概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)資料全

./《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第一章隨機(jī)事件與概率基本概念：隨機(jī)試驗(yàn)E指試驗(yàn)可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行,試驗(yàn)的結(jié)果具有多種可能性〔每次試驗(yàn)有且僅有一個(gè)結(jié)果出現(xiàn),且事先知道試驗(yàn)可能出現(xiàn)的一切結(jié)果,但不能預(yù)知每次試驗(yàn)的確切結(jié)果樣本點(diǎn)隨機(jī)試驗(yàn)E的每一個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果樣本空間隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本點(diǎn)的全體隨機(jī)事件由樣本空間中的若干個(gè)樣本點(diǎn)組成的集合,即隨機(jī)事件是樣本空間的一個(gè)子集必然事件每次試驗(yàn)中必定發(fā)生的事件。不可能事件--每次試驗(yàn)中一定不發(fā)生的事件。事件之間的關(guān)系：⑧A,B相互獨(dú)立P<AB>=P<A>P<B>例1事件A,B互為對(duì)立事件等價(jià)于〔DA、A,B互不相容B、A,B相互獨(dú)立C、A∪B＝ΩD、A,B構(gòu)成對(duì)樣本空間的一個(gè)剖分例2設(shè)P<A>=0,B為任一事件,則〔CA、A=B、ABC、A與B相互獨(dú)立D、A與B互不相容例3.設(shè)甲乙兩人朝同一目標(biāo)射擊,設(shè)A＝"甲命中目標(biāo)且乙未命中目標(biāo)",則：=〔D

A>甲未命中目標(biāo)且乙命中目標(biāo)B>甲乙都沒命中目標(biāo)C>甲未命中目標(biāo)D>甲未命中目標(biāo)或乙命中目標(biāo)事件之間的運(yùn)算：事件的交AB或A∩B事件的并A∪B事件的差A(yù)-B注意：A-B=Aeq\o<\s\do1<B>,\s\up1<￣>>=A-AB=<A∪B>-BA1,A2,…,An構(gòu)成的一個(gè)完備事件組<或分斥>指A1,A2,…,An兩兩互不相容,且eq\o<\s\up1<∪>,\s\do4<i=1>,\s\up10<n>>Ai=例1設(shè)事件A、B滿足A∩eq\o<B,ˉ>=,由此推導(dǎo)不出<D>A、ABB、eq\o<A,ˉ>eq\o<B,ˉ>C、A∪B=BD、A∩B=B例2若事件B與A滿足B–A=B,則一定有<B>A、A=B、AB=C、Aeq\o<B,ˉ>=D、B=eq\o<A,ˉ>運(yùn)算法則：交換律A∪B=B∪AA∩B=B∩A結(jié)合律<A∪B>∪C=A∪<B∪C><A∩B>∩C=A∩<B∩C>分配律<A∪B>∩C=<AC>∪<BC><A∩B>∪C=<A∪C>∩<B∪C>對(duì)偶律eq\o<\s\do1<A∪B>,\s\up1<￣￣>>=eq\o<\s\do1<A>,\s\up1<￣>>∩eq\o<\s\do1<B>,\s\up1<￣>>eq\o<\s\do1<A∩B>,\s\up1<￣￣>>=eq\o<\s\do1<A>,\s\up1<￣>>∪eq\o<\s\do1<B>,\s\up1<￣>>文氏圖事件與集合論的對(duì)應(yīng)關(guān)系表：記號(hào)概率論集合論樣本空間,必然事件全集不可能事件空集基本事件元素A事件全集中的一個(gè)子集eq\o<\s\do1<A>,\s\up1<￣>>A的對(duì)立事件A的補(bǔ)集AB事件A發(fā)生導(dǎo)致事件B發(fā)生A是B的子集A=B事件A與事件B相等A與B相等A∪B事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生A與B的并集AB事件A與事件B同時(shí)發(fā)生A與B的交集A-B事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生A與B的差集AB=事件A與事件B互不相容〔互斥A與B沒有相同的元素古典概型：古典概型的前提是={1,2,3,…,n,},n為有限正整數(shù),且每個(gè)樣本點(diǎn)i出現(xiàn)的可能性相等。P<A>=eq\f<A包含樣本總個(gè)數(shù),樣本點(diǎn)總數(shù)>例1設(shè)3個(gè)球任意投到四個(gè)杯中去,問杯中球的個(gè)數(shù)最多為1個(gè)的事件A1,最多為2個(gè)的事件A2的概率。[解]：每個(gè)球有4種放入法,3個(gè)球共有43種放入法,所以||=43=64。<1>當(dāng)杯中球的個(gè)數(shù)最多為1個(gè)時(shí),相當(dāng)于四個(gè)杯中取3個(gè)杯子,每個(gè)杯子恰有一個(gè)球,所以|A1|=Ceq\o<\s\do3<4>,\s\up5<3>>3！=24；則P<A1>=24/64=3/8.<2>當(dāng)杯中球的個(gè)數(shù)最多為2個(gè)時(shí),相當(dāng)于四個(gè)杯中有1個(gè)杯子恰有2個(gè)球<Ceq\o<\s\do3<4>,\s\up5<1>>Ceq\o<\s\do3<3>,\s\up5<2>>>,另有一個(gè)杯子恰有1個(gè)球<Ceq\o<\s\do3<3>,\s\up5<1>>Ceq\o<\s\do3<1>,\s\up5<1>>>,所以|A2|=Ceq\o<\s\do3<4>,\s\up5<1>>Ceq\o<\s\do3<3>,\s\up5<2>>Ceq\o<\s\do3<3>,\s\up5<1>>Ceq\o<\s\do3<1>,\s\up5<1>>=36；則P<A2>=36/64=9/16例2從1,2,…,9,這九個(gè)數(shù)中任取三個(gè)數(shù),求：<1>三數(shù)之和為10的概率p1；<2>三數(shù)之積為21的倍數(shù)的概率p2。[解]：p1=eq\f<4,Ceq\o<\s\do3<9>,\s\up5<3>>>=eq\f<1,21>,p2=eq\f<Ceq\o<\s\do3<3>,\s\up5<1>>Ceq\o<\s\do3<5>,\s\up5<1>>+Ceq\o<\s\do3<3>,\s\up5<2>>,Ceq\o<\s\do3<9>,\s\up5<3>>>=eq\f<3,14>古典概型基本性質(zhì)：<1>非負(fù)性,對(duì)于任一個(gè)事件A,有P<A>0;<2>規(guī)范性:P<>=1或P<>=0;<3>有限可加性：對(duì)兩兩互斥事件A1,A2,…,An有P<A1∪A2∪…∪An>=P<A1>+P<A2>+…+P<An>概率的公理化定義：要求函數(shù)P<A>滿足以下公理：<1>非負(fù)性,有P<A>0;<2>規(guī)范性:P<>=1;<3>可列可加性：對(duì)兩兩互斥事件A1,A2,…,An有P<A1∪A2∪…∪An>=P<A1>+P<A2>+…+P<An>概率公式：求逆公式P<eq\o<\s\do1<A>,\s\up1<￣>>>=1-P<A>加法公式P<A∪B>=P<A>+P<B>-P<AB>P<A∪B∪C>=P<A>+P<B>+P<C>-P<AB>-P<AC>-P<BC>+P<ABC>求差公式：P<A-B>=P<A>-P<AB>;當(dāng)AB時(shí),有P<A-B>=P<A>-P<B>注意：A-B=Aeq\o<\s\do1<B>,\s\up1<￣>>=A-AB=<A∪B>-B條件概率公式：P<A|B>=eq\f<P<AB>,P<B>>;<P<B>>0>P<A|B>表示事件B發(fā)生的條件下,事件A發(fā)生的概率。乘法公式：P<AB>=P<A>P<B|A>=P<B>P<A|B><其中P<A>>0,P<B>>0>一般有P<ABC>=P<A>P<B|A>P<C|AB><其中P<AB>>0>全概率公式：P<A>=eq\i\su<i=1,n,>P<A|Bi>P<Bi>其中B1,B2,…,Bn構(gòu)成的一個(gè)分斥。貝葉斯公式：P<Ak|B>=eq\f<P<B|Ak>P<Ak>,P<B>>=eq\f<P<B|Ak>P<Ak>,eq\i\su<i=1,n,>P<B|Ai>P<Ai>>〔由果溯因例：在一個(gè)腫瘤治療中心,有大量可能患肺癌的可疑病人,這些病人中吸煙的占45%。據(jù)以往記錄,吸煙的可疑病人中有90%確患有肺癌,在不吸煙的可疑病人中僅有5%確患有肺癌〔1在可疑病人中任選一人,求他患有肺癌的概率;〔2在可疑病人中選一人,已知他患有肺癌,求他是吸煙者的概率.解：設(shè)A={患有肺癌},B={可疑病人吸煙},則由條件得：P<B>=0.45,P〔=0.55,,.〔1由全概率公式得：=0.68.〔2由貝葉斯公式得：.2.