)學(xué)哲學(xué)(M)大連理工大學(xué)出版社2008年1月P22-23數(shù)學(xué)美就是數(shù)學(xué)的優(yōu)美感,龐加菜說(shuō):“數(shù)學(xué)的優(yōu)美感,不過(guò)就是問(wèn)題的解答適合我們心靈需要而產(chǎn)生的一種滿足感,正因?yàn)檫@種適應(yīng)性,這個(gè)解答可能成為我們的一種工具,所以這種一美學(xué)上的滿足感是和思維、結(jié)構(gòu)緊密相關(guān)的.”所謂簡(jiǎn)潔美是指一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題的簡(jiǎn)單解法.它是優(yōu)化解題思路的內(nèi)驅(qū)動(dòng)力因素之一.正如高斯評(píng)價(jià)自己的工作說(shuō):“去尋求一種最美和最簡(jiǎn)潔的證明,乃是吸引我去研究的主要?jiǎng)恿?”也正如法國(guó)哲學(xué)家狄德羅說(shuō):“數(shù)學(xué)中所謂美的問(wèn)題,是指一個(gè)難以解決的問(wèn)題,而所謂美的解答則是困難問(wèn)題和復(fù)雜問(wèn)題的簡(jiǎn)單回答.”所謂和諧美既是解題中條件與結(jié)論的和諧;又是數(shù)與形的和諧;更是解題方法與思維策略的和諧;還是數(shù)學(xué)思想與思維途徑的和諧.又如問(wèn)小學(xué)生“為什么要四舍五入”呢?學(xué)生產(chǎn)生“心求通而不成”與“口欲言而不能”這就創(chuàng)設(shè)了“懸念性的情境”.數(shù)學(xué)教師說(shuō):“米一元三角捌分柒厘500克,買(mǎi)1500克要4.161元,買(mǎi)米人能拿出0.001元來(lái)嗎?買(mǎi)3500克要9.709元,買(mǎi)米人能拿出o.oo9元來(lái)嗎?”學(xué)生說(shuō):“都不能!”教師解釋說(shuō):“前者要解決矛盾用四舍;后者解決矛盾用五入,即前者交4塊1角6分;后者交9塊7角1分.”從理論上講正如列寧說(shuō)的:“以極度抽象的形式出現(xiàn),這只能在表面上掩蓋它起源于外部世界的事實(shí).”所謂數(shù)學(xué)思維美就是數(shù)學(xué)題的最佳解法符合數(shù)學(xué)思維策略而使解題者感到愉悅的產(chǎn)物.思維美是與結(jié)構(gòu)美相關(guān)聯(lián)的,什么是結(jié)構(gòu)美呢?布爾巴基學(xué)派認(rèn)為:“數(shù)學(xué)是研究結(jié)構(gòu)的科學(xué)”.數(shù)學(xué)家龐加萊說(shuō):“數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美是指一種內(nèi)在的美,它來(lái)自各部分之間的和諧秩序,并能為純粹的理智所領(lǐng)會(huì),可以說(shuō),正是這種內(nèi)在美給了滿足我們感官的五彩繽紛美景的骨架,使我們面對(duì)一個(gè)秩序井然的整體,能夠預(yù)見(jiàn)數(shù)學(xué)定理.”可以簡(jiǎn)潔的說(shuō):“思維美是結(jié)構(gòu)美在認(rèn)知者頭腦中感到愉悅的心理加工過(guò)程.”所謂方法美是指解答(或證明)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題中,體現(xiàn)出來(lái)的美妙之處使心靈感到一種愉快的驚奇.符本順說(shuō)：“數(shù)學(xué)方法給人的美感決定于數(shù)學(xué)方法與人心靈的適應(yīng)性。[1]”又說(shuō)：“一個(gè)美的數(shù)學(xué)方法或數(shù)學(xué)證明是指在解答復(fù)雜問(wèn)題中，體現(xiàn)出來(lái)的美妙之處使心靈感到一種愉快的驚奇。[1]”符本順等著『數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法』（M）1992年江蘇出版社P60。