理學數(shù)字邏輯基礎

“數(shù)字邏輯”在硬件系列課程中的位置硬件系統(tǒng)設計微機原理數(shù)字邏輯

數(shù)字邏輯是計算機組成的物理實現(xiàn)本課程的主要內(nèi)容數(shù)字邏輯基礎：邏輯代數(shù)(布爾代數(shù))

無記憶的邏輯電路：組合邏輯器件與電路記憶元件：觸發(fā)器有記憶的邏輯電路：時序邏輯電路基礎與常用器件有記憶的邏輯電路：時序邏輯電路分析與設計可編程邏輯器件數(shù)模、模數(shù)接口電路主要參考書（1）鄧元慶等，數(shù)字電路與系統(tǒng)設計，西安電子科技大學出版社（2）閻石，數(shù)字電子技術基礎，高教出版社（3）陳光夢，數(shù)字邏輯基礎，復旦大學出版社（4）劉寶琴，數(shù)字電路與系統(tǒng)，清華大學出版社（5）王毓銀，數(shù)字電路邏輯設計，高等教育出版社（6）蔡良偉，數(shù)字電子技術，西安電子科技大學出版社

如何學好這門課1、掌握本課的特點：重視實踐環(huán)節(jié)2、掌握分析、設計方法3、作業(yè)和實驗獨立完成第1章數(shù)字邏輯基礎1324緒論邏輯函數(shù)的描述方法邏輯代數(shù)基礎邏輯函數(shù)的化簡

5數(shù)制與代碼緒論1.1.1、數(shù)字電路的基本概念電信號模擬信號：時間上、數(shù)值上都是連續(xù)變化的信號。

如正弦波信號、話音信號、交流電壓信號、流量、壓力信號等。模擬電路：傳輸、處理模擬信號的電路稱為模擬電路。數(shù)字信號：時間上、數(shù)值上都是斷續(xù)變化的離散信號。如矩形波、方波信號等。數(shù)字電路：傳輸、處理數(shù)字信號的電路稱為數(shù)字電路。

Um－信號幅度；

T－信號重復周期；

tW－脈沖寬度。

q－占空比。其定義為：理想周期性數(shù)字信號實際的數(shù)字信號

50%90%

10%tWtrtfUm

tr：脈沖上升時間tf:脈沖下降時間

T數(shù)字信號是非連續(xù)變化的，只有兩種狀態(tài)，用“1”和“0”

表示。數(shù)字電路研究對象是電路的輸入和輸出之間的邏輯關系，所以數(shù)字電路也稱邏輯電路。分析方法采用邏輯代數(shù)、真值表、卡諾圖、特征方程、狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖、時序波形圖等。

數(shù)字電路不僅可以對信號進行算術運算，而且能夠完成邏輯運算，具有邏輯推理和邏輯判斷的能力。在電子計算機、數(shù)字控制、數(shù)字通信等領域得到廣泛應用。

數(shù)字電路的特點第1章數(shù)字邏輯基礎1324緒論邏輯函數(shù)的描述方法邏輯代數(shù)基礎邏輯函數(shù)的化簡

5數(shù)制與代碼數(shù)制與代碼一、十進制：DecimalSystem共有1、2、3、4、5、6、7、8、9、0十個數(shù)碼，位與位之間遵循逢十進一的規(guī)律。157=一個十進制數(shù)數(shù)N可以表示成：若在數(shù)字電路中采用十進制，必須要有十個電路狀態(tài)與十個記數(shù)碼相對應。這樣將在技術上帶來許多困難，而且很不經(jīng)濟。二、二進制：BinarySystem共有兩個數(shù)碼0或1，位與位之間遵循逢二進一的規(guī)律。（1001）B==(9)D二進制的優(yōu)點：電路中任何具有兩個穩(wěn)定狀態(tài)的元件都可用來表示一位二進制數(shù)，數(shù)碼的存儲和傳輸簡單、可靠。二進制的缺點：位數(shù)較多，不便于讀數(shù)；不合人們的習慣，輸入時將十進制轉(zhuǎn)換成二進制，運算結果輸出時再轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)。一個二進制數(shù)數(shù)N可以表示成：三、十六進制和八進制十六進制的數(shù)碼：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A(10)、B(11)、C(12)、D(13)、E(14)、F(15)(4E6)H=4162+14161+6160=(1254)D=(010011100110)B(F)H(1111)B說明：十六進制的一位對應二進制的四位。1.十六進制與二進制之間的轉(zhuǎn)換。Hexadecimal：十六進制的Decimal：十進制的Octal:八進制的Binary：二進制的(0101