在一個(gè)每題有5個(gè)答案可供選擇的測(cè)驗(yàn)題中,假如有80%的學(xué)生知道指定問題的正確答案,不知道正確答案的作隨機(jī)猜測(cè),求：1任意指定的一個(gè)學(xué)生能正確回答率;〔5分2已知指定的問題被正確解答,求此是靠隨機(jī)猜測(cè)的概率解設(shè)A={正確回答},B={隨機(jī)猜測(cè)},則由條件得：P<B>=0.2,P〔=0.8,,.〔1由全概率公式得：=0.84.〔2由貝葉斯公式得：3.某人從甲地到乙地,乘火車、輪船和飛機(jī)來的概率分別為0.2、0.4、0.4,乘火車來遲到的概率為0.5,乘輪船來遲到的概率為0.2,乘飛機(jī)來不會(huì)遲到.試求：〔1他來遲到的概率是多少？<5分>〔2如果他來乙地遲到了,則他是乘輪船來的概率是多少？<5分>解:設(shè)A={遲到},B1={乘火車},B2={乘輪船},B3={乘飛機(jī)},則由條件得：P<B1>=0.2,P<B2>=0.4,P<B3>=0.4,,,.〔3分〔1由全概率公式得：0.18.〔7分〔2由貝葉斯公式得：〔10分4.將兩種信息分別編碼為A和B傳遞出去,由于信道存在干擾可能導(dǎo)致收到的信息與發(fā)送的不一致。設(shè)接收站收到信息時(shí),信息A被誤收為B的概率是0.02,而B被誤收為A的概率是0.01。整個(gè)傳送過程中,信息A與B傳送次數(shù)比為2:1,<1>求收到信息是A的概率;<8分><2>試求當(dāng)收到信息是A時(shí),問原發(fā)信息也是A的概率.<7分>解設(shè)A={收到信息是A},B1={發(fā)出信息為A},B2={發(fā)出信息為B},則由條件得：P<A|B1>=0.98,P<A|B2>=0.01,P〔B1=2/3,P〔B2=1/3〔3分〔1由全概率公式得：P〔A=0.982/3+0.011/30.66〔8分〔2由貝葉斯公式得：P〔B1|A=〔3分=〔7分概論的性質(zhì)：應(yīng)用題：若事件相互獨(dú)立,且,,則=0.625例1設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三個(gè)事件A,B和C滿足條件：ABC=,P<A>=P<B>=P<C><1/2,且已知P<A∪B∪C>=9/16,則P<A>=。[解]:P<A∪B∪C>=P<A>+P<B>+P<C>-[P<AB>+P<AC>+P<BC>]+P<ABC>,令P<A>=x,則3x–3x2=9/1616x2-16x+3=0x=1/4或3/4<舍去>則P<A>=1/4例2某射擊隊(duì)共有20個(gè)射手,其中一級(jí)射手4人,二級(jí)射手8人,三級(jí)射手7人,四級(jí)射手1人,一、二、三、四級(jí)射手能夠進(jìn)入正式比賽的概率分別是0.9、0.7、0.5和0.2,求任選一名選手能進(jìn)入正式比賽的概率。[解]:設(shè)Ak=選中第k級(jí)選手,k=1,2,3,4,B=進(jìn)入正式比賽。由已知P<A1>=1/5,P<A2>=2/5,P<A3>=7/20,P<A4>=1/20;P<B|A1>=0.9,P<B|A2>=0.7,P<B|A3>=0.5,P<B|A4>=0.2.P<B>=P<A1>P<B|A1>+P<A2>P<B|A2>+P<A3>P<B|A3>+P<A4>P<B|A4>=1/50.9+2/50.7+7/200.5+1/200.2=0.645例3某物品成箱出售,每箱20件,假設(shè)各箱中含0、1件次品的概率分別為0.8和0.2,一顧客在購(gòu)買時(shí),他可以開箱,從箱中任取三件檢查,當(dāng)這三件都是合格品時(shí),顧客才買下該箱物品,否則退貨。試求：〔1顧客買下該箱的概率；〔2顧客買下該箱物品,問該箱確無(wú)次品的概率。[解]:設(shè)事件A0—箱中0件次品,A1—箱中1件次品,事件B—買下該箱。由已知P<A0>=0.8,P<A1>=0.2,P<B|A0>=1,P<B|A1>=19/2018/1917/18=17/20,<1>=P<B>=P<A0>P<B|A0>+P<A1>P<B|A1>=0.81+0.27/20=0.97;<2>=P<A0|B>=P<A0B>/P<B>=P<A0>P<B|A0>/P<B>=0.8/0.97=0.8247例4.設(shè)A、B、C為三個(gè)事件,A與B互不相容,且CA,則必有〔B

A>P<AC>＝0B>P<BC>=0

C>P<A＋C>＝0D>.P<B＋C>＝0例5.設(shè)一批產(chǎn)品共有1000個(gè),其中50個(gè)次品,從中隨機(jī)地不放回地選取500個(gè)產(chǎn)品,X表示抽到次品的個(gè)數(shù),則P<X=3>=〔A〔A 〔B〔C<0.05>3<0.95>497 〔D例6.袋中有5個(gè)黑球,3個(gè)白球,大小相同,一次隨機(jī)地摸出4個(gè)球,其中恰好有3個(gè)白球的概率為〔D事件的獨(dú)立性：如果事件A與事件B滿足P<AB>=P<A>P<B>,則稱事件A與事件B相互獨(dú)立。結(jié)論：1.如果P<A>>0,則事件A與B獨(dú)立2.事件A與事件B獨(dú)立事件A與事件eq\o<\s\do1<B>,\s\up1<￣>>獨(dú)立事件eq\o<\s\do1<A>,\s\up1<￣>>與事件B獨(dú)立事件eq\o<\s\do1<A>,\s\up1<￣>>與事件eq\o<\s\do1<B>,\s\up1<￣>>獨(dú)立事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立指任意k個(gè)事件Ai1,Ai2,…,Aik滿足P<Ai1∩Ai2∩…∩Aik>=P<Ai1>P<Ai2>…P<Aik>,其中k=2,3,…,n。例1設(shè)P<A>＝1/2,P<B>＝1/3,P<A|B>＝1/4,則P<A＋B>＝___3/4__例2已知,,,則=<D>0.2<B>0.45<C>0.6<D>0.75貝努里概型：指在相同條件下進(jìn)行n次試驗(yàn)；每次試驗(yàn)的結(jié)果有且僅有兩種A與eq\o<\s\do1<A>,\s\up1<￣>>；各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立；每次試驗(yàn)的結(jié)果發(fā)生的概率相同P<A>=p,P<eq\o<\s\do1<A>,\s\up1<￣>>>=1-p。二項(xiàng)概率在n重獨(dú)立試驗(yàn)中,事件A恰好發(fā)生k次的概率為b<k;n,p>,則b<k;n,p>=Ceq\o<\s\do3<n>,\s\up5<k>>pk<1-p>n-k<k=0,1,2,3,…,n>。第二章隨機(jī)變量與概率分布隨機(jī)變量的分布函數(shù)：分布函數(shù)定義：F<x>=P{≤x},-<x<+分布函數(shù)<x>實(shí)質(zhì)上表示隨機(jī)事件P{≤x}發(fā)生的概率。分布函數(shù)F<x>的性質(zhì)<1>0≤F<x>≤1;<2>eq\o<\s\up4<lim>,\s\do4<x->>F<x>=0,eq\o<\s\up4<lim>,\s\do4<x+>>F<x>=1<3>單調(diào)非減,當(dāng)x1<x2時(shí),F<x1>≤F<x2><4>右連續(xù)eq\o<\s\up4<lim>,\s\do4<xx0+>>F<x>=F<x0>一些概率可用分布函數(shù)來表示P{a<≤b}=F<b>-F<a>,P{=a}=F<a>-F<a-0>,P{<a}=F<a-0>,P{>a}=1-F<a>,P{≥a}=1-F<a-0>,例1.設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為F<x>=eq\b\lc\{<\a\al<0x<0,sinx0x</2,1x/2>>,則P{≤/4}=<><選C,因?yàn)镻{≤/4}=F</4>=sin/4>A、0B、1/2C、eq\r<2>/2D、1例2.設(shè)隨機(jī)變量1和2的分布函數(shù)分別為F1<x>和F2<x>,為使F<x>=aF1<x>-bF2<x>是某隨機(jī)變量的分布函數(shù),則在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)取<>A、a=3/5,b=-2/5B、a=3/5,b=2/5C、a=3/5,b=-3/5D、a=2/5,b=2/5<選A,因?yàn)镕<+∞>=1=aF1<+∞>-bF2<+∞>=a-b>例3.連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為F<x>=A+Barctanx,-∞<x<∞求：<1>常數(shù)A,B；<2>落入〔-1,1的概率。[解]：因?yàn)镕<+∞>=1,F<-∞>=0,所以A+B/2=1,A-B/2=0,解得A=1/2,B=1/.即F<x>=eq\f<1,2>+eq\f<1,>arctanx.落入〔-1,1的概率為P{-1<<1}=F<1>-F<-1>=eq\f<1,2>+eq\f<1,>arctan1–<eq\f<1,2>+eq\f<1,>arctan<-1>>=eq\f<1,4>+eq\f<1,4>=eq\f<1,2>例4.