第6章參數(shù)估計

第六章抽樣推斷第一節(jié)抽樣調(diào)查的基本概念

第二節(jié)抽樣誤差第三節(jié)參數(shù)估計基本方法第四節(jié)抽樣調(diào)查的組織形式及抽樣估計抽樣估計在統(tǒng)計方法中的地位統(tǒng)計方法描述統(tǒng)計推斷統(tǒng)計抽樣估計假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計推斷的過程樣本總體樣本統(tǒng)計量例如：樣本均值、比例、方差總體均值、比例、方差 抽樣推斷——是按隨機(jī)原則從全部研究對象中抽取部分單位進(jìn)行觀察，并根據(jù)樣本的實(shí)際數(shù)據(jù)對總體的數(shù)量特征作出具有一定可靠程度的估計和判斷。

抽樣推斷的特點(diǎn)：它是由部分推斷整體的一種認(rèn)識方法抽樣推斷建立在隨機(jī)取樣的基礎(chǔ)上抽樣推斷運(yùn)用概率估計的方法。抽樣推斷的誤差可以事先計算并加以控制參數(shù)估計參數(shù)估計是依據(jù)所獲得的樣本觀察資料，對所研究現(xiàn)象總體的水平、結(jié)構(gòu)、規(guī)模等數(shù)量特征進(jìn)行估計。假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)是利用樣本的實(shí)際資料來檢驗(yàn)事先對總體某些數(shù)量特征所作的假設(shè)是否可信的一種統(tǒng)計分析方法。抽樣推斷的內(nèi)容第六、七章參數(shù)估計和假設(shè)檢驗(yàn)推斷統(tǒng)計：利用樣本統(tǒng)計量對總體某些性質(zhì)或數(shù)量特征進(jìn)行推斷。隨機(jī)原則總體樣本總體參數(shù)統(tǒng)計量推斷估計參數(shù)估計檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)抽樣分布第一節(jié)抽樣調(diào)查的基本概念一、樣本及其代表性二、參數(shù)和估計量三、樣本可能數(shù)目樣本及其代表性（概念要點(diǎn)）

樣本（sample）：又稱樣本總體或子樣，就是從總體中隨機(jī)抽取出來并用來代表總體的那部分單位所構(gòu)成的新的小總體或集合體。對于一個具體的抽樣問題，總體是唯一確定的，而樣本則不是唯一的。

影響樣本代表性的因素：1、總體分布的離散程度的大小。（用方差δ表示）2、抽樣單元數(shù)的多少(或稱樣本容量的大小)。3、抽樣方法（重復(fù)抽樣和不重復(fù)抽樣）。參數(shù)與統(tǒng)計量在統(tǒng)計學(xué)中約定俗成，將用來描述總體的特征的綜合指標(biāo)稱為總體的參數(shù)；將用來描述樣本特征的指標(biāo)稱為樣本統(tǒng)計量。

參數(shù)參數(shù)研究總體中的數(shù)量標(biāo)志總體平均數(shù)總體方差X=∑XNX=∑XF∑FΣ（X-X）N2σ=2Σ（X-X）FΣF2σ=2研究總體中的品質(zhì)標(biāo)志總體成數(shù)成數(shù)方差σ2=P(1-P)P=

N1N（只有兩種表現(xiàn)）

統(tǒng)計量研究數(shù)量標(biāo)志樣本平均數(shù)x=∑xnx=∑xf∑f樣本標(biāo)準(zhǔn)差研究品質(zhì)標(biāo)志樣本成數(shù)成數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差np=n樣本可能數(shù)目樣本可能數(shù)目：又稱樣本個數(shù)，是指從一個有N個單位的總體中抽取容量為n的樣本時，有可能出現(xiàn)的所有樣本的個數(shù)，是一種理論概率分布。樣本個數(shù)：一個樣本包含的單位數(shù)。用“n”表示。一般要求

