新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章數(shù)列1.1數(shù)列的概念第2課時(shí)數(shù)列的遞推公式課件湘教版選擇性必修第一冊(cè)

第1章1.1第2課時(shí)數(shù)列的遞推公式課標(biāo)要求1.理解遞推公式的含義,能根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的前幾項(xiàng);2.掌握數(shù)列單調(diào)性的含義及判斷方法.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)目錄索引

基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)1數(shù)列的遞推公式如果數(shù)列{an}的任一項(xiàng)

與它的前一項(xiàng)an之間的關(guān)系可用一個(gè)公式來表示,即an+1=f(an),n≥1,那么這個(gè)公式就叫作數(shù)列{an}的遞推公式;a1稱為數(shù)列{an}的初始條件.這個(gè)條件是基礎(chǔ),不能缺少

an+1名師點(diǎn)睛1.數(shù)列的遞推公式和初始條件也是表示數(shù)列的一種重要方法,遞推公式和通項(xiàng)公式一樣都是關(guān)于項(xiàng)數(shù)n的恒等式,用符合要求的正整數(shù)依次去替換n,就可以求出數(shù)列的各項(xiàng).2.根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的項(xiàng)或通項(xiàng)公式必須具備兩個(gè)條件:(1)已知數(shù)列的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng));(2)從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)an+1與它的前一項(xiàng)an(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)所有數(shù)列都有遞推公式.(

)(2)由數(shù)列{an}的遞推公式an=an-1+2(n≥2,n∈N+)就能確定這個(gè)數(shù)列.(

)2.數(shù)列的遞推公式一定只含an+1與an兩項(xiàng)嗎?××提示數(shù)列的遞推公式不一定只含數(shù)列的相鄰兩項(xiàng),也可以含數(shù)列的多項(xiàng)之間的關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)2數(shù)列的單調(diào)性類別含義遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列an+1>an遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列an+1<an擺動(dòng)數(shù)列從第2項(xiàng)起,有些項(xiàng)

它的前一項(xiàng),有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列

常數(shù)列

各項(xiàng)都是相等的常數(shù)各項(xiàng)都相等的數(shù)列大于

名師點(diǎn)睛單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì),數(shù)列也是函數(shù),根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷數(shù)列的單調(diào)性,可類比通項(xiàng)公式對(duì)應(yīng)的解析表達(dá)式在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=(-1)nn,則數(shù)列是擺動(dòng)數(shù)列.(

)(3)若一個(gè)數(shù)列{an}滿足an+1>an(n∈N,n≥2),則數(shù)列一定是遞增數(shù)列.(

)2.若一個(gè)數(shù)列{an}滿足a1>a2>a3,則數(shù)列{an}一定是遞減數(shù)列嗎?√√×提示不一定,如數(shù)列的前若干項(xiàng)是4,3,2,5,6,7.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一由遞推公式求數(shù)列的項(xiàng)【例1】

(1)已知數(shù)列{an}滿足要求a1=1,an+1=2an+1,則a5等于(

)A.15 B.16

C.31

D.32C解析

∵數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+1,∴a2=2×1+1=3,a3=2×3+1=7,a4=2×7+1=15,a5=2×15+1=31.C解析

∵a1=2,變式訓(xùn)練1B(2)將函數(shù)f(x)用列表法表示如下表,數(shù)列{xn}滿足x1=5,且xn+1=f(xn)(n∈N+),則x2021=(

)x12345f(x)51342A.1 B.2

C.4

D.5B解析

因?yàn)閤1=5且xn+1=f(xn)(n∈N+),所以x2=f(x1)=f(5)=2,x3=f(x2)=f(2)=1,x4=f(x3)=f(1)=5,所以數(shù)列{xn}是一個(gè)以3為周期的數(shù)列,所以x2

021=x673×3+2=x2=2.探究點(diǎn)二由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式【例2】

(1)已知數(shù)列{an}滿足a1=-1,an+1=an+,n∈N+,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an.分析

先將遞推公式變形為an+1-an=,再利用累加法求通項(xiàng)公式(2)在數(shù)列{an}中,a1=1,an=an-1(n≥2),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.分析先將遞推公式化為

(n≥2),再利用累乘法求通項(xiàng)公式.規(guī)律方法

由遞推公式求通項(xiàng)公式的常用方法

歸納法根據(jù)數(shù)列的某項(xiàng)和遞推公式,求出數(shù)列的前幾項(xiàng),歸納出通項(xiàng)公式累加法當(dāng)an=an-1+f(n),n≥2時(shí),常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1求通項(xiàng)公式累乘法

變式訓(xùn)練2(1)已知a1=1,an=2(an+1-an)(n∈N+),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是(