設(shè)X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為f<x>,分布函數(shù)為F<x>,則對(duì)于任意x值有<A><A>P<X=x>=0 <B><C>P<X=x>=f<x> <D>P<X=x>=F<x>5.設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為.求〔1系數(shù)；〔2分〔2的分布函數(shù)；〔4分〔3概率.解由題意得：〔1,A=.〔2〔3設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度〔1確定常數(shù)；〔2求的分布函數(shù)；〔3求.離散型隨機(jī)變量：定義：隨機(jī)變量只能取有限個(gè)或可數(shù)個(gè)孤立的值離散型隨機(jī)變量的概率分布簡(jiǎn)稱為分布列：eq\b\bc\[<\a\al\con1<Xx1x2x3…..xn….,概率p1p2p3…..pn….>>其中每一個(gè)pi≥0且eq\i\su<i=1,,pi>=1離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是非降的階梯函數(shù)。離散型隨機(jī)變量常見分布：1>兩點(diǎn)分布X~<0,1>；X的取值只有0或1,其概率為P{X=0}=p,P{X=1}=1-p2>二項(xiàng)分布X~B<n,p>；分布律為b<k;n,p>=P{X=k}=Ceq\o<\s\do3<n>,\s\up5<k>>pk<1-p>n-k<k=0,1,2,3,…,n>其中0<p<13>泊松分布X~P<>；分布律為P{X=k}=eq\f<k,k!>e-<k=0,1,2,3,…>。4>幾何分布：X~Ge<p>；分布列為P{X=k}=<1-p>k-1p<k=0,1,2,3,…>。在伯努利試驗(yàn)序列中,記每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p,如果X為事件A首次出現(xiàn)時(shí)的試驗(yàn)次數(shù),則X的可能取值為1,2,…,稱X服從幾何分布。如果說恰好出現(xiàn)K次,則用二項(xiàng)分布b<k;n,p>=P{X=k}=Ceq\o<\s\do3<n>,\s\up5<k>>pk<1-p>n-k<k=0,1,2,3,…,n>其中0<p<15>超幾何分布：X~h<n,N,M>；分布列為P{X=k}=eq\f<Ceq\o<\s\do3<M>,\s\up5<k>>Ceq\o<\s\do3<N-M>,\s\up5<n-k>>,Ceq\o<\s\do3<N>,\s\up5<n>>><k=0,1,2,3,…,r,其中r=min{M,n}>。設(shè)有N個(gè)產(chǎn)品,其中有M個(gè)不合格品,若從中不放回地隨機(jī)抽取n個(gè),則其中含有的不合格品個(gè)數(shù)X服從超幾何分布。離散型例題：例1設(shè)隨機(jī)變量的分布列為P{=k}=eq\f<C,2k>,k=1,2,…,則常數(shù)C=<>A、1/4B、1/2C、1D、2<因?yàn)閑q\i\su<k=1,∞,>P{=k}=1,即eq\f<c/2,1-1/2>=1,所以c=1>例2某射手有5發(fā)子彈,射一次命中的概率為0.9,如果命中了就停止射擊,否則一直射到子彈用僅。求耗用子彈數(shù)的分布列。[解]：的分布列為12345概率p0.90.090.0090.00090.0001例3設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為012p0.30.50.2其分布函數(shù)為F<x>,則F<3>=<>A、0B、0.3C、0.8D、1<選D,因?yàn)镕<3>=p<0>+p<1>+p<2>=1>連續(xù)性隨機(jī)變量：定義：-隨機(jī)變量可能取的值連續(xù)地充滿一個(gè)范圍,如果對(duì)于隨機(jī)變量的分布函數(shù)F<x>,存在非負(fù)可積函數(shù)p<x>,使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,有F<x>=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<x>>p<u>du,則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量,其中p<x>為的概率密度函數(shù).密度函數(shù)必須滿足條件：<1>p<x>0,-∞<x<+∞<2>eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<+∞>>p<x>dx=F<+∞>=1連續(xù)型隨機(jī)變量的性質(zhì)：1.分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)；2F<x>=p<x>;3P{=a}=0,所以P{a<b}=P{ab}=P{a<b}=P{a<<b}=eq\o<\s\do5<a>,\s\up11<b>>p<x>dx4P{x<x+x}p<x>x常見連續(xù)型型隨機(jī)變量的分布：1>均勻分布~U[a,b]；密度函數(shù)p<x>=eq\b\lc\{<\a\al<\f<1,b-a>axb,0其他>>分布函數(shù)F<x>=eq\b\lc\{<\a\al<0x<a,\f<x-a,b-a>axb,1x>b>>2>指數(shù)分布~exp<>；密度函數(shù)p<x>=eq\b\lc\{<\a\al<e-xx0,0x<0>>分布函數(shù)F<x>=eq\b\lc\{<\a\al<1-e-xx0,0x<0>>3>正態(tài)分布~N<,2>；密度函數(shù)p<x>=eq\f<1,\r<2>>eeq\s\up3<-\f<<t->2,22>><-∞<x<+∞>分布函數(shù)F<x>=eq\f<1,\r<2>>eq\o<\s\do5<->,\s\up11<x>>eeq\s\up3<-\f<<t->2,22>>dt標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N<0,1>,它的分布函數(shù)<x>可查表得到,一般F<x>=<eq\f<x-,>>。例：已知～N〔2,,且P{2<<4}=0.3,則P｛<0｝=〔B

A>0.8B>0.2C>0.4D>.0.52、甲在上班路上所需的時(shí)間〔單位：分X~N〔50,100．已知上班時(shí)間為早晨8時(shí),他每天7時(shí)出門,試求：〔1甲遲到的概率；解：P〔甲遲到連續(xù)型例題：例1設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的泊松分布,則P{X=EX2}=.[解]：因?yàn)閄服從參數(shù)為1的泊松分布,所以EX2=DX+<EX>2=1+12=2,于是P{X=EX2}=P{X=2}=eq\f<1,2>e–1例2設(shè)一設(shè)備開機(jī)后無(wú)故障工作的時(shí)間X服從指數(shù)分布,平均無(wú)故障工作的時(shí)間EX為5小時(shí)。設(shè)備定時(shí)開機(jī),出現(xiàn)故障時(shí)自動(dòng)關(guān)機(jī),而在無(wú)故障的情況下工作2小時(shí)便關(guān)機(jī)。試求該設(shè)備每次開機(jī)無(wú)故障的時(shí)間Y的分布函數(shù)F<y>。[解]:X~E<>,因?yàn)镋X=1/=5=1/5,每次開機(jī)無(wú)故障的時(shí)間Y=min{X,2},易見當(dāng)y<0時(shí),F<y>=0；當(dāng)y2時(shí),F<y>=1；當(dāng)0y<2時(shí),F<y>=P{Yy}=P{min{X,2}y}=P{Xy}=1-e-y/5。所以Y的分布函數(shù)F<y>=eq\b\lc\{<\a\al<0若y<0,1-e-y/5若0y<2,1若y2>>隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布：1．離散型的求法設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為：eq\b\bc\[<\a\al\con1<Xx1x2…xk…,Pp1p2…pk…>>,則X的函數(shù)Y=g<X>的分布律為：eq\b\bc\[<\a\al\con1<Yg<x1>g<x2>…g<xk>…,Pp1p2…pk…>>,當(dāng)g<xj>有相同情況時(shí),概率為相應(yīng)之和。2．連續(xù)型的公式法：設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量,其密度函數(shù)為fX<x>,設(shè)g<x>是一嚴(yán)格單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù),其值域[,],且g<x>0,記x=h<y>為y=g<x>的反函數(shù),則Y=g<X>的密度函數(shù)為fY<y>=eq\b\lc\{<\a\al<fX<h<y>>|h<y>|<y<,0其它>>3．