微積分I練習題

本文格式為Word版，下載可任意編輯——微積分I練習題微積分（I）練習題

一、單項選擇題

1．若f（x）在(??,??)內(nèi)單調(diào)增加,?(x)單調(diào)減少,則f[?(x)]在(??,??)內(nèi)().Ａ.單調(diào)增加Ｂ.單調(diào)減少Ｃ.不是單調(diào)函數(shù)Ｄ.增減性難以判定2．當x?0時，與(1?cosx)等價的無窮小量是（）.

A.

x2B.xC.

f(a)?f(a??x)?xx22?D.x2

3．設(shè)f(x)?cosx,則limA.sina（）.

?x?0oasC.-sianD.?coasB.c4．函數(shù)y?f(x)在點x?x0處取得極大值,則必有（）.A.f'(x0)?0B.f''(x0)?0C.f'(x0)?0且f''(x0)?0D.f'(x0)?0或不存在

25．曲線y?x3在(0,??)內(nèi)（）.

Ａ.單調(diào)凹減Ｂ.單調(diào)凸增Ｃ.單調(diào)凸減Ｄ.單調(diào)凹增6．f(x)?

lnx2x?1A.x?1B.x??1

的垂直漸近線為（）

C.x??1,x?0D.x?0

7．若d[e?xf(x)]?exdx,且f(0)?0,則f(x)?（）.

A.e2x?exB.e2x?exC.e2x?e?xD.e2x?e?x8．設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，I?1s?st0xf(t?)dxs(s?0,t?0)，則I之值().

A依靠于s,t,xB依靠于s,tC依靠于t，不依靠于sD依靠于s,x

9．某商品的需求函數(shù)為Q?100?2p，則當價格p?10時降價1%總收益().

增加約0.75%C增加約0.25%

AB減少約0.75%D減少約0.25%

10．以下函數(shù)中在[-1,1]上滿足羅爾定理的是（）.A.

f(x)?1x2B.

f(x)?1?|x|C.

f(x)?arctanxD.

f(x)?ln(1?x)

2

二、填空題

?1?x?1?x,x?0?1．設(shè)f(x)??,則A?時，f(x)在x?0處連續(xù).x?A,x?0?m2．設(shè)f(x)?ln(1?kx)x,則補充定義f(0)?，可使其在x=0處連續(xù).3．設(shè)f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?100)，則f'(0)?.4．若f(x)在[a,b]上可導，且c為f(x)的極值點(a?c?b)，則f(x)在x?c點處的切線方程為.5．曲線f(x)?e3xx?1的水平漸近線為.

6．若?f(x)dx?x2?C，則?f(x)dx?.7．若f(x)????2x0xedt，則

tdfdx?.

8．

?x(1?lnedxx)?.

9．設(shè)y?sin2x,則y(5)(0)?.

10．若需求函數(shù)Q?100e?0.02P，則當價格P?50時的邊際需求為.

三、綜合題

x?ax?b1?x21．若limx?1?5，求a,b.

2．若xy?yx(x?0,y?0)，求y?x?1.3．設(shè)平面圖形是由曲線y?4．計算?5．計算?

四、應用題

13x和x?y?4圍成，求此圖形的面積。

arctaneexxdx.

2x?31?x20dx.

1.某產(chǎn)品總成本C為月產(chǎn)量x的函數(shù)C?C(x)?15x?4x?20。試問月產(chǎn)量x為多

2少時，才能使得平均單位成本C最低？最低平均單位成本值是多少？此時邊際成本值是多少？

2.已知某產(chǎn)品的邊際成本為C?(q)?4q（萬元/百臺），邊際收入為R?(q)?60?12q（萬元/百臺）。假使該產(chǎn)品的固定成本為10萬元，求：（1）產(chǎn)量為多少時總利潤L(q)最大？（2）從最大利潤產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再增產(chǎn)200臺，總利潤會發(fā)生什么變化？

五、證明題

1.設(shè)f(x)在[-a,a]上連續(xù)，求證?f(x)dx?2?0aa/20f(a?2x)dx。

2.設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，且滿足0?f(x)?1,x?[0,1].證明：存在x0?(0,1).使得

f(x0)?x0.