聯(lián)想是一種既有目的又有方向的想象,是由當(dāng)前感知或思考的事物想起的相關(guān)連的事物,再進(jìn)一步想起其它事物的心理活動(dòng).聯(lián)想是以觀察為基礎(chǔ),以想象為翅膀,以記億為保證,以思維為核心的思維方法.在數(shù)學(xué)教學(xué)中的聯(lián)想可分為類(lèi)比聯(lián)想、可逆聯(lián)想、對(duì)比聯(lián)想、化歸聯(lián)想、數(shù)形聯(lián)想、因果聯(lián)想、特殊化和普遍化聯(lián)想等七種.[1]傅世球著數(shù)學(xué)教學(xué)藝術(shù)導(dǎo)論(M)西安陜西人民教育出版社2000年5月p156所謂教學(xué)美是在教學(xué)原則的指引下,既能創(chuàng)設(shè)激發(fā)興趣的情境,又能進(jìn)行教學(xué)法加工,還能用啟發(fā)式設(shè)問(wèn)調(diào)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維積極性的教學(xué).什么又是教學(xué)法加工呢?“所謂教學(xué)法加工,是從科學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)出發(fā),既必須遵循教學(xué)的發(fā)展規(guī)律,又要符合青少年的認(rèn)識(shí)規(guī)律,使之適合學(xué)生,教師及社會(huì)的條件,成為實(shí)際可用的數(shù)學(xué)教材.[2]”教學(xué)法加工既要?jiǎng)?chuàng)設(shè)合適的問(wèn)題情境;又要講清知識(shí)的發(fā)生過(guò)程;還要像例3推廣那樣貫徹先猜后證的數(shù)學(xué)思想.如講復(fù)數(shù)的指數(shù)式用歐拉公式來(lái)引入可激發(fā)學(xué)生的興趣,,這個(gè)以大數(shù)學(xué)家歐拉命名的公式,<古今數(shù)學(xué)思想>一書(shū)的作者克萊因稱這個(gè)公式是數(shù)學(xué)中最卓越的公式之一,因?yàn)檫@個(gè)公式將數(shù)學(xué)中的“五員大將”:e,,i,1和0有機(jī)地結(jié)合在一起,有些中學(xué)生常在學(xué)習(xí),應(yīng)用中對(duì)于“五員大將”出現(xiàn)錯(cuò)誤,感到撲朔迷離,不好對(duì)付.學(xué)生對(duì)歐拉公式很感興趣,又問(wèn)如何證明?中令x=即可得出歐拉公式.教師指出復(fù)數(shù)的指數(shù)式與其三角式相聯(lián)系的公式在下面數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用廣泛.這種教學(xué)美既體現(xiàn)了知識(shí)的發(fā)生過(guò)程,又創(chuàng)設(shè)了情境.[2]吳憲芳郭熙漢主編數(shù)學(xué)教育學(xué)(M)武漢華中師大出版社1999年P(guān)41對(duì)稱不外乎局部與局部的對(duì)稱,幾何圖形與數(shù)量關(guān)系都存在這種對(duì)稱性,體現(xiàn)形結(jié)構(gòu)與數(shù)(式)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱是對(duì)稱美,數(shù)學(xué)題已知與結(jié)論的對(duì)稱性使解題者感到愉悅,也是“一題多解(證)”的依據(jù).解題過(guò)程還可以看出對(duì)稱美.數(shù)學(xué)家拉格朗日說(shuō):“只要代數(shù)與幾何分道揚(yáng)鑣,它們的進(jìn)展就緩慢,它們的應(yīng)用就狹窄,但是當(dāng)兩門(mén)科學(xué)結(jié)合成伴侶,它們就互相吸取新鮮活力,從那以后,就以快速的步伐走向完善.”所謂奇異美是數(shù)學(xué)美的基本形式之一,又是所得結(jié)論的新穎、獨(dú)特、奇特、出人意料,徐利治教授說(shuō):“奇異是一種美,奇異到極度更是一種美.”