2023-2024學(xué)年北師大版選擇性必修第一冊 　第六章 1-3　全概率公式 學(xué)案

1.3全概率公式[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解并掌握全概率公式.2.會用全概率公式解題．導(dǎo)語王先生從家到公司有兩條路可以選擇，其中第一條路擁堵的概率是0.3，第二條路擁堵的概率是0.4，王先生選擇第一條路的概率是0.7，選擇第二條路的概率是0.3，那么王先生上班遲到的概率是多少？這個(gè)概率怎么計(jì)算呢？一、全概率公式問題有三個(gè)箱子，分別編號為1,2,3，其中1號箱裝有1個(gè)紅球和4個(gè)白球，2號箱裝有2個(gè)紅球和3個(gè)白球，3號箱裝有3個(gè)紅球，這些球除顏色外完全相同，某人先從三箱中隨機(jī)取一箱，再從中任意取出一球，求取得紅球的概率．提示設(shè)事件Bi表示“球取自i號箱”(i＝1,2,3)，事件A表示“取得紅球”，其中B1，B2，B3兩兩互斥，A發(fā)生總是伴隨著B1，B2，B3之一同時(shí)發(fā)生，即A＝B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A兩兩互斥，運(yùn)用互斥事件概率的加法公式得到P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)＋P(B3A)，再對求和中的每一項(xiàng)運(yùn)用乘法公式得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,3)＝eq\f(8,15).因此，取得紅球的概率為eq\f(8,15).知識梳理1．設(shè)Ω是試驗(yàn)E的樣本空間，B1，B2，…，Bn為樣本空間Ω的一組事件，若(1)BiBj＝?，其中i≠j(i，j＝1,2，…，n)，(2)B1∪B2∪…∪Bn＝Ω.則稱B1，B2，…，Bn為樣本空間Ω的一個(gè)劃分．條件(1)表示每次試驗(yàn)B1，B2，…，Bn中只能發(fā)生一個(gè)；條件(2)表示每次試驗(yàn)B1，B2，…，Bn必有一個(gè)發(fā)生．2．設(shè)B1，B2，…，Bn為樣本空間Ω的一個(gè)劃分，若P(Bi)>0(i＝1,2，…，n)則對任意一個(gè)事件A，有P(A)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)，稱上式為全概率公式．例1某次社會實(shí)踐活動中，甲、乙兩班的同學(xué)共同在一個(gè)社區(qū)進(jìn)行民意調(diào)查．參加活動的甲、乙兩班的人數(shù)之比為5∶3，其中甲班中女生占eq\f(3,5)，乙班中女生占eq\f(1,3).求該社區(qū)居民遇到一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)恰好是女生的概率．解如果用事件A1表示“居民所遇到的一位同學(xué)是甲班的”，事件A2表示“居民所遇到的一位同學(xué)是乙班的”，事件B表示“居民所遇到的一位同學(xué)是女生”，則Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B?Ω，由題意可知，P(A1)＝eq\f(5,8)，P(A2)＝eq\f(3,8)，且P(B|A1)＝eq\f(3,5)，P(B|A2)＝eq\f(1,3).由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝eq\f(5,8)×eq\f(3,5)＋eq\f(3,8)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,2).反思感悟兩個(gè)事件的全概率問題求解策略(1)拆分：將樣本空間拆分成互斥的兩部分如A1，A2(或A與eq\x\to(A))．(2)計(jì)算：利用乘法公式計(jì)算每一部分的概率．(3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．跟蹤訓(xùn)練1某商店收進(jìn)甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品30箱，乙廠生產(chǎn)的同種產(chǎn)品20箱，甲廠每箱裝100個(gè)，廢品率為0.06，乙廠每箱裝120個(gè)，廢品率為0.05，求：(1)任取一箱，從中任取一個(gè)為廢品的概率；(2)若將所有產(chǎn)品開箱混放，求任取一個(gè)為廢品的概率．