新教材2023-2024學年高中數(shù)學第2章平面解析幾何初步本章總結提升課件湘教版選擇性必修第一冊

第2章本章總結提升網絡構建歸納整合專題突破素養(yǎng)提升目錄索引

網絡構建歸納整合專題突破素養(yǎng)提升專題一直線方程及兩直線位置關系求直線方程是本章的基礎知識,要明確各種直線方程的基本形式以及方程的局限性,求直線方程的基本方法是待定系數(shù)法,根據(jù)直線方程研究直線的位置關系要結合不同的直線方程的形式,求直線方程或根據(jù)直線方程研究直線的位置關系主要是提升數(shù)學運算與邏輯推理的核心素養(yǎng).【例1】

在△ABC中,已知M(1,6)是BC邊上一點,邊AB,AC所在直線的方程分別為2x-y+7=0,x-y+6=0.(1)若AM⊥BC,求直線BC的方程;(2)若|BM|=|CM|,求直線BC在x軸上的截距.分析由于M(1,6)是BC邊上一點,因此求直線BC的方程需要利用AM⊥BC時兩直線的位置關系求出直線BC的斜率;而(2)中求直線BC與x軸的截距需要先求出其方程,可結合|BM|=|CM|以及點B,C分別在兩直線上的特征,列方程求B,C的坐標后求方程.解

(1)由題知,邊AB,AC所在直線的方程分別為2x-y+7=0,x-y+6=0.所以直線BC的方程為y-6=-2(x-1),即2x+y-8=0.(2)因為點B,C分別在直線2x-y+7=0,x-y+6=0上,設B(a,2a+7),C(b,b+6),由|BM|=|CM|,可得M為BC邊的中點,則規(guī)律方法

直線綜合問題的解法1.求直線方程的主要方法是待定系數(shù)法,要掌握直線方程五種形式的適用條件及相互轉化,能根據(jù)條件靈活選用方程,當不能確定某種方程條件具備時,要另行討論條件不滿足的情況.2.當已知條件中涉及兩直線位置關系時,常利用兩直線位置關系中的斜率之間的關系求解問題.變式訓練1已知△ABC的頂點A(4,3),AB邊上的高所在直線為x-y-3=0,D為AC中點,且BD所在直線方程為3x+y-7=0.(1)求頂點B的坐標;(2)求BC邊所在的直線方程(請把結果用一般式方程表示).解

由AB邊上的高所在直線為x-y-3=0,得AB所在直線方程的斜率為kAB=-1.又過A(4,3),則AB所在直線方程為y-3=-1(x-4),整理得x+y-7=0.因為BD所在直線方程為3x+y-7=0,由(1)知,B(0,7),得直線BC的方程為19x+y-7=0.專題二圓的方程的求法求圓的方程主要是聯(lián)想圓系方程、圓的標準方程和一般方程,利用待定系數(shù)法解題.求圓的方程主要是提升邏輯推理與數(shù)學運算的核心素養(yǎng).程.分析

由于已知條件中涉及圓的圓心坐標與半徑,因此利用待定系數(shù)法設出圓的一般式方程求解.解

設圓心坐標為(a,b),半徑為r,規(guī)律方法

利用待定系數(shù)法求圓的方程(1)若已知條件與圓的圓心和半徑有關,可設圓的標準方程,依據(jù)已知條件列出關于a,b,r的方程組,從而求出a,b,r的值.(2)若已知條件沒有明確給出圓的圓心或半徑,可選擇圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關于D,E,F的方程組,從而求出D,E,F的值.變式訓練2在平面直角坐標系中,已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(-3,0),B(2,0),C(0,-2),經過這三個點的圓記為M.(1)求BC邊上的中線AD所在直線的方程;(2)求圓M的方程.解