n≥30在總體單位數(shù)N和樣本容量n一定的條件下，樣本可能數(shù)目與抽樣方法有關(guān)。而在同一抽樣方法下，又由于對被抽中的幾個單位考慮順序與否，從而有不等的樣本可能數(shù)目。可能樣本數(shù)目的計算公式考慮順序不考慮順序不重復(fù)抽樣重復(fù)抽樣第二節(jié)抽樣誤差一、抽樣誤差的概念二、抽樣平均誤差三、抽樣極限誤差四、抽樣誤差的概率度一、抽樣誤差的概念（一）抽樣誤差：是指由于隨機(jī)抽樣的偶然因素使樣本各單位的結(jié)構(gòu)不足以代表總體各單位的結(jié)構(gòu)，而引起抽樣指標(biāo)與總體指標(biāo)之間的絕對離差。

影響抽樣誤差大小的因素：1）總體各單位標(biāo)志值的差異程度。2）樣本的單位數(shù)。3）抽樣方法及抽樣調(diào)查的組織形式。不同的抽樣組織形式就有不同的抽樣誤差。而且同一種組織形式的合理程度也影響抽樣誤差。（二）抽樣分布從一個總體中隨機(jī)抽出容量相同的各種樣本，從這些樣本計算出的某統(tǒng)計量所有可能值的概率分布，稱為這個統(tǒng)計量的抽樣分布。【例】設(shè)一個總體，含有4個元素（個體），即總體單位數(shù)N=4。4個個體分別為X1=1、X2=2、X3=3、X4=4?？傮w的均值、方差及分布如下現(xiàn)從總體中抽取n＝2的簡單隨機(jī)樣本，在重復(fù)抽樣條件下，共有42=16個樣本。所有樣本的結(jié)果如下表計算出各樣本的均值，如下表。并給出樣本均值的抽樣分布抽樣分布

=2.5σ2=1.25總體分布14230.1.2.3P(x)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5x樣本均值的分布與總體分布的比較樣本均值的抽樣分布（簡稱均值的分布）抽樣總體樣本

均值X,(N)均值μ=∑Xi/Nx,(n)樣本均值是樣本的函數(shù)，故樣本均值是一個統(tǒng)計量，統(tǒng)計量是一個隨機(jī)變量，樣本均值的概率分布稱為樣本均值的抽樣分布。從正態(tài)總體中抽樣得到的均值的分布也服從正態(tài)分布。從非正態(tài)總體中抽樣得到的均值的分布呢？

中心極限定理：無論總體為何種分布，只要樣本n足夠大（n≥30,np和nq大于5

），均值（）標(biāo)準(zhǔn)化為（z）變量，必定服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，均值（）則服從正態(tài)分布，即：關(guān)于均值的抽樣分布有如下的一些結(jié)論:1.對于多數(shù)總體分布來說，不論其形態(tài)如何，如果樣本觀察值超過30個，那么均值的抽樣分布將近似于正態(tài)分布。2.如果總體分布是明顯對稱的，那么只要樣本觀察值超過15個，均值的抽樣分布也近似于正態(tài)分布。

3.如果總體是正態(tài)分布的，則不管樣本大小如何，均值的抽樣分布一定是正態(tài)分布的。

中心極限定理：

設(shè)從均值為

，方差為

（有限）的任意一個總體中抽取樣本量為n的樣本，當(dāng)n充分大時，樣本均值

的抽樣分布近似服從均值為

、方差為

的正態(tài)分布。當(dāng)樣本容量足夠大時(n

30)，樣本均值的抽樣分布逐漸趨于正態(tài)分布一個任意分布的總體X二、抽樣平均誤差

多數(shù)樣本指標(biāo)與總體指標(biāo)都有誤差,誤差有大、有小，有正、有負(fù)，抽樣平均誤差就是將所有的誤差綜合起來，再求其平均數(shù)。