解記事件A，B分別為“甲、乙兩廠的產(chǎn)品”，事件C為“廢品”，則Ω＝A∪B，且A，B互斥，(1)由題意，得P(A)＝eq\f(30,50)＝eq\f(3,5)，P(B)＝eq\f(20,50)＝eq\f(2,5)，P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝eq\f(7,125).(2)P(A)＝eq\f(30×100,30×100＋20×120)＝eq\f(5,9)，P(B)＝eq\f(20×120,30×100＋20×120)＝eq\f(4,9)，P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝eq\f(5,9)×eq\f(6,100)＋eq\f(4,9)×eq\f(5,100)＝eq\f(1,18).二、全概率公式的應(yīng)用例2假設(shè)某市場供應(yīng)的智能手機(jī)中，市場占有率和優(yōu)質(zhì)率的信息如表所示：品牌甲乙其他市場占有率50%30%20%優(yōu)質(zhì)率95%90%70%在該市場中任意買一部智能手機(jī)，求買到的是優(yōu)質(zhì)品的概率．解用事件A1，A2，A3分別表示“買到的智能手機(jī)為甲品牌、乙品牌、其他品牌”，事件B表示“買到的是優(yōu)質(zhì)品”，則Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3兩兩互斥，依題意，可得P(A1)＝0.5，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.2，且P(B|A1)＝0.95，P(B|A2)＝0.9，P(B|A3)＝0.7，由全概率公式，得P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.5×0.95＋0.3×0.9＋0.2×0.7＝0.885.反思感悟當(dāng)直接求事件A發(fā)生的概率不好求時(shí)，可以采用化整為零的方式，即把事件A分解，然后借助全概率公式間接求出事件A發(fā)生的概率．跟蹤訓(xùn)練2甲箱的產(chǎn)品中有5個(gè)正品和3個(gè)次品，乙箱的產(chǎn)品中有4個(gè)正品和3個(gè)次品．(1)從甲箱中任取2個(gè)產(chǎn)品，求這2個(gè)產(chǎn)品都是次品的概率；(2)若從甲箱中任取2個(gè)產(chǎn)品放入乙箱中，然后再從乙箱中任取1個(gè)產(chǎn)品，求取出的這個(gè)產(chǎn)品是正品的概率．解(1)事件“從甲箱中任取2個(gè)產(chǎn)品”包含的樣本點(diǎn)數(shù)為Ceq\o\al(2,8)＝eq\f(8×7,2)＝28，事件“這2個(gè)產(chǎn)品都是次品”包含的樣本點(diǎn)數(shù)為Ceq\o\al(2,3)＝3，∴這2個(gè)產(chǎn)品都是次品的概率為eq\f(3,28).(2)設(shè)事件A為“從乙箱中取出的1個(gè)產(chǎn)品是正品”，事件B1為“從甲箱中取出2個(gè)產(chǎn)品都是正品”，事件B2為“從甲箱中取出1個(gè)正品1個(gè)次品”，事件B3為“從甲箱中取出2個(gè)產(chǎn)品都是次品”，則事件B1、事件B2、事件B3兩兩互斥．P(B1)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,8))＝eq\f(5,14)，P(B2)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,3),C\o\al(2,8))＝eq\f(15,28)，P(B3)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,8))＝eq\f(3,28)，P(A|B1)＝eq\f(2,3)，P(A|B2)＝eq\f(5,9)，P(A|B3)＝eq\f(4,9)，∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝eq\f(5,14)×eq\f(2,3)＋eq\f(15,28)×eq\f(5,9)＋eq\f(3,28)×eq\f(4,9)＝eq\f(7,12).*三、貝葉斯公式知識梳理設(shè)B1，B2，…，Bn為樣本空間Ω的一個(gè)劃分，若P(A)>0，P(Bi)>0(i＝1,2，…，n)則P(Bi|A)＝eq\f(PBiPA|Bi,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(j＝1))PBjPA|Bj)，稱上式為貝葉斯公式．例3設(shè)某公路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為2∶1，貨車中途停車修理的概率為0.02，客車為0.01，今有一輛汽車中途停車修理，求該汽車是貨車的概率．