連續(xù)型的直接變換法<分布函數(shù)法>：FY<y>=P{Yy}=P{g<x>y}=P{XS},其中S={x|g<x>y},然后再把FY<y>對(duì)y求導(dǎo),即得fY<y>fY<y>=eq\b\lc\{<\a\al<dFY<y>/dy當(dāng)FY<y>在y處可導(dǎo)時(shí),0當(dāng)FY<y>在y處不可導(dǎo)時(shí)>>隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布的例題：例1設(shè)X的分布律為：eq\b\bc\[<\a\al\con1<X-1012,P0.20.30.10.4>>,求Y=<X-1>2的分布律。[解]：先由X的值確定Y的值,得到eq\b\bc\[<\a\al\con1<X-1012,Y4101>>,將Y的值相同的X的概率合在一起,得到Y(jié)的分布律eq\b\bc\[<\a\al\con1<Y410,P0.20.70.1>>。例2設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為FX<x>,求隨機(jī)變量Y=3X+2的分布函數(shù)FY<y>.[解]：FY<y>=P{Yy}=P{3X+2y}=P{Xeq\f<y-2,3>}=FX<eq\f<y-2,3>>例3設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為fX<x>=eq\b\lc\{<\a\al<\f<3,2>x2-1<x<1,0其它>>,求隨機(jī)變量Y=3X+2的密度函數(shù)fY<y>.[解]：用公式法：設(shè)y=g<x>=3x+2,y=g<x>的反函數(shù)為x=h<y>=eq\f<y-2,3>,-1<eq\f<y-2,3><1-1<y<5,|h<y>|=eq\f<1,3>則Y=g<X>的密度函數(shù)為fY<y>=eq\b\lc\{<\a\al<fX<h<y>>|h<y>|<y<,0其它>>=eq\b\lc\{<\a\al<\f<3,2><eq\f<y-2,3>>2eq\f<1,3>-1<y<5,0其它>>=eq\b\lc\{<\a\al<\f<1,18><y-2>2-1<y<5,0其它>>例4設(shè)X在區(qū)間[0,2]上服從均勻分布,試求Y=X3的概率密度。[解]：因X~U[0,2],所以fX<x>=eq\b\lc\{<\a\al<1/20x2,0其它>>。用分布函數(shù)法分段討論：當(dāng)y<0時(shí),FY<y>=P{Yy}=P{X3y}=0,當(dāng)0<y<8時(shí),FY<y>=P{Yy}=P{X3y}=P{Xeq\r<3,y>}=eq\o<\s\do5<0>,\s\up11<eq\r<3,y>>>eq\f<1,2>dx,fY<y>=FY<y>=eq\f<1,2>eq\f<1,3><y>eq\s\up5<-\f<2,3>>=eq\f<1,6eq\r<3,y2>>,當(dāng)y8時(shí),FY<y>=P{Yy}=P{X3y}=P{Xeq\r<3,y>}=eq\o<\s\do5<0>,\s\up11<2>>eq\f<1,2>dx=1,fY<y>=FY<y>=0.fY<y>=eq\b\lc\{<\a\al<eq\f<1,6eq\r<3,y2>>0<y<8,0其它>>5.已知的概率密度為,則3的概率密度函數(shù)為__________6.設(shè),則隨機(jī)變量在〔０,４內(nèi)的概率密度函數(shù)為7.設(shè)隨機(jī)變量X在<0,1>服從均勻分布,則的概率密度為第三章多維隨機(jī)變量及其概率分布二維隨機(jī)變量：二維隨機(jī)向量<,>的聯(lián)合分布函數(shù)指F<x,y>=P{x,y}0F<x,y>1;F<-∞,+∞>=F<x,-∞>=F<-∞,y>=0;F<+∞,+∞>=1;P{x1x2,y1<y2}=F<x2,y2>-F<x2,y1>-F<x1,y2>+F<x1,y1>二維隨機(jī)向量<,>的邊緣分布函數(shù)F<x>=P{x}=F<x,+∞>,F<y>=P{y}=F<+∞,y>二維離散隨機(jī)變量：二維離散型隨機(jī)變量及其概率分布P{=xi,=yj}=pij,其中eq\i\su<i=1,,>eq\i\su<j=1,,>pij=1且pij0可用一個(gè)分布列表或分布列矩陣<pij>來表示的邊緣分布列為P{=xi}=eq\i\su<j=1,,>pij=pi*的邊緣分布列為P{=yj}=eq\i\su<i=1,,>pij=p*例1設(shè)二維隨機(jī)向量〔,的聯(lián)合分布律為\1211/61/321/4則常數(shù)=〔A、1/6B、1/4C、1/3D、1/2[答案]：eq\i\su<i=1,,>eq\i\su<j=1,,>pij=1所以=1/4,選B.二維連續(xù)隨機(jī)變量：二維連續(xù)型隨機(jī)向量<,>的分布函數(shù)F<x,y>=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<x>>eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<y>>p<u,v>dudvp<x,y>稱為隨機(jī)向量<,>的聯(lián)合密度函數(shù)p<x,y>0,eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<+∞>>eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<+∞>>p<x,y>dxdy=1,eq\f<2F<x,y>,xy>=p<x,y>利用密度函數(shù)求概率P{<,>D}=eq\o<\s\do6<D>,\s\up0<>>p<x,y>dxdy二維連續(xù)型隨機(jī)向量<,>的邊緣分布,p<x>,p<y>稱為邊緣密度函數(shù)p<x>=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<+∞>>p<x,y>dyp<y>=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<+∞>>p<x,y>dx條件分布：離散型：在條件Y=yj下隨機(jī)變量X的條件概率分布為P{X=xi|Y=yj}=eq\f<P{X=xi,Y=yj},P{Y=yj}>=eq\f<pij,p*j>,i=1,2,…連續(xù)型：在條件Y=y下隨機(jī)變量X的條件分布函數(shù)FX|Y<x|y>與條件概率密度函數(shù)fX|Y<x|y>分別為：FX|Y<x|y>=eq\i\in<-∞,x,\f<f<u,y>,fY<y>>du>fX|Y<x|y>=eq\f<f<x,y>,fY<y>>例1：設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間<0,1>上服從均勻分布,在X=x<0<x<1>的條件下,隨機(jī)變量Y在區(qū)間<0,x>上服從均勻分布,求：隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度；[解]：X的概率密度為fX<x>=eq\b\lc\{<\a\al<10<x<1,0其他>>,在X=x<0<x<1>的條件下,Y的條件概率密度為fY|X<y|x>=eq\b\lc\{<\a\al<1/x0<y<x,0其他>>當(dāng)0<y<x<1時(shí),隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度為f<x,y>=fX<x>fY|X<y|x>=1/x在其它點(diǎn)<x,y>處,有f<x,y>=0,即X和Y的聯(lián)合概率密度為f<x,y>=eq\b\lc\{<\a\al<1/x0<y<x<1,0其他>>例2：設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,X概率分布為P{X=i}=1/3<i=-1,01>,概率密度為fY<y>=eq\b\lc\{<\a\al<10y1,0其它>>,記Z=X+Y,求P{Z1/2|X=0}。[解]：<1>P{Zeq\f<1,2>|X=0}=P{X+Yeq\f<1,2>|X=0}=P{Yeq\f<1,2>}=eq\o<\s\do5<0>,\s\up11<1/2>>1dy=eq\f<1,2>.二元正態(tài)分布：二元正態(tài)分布N<1,2,12,22,>的密度函數(shù)p<x,y>=eq\f<1,212\r<1-2>>exp{-eq\f<1,2<1-2>>[eq\f<<x-1>2,12>-eq\f<2<x-1><y-2>,12>+eq\f<<y-2>2,22>]}二元正態(tài)分布N<1,2,12,22,>的邊緣密度分布仍是正態(tài)分布~N<1,12>,~N<2,22>邊緣概率密度為fX<x>=eq\f<1,1\r<2>>eeq\s\up3<-\f<<x-1>2,212>>,fY<y>=eq\f<1,2\r<2>>eeq\s\up3<-\f<<y-2>2,222>>二元均勻分布：<X,Y>在區(qū)域D上服從均勻分布設(shè)D是xOy面上的有界區(qū)域,其面積為A。