對(duì)于內(nèi)行來(lái)說(shuō),奇異是使人感到“既在情理之中,又在意料之外”的感覺(jué),前者和諧;后者奇特波利亞說(shuō)：“找出一個(gè)既有趣又好下手的新問(wèn)題并不那么容易,這需要經(jīng)驗(yàn),鑒別能力和好運(yùn)氣.但是,當(dāng)我們成功地解決了一個(gè)好問(wèn)題之后,我們應(yīng)當(dāng)去尋找更多的好問(wèn)題.好問(wèn)題同某些蘑菇有些相像,它們都成堆地生長(zhǎng),找到一個(gè)以后,你應(yīng)當(dāng)在周?chē)艺?很可能在附近就有好幾個(gè).”這些問(wèn)題的第二個(gè)已知條件與結(jié)論也是歸納的合情推理得出來(lái)！它與前三個(gè)例題是特殊與一般的關(guān)系,我們也用具體激活抽象、特殊激活一般歸納的合情推理方法和策略得出來(lái)的.“探索是數(shù)學(xué)教學(xué)的生命線.”下面我們來(lái)探索例4是怎么樣用創(chuàng)新思維的方法搭好“腳手架”創(chuàng)造性得出來(lái)的.高斯與波利亞都有關(guān)于“腳手架”的論術(shù).高斯說(shuō):“凡有自尊心的建筑師,在瑰麗的大廈建成之后,決不會(huì)把腳手架留在那里”.數(shù)學(xué)在其發(fā)展過(guò)程中,有兩個(gè)方面的精髓:內(nèi)容與結(jié)果;思想與方法.前者是瑰麗的大廈,后者是“腳手架”.數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程就是要再現(xiàn)、恢復(fù)“腳手架”.使學(xué)生“知其然,又知其所以然”,高斯關(guān)于拆掉腳手架的論述,使后人感到迷惑,難怪?jǐn)?shù)學(xué)家阿貝爾在評(píng)價(jià)高斯的工作時(shí)說(shuō):“他(高斯)像只狐貍,用尾巴抹平了自己在沙地上走過(guò)的腳印.”:“學(xué)習(xí)一道數(shù)學(xué)題,還不如學(xué)習(xí)一種數(shù)學(xué)思想方法,而學(xué)習(xí)一種數(shù)學(xué)思想方法,還不如掌握一種重要的數(shù)學(xué)思想,同時(shí)掌握數(shù)學(xué)思維策略是學(xué)好數(shù)學(xué)的訣竅.”其次是若能在數(shù)學(xué)教學(xué)中設(shè)計(jì)一條動(dòng)人的思維曲線,并在講解中挖掘新穎、獨(dú)特的策略美、奇妙曲線的思維美、出奇制勝的奇異美、類(lèi)比聯(lián)想的方法美、廣泛聯(lián)系的和諧美、結(jié)構(gòu)形式的對(duì)稱美、復(fù)雜問(wèn)題的簡(jiǎn)潔美、鋪墊,激活的教學(xué)美與積極創(chuàng)新的探索美,學(xué)生一定會(huì)興趣十足、充滿激情地與數(shù)學(xué)教師共同探討數(shù)學(xué)規(guī)律和解題的思維途徑,遇到是最難的數(shù)學(xué)競(jìng)賽題,學(xué)生也會(huì)不感到有壓力.既是語(yǔ)言美,又是嚴(yán)謹(jǐn)美,還是方法美的具體表現(xiàn).什么是語(yǔ)言美?數(shù)學(xué)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)思維丶數(shù)學(xué)思想的物質(zhì)外殼與載體,有時(shí)用數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)表現(xiàn).數(shù)學(xué)符號(hào)的三大優(yōu)點(diǎn)是表達(dá)的確切性丶使用的經(jīng)濟(jì)性和世界的通用性.數(shù)學(xué)語(yǔ)言能夠把數(shù)學(xué)思維過(guò)程丶數(shù)學(xué)思想的（如分類(lèi)的數(shù)學(xué)思想）丶運(yùn)算過(guò)程丶推理過(guò)程準(zhǔn)確丶深刻丶形象地表達(dá)出來(lái)所謂方法美是指解答(或證明)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題中,體現(xiàn)出來(lái)的美妙之處使心靈感到一種愉快的驚奇.