解設(shè)事件B表示“中途停車修理”，事件A1表示“經(jīng)過的是貨車”，事件A2表示“經(jīng)過的是客車”，則B＝A1B∪A2B，由貝葉斯公式得P(A1|B)＝eq\f(PA1PB|A1,PA1PB|A1＋PA2PB|A2)＝eq\f(\f(2,3)×0.02,\f(2,3)×0.02＋\f(1,3)×0.01)＝0.8.反思感悟貝葉斯公式的理解(1)公式P(A1|B)＝eq\f(PA1B,PB)＝eq\f(PA1PB|A1,PB)反映了P(A1B)，P(A1)，P(A1|B)，P(B|A1)，P(B)之間的互化關(guān)系．(2)貝葉斯公式反映了事件A1發(fā)生的可能在各種可能原因中的比重．跟蹤訓(xùn)練3設(shè)某工廠有甲、乙、丙三個(gè)車間，它們生產(chǎn)同一種工件，每個(gè)車間的產(chǎn)量占該廠總產(chǎn)量的百分比依次為25%,35%,40%，它們的次品率依次為5%,4%,2%.現(xiàn)從這批工件中任取一件．(1)求取到次品的概率；(2)已知取到的是次品，求它是甲車間生產(chǎn)的概率．(精確到0.01)解(1)設(shè)事件B1，B2，B3分別表示“取出的工件是甲、乙、丙車間生產(chǎn)的”，事件A表示“取到的是次品”．易知B1，B2，B3兩兩互斥，根據(jù)全概率公式，可得P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)＝0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.0345.故取到次品的概率為0.0345.(2)P(B1|A)＝eq\f(PAB1,PA)＝eq\f(PB1PA|B1,PA)＝eq\f(0.25×0.05,0.0345)≈0.36.故已知取到的是次品，則它是甲車間生產(chǎn)的概率約為0.36.1．知識清單：全概率公式．2．方法歸納：化整為零．3．常見誤區(qū)：事件拆分不合理或不全面．1．有朋自遠(yuǎn)方來，某人乘火車、汽車、飛機(jī)來的概率分別為0.3，0.1,0.4，遲到的概率分別為0.25,0.1,0，則他遲到的概率為()A．0.65B．0.085C．0.145D．0答案B解析設(shè)事件A1表示“他乘火車來”，事件A2表示“他乘汽車來”，事件A3表示“他乘飛機(jī)來”，事件B表示“他遲到”．則A1，A2，A3構(gòu)成一個(gè)樣本空間，由全概率公式得P(B)＝eq\i\su(i＝1,3,P)(Ai)P(B|Ai)＝0.3×0.25＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.085.2．兩臺機(jī)床加工同樣的零件，第一臺的廢品率為0.04，第二臺的廢品率為0.07，加工出來的零件混放，并設(shè)第一臺加工的零件數(shù)是第二臺加工零件數(shù)的2倍，現(xiàn)任取一零件，則它是合格品的概率為()A．0.21B．0.06C．0.94D．0.95答案D解析令事件B表示“取到的零件為合格品”，事件Ai表示“零件為第i臺機(jī)床的產(chǎn)品”，i＝1,2.由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝eq\f(2,3)×0.96＋eq\f(1,3)×0.93＝0.95.3．盒中有a個(gè)紅球，b個(gè)黑球，今隨機(jī)地從中取出一個(gè)，觀察其顏色后放回，并加上同色球c個(gè)，再從盒中抽取一球，則第二次抽出的是黑球的概率是()A.eq\f(b,a＋b＋c) B.eq\f(b,a＋c)C.eq\f(b,a＋b) D.eq\f(b＋c,a＋b＋c)答案C解析設(shè)事件A表示“第一次抽出的是黑球”，事件B表示“第二次抽出的是黑球”，則B＝AB＋eq\x\to(A)B，由全概率公式P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))．由題意得P(A)＝eq\f(b,a＋b)，P(B|A)＝eq\f(b＋c,a＋b＋c)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(a,a＋b)，P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(b,a＋b＋c)，所以P(B)＝eq\f(bb＋c,a＋ba＋b＋c)＋eq\f(ab,a＋ba＋b＋c)＝eq\f(b,a＋b).4．甲袋中有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，乙袋中有4個(gè)白球，4個(gè)黑球，今從甲袋中任取2球放入乙袋，再從乙袋中任取一球，則該球是白球的概率為________．答案eq\f(13,25)