3.當x>0時，求證

x1?x?ln(1?x)。

參考答案：一、單項選擇題

1.D2.C3.B4.D5.B6.D7.B8.C9.A10.D二、填空題

1、12、mk3、100!4、y=f(C)5、y?06、

23x?C7、(x?1)e?18、

3x?49、3210、

2e

三、綜合題

1、解：利用洛必塔法則lim2x?a?1x?1可得：

x?1?5??2?a?5?a??7.2又由lim(x?ax?b)?0?1?7?b?0?b?6.2、解：原式變形為：ylnx?xlny，等式兩邊求導得：y'lnx?yx?lny?yx.當x?1時，y?1，于是：xy?1.xyy'，解之得：

lny?y'?lnx?y'x?1?0?10?13、解：先求出兩條曲線3的交點：（1，3）和（3，1），因此所求面積為S??（4?x?13x?）dx?4?3ln3.dx

4、解：原式?arctaned(?edt?x?x)??ex?xarctane?x?1?e22x.對于其次個不定積分，可做代換t?e,得：?1?edx2x??t(1?t?x2)x?(t1?121t1?t2)dt?lnt?2x12

ln(1?t)?C,因此，原式??earctane?x?1ln(1?e3dxx2)?C.15、解：原式210??1?02xxdx?210?1?0??0d(1?x)1?x221?3?0dx1?x2

ln(1?x)?3arctanx?ln2?3?4.四、應用題

1、解：平均成本函數(shù)為C?C(x)x?15x?4?20x:,求導：C'?15?20x2,令：，最低平均成本為80.C'?0，解之得：x?10，此時，平均成本最低25x?4)x?10

邊際成本為：C'x?10?(?8.2、解：(1)欲使總利潤最大，需C'(q)?R'(q),即：4q?80?12q?q?5，此時利潤達到最大。(2)若再增產(chǎn)2百臺，總利潤的增加量77為：??32,此時，利潤將會減少32萬元。

L??(R'(q)?C'(q))dq5??(80?16q)dq5五、證明題

1.證明：考察等式右邊式子，令a?2x?u,則?2dx?du,a20此時，當x?0,u?a;當x?0,u?0,于是：a

右邊?2?f(u)(?a12du)???f(u)du?a?0f(u)du?左邊。得證。2.證明：令g(x)?f(x)?x,則g(x)在[0,1]上連續(xù)，由于于是，由介值定理可知0?f(x)?1,故有g(shù)(0)?0,g(1)?0.，存在x0?(0,1),使g(x0)?0,即有f(x0)?x0.3.證明：設(shè)f(x)?ln(1?x),則f'(x)?在[0，x]上應用拉格朗日中值定f(x)?f(0)x?0ln(1?x)?0x?011?x.理，得：?f'(?),其中0???x.即：?11???ln(1?x)?x1???ln(1?x)?x1?x.

1.計算limln(1?x)?ln(1?x)e2x?0x2?1

?ex?1?,x?02.設(shè)f(x)??x，求f'(0).

?0,x?0?3.設(shè)y?xarcsinx3?9?x?ln2,求dy.

124.設(shè)f(x)在[?1,1]上連續(xù),且滿足方程f(x)??f(x)dx?012?x,求?31－1f(x)1－xdx.

25.?6.?e2lnxdx2e(x?1)??0?t。

tedx。

7.據(jù)說古代迦太基人建造城鎮(zhèn)時，允許居民占有一天犁出的一條溝所圍成的土地。假設(shè)某人一天犁出的溝的長度為常數(shù)a，試問所圍成的土地是怎樣的矩形，其面積為最大？8.某公司在采用新營銷策略后x個月時，每月銷售額增加1?售額為5百萬元