)B探究點(diǎn)三數(shù)列的單調(diào)性及其應(yīng)用角度1數(shù)列單調(diào)性的判斷【例3】

已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=,那么這個(gè)數(shù)列是(

)A.擺動(dòng)數(shù)列 B.遞減數(shù)列C.遞增數(shù)列 D.常數(shù)列C規(guī)律方法

判斷數(shù)列的單調(diào)性的方法判斷數(shù)列的單調(diào)性主要是判斷數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)的大小關(guān)系,常用的方法有作差法、作商法等.其中作差法主要是作差后,通過將差式變形來判斷差的符號(hào);而作商法主要是對(duì)于各項(xiàng)均為正數(shù)或負(fù)數(shù)的數(shù)列,判斷商的比值與1的大小關(guān)系.對(duì)于判斷給出通項(xiàng)公式的數(shù)列的單調(diào)性,可以通過通項(xiàng)公式相對(duì)應(yīng)的解析表達(dá)式的特征,結(jié)合函數(shù)在(0,+∞)上的單調(diào)性判斷.變式訓(xùn)練3在數(shù)列{an}中,an=,則{an}(

)A.是常數(shù)列

B.不是單調(diào)數(shù)列C.是遞增數(shù)列

D.是遞減數(shù)列D角度2數(shù)列的單調(diào)性在求數(shù)列的最大(小)項(xiàng)中的應(yīng)用

【例4】

已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(n+1),判斷數(shù)列{an}是否有最大項(xiàng).若有,求出最大項(xiàng)和最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù);若沒有,請(qǐng)說明理由.∴當(dāng)n<9時(shí),an+1-an>0,即an+1>an;當(dāng)n=9時(shí),an+1-an=0,即an+1=an;當(dāng)n>9時(shí),an+1-an<0,即an+1<an.故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,∴數(shù)列中有最大項(xiàng),最大項(xiàng)為第9,10項(xiàng),(方法2)設(shè)ak(k>1)是數(shù)列{an}的最大項(xiàng),規(guī)律方法

求數(shù)列的最大(小)項(xiàng)的兩種方法(1)由于數(shù)列是特殊的函數(shù),所以可以用研究函數(shù)的思想方法來研究數(shù)列的相關(guān)性質(zhì),如數(shù)列的單調(diào)性、最大項(xiàng)、最小項(xiàng)等,此時(shí)要注意數(shù)列的定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集{1,2,…,n}這一條件.變式訓(xùn)練4已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n(n-8)-20.(1)這個(gè)數(shù)列從第幾項(xiàng)開始遞增?(2)這個(gè)數(shù)列中有沒有最小項(xiàng)?若有,求出最小項(xiàng);若沒有,請(qǐng)說明理由.解

(1)an+1-an=2n-7,令an+1-an>0,得n>,故數(shù)列{an}從第4項(xiàng)開始遞增.(2)an=n(n-8)-20=(n-4)2-36,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知當(dāng)n=4時(shí),an取得最小值-36,即數(shù)列中有最小項(xiàng),最小項(xiàng)為a4=-36.角度3利用數(shù)列的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍【例5】

(1)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-2n2+λn(n∈N+,λ∈R),若{an}是遞減數(shù)列,則λ的取值范圍為(

)A.(-∞,4) B.(-∞,4]C.(-∞,6) D.(-∞,6]C解析

∵數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,∴an>an+1.∴-2n2+λn>-2(n+1)2+λ(n+1),解得λ<4n+2.∵n∈N+,∴4n+2的最小值為6,∴λ<6.故選C.(n∈N+),若對(duì)于任意n∈N+都有an>an+1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

解析

∵對(duì)任意的n∈N+都有an>an+1,規(guī)律方法

利用數(shù)列的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法(1)根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解參數(shù)的取值范圍問題,求解時(shí)一般利用數(shù)列單調(diào)性的定義轉(zhuǎn)化為an+1-an>0(<0)恒成立問題,轉(zhuǎn)化后要注意n的取值范圍.(2)對(duì)于分段表示的數(shù)列單調(diào)性問題,不但要考慮各段的單調(diào)性,而且還要注意分段點(diǎn)處兩數(shù)列的項(xiàng)的大小關(guān)系.變式訓(xùn)練5數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n+

(a∈R),若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,則a的取值范圍為

.

(-∞,2)解析

數(shù)列{an}單調(diào)遞增?an+1>an,可得

,整理得a<n2+n.n2+n在n∈N+上的最小值為2,故a<2.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)數(shù)列的遞推公式;(2)數(shù)列的單調(diào)性:遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列、常數(shù)列.2.方法歸納:根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的項(xiàng)用代入法,求通項(xiàng)公式用歸納法、累加法、累乘法等.3.注意事項(xiàng):根據(jù)通項(xiàng)公式求數(shù)列的最大(小)項(xiàng)需要利用單調(diào)性判斷法,根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍要注意轉(zhuǎn)化為恒成立問題.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)1234561.數(shù)列2,4,6,8,10,…的遞推關(guān)系是(

)A.an=an-1+2(n≥2)B.an=2an-1(n≥2)C.a1=2,an=an-1+2(n≥2)D.a1=2,an=2an-1(n≥2)C解析

A,B中沒有給出初始條件,無法遞推,D中a1=2,a2=4,a3=8,不合題意.123456B1234563.(多選題)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=,且數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)k的取值可以是(

)A.-1 B.1

C.-3 D.3AC解析

由于數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,結(jié)合函數(shù)f(x)=在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù)時(shí)k<0,因此選AC.1234564.在數(shù)列{an}中,a3=3,a4=5,且an+2=an+an+1,則a1=(

)A.0 B.1

C.2

D.3B解析

由an+2=an+an+1得a4=a2+a3,可得a2=2.由a3=a1+a2可