符本順教授說(shuō)：“數(shù)學(xué)方法給人的美感決定于數(shù)學(xué)方法與人心靈的適應(yīng)性。[1]”又說(shuō)：“一個(gè)美的數(shù)學(xué)方法或數(shù)學(xué)證明是指在解答復(fù)雜問(wèn)題中，體現(xiàn)出來(lái)的美妙之處使心靈感到一種愉快的驚奇。[4]”什么是嚴(yán)謹(jǐn)美呢?所謂嚴(yán)謹(jǐn)美是指所用數(shù)學(xué)思想恰到好處丶所用到的歸納推理丶演繹推理無(wú)懈可擊丶先猜后證的探索過(guò)程中的邏輯性勿用置疑,并使學(xué)習(xí)者心閱誠(chéng)服而感到愉悅與踏實(shí).學(xué)生在探索中感到有兩個(gè)層次的美——形態(tài)美與內(nèi)在美.前者指數(shù)學(xué)內(nèi)容的外部表現(xiàn)形態(tài),簡(jiǎn)單丶整齊丶對(duì)稱與和諧為其基本特征;后者指數(shù)學(xué)內(nèi)部的組織結(jié)構(gòu),或指表面上看起來(lái)風(fēng)馬牛不相及的事物在本質(zhì)上卻有驚人的一致性.參考文獻(xiàn)[1]徐利治數(shù)學(xué)方法論選講(M)武漢華中理工大學(xué)出版社[2]波利亞怎樣解題(M)北京1982年科學(xué)出版社P數(shù)學(xué)思想的美的描述數(shù)學(xué)本質(zhì)的內(nèi)涵是:a)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系;b)教學(xué)規(guī)律的形成過(guò)程;c)數(shù)學(xué)思想方法的提煉;d)數(shù)學(xué)理性的精神體驗(yàn).“數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)思維的導(dǎo)向?！睌?shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)教學(xué)的根本想法,是數(shù)學(xué)規(guī)律與數(shù)學(xué)本質(zhì)的理性認(rèn)識(shí),是數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的重要方面,是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的靈魂。數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)活動(dòng)的途徑、程序、技巧、手段。而數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的靈魂，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的抽象的、概括的認(rèn)識(shí)；反之，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的特殊化、具體化的形式。數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法互相聯(lián)系、密不可分，故人們一般認(rèn)為數(shù)學(xué)思想方法做為統(tǒng)一的稱呼。唐詩(shī)宋詞與數(shù)學(xué)思想“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，全燈共盞三八一，請(qǐng)問(wèn)底層幾盞燈？”“一隊(duì)強(qiáng)盜一隊(duì)狗，兩隊(duì)并成一隊(duì)走，數(shù)頭一共三百六，數(shù)腳一共八百九，創(chuàng)造思維想一想，多少?gòu)?qiáng)盜多少狗？”幾何經(jīng)軸對(duì)稱或中心對(duì)稱之后,分析其“變中有不變”的性質(zhì),文學(xué)中的對(duì)仗,也有“變中有不變”的思想,王維的詩(shī)“明月松間照,清泉石上流”什么是變——“明月”對(duì)“清泉”;松對(duì)石,照對(duì)流,字詞變了,但“變中有不變”,名詞對(duì)名詞,形容詞對(duì)形容詞,動(dòng)詞對(duì)動(dòng)詞.