如果二維隨機(jī)變量<X,Y>具有概率密度f(wàn)<x,y>=eq\b\lc\{<\a\al<\f<1,A><x,y>D,0其他>>,則稱<X,Y>在區(qū)域D上服從均勻分布。例1:設(shè)<X,Y>服從區(qū)域D：｛<x,y>：a≤x≤b,c≤y≤d｝上的均勻分布,求〔1<X,Y>的聯(lián)合概率密度p<x,y>；〔2X,Y的邊際概率密度pX<x>,pY<y>;[解]：<1>f<x,y>=eq\b\lc\{<\a\al<\f<1,<b-a><d-c>>axbcyd,0其他>>;<2>pX<x>=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<+∞>>p<x,y>dy=eq\b\lc\{<\a\al<\f<1,b-a>axb,0其他>>,pY<y>=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<+∞>>p<x,y>dx=eq\b\lc\{<\a\al<\f<1,d-c>cyd,0其他>>例1設(shè)二維隨機(jī)變量<X,Y>的分布函數(shù)F<x,y>=A<B+arctaneq\f<x,2>><C+arctaneq\f<y,3>>。試求：<1>常數(shù)A,B,C；<2><X,Y>的概率密度。[解]：由分布函數(shù)性質(zhì),得到F<+∞,+∞>=A<B+eq\f<,2>><C+eq\f<,2>>,F<x,-∞>=A<B+arctaneq\f<x,2>><C-eq\f<,2>>=0,F<-∞,y>=A<B-eq\f<,2>><C+arctaneq\f<y,3>>=0,解得A=eq\f<1,2>,B=C=eq\f<,2>.即F<x,y>=eq\f<1,2><eq\f<,2>+arctaneq\f<x,2>><eq\f<,2>+arctaneq\f<y,3>>。<2>f<x,y>=eq\f<2F<x,y>,xy>=eq\f<6,2<x2+9><y2+4>>.例2:設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,且均服從區(qū)間[0,3]上的均勻分布,求P{max{X,Y}1}。.[解]：P{max{X,Y}1}=P{X1且Y1},因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,所以P{X1且Y1}=P{X1}P{Y1}=eq\f<1,3>eq\f<1,3>=eq\f<1,9>?！策@里P{X1}=eq\o<\s\do5<0>,\s\up11<1>>eq\f<1,3>dx=eq\f<1,3>例3:設(shè)二維隨機(jī)變量<X,Y>的概率密度為f<x,y>=eq\b\lc\{<\a\al<1,0<x<1,0<y<2x,0,其它>>求：<1><X,Y>的邊緣概率密度f(wàn)X<x>,fY<y>；<2>Z=2X-Y的概率密度f(wàn)Z<z>。[解]：<1>fX<x>=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<+∞>>f<x,y>dyeq\o<\s\do1<====>,\s\up8<0<x<1>>eq\o<\s\do5<1>,\s\up11<2x>>1dy=2x,所以邊緣概率密度f(wàn)X<x>=eq\b\lc\{<\a\al<2x0<x<1,0其它>>fY<y>=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<+∞>>f<x,y>dxeq\o<\s\do1<====>,\s\up8<0<y<2>>eq\o<\s\do5<y/2>,\s\up11<1>>1dx=1-eq\f<1,2>y,所以邊緣概率密度f(wàn)Y<y>=eq\b\lc\{<\a\al<1-y/20<y<2,0其它>><2>FZ<z>=P{2x-yz}=eq\o<\s\do10<2x-yz>,\s\up0<>>f<x,y>dxdyeq\o<\s\do1<====>,\s\up8<0<z/2<1>>1-eq\o<\s\do10<D1>,\s\up0<>>1dxdy=1-eq\o<\s\do5<z/2>,\s\up11<1>>dxeq\o<\s\do5<0>,\s\up11<2x-z>>1dy=1-eq\o<\s\do5<z/2>,\s\up11<1>><2x-z>dx=z-eq\f<z2,4>得到FZ<z>=eq\b\lc\{<\a\al<0z<0,z-z2/40z<2,1z2>>,所以Z的概率密度f(wàn)Z<z>=FZ<z>=eq\b\lc\{<\a\al<1-z/20z<2,0其它>>4.設(shè)隨機(jī)變量和具有聯(lián)合概率密度；求邊緣概率密度及例4設(shè)二維隨機(jī)變量<X,Y>的概率密度為f<x,y>=eq\b\lc\{<\a\al<x2+cxy0x1.0y2,0其他>>求<1>常數(shù)C;<2>P{X+Y1};<3>聯(lián)合分布函數(shù)F<x,y>.[解]：<1>由的概率密度性質(zhì)得到1=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<+∞>>eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<+∞>>f<x,y>dxdy=eq\o<\s\do5<0>,\s\up11<1>>eq\o<\s\do5<0>,\s\up11<2>><x2+cxy>dxdy=eq\f<2,3>+cc=eq\f<1,3>;<2>P{X+Y1}=eq\o<\s\do10<x+y1>,\s\up0<>>f<x,y>dxdy=eq\o<\s\do6<D>,\s\up0<>>f<x,y>dxdy=eq\o<\s\do5<0>,\s\up11<1>>dxeq\o<\s\do5<1-x>,\s\up11<2>><x2+eq\f<xy,3>>dy=eq\o<\s\do5<0>,\s\up11<1>><eq\f<5,6>x3+eq\f<4,3>x2+eq\f<1,2>x>dx=eq\f<65,72><3>當(dāng)x<0或y<0時(shí),F<x,y>=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<x>>eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<y>>p<u,v>dudv=0;當(dāng)0x1,0y<2時(shí),F<x,y>=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<x>>eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<y>>p<u,v>dudv=eq\o<\s\do5<0>,\s\up11<x>>eq\o<\s\do5<0>,\s\up11<y>><u2+eq\f<uv,3>>dudv=eq\f<x3y,3>+eq\f<x2y2,12>;當(dāng)0x1,y2時(shí),F<x,y>=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<x>>eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<y>>p<u,v>dudv=eq\o<\s\do5<0>,\s\up11<x>>eq\o<\s\do5<0>,\s\up11<2>><u2+eq\f<uv,3>>dudv=eq\f<2x3,3>+eq\f<x2,3>;當(dāng)x1,0y<2時(shí),F<x,y>=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<x>>eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<y>>p<u,v>dudv=eq\o<\s\do5<0>,\s\up11<1>>eq\o<\s\do5<0>,\s\up11<y>><u2+eq\f<uv,3>>dudv=eq\f<y,3>+eq\f<y2,12>;當(dāng)x1,y2時(shí),F<x,y>=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<x>>eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<y>>p<u,v>dudv=1綜上所述F<x,y>=eq\b\lc\{<\a\al<0x<0或y<0,eq\f<x3y,3>+eq\f<x2y2,12>0x1及0y<2,eq\f<2x3,3>+eq\f<x2,3>0x1及y2,eq\f<y,3>+eq\f<y2,12>x1及0y<2,1x1及y2>>獨(dú)立性：若F<x,y>=F<x>F<y>,則稱隨機(jī)變量與相互獨(dú)立。