《高等數(shù)學(xué)教學(xué)匯編》d8-8極值

§8.8多元函數(shù)的極值整理課件若函數(shù)則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).的某鄰域內(nèi)有極大值和極小值1、定義一、極值整理課件(1)(2)(3)例1例２例３整理課件2、多元函數(shù)取得極值的條件證整理課件整理課件仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn).駐點(diǎn)極值點(diǎn)問(wèn)題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？注意：整理課件時(shí),具有極值定理2

(充分條件)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),又令則:1)當(dāng)A<0時(shí)取極大值;A>0時(shí)取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)時(shí),沒(méi)有極值.時(shí),不能確定,需另行討論.若函數(shù)整理課件例4.求函數(shù)解:第一步求駐點(diǎn)得駐點(diǎn):(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).在點(diǎn)(1,0)處為極小值;解方程組的極值.第二步求二階偏導(dǎo)數(shù)第三步判別整理課件在點(diǎn)(3,0)處不是極值;在點(diǎn)(3,2)處為極大值.在點(diǎn)(1,2)處不是極值;整理課件整理課件整理課件求最值的一般方法：將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來(lái)求函數(shù)的最大值和最小值.3、多元函數(shù)的最值整理課件解如圖,整理課件整理課件整理課件整理課件特別,在實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際性質(zhì)可知區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個(gè)極值點(diǎn)P時(shí),為極小值為最小值(大)(大)整理課件例7.解:設(shè)水箱長(zhǎng),寬分別為x,ym

,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2m3根據(jù)實(shí)際問(wèn)題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長(zhǎng)方體水箱問(wèn)當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí),才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).即當(dāng)長(zhǎng)、寬均為高為時(shí),水箱所用材料最省.整理課件二、條件極值例，要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為V

的長(zhǎng)方體開(kāi)口水箱，試問(wèn)水箱的長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)，其表面積最?。繛榇?，設(shè)水箱的長(zhǎng)、寬、高分別為x,y,z,則表面積為依題意，上述的長(zhǎng)、寬、高不僅要符合定義域的要求：x>0,y>0,z>0,而且還須滿足條件這類附有約束條件的極值問(wèn)題稱為條件極值.問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：求函數(shù)S=2(xz+yz)+xy在條件xyz=V下的極值。整理課件極值問(wèn)題無(wú)條件極值:條件極值:對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制方法1代入法.求一元函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化條件極值的求法:整理課件方法2拉格朗日乘數(shù)法.如方法1所述,則問(wèn)題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問(wèn)題,極值點(diǎn)必滿足設(shè)記例如,故故有整理課件引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F

稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用拉格極值點(diǎn)必滿足則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.整理課件1.作拉格朗日函數(shù)利用拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)在條件下的可能極值點(diǎn)的步驟如下：2.求拉格朗日函數(shù)的可能極值點(diǎn)求解拉格朗日函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的方程組：如何判定該可能極值點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？在實(shí)際問(wèn)題中根據(jù)問(wèn)題本身來(lái)確定。整理課件推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形.設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn).例如,

求函數(shù)下的可能極值點(diǎn).在條件整理課件例8.要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為V

的長(zhǎng)方體開(kāi)口水箱,問(wèn)求x,y,z令解方程組解:

設(shè)x,y,z分別表示長(zhǎng)、寬、高,

下水箱表面積最小.使在條件水箱長(zhǎng)、寬、高等于多少時(shí)所用材料最省？⑴⑵⑶⑷整理課件⑴－⑵得若于是代入⑴式得不合題意.若代入⑶式得代入⑴式得代入⑷式得整理課件得唯一駐點(diǎn)由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長(zhǎng)、寬為高的2倍時(shí)，所用材料最省.因此,當(dāng)高為P15/例7整理課件例9.在橢圓上求一點(diǎn)，使其到直線的距離最短。解設(shè)P(x，y)為橢圓上任意一點(diǎn)，則P到直線的距離為求d的最小值點(diǎn)即求的最小值點(diǎn)。作整理