(1)由B(2,0),C(0,-2),知BC的中點D的坐標為(1,-1).又A(-3,0),所以直線AD的方程為

,即中線AD所在直線的一般式方程為x+4y+3=0.(2)設圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).所以圓M的方程是x2+y2+x-y-6=0.專題三直線與圓的位置關系直線與圓的位置關系主要是利用幾何法與代數(shù)法求解,判斷直線與圓的位置關系,常用幾何法,而研究直線與圓的交點有關的性質問題,常利用代數(shù)法.直線與圓的位置關系主要是提升數(shù)學運算與邏輯推理的核心素養(yǎng).【例3】

如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知圓O:x2+y2=4,點Q(0,1),過點P(0,4)的直線l與圓O交于不同的兩點A,B(A,B不在y軸上).(1)若直線l的斜率為3,求|AB|;(2)設直線QA,QB的斜率分別為k1,k2,求證:k1+k2為定值,并求出該定值.分析計算出圓心到直線l的距離,利用勾股定理可求得|AB|;結合題意首先判斷出直線l的斜率存在,設出直線l的方程為y=kx+4,設點A(x1,y1),B(x2,y2),將直線l的方程與圓O的方程聯(lián)立,結合一元二次方程根與系數(shù)的關系可知,利用直線的斜率公式計算得出k1+k2的值.解

(1)由直線l的斜率為3,可得直線l的方程為3x-y+4=0,(2)因為A,B兩點不在y軸上,所以直線l的斜率存在,故可設直線l的方程為y=kx+4,代入圓O:x2+y2=4可得方程(1+k2)x2+8kx+12=0,規(guī)律方法

直線與圓交點性質問題的求解方法求解直線與圓相交的交點性質問題,主要是將直線方程代入圓的方程消元后,結合一元二次方程根與系數(shù)的關系以及待求解的結論轉化為交點的橫(縱)坐標之間的關系.變式訓練3已知圓C的圓心在x軸負半軸上,半徑為2,直線2x-y+2=0與圓C相切.(1)求圓C的標準方程;(2)過點P(0,-5)的直線l與圓C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,且滿足x1x2+y1y2=17,求直線l的方程.解得a1=-4,a2=2.因為a<0,故a=-4,則圓心為(-4,0),所以圓C的標準方程為(x+4)2+y2=4.(2)由題可得直線l斜率存在,設l方程為y=kx-5,代入圓方程并整理得

所以直線l方程為y=-x-5,即x+y+5=0.專題四圓與圓的位置關系解決圓與圓的位置關系的關鍵是抓住它的幾何特征,利用兩圓圓心距與兩圓半徑的和、差的絕對值的大小來確定兩圓的位置關系,以及充分利用幾何圖形的形象直觀性來分析問題.關于圓與圓的位置關系問題主要是提升直觀想象、邏輯推理與數(shù)學運算的核心素養(yǎng).【例4】

已知圓C1:x2+y2+4x-4y-5=0與圓C2:x2+y2-8x+4y+7=0.(1)證明圓C1與圓C2相切,并求過切點的兩圓公切線的方程;(2)求過點(2,3)且與兩圓相切于(1)中切點的圓的方程.解

(1)把圓C1與圓C2都化為標準方程形式,得圓C1:(x+2)2+(y-2)2=13,圓C2:(x-4)2+(y+2)2=13.所以圓C1與圓C2相切.①-②得12x-8y-12=0,整理得3x-2y-3=0,即過切點的兩圓公切線的方程為3x-2y-3=0.(2)由圓系方程,可設所求圓的方程為x2+y2+4x-4y-5+λ(3x-2y-3)=0.規(guī)律方法

判斷兩圓位置關系的兩種方法(1)幾何法是利用兩圓半徑和或差與圓心距作比較,得到兩圓位置關系.(2)代數(shù)法是把兩圓位置關系的判斷完全轉化為代數(shù)問題,轉化為方程組解的組數(shù)問題,從而體現(xiàn)了幾何問題與代數(shù)問題之間的相互聯(lián)系,但這種方法只能判斷出不相交、相交和相切三種位置關系,而不能像幾何法一樣,能準確判斷出外離、外切、相交、內切和內含五種位置關系.變式訓練4已知圓O1的方程為x2+(y+1)