遼寧省北鎮(zhèn)市第三高級中學2024屆高三上學期第二次月考 數(shù)學答案

北鎮(zhèn)三高2023～2024學年度第一學期第二次月考高三數(shù)學試卷考試時間120分鐘試卷滿分150分※考生注意：請在答題卡各題目規(guī)定的區(qū)域內(nèi)作答，答在本試卷上無效.一、選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式得到集合，根據(jù)函數(shù)的值域得到集合，然后求交集即可.【詳解】，，則.故選：B.2設(shè)，則（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的運算和模長公式即可.【詳解】由題意可得，則.故選：A.3.函數(shù)的大致圖象為A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】將函數(shù)表達式化為，由函數(shù)奇偶性得到BC不正確，再由特殊值得到最終結(jié)果.【詳解】因為是奇函數(shù)排除，且當時，.故答案為A.【點睛】這個題目考查了已知函數(shù)的解析式求函數(shù)的圖像，常見的方法是，通過解析式得到函數(shù)的值域和定義域，進行排除，由解析式得到函數(shù)的奇偶性和軸對稱性，或者中心對稱性，進行排除，還可以代入特殊點，或者取極限.4.已知是實數(shù)，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)即可判斷出結(jié)論．【詳解】都是實數(shù)，由“”有成立，反之不成立，例如.所以“”是“”的充分不必要條件，.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：該題考查的是有關(guān)充分不必要條件的判斷，在解題的過程中，關(guān)鍵點是要注意對數(shù)式有意義的條件.5.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，＋∞）上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.y＝|x－|【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、復合函數(shù)、分段函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷.【詳解】對于A，，因為，所以指數(shù)函數(shù)在單調(diào)遞減，故A選項錯誤；對于B，，因為，所以對數(shù)函數(shù)在單調(diào)遞減，故B選項錯誤；對于C，，因為二次函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，故C選項正確；對于D，由，可得函數(shù)在內(nèi)上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，故D選項錯誤.故選：C.6.設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指對數(shù)的性質(zhì)與中間數(shù)比大小即可.【詳解】，所以.故選：D.7.若（且）在R上為增函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的單調(diào)性求出a的取值范圍，再求出函數(shù)的定義域，利用復合函數(shù)單調(diào)性求解作答.【詳解】且，函數(shù)與在R上有相同的單調(diào)性，即函數(shù)與函數(shù)在R上有相同的單調(diào)性，因此函數(shù)在R上單調(diào)遞增，，在中，，解得或，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B8.若，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】變形給定的不等式，構(gòu)造函數(shù)并探討單調(diào)性，借助單調(diào)性可得，再逐項判斷作答.【詳解】不等式，令函數(shù)，因為函數(shù)在R上都是增函數(shù)，因此函數(shù)是R上的增函數(shù)，又，于是，即，則，從而，A正確，B錯誤；給定條件不能比較與1的大小，當時，，CD錯誤.故選：A二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.某校抽取了某班20名學生的化學成績，并將他們的成績制成如下所示的表格.成績60657075808590人數(shù)2335421下列結(jié)論正確的是（）A.這20人成績的眾數(shù)為75B.這20人成績的極差為30C.這20人成績的分位數(shù)為65D.這20人成績的平均數(shù)為75【答案】AB【解析】【分析】對于A，眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多數(shù)；對于B，極差是最大值減最小值；對于C，根據(jù)百分位數(shù)的計算公式即可；對于D，根據(jù)平均數(shù)的計算公式即可.【詳解】根據(jù)表格可知：這20人成績的眾數(shù)為75，故A對；極差為故B對;，所以分位數(shù)為，故C錯；平均數(shù)為.故D錯故選：AB10.下列命題中，不正確的是（）A.?x∈R，2x>x2B.?x∈R，x2－x＋1<0C.命題“?x∈R，?n∈N*，使得n>x2”的否定形式是“?x∈R，?n∈N*使得n≤x2”D.方程有兩個正實數(shù)根的充要條件是【答案】ABD【解析】【分析】直接利用函數(shù)的性質(zhì)，恒成立問題和存在性問題，命題的否定，一元二次方程的根和系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用判斷A、B、C、D的結(jié)論.【詳解】對于A，當或時，，故A選項錯誤；對于B，恒成立，故B選項錯誤；對于C，“，使得”的否定形式是“使得”，故C選項正確；對于D，方程有兩個正實數(shù)根的充要條件是，解得，故D選項錯誤.故選：ABD.11.若正實數(shù)x，y滿足x＋y＝1，且不等式有解，則實數(shù)m的取值范圍是錯誤的是（）A.m<－3或m> B.－3<m<C.m≤－3或m≥ D.－3≤m≤【答案】BCD【解析】【分析】使不等式有解，大于的最小值，根據(jù)題意先利用基本不等式求的最小值，再解不等式求m的取值范圍.【詳解】因為正實數(shù)x，y滿足，所以，則=，當且僅當，即時等號成立.因為不等式有解，所以，即，，解得或.故選：BCD.12.