1001)B=[027+126+025+124+123+022+021+120]D=[(023+122+021+120)161+(123+022+021+120)160]D=(59)H每四位2進制數(shù)對應一位16進制數(shù)(10011100101101001000)B=從末位開始四位一組(1001

1100

1011

0100

1000)B()H84BC9=(9CB48)H2.八進制與二進制之間的轉(zhuǎn)換。(10011100101101001000)O=從末位開始三位一組(10011

100101101001

000)B

()O01554=(2345510)O32八進制記數(shù)碼：0、1、2、3、4、5、6、7(7)O(111)B說明：八進制的一位對應二進制的三位。四、十進制與二進制之間的轉(zhuǎn)換兩邊除2，余第0位K0商兩邊除2，余第1位K1十進制與二進制之間的轉(zhuǎn)換方法：可以用二除十進制數(shù)，余數(shù)是二進制數(shù)的第0位K0，然后依次用二除所得的商，余數(shù)依次是第1位K1

、第2位K2

、……。……225余1

K0122余0

K162余0

K232余1

K312余1

K40例：十進制數(shù)25轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)的轉(zhuǎn)換過程：(25)D=(11001)B由于人們生活中習慣采用的是十進制，而數(shù)字電路便于采用的是二進制，這自然就提出了如何用二進制編碼來表示十進制數(shù)的問題，即二----十進制編碼的問題。BCD－BinaryCodedDecimal(二進制編碼的十進制代碼)二進制編碼:將二進制數(shù)字的符號“0”和“1”按一定的規(guī)律排列,并賦予每一種排列一個固定的含義,這樣的過程就叫二進制編碼。這樣得到的每一個有固定含義的排列就稱為一個二進制代碼。五、常用的二——十進制編碼BCD碼用四位二進制數(shù)表示0~9十個數(shù)碼。四位二進制數(shù)最多可以表示16個字符，因此，從16種表示中選十個來表示0~9十個字符，可以有多種情況。不同的表示法便形成了一種編碼。這里主要介紹：8421碼5421碼余3碼2421碼十進制數(shù)(N)D二進制編碼(K3K2K1K0)B(N)D=W3K3+W2K2+W1K1+W0K0W3~W0為二進制各位的權重所謂的8421碼，就是指各位的權重是8、4、2、1。01235678940345678291012367854900000001001000110110011110001001101010111101111011110101110001000123578964二進制數(shù)8421碼2421碼5421碼余三碼

循環(huán)碼的兩個特性:

相鄰性：任意兩個相鄰的代碼中僅有

1位取值不同。

循環(huán)性：首尾兩個代碼也具有相鄰性。循環(huán)碼：滿足上述兩個特性的編碼。格雷碼：除了具有上述兩個特性之外，還具有反射性。反射性：以編碼的最高位0和1的交界處為對稱軸，處于對稱位置的各代碼除了最高位不同外，其余各位均相同。六、典型的循環(huán)碼——格雷碼十進制數(shù)格雷碼01234567891011121314150000000100110010011001110101010011001101111111101010101110011000注意：