“一題多解(證)”用“橫看成巔測(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低各不同”.“弧帆遠(yuǎn)影碧空盡,惟見(jiàn)長(zhǎng)江天際流”.徐利治認(rèn)為這是“極限的美的意境”.王維《人間詞話》里的“眾里尋他千百度,驀然回首,那人卻在燈火闌珊處”這是辛棄急的詩(shī)詞?？烧f(shuō)明證題的意境,當(dāng)你想出一條幾何的輔助線時(shí),出現(xiàn)“山窮水盡疑無(wú)路,柳暗花明又一村”的意境.鄭紹遠(yuǎn)說(shuō):“沒(méi)有思想的數(shù)學(xué)等于廢了的武功.”李大潛說(shuō):“劍招可以生疏,劍法不能忘記.”我類(lèi)比地說(shuō):“數(shù)學(xué)解題的妙招可以生疏,數(shù)學(xué)思想方法不能忘記.”“一題多解”或“一題多證”時(shí)用宋詞“橫看成嶺側(cè)成峯，遠(yuǎn)近高低各不同?！薄安蛔R(shí)廬山真靣目，只緣身在此山中”。真有點(diǎn)像“綠樹(shù)濃陰夏日長(zhǎng)，樓臺(tái)倒影入池塘”；樓臺(tái)與倒影正如點(diǎn)隨點(diǎn)動(dòng)一樣聯(lián)系；只有師生通過(guò)同步思維才能達(dá)到“水晶簾動(dòng)微風(fēng)起，満架薔薇一院香?！钡乃季S情境?！吧礁F水盡疑無(wú)路,”之感時(shí),“柳暗花明又一村”的新局面。布魯納說(shuō):“掌握基本數(shù)學(xué)思想和方法,能使數(shù)學(xué)更易于理解和更便于記憶,領(lǐng)會(huì)基本數(shù)學(xué)思想和方法是通向遷移大道的光明之路.”“數(shù)學(xué)是科學(xué)的大門(mén)和鑰匙.”“數(shù)學(xué)是我們時(shí)代有勢(shì)力的科學(xué),它不聲不響地?cái)U(kuò)大它所征服的領(lǐng)域;那種不用數(shù)學(xué)為自己服務(wù)的人將會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)被別人用來(lái)反對(duì)自己.”數(shù)學(xué)家戴帽耐斯(B.Demollins)說(shuō):“沒(méi)有數(shù)學(xué),我們無(wú)法看透哲學(xué)的深度;沒(méi)有哲學(xué),人們也無(wú)法看透數(shù)學(xué)的深度;而若沒(méi)有兩者,人們就什么也看不透.”“一個(gè)國(guó)家的科學(xué)的進(jìn)步可以用它消耗的數(shù)學(xué)來(lái)度量.”“社會(huì)科學(xué)的許多重要領(lǐng)域已經(jīng)發(fā)展到不懂?dāng)?shù)學(xué)的人望塵莫及的階段.”“純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)是理解世界及其發(fā)展的一把主要鑰匙.”“童年無(wú)知可愛(ài),少年無(wú)知可笑,青年無(wú)知可憐,壯年無(wú)知可悲,老年無(wú)知可嘆.”“純數(shù)學(xué)家提供了一個(gè)知識(shí)寶庫(kù),而應(yīng)用數(shù)學(xué)家利用這個(gè)寶庫(kù).”“數(shù)學(xué)為其證明所具有的邏輯性而驕傲,也有資格為之驕傲.”“數(shù)學(xué)為邏輯推理提供了一個(gè)理想的模型,它的表達(dá)是清晰和準(zhǔn)確的,它的結(jié)論是確定的,它有著新穎的和多種多樣的領(lǐng)域,它具有增進(jìn)力量的抽象性,它具有預(yù)見(jiàn)事件的能力,它能間接地度量數(shù)量,它有著無(wú)限的創(chuàng)造機(jī)會(huì).”“對(duì)自然界的深刻研究是數(shù)學(xué)最富饒的源泉.”“數(shù)學(xué)的無(wú)窮無(wú)盡的誘人之處在于,它的最棘手的悖論能夠盛開(kāi)出美麗的理論之花.”