抽樣平均誤差：是反映抽樣誤差一般水平的指標(biāo)。二、抽樣平均誤差通常用抽樣平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差或抽樣成數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差來作為衡量其抽樣誤差一般水平的尺度。

按照標(biāo)準(zhǔn)差的一般意義，抽樣平均數(shù)（或抽樣成數(shù)）的標(biāo)準(zhǔn)差是按抽樣平均數(shù)（或抽樣成數(shù)）與其平均數(shù)的離差平方和計算的，但由于抽樣平均數(shù)的平均數(shù)等于總體平均數(shù)，而抽樣成數(shù)的平均數(shù)等于總體成數(shù)，抽樣指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差恰好反映了抽樣指標(biāo)和總體指標(biāo)的平均離差程度。設(shè)以

表示抽樣平均數(shù)的平均誤差，

表示抽樣成數(shù)的平均誤差，M表示全部可能的樣本數(shù)目，則：抽樣平均誤差（公式）注：以上公式中的關(guān)鍵是無法得到總體平均數(shù)和總體成數(shù)，所以按上述公式來計算抽樣平均誤差實(shí)際上是不可能的。抽樣平均數(shù)的平均誤差1、在重復(fù)抽樣的條件下，抽樣平均數(shù)的平均誤差與總體的變異程度以及樣本容量大小兩個因素有關(guān)：2、在不重復(fù)抽樣的條件下，抽樣平均數(shù)的平均誤差不但和總體變異程度、樣本容量有關(guān)，而且還與總體單位數(shù)有關(guān)：其中，為修正因子。抽樣成數(shù)的平均誤差：表明各樣本成數(shù)和總體成數(shù)絕對離差的一般水平。1、在重復(fù)抽樣的條件下：抽樣成數(shù)的平均誤差2、在不重復(fù)抽樣的條件下：①樣本平均數(shù)的平均數(shù)等于總體平均數(shù)。②抽樣平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差僅為總體標(biāo)準(zhǔn)差的③可通過調(diào)整樣本單位數(shù)來控制抽樣平均誤差。抽樣平均誤差所反映的內(nèi)容例題：假定抽樣單位數(shù)增加2倍、0.5倍時，抽樣平均誤差怎樣變化？解：抽樣單位數(shù)增加2倍，即為原來的3倍則：抽樣單位數(shù)增加0.5倍，即為原來的1.5倍則：即：當(dāng)樣本單位數(shù)增加2倍時，抽樣平均誤差為原來的0.577倍。即：當(dāng)樣本單位數(shù)增加0.5倍時，抽樣平均誤差為原來的0.8165倍。三、抽樣極限誤差在抽樣估計時，應(yīng)根據(jù)所研究對象的變異程度和分析目的要求確定可允許的誤差范圍，我們把這種可允許的最大誤差范圍稱為抽樣極限誤差。設(shè)Δx、Δp分別表示抽樣平均數(shù)極限誤差和抽樣成數(shù)極限誤差。則有:區(qū)間稱為平均數(shù)的估計區(qū)間或稱平均數(shù)的置信區(qū)間。區(qū)間稱為成數(shù)的估計區(qū)間或稱成數(shù)的置信區(qū)間。四、抽樣極限誤差的概率度基于概率估計的要求，抽樣極限誤差通常需要以抽樣平均誤差或?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)單位來衡量。把極限誤差或分別除以或的得相對數(shù)t，表示誤差范圍為抽樣平均誤差的t倍。t是測量估計可靠程度的一個參數(shù)稱為抽樣誤差的概率度。

第三節(jié)參數(shù)估計的方法一、總體參數(shù)的點(diǎn)估計二、總體參數(shù)的區(qū)間估計參數(shù)估計點(diǎn)估計以樣本指標(biāo)直接估計總體參數(shù)。評價準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)期望等于總體參數(shù)，即該估計量稱為無偏估計。無偏性有效性當(dāng)