格雷碼是非加權碼的一種，因為它的每一位均無固定的乘冪或加權值，因此無法拿來作為算術運算之用。

六、典型的循環(huán)碼——格雷碼

七、ASCII碼

ASCII碼的英文全名是AmericanStandardCodeforInformationInterchange，中文稱為美國標準信息交換碼。在當時美國國家標準局（AmericanNationalStandardInstitute，簡稱ANSI）為了要讓各家廠商所制造的計算機能有一致的數(shù)字編碼可以通用，不會因為計算機品牌不同而無法相互溝通，因此制定了一套標準化的信息交換碼，使得不同的計算機都有共同的標準可以遵循。ASCII碼區(qū)域位表示意義000保留給通訊控制用001保留給通訊控制用010特殊符號011阿拉伯數(shù)字及特殊符號100大寫英文字母A～O101大寫英文字母P～Z及特殊符號110小寫英文字母a～o111小寫英文字母p～z

七、ASCII碼

ASCII碼采用7位二進制編碼表示十進制符號、英文大小寫字母、運算符、控制符及特殊符號。

128個編碼中有95個編碼為字符碼，可以顯示或打印。另外的33個字符為控制碼，控制計算機某些外圍設備的工作特性和某些計算機軟件的運行情況，不能顯示或打印。

數(shù)字0~9在ASCII字符碼中為0110000~0111001，即30~39H，前3位固定為011，后4位就是十進制數(shù)對應的8421碼。第1章數(shù)字邏輯基礎1324緒論邏輯函數(shù)的描述方法邏輯代數(shù)基礎邏輯函數(shù)的化簡

5數(shù)制與代碼邏輯代數(shù)基礎一、邏輯代數(shù)的基本運算邏輯代數(shù)是研究邏輯變量及其相互關系的一門學科，19世紀中葉英國數(shù)學家布爾首先提出的，后來由美國數(shù)學家亨廷頓完善，又稱之為布爾代數(shù)。邏輯代數(shù)已成為分析和設計數(shù)字電路的理論基礎，即是研究邏輯電路的工具。

如果決定某一件事F發(fā)生或成立與否的條件有多個,分別用A、B、C表示，并規(guī)定：F＝“1”

代表事件發(fā)生（或成立)，F(xiàn)＝“0”

代表事件不發(fā)生（或不成立)；A＝B＝C＝“1”

代表條件具備，A＝B＝C＝“0

”代表條件不具備；基本邏輯關系1.“與”邏輯A、B、C都具備時，事件F才發(fā)生。EFABC&ABCF邏輯符號AFBC00001000010011000010101001101111邏輯式：F=A?B?C邏輯乘法邏輯與真值表邏輯函數(shù)邏輯變量2.“或”邏輯A、B、C只有一個具備時，事件F就發(fā)生。C

1ABF邏輯符號AEFBCAFBC00001001010111010011101101111111邏輯式：F=A+B+C邏輯加法邏輯或真值表3.“非”邏輯A具備時，事件F不發(fā)生；A不具備時，事件F發(fā)生。邏輯符號AEFR邏輯非邏輯反真值表AF0110AF14.復合邏輯和常用邏輯“與”、“或”、“非”是三種基本的邏輯關系，任何其它的邏輯關系都是在此基礎上發(fā)展的。與非：全1則0，任0則1。&ABCF或非：任1則0，全0則1。