“小說(shuō)家發(fā)明人物,對(duì)話和情節(jié),關(guān)于它們,他既是作家又是主人;數(shù)學(xué)家隨心所欲地設(shè)計(jì)公設(shè),使他的數(shù)學(xué)體系奠基于其上;二者十分相像.小說(shuō)家與數(shù)學(xué)家在選擇和處理他們的素材時(shí),都可能受他們所處環(huán)境的限制;但是沒(méi)有什么超人的,永恒的必然性迫使他們?nèi)?chuàng)造某人物或發(fā)明某體系.E.T.Bell說(shuō)的”“數(shù)學(xué)的偉大使命是在混沌中發(fā)現(xiàn)有序.”“概率論是生活真正的領(lǐng)路人,如果沒(méi)有對(duì)概率的某種估計(jì),那么我們就寸步難移,無(wú)所作為.”“正如陽(yáng)光普照萬(wàn)物,我們的智慧和學(xué)識(shí)在處理各種不同對(duì)象時(shí)也是一視同仁的.”笛卡爾又說(shuō):“沒(méi)有任何東西比幾何圖形更容易印入腦際了,因此用這種方式來(lái)表達(dá)事物是非常有益的.”希爾伯特說(shuō):“算術(shù)符號(hào)是文字化的圖形,而幾何圖形則是圖象化的公式;沒(méi)有一個(gè)數(shù)學(xué)家能缺少這些圖象化的公式.”恩格斯說(shuō):“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù),有了變數(shù),運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué),有了變數(shù),辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué),有了變數(shù),微分與積分也就立刻成為必要的了”他又說(shuō):“初等數(shù)學(xué),即常量數(shù)學(xué),至少就總的說(shuō)來(lái),是在形式邏輯的范圍內(nèi)活動(dòng)的,而變量數(shù)學(xué)其中最重要的部分是微積分按其本質(zhì)來(lái)說(shuō)也不是別的,而是辯證法在數(shù)學(xué)方面的運(yùn)用.”恩格斯還說(shuō):“只有微分學(xué)才能使自然科學(xué)有可能用數(shù)學(xué)來(lái)不僅僅表明狀態(tài),并且也表明過(guò)程:運(yùn)動(dòng).”仍然是恩格斯說(shuō):“當(dāng)直線與曲線的數(shù)學(xué)可以說(shuō)已經(jīng)山窮水盡的時(shí)候,一條新的幾乎無(wú)窮無(wú)盡的道路,由那種把曲線視為直線(微分三角形)并把直線視為曲線(曲率無(wú)限小的一次曲線)的數(shù)學(xué)開(kāi)拓出來(lái)了.”仍然是恩格斯說(shuō)::“高等數(shù)學(xué)的主要基礎(chǔ)之一是這樣一個(gè)矛盾,即在一定條件下,直線與曲線應(yīng)當(dāng)是一回事.”仍然是恩格斯說(shuō):“在一切理論成就中,未必再有什么像17世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類(lèi)精神的最高勝利了.如果在某個(gè)地方我們看到人類(lèi)精神的純粹的和唯一的功績(jī),那就正是在這里.”馬克思說(shuō):“一種科學(xué)只有在成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí),才算達(dá)到完善的地步.”什么是數(shù)理語(yǔ)言學(xué)?用數(shù)學(xué)方法研究語(yǔ)言現(xiàn)象給語(yǔ)言以定量化與形式化的描述稱為數(shù)理語(yǔ)言學(xué).(它又分為統(tǒng)計(jì)語(yǔ)言學(xué);代數(shù)語(yǔ)言學(xué)和算法語(yǔ)言學(xué).)四想象力的論述愛(ài)因斯坦說(shuō)：“想象力比知識(shí)更重要，因?yàn)橹R(shí)是有限的而想象力概括著世界上的一切，推動(dòng)著進(jìn)步，并且是知識(shí)進(jìn)化的源泉，嚴(yán)格地說(shuō)，想象力是科學(xué)研究中的實(shí)在因素?！