已知正實數(shù)x，y，z滿足，則下列正確的選項有（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】設(shè)，把指數(shù)式改寫為對數(shù)式，利用對數(shù)的運算法則判斷．【詳解】設(shè)，則，，，所以．所以．故選：BD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的圖象在點處的切線方程是______．【答案】【解析】【分析】求導函數(shù)，可得切線斜率，求出切點坐標，運用點斜式方程，即可求出函數(shù)的圖象在點處的切線方程.【詳解】，，則，又，切點為，函數(shù)的圖象在點處的切線方程是即.故答案為：.14.已知定義在上的函數(shù)為奇函數(shù)，且滿足.當時，，則__________.【答案】【解析】【分析】利用周期性和奇偶性可把轉(zhuǎn)化到已知范圍上，代入表達式可求，，即可求出答案.【詳解】函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，所以，，所以，所以2為的周期，所以，，故答案為：.15.已知函數(shù)，則使函數(shù)有零點的實數(shù)的取值范圍是____________【答案】【解析】【分析】令，進而作出的圖象，然后通過數(shù)形結(jié)合求得答案.【詳解】令，現(xiàn)作出的圖象，如圖：于是，當時，圖象有交點，即函數(shù)有零點.故答案為：.16.若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則m的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】先對求導，將問題轉(zhuǎn)化為在上有解，即在上有解，利用換元法與基本不等式求出的最大值即可得解.【詳解】因為，所以，則原問題等價于在上有解，即在上有解，即在上有解，令，則，，所以，當且僅當，即時，等號成立，此時，所以，則，所以，即.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)在時的最小值為．（1）求；（2）若函數(shù)的定義域為，求的取值范圍．【答案】（1）3；（2），．【解析】【分析】（1）直接利用基本不等式求出最小值，即可得到m；（2）由定義域為R，建立不等式，分類討論，求出a的范圍即可.【詳解】解：（1），，，當且僅當，即時等號成立，；（2）由（1）可知定義域為，不等式的解集為，①時，恒成立，滿足題意；②時，，解得，綜上得，的取值范圍為，．18.在中，角的對邊分別是，．（1）求C；（2）若，的面積是，求的周長．【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）將化為，由余弦定理即可求得角C.（2）根據(jù)三角形面積求得，再利用余弦定理求得，即可求得答案.【小問1詳解】由題意在中，，即，故，由于，所以.【小問2詳解】由題意的面積是，，即，由，得，故的周長為.19.已知公差不為零的等差數(shù)列滿足，，成等比數(shù)列，．（1）求的通項公式；（2）記的前n項和為，求使成立的最小正整數(shù)n．【答案】（1）（2）12【解析】【分析】（1）設(shè)的公差為，利用等差數(shù)列通項公式可構(gòu)造方程組求得，由此可得；（2）由等差數(shù)列求和公式可求得，由可構(gòu)造不等式組求得的范圍，由此可得結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得：，解得：，.【小問2詳解】由（1）得：，若，，即，解得：或；成立的最小正整數(shù).20.新高考模式下，數(shù)學試卷不分文理卷，學生想得高分比較困難．為了調(diào)動學生學習數(shù)學的積極性，提高學生的學習成績，張老師對自己的教學方法進行改革，經(jīng)過一學期的教學實驗，張老師所教的名學生，參加一次測試，數(shù)學學科成績都在內(nèi)，按區(qū)間分組為，，，，，繪制成如下頻率分布直方圖，規(guī)定不低于分（百分制）為優(yōu)秀．（1）求這名學生的平均成績（同一區(qū)間的數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點值作代表）；（2）按優(yōu)秀與非優(yōu)秀用分層抽樣方法隨機抽取名學生座談，再在這名學生中，選名學生發(fā)言，記優(yōu)秀學生發(fā)言的人數(shù)為隨機變量，求的分布列和期望．【答案】（1）（2）分布列見解析；期望【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計平均數(shù)的方法直接計算即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖可確定優(yōu)秀與非優(yōu)秀學生對應(yīng)的頻率，根據(jù)分層抽樣原則可確定名學生中優(yōu)秀學員的人數(shù)，由此可得所有可能的取值，根據(jù)超幾何分布概率公式可求得每個取值對應(yīng)的概率，由此可得分布列；由數(shù)學期望計算公式可求得期望.【小問1詳解】名學生的平均成績?yōu)?【小問2詳解】根據(jù)頻率分布直方圖知：優(yōu)秀學員對應(yīng)的頻率為，則非優(yōu)秀學員對應(yīng)的頻率為，抽取的名學生中，有優(yōu)秀學生人，非優(yōu)秀學生人；則所有可能的取值為，；；；；的分布列為：數(shù)學期望.21.已知函數(shù)，其中.（1）若曲線在處的切線與直線平行，求a的值；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導，令，即可求得的值；（2）由題可知，在上恒成立，參變分離，利用導數(shù)求最值即可求解.【詳解】（1）由題可知，則，解得．（2）∵在上是減函數(shù)，∴對恒成立，所以，令，則由得，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，故只需故的取值范圍是．【點睛】關(guān)鍵點點睛：函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減轉(zhuǎn)化為函數(shù)導數(shù)在上小于等于零恒成立，采用了參變分離法，再構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出新函數(shù)的最值，其中轉(zhuǎn)化的思想，參變量分離的方法，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．22.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在使，證明：．【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為.