幾個(gè)充要條件：連續(xù)型隨機(jī)變量與相互獨(dú)立p<x,y>=p<x>p<y>離散型隨機(jī)變量與相互獨(dú)立pij=pipj二元正態(tài)分布N<1,12,2,22,>隨機(jī)變量與相互獨(dú)立=0。X與Y相互獨(dú)立f<X>與g<Y>也相互獨(dú)立。例：袋中有2只白球,3只黑球,現(xiàn)進(jìn)行無(wú)放回地摸球,定義：=eq\b\lc\{<\a\al<1第一次摸出白球,0第一次摸出黑球>>=eq\b\lc\{<\a\al<1第二次摸出白球,0第二次摸出黑球>>求:<1>〔,的聯(lián)合分布；〔2,的邊際分布；〔3,是否相互獨(dú)立？[解]:<,>的聯(lián)合分布與邊際分布為\01p03/103/106/1013/101/104/10p6/104/10因?yàn)閜<0,0>=3/10p<0>p<0>=9/25所以與不獨(dú)立。例2：設(shè)A,B是二隨機(jī)事件；隨機(jī)變量X=eq\b\lc\{<\a\al<1若A出現(xiàn),-1若A不出現(xiàn)>>Y=eq\b\lc\{<\a\al<1若B出現(xiàn),-1若B不出現(xiàn)>>試證明隨機(jī)變量X和Y不相關(guān)的充分必要條件是A與B相互獨(dú)立。例3設(shè)<X,Y>的概率密度為,f<x,y>=eq\b\lc\{<\a\al<8xy0x1及0yx,0其他>>,求：關(guān)于X及關(guān)于Y的邊緣概率密度,并判斷X與Y是否相互獨(dú)立。[解]：關(guān)于X的邊緣概率密度f(wàn)X<x>=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<+∞>>f<x,y>dy,當(dāng)0x1時(shí),fX<x>=eq\o<\s\do5<0>,\s\up11<x>>8xydy=4x3,當(dāng)x<0或x>1時(shí),fX<x>=0;所以fX<x>=eq\b\lc\{<\a\al<4x30x1,0其他>>。同理當(dāng)0y1時(shí),fY<y>=eq\o<\s\do5<y>,\s\up11<1>>8xydx=4y<1-y2>,其它情況fY<y>=0,所以關(guān)于Y的邊緣概率密度f(wàn)Y<y>=eq\b\lc\{<\a\al<4y<1-y2>0x1,0其他>>.因?yàn)楫?dāng)0x1,0y1時(shí),f<x,y>fX<x>fY<y>,所以X與Y不獨(dú)立。設(shè)二維隨機(jī)變量<X,Y>的概率密度函數(shù)為關(guān)于2.求:<1>Y關(guān)于X的邊緣分布密度函數(shù),并判斷X與Y是否獨(dú)立？<6分><2>.<4分>解由條件得：當(dāng)時(shí),則,從而當(dāng)時(shí),則從而〔1因?yàn)?,所以X與Y不獨(dú)立.〔2兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布：幾條結(jié)論：1.X~P<1>,Y~P<2>,若X與Y相互獨(dú)立,則X+Y~P<1+2>;2.X~N<1,12>,Y~N<2,22>,X與Y相互獨(dú)立,則X+Y~N<1+2,12+22>;3.<卷積公式>設(shè)<X,Y>是二維連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為f<x,y>,關(guān)于X,Y的邊緣概率密度分別為fX<x>,fY<y>,設(shè)X與Y相互獨(dú)立,則Z=X+Y的概率密度為fZ<z>=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<+∞>>fX<x>fY<z-x>dx=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<+∞>>f<x,z-x>dx或fZ<z>=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<+∞>>fX<z-y>fY<y>dy=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<+∞>>f<z-y,y>dy.例1:已知的聯(lián)合概率分布為eq\b\bc\[<\a\al\con1<X|Y012,01/41/103/10,13/203/201/20>>,求<1>X+Y的概率分布；<2>XY的概率分布。[解]：令Z1=X+Y,則Z1的加法表為eq\b\bc\[<\a\al\con1<X+Y012,0012,1123>>,令Z2=XY,則Z2的乘法表為eq\b\bc\[<\a\al\con1<XY012,0000,1012>>,<1>Z1的分布律為eq\b\bc\[<\a\al\con1<Z10123,P1/43/20+1/103/20+3/101/20>>,即eq\b\bc\[<\a\al\con1<Z10123,P1/45/209/201/20>><2>Z2的分布律為eq\b\bc\[<\a\al\con1<Z1012,P1/4+3/20+1/10+3/103/201/20>>,即eq\b\bc\[<\a\al\con1<Z1012,P4/53/201/20>>例2:設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立,且都服從[0,1]上的均勻分布,求X+Y的概率密度。[解]：X~U[0,1],Y~U[0,1],所以Z=X+Y在有效區(qū)間[0,2]上取值。利用卷積公式得到fZ<z>=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<+∞>>fX<x>fY<z-x>dx。積分變量的有效區(qū)域?yàn)?x1,0z-x10xz,z-1x1.當(dāng)0z1時(shí),fZ<z>=eq\o<\s\do5<0>,\s\up11<z>>11dx=z;當(dāng)1<z2時(shí),fZ<z>=eq\o<\s\do5<z-1>,\s\up11<1>>11dx=2-z;當(dāng)?shù)钠溆嗳≈禃r(shí),fZ<z>=0。所以Z的概率密度f(wàn)Z<z>=eq\b\lc\{<\a\al<z0z1,2-z1<z2,0其他>>多維隨機(jī)變量：n維隨機(jī)變量<X1,X2,…,Xn>的分布函數(shù)F<x1,x2,…,xn>=P{X1x1,X2x2,…,Xnxn}.如果X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立,且每個(gè)Xi~N<i,i2>,則X=a1X1+a2X2+…+anXn~N<eq\i\su<i=1,n,aii>,eq\i\su<i=1,n,ai2i2>>如果X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立,Xj的分布函數(shù)為FXj<xj>,則M=max{X1,X2,…,Xn}的分布函數(shù)為Fmax<z>=FX1<x1>FX2<x2>…FXn<x1n>,則m=min{X1,X2,…,Xn}的分布函數(shù)為Fmin<z>=1-[<1-FX1<x1>><1-FX2<x2>>…<1-FXn<x1n>>]第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望：1.隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義—離散型E<>=eq\i\su<i=1,,xipi>E<g<>>=eq\i\su<i=1,,g<xi>pi>連續(xù)型E<>=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<+∞>>xp<x>dxE<g<>>=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<+∞>>g<x>p<x>dx2.二維隨機(jī)變量<X,Y>的數(shù)學(xué)期望：離散型E<X>=eq\i\su<i=1,,xipi>*=eq\i\su<i,,>eq\i\su<j,,>xipijE<Y>=eq\i\su<j,,>yjp*j=eq\i\su<i,,>eq\i\su<j,,>yipij連續(xù)型E<X>=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<+∞>>xfX<x>dx=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<+∞>>eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<+∞>>xf<x,y>dxdyE<Y>=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<+∞>>yfY<y>dy=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<+∞>>eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<+∞>>yf<x,y>dxdy3.