北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) （角平分線）三角形的證明新課件(第1課時(shí))

第一章

三角形的證明角平分線第1課時(shí)

情景導(dǎo)入不利用工具，請(qǐng)你將一張用紙片做的角分成兩個(gè)相等的角.你有什么辦法？對(duì)折再打開紙片，看看折痕與這個(gè)角有何關(guān)系？AOBC獲取新知知識(shí)點(diǎn)一：角平分線的性質(zhì)還記得角平分線上的點(diǎn)有什么性質(zhì)嗎？你是怎樣得到的？請(qǐng)你嘗試證明這性質(zhì)，并與同伴交流.思路總結(jié)：本定理是對(duì)三角形全等思路的優(yōu)化角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD丄OA,PE丄OB,垂足分別為D，E.求證：PD＝PE.ACBODPE12證明：∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分別為D，E，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.∵∠1＝∠2,OP＝OP∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD＝PE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).1.性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．2.書寫格式：

如圖，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E,∴PD＝PE.

3.定理應(yīng)用所具備的條件：(1)角的平分線；(2)點(diǎn)在該平分線上；(3)垂直距離.4.定理的作用：證明線段相等.DEPP到OA的距離P到OB的距離角平分線上的點(diǎn)OACB例題講解例1

已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F.求證：EB=FC.ABCDEF證明：

∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE

≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.獲取新知知識(shí)點(diǎn)二：角平分線的判定想一想：你能寫出這個(gè)定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？如果有一個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)必在這個(gè)角的平分線上.在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.這個(gè)命題是真的嗎？如果是假的，怎么修改能成為真的呢？在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.已知：如圖，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PD丄OA，PE丄OB，垂足分別為D，E，且PD＝PE．求證：OP平分∠AOB.ACBODPE12證明：∵PD丄OA,PE丄OB,垂足分別為D，E，∴∠ODP＝∠OEP＝90°，∵PD＝PE，OP＝OP，∴Rt△DOP≌Rt△EOP(HL).∴∠1＝∠2(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).∴OP平分∠AOB.1.判定方法：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．2.書寫格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上(或∠AOC＝∠BOC)．3.應(yīng)用所具備的條件：（1）位置關(guān)系：點(diǎn)在角的內(nèi)部；（2）數(shù)量關(guān)系：該點(diǎn)到角兩邊的距離相等.4.定理的作用：判斷點(diǎn)是否在角平分線上.例題講解例2

如圖,在△ABC中，∠BAC＝60°，點(diǎn)D在BC上，

AD＝10，DE丄AB，DF丄AC，垂足分別為E，F(xiàn)，DE＝DF，求DE的長(zhǎng).┐┐證明：∵DE丄AB,DF丄AC，垂足分分別為E，F(xiàn),且DE＝DF，∴AD平分∠BAC(角平分線的性質(zhì)）.又∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝30°.在

Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝10，∴DE＝AD＝×10＝5(直角三角形30°角的性質(zhì)).隨堂演練1.如圖,P是∠AOB的平分線OC上一點(diǎn),PD⊥OB,垂足為D,若PD=2,則點(diǎn)P到邊OA的距離是(

)A.2

B.3

C.D.4D2.如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為A，B.下列結(jié)論中不一定成立的是(

)A．PA＝PB

B．PO平分∠APBC．OA＝OB

D．AB垂直平分OPD3.如圖，在CD上求一點(diǎn)P，使它到邊OA，OB的距離相等，則點(diǎn)P是(

)A．線段CD的中點(diǎn)B．CD與過點(diǎn)O作CD的垂線的交點(diǎn)C．CD與∠AOB的平分線的交點(diǎn)D．以上均不對(duì)C4.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，則△DBE的周長(zhǎng)是_____6cm5.如圖，在△ABC中，與∠ABC，∠ACB相鄰的外角的平分線相交于點(diǎn)F，連接AF，則下列結(jié)論正確的是____①AF平分BC

②AF平分∠BAC③AF⊥BC

④以上結(jié)論都正確②6.如圖,在△ABC中,AD為其角平分線,DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥AC于點(diǎn)F,△ABC的面積是9

cm2,AB=5

cm,AC=4

cm,求DE的長(zhǎng).解:∵在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥AC于點(diǎn)F,∴DE=DF.∵△ABC的面積是9

cm2,AB=5

cm,AC=4

cm,∴×5DE+×4DF=9,∴DE=DF=2(cm),即DE的長(zhǎng)是2cm.7.已知:如圖,P是OC上一點(diǎn),PD⊥OA于點(diǎn)D,PE⊥OB于點(diǎn)E,F,G分別是OA,OB上的點(diǎn),且PF=PG,DF=EG.求證:OC是∠AOB的平分線.證明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDF=∠PEG=90°.在Rt△PFD和Rt△PGE中,∵PF=PG,DF=EG,∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL),∴PD=PE.