電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算

6.2.5電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算在本知識(shí)點(diǎn)中，我們將給大家介紹使用迭加原理計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)的方法。重點(diǎn)是微積分的使用。使用微積分計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)的步驟大致有：1、 建立坐標(biāo)系：目的是便于表示場(chǎng)強(qiáng)的方向和選擇積分的變量；2、 選取元電荷：即對(duì)連續(xù)帶電體進(jìn)行微分；3、 寫(xiě)出元電荷在考察點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大??；4、 分析元電荷在考察點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的方向：目的是為寫(xiě)分量做準(zhǔn)備；5、 寫(xiě)出元電荷在考察點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的各個(gè)分量：目的是為對(duì)各個(gè)分量積分做準(zhǔn)備；6、 分別對(duì)各個(gè)分量積分，并在積分過(guò)程中選擇恰當(dāng)?shù)姆e分變量和統(tǒng)一變量?！纠?】求電偶極子中垂線(xiàn)上任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。電偶極子的電場(chǎng)

【解】如上圖所示。設(shè)電偶極子的電量分別為+q和-q,用l表示從負(fù)電荷指向正電荷的矢量。設(shè)中垂線(xiàn)上任意一點(diǎn)P相對(duì)于+q和-q的位置矢量分別為r+和r，而r+=r。+q和-q在P點(diǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)分別為物氣r+以r表示電偶極子中心到P點(diǎn)距離，則在距離電偶極子甚遠(yuǎn)時(shí)，即r在距離電偶極子甚遠(yuǎn)時(shí)，即r>>/時(shí)，取一級(jí)近似有「+=匚而P點(diǎn)的總場(chǎng)強(qiáng)為式中p=ql是電偶極子的電矩，這樣上述結(jié)果又可以寫(xiě)成此結(jié)果表明，電偶極子在其中垂線(xiàn)上距電偶極子中心較遠(yuǎn)處各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度與電偶極子的電矩成正比，與該點(diǎn)離電偶極子中心的距離的三次方成反比，方向與電矩的方向相反?！纠?】試求一均勻帶電直線(xiàn)外任意一點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)。設(shè)直線(xiàn)長(zhǎng)為L(zhǎng)（見(jiàn)下圖），電荷線(xiàn)密度（即單位長(zhǎng)度上的電荷）為刀（設(shè)刀對(duì)）。設(shè)直線(xiàn)外場(chǎng)點(diǎn)P到直線(xiàn)的垂直距離為X,P點(diǎn)與帶電直線(xiàn)的上下端點(diǎn)的連線(xiàn)與垂線(xiàn)的夾角分別為％和務(wù)帶電直線(xiàn)外一點(diǎn)的電場(chǎng)【解】均勻帶電直線(xiàn)可以理解為實(shí)際問(wèn)題中一根帶電直棒的抽象模型，如果我們僅限于考慮離棒的距離比棒的截面尺寸大得多的地方的電場(chǎng)，則該帶電直棒就可以看作一條帶電直線(xiàn)。P點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)可以通過(guò)微積分來(lái)求解。在帶電直線(xiàn)上任取一長(zhǎng)為中的元電荷，其電量由=楠。以P點(diǎn)到帶電直線(xiàn)的垂足O為原點(diǎn)，取如圖所示坐標(biāo)軸S，仲。元電荷dq在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)dE沿兩個(gè)軸方向的分量分別為拓，和茲F。因而函，=dEcos&=*渤dEv=一疝湖、=一初氣4迪qFdy=—由于f= ，從而 （此式在幾何上表示，當(dāng)您很小時(shí)，相對(duì)P點(diǎn)張開(kāi)的角度如與逾的關(guān)系），并且藤，所以函『=2^=些凹波4盛口r，4盛時(shí)由于對(duì)整個(gè)帶電直線(xiàn)來(lái)說(shuō)，q的變化范圍是從％到％,所以同理可得%=\dEy= =壽?s%一*務(wù)）P點(diǎn)總場(chǎng)強(qiáng)的大小可以由下式得到有幾種特殊情況，討論如下：（1）中垂線(xiàn)上的點(diǎn)在中垂線(xiàn)上‘1=一&，則有與=0,E= 泗&網(wǎng)色= 一7喝瓦X 將4（S）+'代入，可得'=物■旬康/+『74*〃此電場(chǎng)的方向垂直于帶電直線(xiàn)而指向遠(yuǎn)離直線(xiàn)的一方。