二維隨機(jī)變量X的函數(shù)Y=g<X>的數(shù)學(xué)期望：E[g<X,Y>]=eq\i\su<i,,>eq\i\su<j,,>g<xi,yj>pijE[g<X,Y>]=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<+∞>>eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<+∞>>g<x,y>f<x,y>dxdy4.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)E<c>=c,E<a>=a,E<>=EE若與相互獨(dú)立,則E<>=EE方差：1.隨機(jī)變量方差的定義-D<X>=E[X-E<X>]2=EX2–<EX>2D<X>=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<+∞>>[x-E<X>]2f<x>dx2.方差性質(zhì)：D<c>=0,D<a>=a2,D<a+b>=a2D,D<>=D+D2cov<,>若與相互獨(dú)立,則D<>=D+D協(xié)方差：1.與的協(xié)方差cov<,>=E[<-E><-E>]<或?yàn)?gt;2.協(xié)方差的性質(zhì)：cov<,>=Dcov<,>=cov<,>,cov<,c>=0cov<a,b>=abcov<,>,cov<,>=cov<,>cov<,>3.協(xié)方差矩陣：設(shè)n維隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn,記cij=cov<Xi,Xj>,則稱階矩陣C=<cij>nn為X1,X2,…,Xn的協(xié)方差矩陣?yán)?：設(shè)的密度函數(shù)p<x>=eq\b\lc\{<\a\al<c/x2x[1,3],0其它>>求：E[解]∵1=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<+∞>>p<x>dx∴c=3/2;E=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<+∞>>xp<x>dx=eq\o<\s\do5<1>,\s\up11<3>>xeq\f<3,2x2>dx=eq\f<3,2>lnx=eq\f<3,2>ln3.eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<+∞>>xfX<x>dx=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<+∞>>xdx=0<奇函數(shù),對(duì)稱區(qū)間上的積分>E<X2>=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<+∞>>x2fX<x>dx=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<+∞>>x2dx==eq\o<\s\do5<0>,\s\up11<+∞>>x2dx=<3>=2<偶函數(shù),對(duì)稱區(qū)間上的積分>所以D<X>=EX2–<EX>2=2.eq\b\bc\[<\a\al\con1<4-3,-39>>[解]：由協(xié)方差矩陣得到：D<X>=cov<X,X>=4,D<Y>=cov<Y,Y>=9,Cov<X,Y>=-3XY=eq\f<cov<X,Y>,\r<DX>\r<DY>>=eq\f<-3,23>=-eq\f<1,2>例5.設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立,且,服從于參數(shù)為9的泊松分布,則〔CA.–14B.–13C.40D.416.設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布,且已知,則=1相關(guān)系數(shù)：與的相關(guān)系數(shù)的定義=eq\f<cov<,>,\r<D>\r<D>>相關(guān)系數(shù)反映了隨機(jī)變量與之間的線性相關(guān)的程度。注意||1。當(dāng)=0,則稱與不相關(guān)；當(dāng)||=1,則稱與完全相關(guān)幾個(gè)結(jié)論：=0cov<,>=0E<>=EED<+>=D+DD<->=D+D注意隨機(jī)變量與相互獨(dú)立,則與不相關(guān)；反之與不相關(guān),不能推出與相互獨(dú)立。例5設(shè)X與Y相互獨(dú)立且都服從N<0,2>,若=aX+bY,=aX-bY,證明：與的相關(guān)系數(shù),=eq\f<a2-b2,a2+b2>。所以：=eq\f<cov<,>,\r<D>\r<D>>=eq\f<<a2-b2>2,<a2+b2>2>=eq\f<a2-b2,a2+b2>例6設(shè)隨機(jī)變量<X,Y>~N<1,1;4,9;>,則Cov<X,Y>=〔B〔A0.5 〔B3〔C18 〔D36〔注：<X,Y>~N<1,1;4,9;>其中的是相關(guān)系數(shù)7.設(shè)隨機(jī)變量X～B〔4,,Y～N〔2,16,又E〔XY=6,則X與Y的相關(guān)系數(shù)〔A<A>0.5<B>-0.16 <C>0.8<D>-0.5其他：k階原點(diǎn)矩：E<Xk>k=1,2,…。k+s階混合原點(diǎn)矩：E<XkYs>k,s=1,2,…k階中心矩：E[<X-EX>k]k=1,2,…。k+s階混合階中心矩：E[<X-EX>k<E-EY>s]k,s=1,2,…協(xié)方差矩陣：C=<cij>nx其中cij=E[<Xi-EXi><Xj-EXj>>]常用分布的期望與方差分布分布列和概率密度數(shù)學(xué)期望方差分布<0,1>P{=0}=p,P{=1}=1-ppp<1-p>二項(xiàng)分布B<n,p>b<k；n,p>=P{=k}=Ceq\o<\s\do3<n>,\s\up5<k>>pk<1-p>n-k<k=0,1,2,3,…,n>npnp<1-p>泊松分布P<>P{=k}=eq\f<k,k!>e-k=0,1,2…,>0均勻分布U[a,b]p<x>=eq\b\lc\{<\a\al<\f<1,b-a>axb,0其他>>eq\f<a+b,2>eq\f<<b-a>2,12>幾何分布X~Ge<p>分布列為P{X=k}=<1-p>k-1p<k=0,1,2,3,…>eq\f<1,p>eq\f<1-p,p2>超幾何分布X~h<n,N,M>P{X=k}=eq\f<Ceq\o<\s\do3<M>,\s\up5<k>>Ceq\o<\s\do3<N-M>,\s\up5<n-k>>,Ceq\o<\s\do3<N>,\s\up5<n>>>k=0,1,2,3,…,min{M,n}eq\f<nM,N>eq\f<nM<N-M><N-n>,N2<N-1>>指數(shù)分布exp<>p<x>=eq\b\lc\{<\a\al<e-xx0,0x<0>>eq\f<1,>eq\f<1,2>正態(tài)分布N<,2>p<x>=eq\f<1,\r<2>>eeq\s\up3<-\f<<x->2,22>><-∞<x<+∞>2二維正態(tài)分布N<1,12,2,22,>p<x,y>=eq\f<1,212\r<1-2>>exp{-eq\f<1,2<1-2>>[eq\f<<x-1>2,12>-eq\f<2<x-1><y-2>,12>+eq\f<<y-2>2,22>]}E=1E=2D=12D=22第五章大數(shù)定律及中心極限定理切比雪夫不等式：P{|-E|}eq\f<D,2>,P{|-E|<}1-eq\f<D,2>例1：設(shè)隨機(jī)變量1,2,3,獨(dú)立同分布,且i服從參數(shù)為的指數(shù)分布,i=1,2,3,試根據(jù)切比雪夫不等式證明：P{0<1+2+3<6/}≥2/3.[證]：i~exp<>,EI=1/;令X=1+2+3,則EX=E<1+2+3>=3/,DX=D<1+2+3>=3/2.P{0<1+2+3<6/}=P{0<X<6/}=P{-3/<X-3/<3/}=P{|X-3/|<3/}1-eq\f<DX,2>=1-eq\f<3/2,<3/>2>=1-eq\f<3,9>=eq\f<2,3>例2：已知隨機(jī)變量X的期望E<X>=100,方差D<X>=10,估計(jì)X落在<80,120>內(nèi)的概率。[解]：P{80<X<120}=P{-20<X-100<20}=P{|X-E<X>|<20}1-eq\f<DX,202>=1-eq\f<10,400>=0.975例3.若,利用切比雪夫不等式知=——————例4.