不定積分的計算和應用

目錄TOC\o"1-2"\h\u6134摘要 121908關鍵詞 1256250前言 150901.不定積分的含義 17729 328468 313706 323260 521655 529249 510593 97424 1191074.4分段求不定積分法 133495.不定積分在企業(yè)（經(jīng)營）管理與經(jīng)濟學中的應用 1428206 1410736 15253645.3國民收入、國民消費和國民儲蓄 167155 1619980參考文獻: 17淺談不定積分學生姓名：劉永超學號：20105031111數(shù)學與信息科學學院數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)指導老師：宋新宇職稱：教授摘要：本文給出了不定積分的定義，討論了不定積分的性質，并結合典型例題分析了不同類型不定積分的計算方法．不定積分的應用非常廣泛，應用不定積分能很巧妙的解決一些問題，本文就展示了不定積分在企業(yè)（經(jīng)營）管理與經(jīng)濟學中的應用．關鍵詞：不定積分；性質；計算方法；應用IntroductiontoindefiniteintegralAbstract:Thedefinitionofindefiniteintegralisgiveninthisarticle，thenaturesofindefiniteintegralsarediscussed，andthecalculationmethodsofindefiniteintegralofdifferenttypesareanalyzedcombinedwithtypicalexamples．Indefiniteintegralhasaverywiderangeofapplication,theapplicationofindefiniteintegralskillfullycansolvesomeproblems,thispapershowstheindefiniteintegralintheapplicationoftheenterprise(operation)managementandeconomics．Keywords:Indefiniteintegral;properties;calculationmethod;application0前言不定積分的積分技巧性強，需要進行必要的不定積分計算的訓練，并通過這些訓練熟悉不定積分的基本公式，熟悉包括換元積分法與分部積分法等基本積分方法以及一些基本積分技巧．本文對以上幾種方法所應遵循的原則分為幾種類型，并作簡要的分析說明．此外，本文還介紹了不定積分在企業(yè)（經(jīng)營）管理與經(jīng)濟學中的應用．=1\*Arabic1.不定積分的含義求其導數(shù)為已知的函數(shù)的方法稱為積分法，而所求的函數(shù)成為所給的函數(shù)的積分或反導數(shù)．如果是函數(shù)對的積分，則和之間的關系定義為式中左邊部分讀作“對的積分”．符號為積分號，為被積函數(shù)，為特積分，為積分常數(shù)，而．注意，如果是對的一個積分，則也是一個這樣的一個積分（式中為任意常數(shù)），因為任何常數(shù)的導數(shù)等于零，即．這就是，如果為對的一個積分，因此，一個已知其導數(shù)的函數(shù)并沒有完全被確定，因為它的積分含有一個任意的附加常數(shù)．為此，函數(shù)被稱為的不定積分．可以證明，具有相同導數(shù)的兩個函數(shù)至多相差一個常數(shù)．因此，如果是中的一個積分，則的全部積分包含在集合中，式中為任意常數(shù)．在許多積分應用中，習題中給出的、常常被稱為初始條件或邊界條件的某些信息，唯一的確定其積分常數(shù)．定義1設函數(shù)與在區(qū)間上都有定義．若，，則稱為在區(qū)間上的一個原函數(shù)．例如因為=，所以是在上的一個原函數(shù)；又==，所以與都是在上的原函數(shù)．