（2）無(wú)限長(zhǎng)直線(xiàn)外任意一點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)真實(shí)的生活中沒(méi)有無(wú)限長(zhǎng)，無(wú)限長(zhǎng)只是一個(gè)相對(duì)的概念，在本題中無(wú)限長(zhǎng)的準(zhǔn)確描述是弓=一&=90口，故有2^SqX此外，在遠(yuǎn)離帶電直線(xiàn)的區(qū)域，即當(dāng)上時(shí)，中垂線(xiàn)上的電場(chǎng)強(qiáng)度膈口^T=—其中9=如為帶電直線(xiàn)所帶的總電量。此結(jié)果顯示，離帶電直線(xiàn)很遠(yuǎn)處該帶電直線(xiàn)的電場(chǎng)相當(dāng)于一個(gè)點(diǎn)電荷q的電場(chǎng)。【例3】求均勻帶電圓環(huán)軸線(xiàn)上的場(chǎng)強(qiáng)。如下圖所示，一均勻帶電細(xì)圓環(huán)，半徑為R，所帶總電量為q（設(shè)q>0），圓環(huán)軸線(xiàn)上場(chǎng)點(diǎn)P到圓心的距離為X。【解】根據(jù)微積分的思想，我們把圓環(huán)微分成為許多小段，任一小段dl上的帶電量為dq。設(shè)此元電荷dq在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為dE，dE沿平行和垂直于軸線(xiàn)的兩個(gè)方向的分量分別為拓*和』肉.。由于圓環(huán)電荷分布對(duì)于軸線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以圓環(huán)上全部電荷的分量的矢量和為零，因而P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)沿軸線(xiàn)方向，且均勻帶電細(xì)圓環(huán)軸上的電場(chǎng)式中積分為對(duì)環(huán)上全部電荷q積分。設(shè)P點(diǎn)與dq的距離為r，由dEy=dEcos&=—cos8其中q為廿與X軸的夾角，所以叫嚴(yán)此式中的積分值即為整個(gè)環(huán)上的電荷q，所以考慮到*『5,而"足+亍?？蓪⑸鲜礁膶?xiě)為E的方向?yàn)檠刂S線(xiàn)指向遠(yuǎn)方。當(dāng)x?R時(shí)，仃+^尹七”，則e的大小為蕓u—4?r^0x此結(jié)果說(shuō)明，遠(yuǎn)離環(huán)心處的電場(chǎng)也相當(dāng)于一個(gè)點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的電場(chǎng)。當(dāng)*?R時(shí)，仃+度產(chǎn)心'，則E的大小為即在靠近圓心的軸線(xiàn)上場(chǎng)強(qiáng)大小與x成正比?！纠?】試求均勻帶點(diǎn)電圓盤(pán)軸線(xiàn)上的場(chǎng)強(qiáng)。設(shè)帶電圓盤(pán)半徑為R（如下圖），電荷面密度（即單位面積上的電荷）為=（設(shè)=對(duì)），求圓面軸線(xiàn)上距離圓心x處場(chǎng)點(diǎn)P的場(chǎng)強(qiáng)。均勻帶電圓面軸線(xiàn)上的電場(chǎng)【解】一帶電平板，如果其面積的線(xiàn)度及考察點(diǎn)到平板的距離都遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于它的厚度，該帶電板就可以看作一個(gè)帶電平面。帶電圓盤(pán)可看成由許多同心的帶電細(xì)圓環(huán)組成。取一個(gè)半徑為r，寬度為dr的細(xì)圓環(huán)（即將圓盤(pán)微分成許多圓環(huán)），由于此環(huán)的面積為9礦仙，帶有電荷由，所以由上一例題可知，此圓環(huán)電荷在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小為_(kāi)cr-2^rdr-x=饑導(dǎo)尸+/)g方向沿著軸線(xiàn)指向遠(yuǎn)方。由于組成圓面的各圓環(huán)的電場(chǎng)dE的方向都相同，所以P點(diǎn)的總場(chǎng)強(qiáng)為各個(gè)圓環(huán)在P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的大小的積分，即其方向也垂直于圓面指向遠(yuǎn)方。當(dāng)*時(shí)，5=—此時(shí)相對(duì)于x，可將該帶電圓盤(pán)看作“無(wú)限大”帶電平面。因此，可以說(shuō)，