設(shè)X1,X2,……,Xn是來自總體N〔μ,σ2的樣本,對(duì)任意的ε>0,樣本均值所滿足的切比雪夫不等式為〔BA．P≥ B．P≥1－C．P≤1－ D．P≤例5.設(shè)隨機(jī)變量X～U〔0,1,用切比雪夫不等式估計(jì)P〔|X－|≥_____0.25_______大數(shù)定律：切比雪夫大數(shù)定理：設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立,分別具有數(shù)學(xué)期望與方差,且方差一致有上界,則對(duì)任意給定正數(shù),恒有eq\o<\s\up4<lim>,\s\do4<n>>P{|eq\f<1,n>eq\i\su<i=1,n,xi>–eq\f<1,n>eq\i\su<i=1,n,Exi>|<}=1。伯努利大數(shù)定理：設(shè)nA是在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率,則對(duì)任意給定正數(shù),恒有eq\o<\s\up4<lim>,\s\do4<n>>P{|eq\f<nA,n>-p|<}=1<或eq\o<\s\up4<lim>,\s\do4<n>>P{|eq\f<n,n>-p|}=0>辛欽大數(shù)定理：設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立,服從同一分布,且具有數(shù)學(xué)期望EXk=,則對(duì)任意給定正數(shù),恒有eq\o<\s\up4<lim>,\s\do4<n>>P{|eq\f<1,n>eq\i\su<i=1,n,xi>–|<}=1中心極限定理：棣莫弗<Demoiver>-拉普拉斯<Laplace>定理：設(shè)隨機(jī)變量Yn<n=1,2,3,…>服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布,即Yn~B<n,p>,則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒有eq\o<\s\up4<lim>,\s\do4<n>>P{eq\f<Yn-np,\r<npq>>x}=<x>=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<x>>eq\f<1,\r<2>>eeq\s\up3<-\f<t2,2>>dteq\o<\s\do5<a>,\s\up11<b>>eq\f<1,\r<2>>eeq\s\up3<-\f<t2,2>>dt這一定理說明,服從二項(xiàng)分布B<n,p>的隨機(jī)變量Yn作標(biāo)準(zhǔn)化后的隨機(jī)變量eq\f<Yn-np,\r<npq>>的極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N<0,1>。中心極限定理<林德貝格-勒維>：設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立,服從同一分布,且具有數(shù)學(xué)期望EXk=,和方差D<Xk>=20,隨機(jī)變量Yn=<eq\i\su<k=1,n,xk>-n>/eq\r<n>的分布函數(shù)為Fn<x>,則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒有eq\o<\s\up4<lim>,\s\do4<n>>Fn<x>=eq\o<\s\up4<lim>,\s\do4<n>>P{Ynx}=<x>=eq\o<\s\do5<-∞>,\s\up11<x>>eq\f<1,\r<2>>eeq\s\up3<-\f<t2,2>>dt這一定理說明,eq\i\su<k=1,n,xk>的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量Yn=<eq\i\su<k=1,n,xk>-n>/eq\r<n>的極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N<0,1>中心極限定理的應(yīng)用：將一枚均勻硬幣連擲100次,則利用中心極限定理可知,正面出現(xiàn)的次數(shù)大于60的概率近似為____0.0228_______.〔附：Φ〔2=0.9772設(shè)隨機(jī)變量X~B<100,0.2>,應(yīng)用中心極限定理可得P{X≥30}=________0.0062__.<已知Φ<2.5>=0.9938>例1：某計(jì)算機(jī)系統(tǒng)由120個(gè)終端,每個(gè)終端在1小時(shí)內(nèi)平均有3分鐘使用打印機(jī),假定各終端使用打印機(jī)與否是相互獨(dú)立的,求至少由10個(gè)終端同時(shí)使用打印機(jī)的概率。[解]：設(shè)X為同時(shí)使用打印機(jī)的終端的個(gè)數(shù),則X~B<120,p>,這里p=3/60=0.05。E<X>=np=1200.05=6,D<X>=npq=60.95=5.7。則P{X10}=1–P{X<10}=1–P{X<10}=1–P{eq\f<X-6,\r<5.7>><eq\f<10-6,\r<5.7>>}利用中心極限定理上式近似等于=1-<1.6754>=1-0.9621=0.0379.即至少由10個(gè)終端同時(shí)使用打印機(jī)的概率為0.0379例2：在拋硬幣的試驗(yàn)中,至少拋多少次,才能使正面出現(xiàn)的頻率落在<0.4,0.6>區(qū)間的概率不小于0.9？[解]：設(shè)共進(jìn)行次試驗(yàn),X為出現(xiàn)正面的次數(shù),則X~B<N,p>,這里p=1/2=0.5。E<X>=np=0.5N,D<X>=npq=0.25N。所求的為P{0.4<X/N<0.6}0.9。將X標(biāo)準(zhǔn)化P{0.4<X/N<0.6}=P{0.4N<X<0.6N}=P{eq\f<0.4N-EX,\r<DX>><eq\f<X-EX,\r<DX>><eq\f<0.6N-EX,\r<DX>>}=P{-0.2eq\r<N><eq\f<X-EX,\r<DX>><0.2eq\r<N>}2<0.2eq\r<N>>–10.9<0.2eq\r<N>>0.95,查表<1.645>=0.95,則0.2eq\r<N>1.645N67.65,即至少拋68次才能滿足要求。例3：設(shè)隨機(jī)變量X和Y的數(shù)學(xué)期望分別為-2和2,方差分別為1和4,而相關(guān)系數(shù)為-0.5,則根據(jù)切比雪夫不等式P{|X+Y|6}.[解]:E<X+Y>=EX+EY=-2+2=0,D<X+Y>=DX+DY+2cov<X,Y>=1+4+2eq\r<DX>eq\r<DY>=!+4+2<-0.5>12=3,則根據(jù)切比雪夫不等式P{|X+Y|6}=P{|X+Y-E<X+Y>|6}eq\f<D<X+Y>,62>=eq\f<3,16>=eq\f<1,12>例4：生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝,每箱的重量是隨機(jī)的,假設(shè)每箱平均重50千克,標(biāo)準(zhǔn)差為5千克。若用最大載重量為5噸的汽車承運(yùn),試?yán)弥行臉O限定理說明每輛車最多可以裝多少箱,才能保障不超載的概率大于0.977〔<2>=0.977,其中<x>是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)[解]:設(shè)Xi為第i箱重量<千克>,i=1,2,…,n。則EXi=EX=50,DXi=50。令Z=eq\i\su<i=1,n,Xi>,則EZ=50n,DZ=25n.要求P{Z5000}0.977,利用中心極限定理P{Z5000}=P{eq\f<Z-EZ,\r<DZ>>eq\f<5000-50n,5\r<n>>}=<eq\f<5000-50n,5\r<n>>>0.977因?yàn)?lt;2>=0.977,所以eq\f<5000-50n,5\r<n>>225n2-5001n+2500000n98.每輛車最多可以裝98箱,才能保障不超載的概率大于0.977.例4：設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立,Sn=X1+X2+…+Xn,則根據(jù)列維-林德伯格中心極限定理,當(dāng)n充分大時(shí),Sn近似服從正態(tài)分布,只要X1,X2,…,XnA、有相同的數(shù)學(xué)期望B、有相同的方差C、服從同一指數(shù)分布D、服從同一離散型分布[解]:根據(jù)列維-林德伯格中心極限定理的條件,X1,X2,…,Xn必須獨(dú)立同分布,所以不能選A,B。又必須具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差,故D不一定能保證此條件,應(yīng)選C。例4：設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布,X1,X2,…,Xn為來自總體X