定理1若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在上存在原函數(shù)，即，．定理2設是在區(qū)間上的一個原函數(shù)，則(i)也是在上的原函數(shù)，其中為任意常量函數(shù)；(ii)在上的任意兩個原函數(shù)之間，只可能相差一個常數(shù)．證明(i)這是因為==，．(ii)設和是在上的任意兩個原函數(shù)，則有=-=-=，．根據(jù)拉格朗日中值定理的推論，有-，．[[]華東師范大學數(shù)學系．數(shù)學分析[M]．北京：高等教育出版社，2003．][]華東師范大學數(shù)學系．數(shù)學分析[M]．北京：高等教育出版社，2003．定義2函數(shù)在上的全體原函數(shù)稱為在上的不定積分，記作其中稱為積分號，為被積函數(shù)，為被積表達式，為積分變量．2.不定積分的性質及幾何意義不定積分的性質（1）；；；．（2）=，其中，為常數(shù)．不定積分的幾何意義若是的一個原函數(shù)，則稱的圖像為的一條積分曲線．于是，的不定積分在幾何上表示的某一積分曲線沿縱軸方向任意平移所得的一切積分曲線組成的曲線族．顯然，若在每一條積分曲線上橫坐標相同的點出作切線，這些切線相互平行．在求原函數(shù)的具體問題中，往往先求出全體原函數(shù)，然后從中確定一個滿足條件．的原函數(shù)，它就是積分曲線族中通過點的那一條積分曲線．例如，指點做勻加速直線運動時==，則==，若已知=，代入上式后確定積分常數(shù)，=，于是就有，又因=，所以又有==，若已知=，則=，代入上式得到=．3.基本積分表(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)；(11)；(12)；(13)；；；；；；；.[[][]郝涌，李學志，陶有德，彭玉成編著．數(shù)學分析考研精編[M]．信陽師范學院數(shù)學學院，2003．不定積分的方法在解不定積分習題的過程中，我們會用各種方法進行求解，以下幾種解法為我們常用的幾種．并歸納出幾種類型的不定積分的解法．(1)引入變數(shù)法若，則．其中．(2)分項積分法若，則．(3)代入法假設，式中及其導函數(shù)為連續(xù)的．則得．分部積分法若和為的可微分函數(shù)，則．4.1有理函數(shù)的積分法(1)利用積分表求積分例1求解不定積分．解===．例2求解不定積分．解==．例3求解不定積分．解法一：原積分===；法二：原積分=（令）===．(2)適當?shù)淖儞Q被積函數(shù)，求積分例4求解不定積分．解==（令）===．例5求解不定積分．解===．(3)用分部積分法求積分例6求解不定積分．解=====．例7導出不定積分=（為正整數(shù)）的遞推公式．解易得=，=．當時，由分部積分公式，我們有======，因此得到遞推公式=．(4)利用待定系數(shù)法求積分例8求解不定積分．解設，通分后得，．令，則得，令，則．于是==．例9求解不定積分．解設，通分后得，．在這個恒等式中，令得，；令得，．故．則==．(5)利用奧斯特洛拉得斯基方法，計算積分所謂奧式方法，是指關于有理真分式的積分，可以借助代數(shù)方法來分離成一個真分式與另一個真分式的積分和．使在新的被積真分式函數(shù)中，其分母次數(shù)達到最低狀態(tài)．也即在公式（*）中，如果已知，且分母可以分解成一次與二次類型的實因式：；．且滿足，而為相應比更低次數(shù)的多項式，一般可用待定系數(shù)法求得．[[]費定暉，[]費定暉，周學圣．吉米多維奇數(shù)學分析精選精做習題集[M]．山東科技大學出版社出版，2007．例10求解不定積分．解令，，．設，從而．比較等式兩端x的同次冪系數(shù)，有解得，，，，．于是＝＝．4.2無理函數(shù)的積分法(1)化被積函數(shù)為有理函數(shù)求不定積分例11求解不定積分．解設=，則=，=．代入原式得===．其中，=．例12求解不定積分．解設，則，，，．代入原式得===．