庇终f(shuō)：“提出一個(gè)問(wèn)題往往比解決一個(gè)問(wèn)題更重要，因?yàn)榻鉀Q一個(gè)問(wèn)題也許僅是一個(gè)數(shù)學(xué)上的或?qū)嶒?yàn)上的技能而已，而提出新的問(wèn)題，新的可能性，從新的角度上去看舊的問(wèn)題。卻需要有創(chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)上的真正進(jìn)步?！蔽彘_(kāi)放題所謂開(kāi)放題是“指答案不唯一,并在設(shè)問(wèn)方式上要求學(xué)生進(jìn)行多方面、多角度、多層次探討的數(shù)學(xué)問(wèn)題.”六聯(lián)想的論述所謂聯(lián)想是一種既有目的又有方向的想象,它是由當(dāng)前感知或思考的事物想起的相似,相關(guān),相反或相接近事物的心理活動(dòng).它又是以觀察為基礎(chǔ),以想象為翅膀,以記憶為保證,以思維為核心的重要方法.古希臘哲學(xué)家亞里斯多德說(shuō):“我們的思維是從與正在尋求的事物相類(lèi)似的事物,相反的事物,或者與它相接近的事物開(kāi)始進(jìn)行的,以后,便追尋與它相關(guān)聯(lián)的事物,由此產(chǎn)生聯(lián)想.”聯(lián)想是客觀事物普遍聯(lián)系的規(guī)律和大腦的聯(lián)結(jié)功能在心理思維的反映.想象是伴隨著聯(lián)想,聯(lián)想是想象的初級(jí)階段,而聯(lián)想喚起對(duì)公式的回億,并觸發(fā)靈感.聯(lián)想分有意聯(lián)想與無(wú)意聯(lián)想,前者是有意志,有目的的聯(lián)想;后者則相反.徐利治教授說(shuō)：“聯(lián)想是一種思維活動(dòng)，簡(jiǎn)單地說(shuō)就是把不同的事物聯(lián)系起來(lái)的一種思想方法?！睌?shù)學(xué)解題過(guò)程就是不斷地聯(lián)想,想象,才能使解題者的智慧插上矯健的翅膀在知識(shí)的天空翱翔.本文擬就尋求解題思路談?lì)惐嚷?lián)想,(1)可逆聯(lián)想,(2)對(duì)比聯(lián)想,(3)接近聯(lián)想,(4)推測(cè)聯(lián)想,(5)化歸聯(lián)想,(6)數(shù)形聯(lián)想,(7)因果聯(lián)想,(8)特殊化聯(lián)想和(9)普遍化聯(lián)想,七解題策略數(shù)學(xué)解題策略就是為了探索解題途經(jīng)而采取的思維方式與方法.“解題策略是高層次的解題方法,是對(duì)解題途徑的概括性認(rèn)識(shí).”在解題之前確定恰當(dāng)?shù)慕忸}策略是解題的關(guān)鍵,有順推與逆推,以退求進(jìn),正面與反面,特殊化與一般化,局部與整體,類(lèi)比與聯(lián)想,化歸.`一）順推與逆推策略所謂順推策略是在探索解題途徑時(shí),從已知的條件向結(jié)論定向思維,從而得出解題思路的策略.而所謂逆推策略是從結(jié)論到條件的定向思維,從而得出解題思路的策略.（二）所謂“以退求進(jìn)策略”是根據(jù)華羅庚教授說(shuō)的“要善于退,足夠地退,退到最原始而不失去重要性的地方,是學(xué)好數(shù)學(xué)的訣竅.”而從一般退到特殊從抽象退到具體從復(fù)雜退到簡(jiǎn)單從陌生退到熟悉從整體退到局部的解題策略.[1]（三）正面與反面策略所謂正面策略是在探索解題途徑時(shí),從結(jié)論的正面去思維的方式;相反,在探索解題途徑時(shí),改從結(jié)論的反面去思維的方式叫做反面策略（四）所謂特殊化策略是在探索解題途徑時(shí),運(yùn)用一般性總是寓于特殊性之中,而特殊化問(wèn)題的解又比一般化問(wèn)題要容易,所以特殊化策略是把研究的問(wèn)題從原有范圍縮小到較小的范圍或個(gè)別情形進(jìn)行思維,從而得出解題思路的一種策略.相反,一般化策略就是把研究的問(wèn)題從原