(2)利用公式=+，式中，為次多項式，為次多項式及為常數(shù)，求不定積分例13求解不定積分．解設=+，兩邊對求導數(shù)，得=++．從而有．比較等式兩端的同次冪系數(shù)，求得，，，．于是=+=+．4.3可化為有理函數(shù)的積分法(1)型令，則===，，==．所以，．例14求解不定積分．解令，則，，．故＝＝＝．例15求解不定積分．解原積分======．故=(2)．例16求解不定積分．解令．則有，，．則＝＝＝＝．(3)型不定積分（時時）．由于，若記，．則此二次三項式必屬于以下三種情形之一：，，．因此，上述無理根式的不定積分也就轉化為以下三種類型之一：，．當分別令，，后都可化為三角有理式的不定積分．[[][俄]B.A.卓里奇著.數(shù)學分析（第一卷）（第四版）[][俄]B.A.卓里奇著.數(shù)學分析（第一卷）（第四版）.北京：高等教育出版社出版，2008.例17求解不定積分=．解令．則，，．于是，所求不定積分可直接化為有理函數(shù)的不定積分＝＝＝＝＝．一般的二次三項式中，若，則可令．若，還可令，這類變換稱為歐拉變換．4.4分段求不定積分法例18設試求．解當時，=；當時，=；當時，=；注意到，具有連續(xù)性．因此，．故，令．則．[[]趙顯曾，黃安才.數(shù)學分析的方法與題解[M].陜西師范大學出版社出版，2005.[]趙顯曾，黃安才.數(shù)學分析的方法與題解[M].陜西師范大學出版社出版，2005.例19計算不定積分.解設是在上的原函數(shù)，且滿足.于是，有由，定出；而后，由在上連續(xù)，在定出與.得所以，在上有=.5.不定積分在企業(yè)（經(jīng)營）管理與經(jīng)濟學中的應用正如我們學過的微分法討論中所提到的那樣，在經(jīng)濟學中常常用平均變化和邊際兩種概念討論一個量對另一個量的變化．完全象通過求函數(shù)的微分可以得到函數(shù)的邊際變化一樣，通過求函數(shù)的邊際變化的積分能夠得到該函數(shù)（除常數(shù)以外）．本節(jié)舉例說明關于成本函數(shù)、收益函數(shù)和消費函數(shù)的這種積分應用．此外，還舉例說明關于資本形成的類似應用．5.1成本如果生產(chǎn)并銷售件商品的總成本用如下函數(shù)給定，則每件平均成本為，而邊際成本為．就是說，邊際成本為總成本函數(shù)對的導數(shù)．因此，總成本是邊際成本函數(shù)對的積分，即．為了通過求相應邊際成本函數(shù)的積分而得到一個唯一的總成本函數(shù)，必須規(guī)定初始條件．通常這種規(guī)定是用固定成本（）或初始管理費用（），即當時的成本給出的．例19作為生產(chǎn)的件數(shù)的函數(shù)的邊際成本給定為，若固定成本為，試求總成本函數(shù)和平均成本函數(shù)．解由題意，得=.若，，因此．而且（總成本）,（平均成本）．5.2收益對于任何需求函數(shù)，式中為單價，為件數(shù)，總收益（）就是和的乘積，即．關于需求的邊際收益是總收益對的導數(shù)，即．因此，總收益函數(shù)是邊際收益對的積分，即．同時，因為.所以，必須規(guī)定初始條件，以便通過求相應邊際收益函數(shù)的積分得到一個唯一的總成本函數(shù)．為了求積分常數(shù)，可以使用如下的初始條件：如果需求為零，則收益也為零．注意，平均收益或收益就是單價，因此平均收益曲線與需求曲線是相同的．例20如果邊際收益函數(shù)為，試求收益函數(shù)和需求函數(shù)．解由題意，得.若，因此．而且（收益函數(shù)），（需求函數(shù)）．5.3國民收入、國民消費和國民儲蓄如果消費函數(shù)給定為，式中為國民總消費，為國民總收入（），則邊際消費傾向（）為消費函數(shù)對的導數(shù)．而且假定，式中為儲蓄，邊際儲蓄傾向（）為,國民總消費為邊際消費傾向對的積分．為了通過求相應邊際消費傾向的積分得到唯一的消費函數(shù)，必須規(guī)定一個初始條件．例21邊際儲蓄傾向為．