1ABCF異或：條件A、B有一個具備，另一個不具備，則F發(fā)生。=1ABF4.復合邏輯和常用邏輯4.復合邏輯和常用邏輯與或非：

ABC同或：條件A、B兩個同時具備，或兩個同時不具備時，則F發(fā)生。=1ABFBAABABF⊙=+=CDABF+=

1F&D國標符號慣用符號國外符號ABCF&ABCFABCF≥1ABCF+ABCFABCF1AFAFAF＝1ABFA

BFABF邏輯符號邏輯圖符號標注規(guī)定（GB4728.12-1996）所有邏輯符號都由方框（或方框的組合）和標注在方框內(nèi)的總限定符號組成&總限定符號&11=1外部邏輯狀態(tài)邏輯約定小圈表示邏輯非也可采用極性指示符內(nèi)部邏輯狀態(tài)三種基本邏輯運算：與運算：0?0=00?1=01?0=01?1=1或運算：0+0=00+1=11+0=11+1=1非運算：二、邏輯代數(shù)的基本公式和定理1.基本公式0-1律：A+0=AA+1=1A?0=0A?1=A互補律：對合律：重疊律：1.基本公式交換律結合律分配律A+B=B+AA?B=B?AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA?(B?C)=(A?B)?CA(B+C)=A?B+A?CA+B?C=(A+B)(A+C)普通代數(shù)不適用!1.基本公式吸收律：A+AB=AA(A+B)=AA+B=A+BA(+B)=ABAB+A=A(A+B)(A+)=A

包含律：AB+C+BC=AB+C(A+B)(+C)(B+C)=(A+B)(+C)反演律（DeMorgan定理）：

==+

證明：例如：公式證明及舉例公式證明及舉例證明：例如：1吸收

反演律證明：可以用列真值表的方法證明：提供了一個求反函數(shù)的途徑，是一條重要的定律2、定理邏輯代數(shù)中有三個重要的定理：代入定理、對偶定理和反演定理。

代入定理對偶定理反演定理代入定理代入定理：在任何一個邏輯等式中，若將其中一個邏輯變量全部用另一個邏輯函數(shù)代替，則等式仍然成立。利用代入定理可以把德.摩根定律擴展到含有多個變量的等式，如：

對偶定理對偶式（對偶函數(shù)）：設F是一個邏輯函數(shù)表達式，若將F中的“與”、“或”運算符互換，常量“

1”、“

0”

互換，得到的新表達式叫做F的對偶式（或?qū)ε己瘮?shù)）。對偶定理：若兩個邏輯函數(shù)表達式相等，那么它們的對偶式也一定相等。反演定理反演定理：對于任何一個邏輯函數(shù)式，將其中的“與”、“或”運算符互換，常量“

1”、“

0”

互換，原變量與反變量互換，并且不改變原來的運算順序。所得到的邏輯函數(shù)是原來邏輯函數(shù)的反函數(shù)。例：注意：A＋B＝A＋CA?B=A?C未必有B＝C未必有B＝C邏輯代數(shù)中沒有減法與除法。第1章數(shù)字邏輯基礎1324緒論邏輯函數(shù)的描述方法邏輯代數(shù)基礎邏輯函數(shù)的化簡

5數(shù)制與代碼邏輯函數(shù)的描述方法將輸入、輸出的所有可能狀態(tài)一一對應地列出。例：有三個輸入信號A、B、C，若兩個或兩個以上同時為1時，輸出F為1，否則F為0。一、真值表描述法注意：n個變量可以有2n個組合，一般按二進制的順序，輸出與輸入狀態(tài)一一對應，列出所有可能的狀態(tài)。二、邏輯函數(shù)式描述法邏輯函數(shù)式：把邏輯函數(shù)的輸入、輸出關系寫成與、或、非等邏輯運算的組合式。例：有三個輸入信號A、B、C，若兩個或兩個以上同時為1時，輸出F為1，否則F為0。

=

AB+BC+AC

邏輯函數(shù)表達式的基本形式1．“與–

或”表達式由若干“與項”進行“或”運算構成的表達式。每個“與項”可以是單個變量的原變量或反變量，也可以是多個原變量或反變量相“與”組成。如：“與項”又被稱為“積項”，“與–

或”表達式稱為“積之和”

表達式。2．“或–

與”表達式由若干“或項”進行“與”運算構成的表達式。每個“或項”可以是單個變量的原變量或反變量，也可以是多個原變量或反變量相“或”組成。如：“或項”又被稱為“和項”，“或–

與”表達式稱為“和之積”表達式。

最小項：有n個變量，由它們組成的具有n個變量的乘積項中，每個變量以原變量或反變量的形式出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次，這個乘積項為最小項。n個變量有2n個最小項。例如：n=3，對A、B、C，有8個最小項邏輯函數(shù)的兩種標準形式：標準的“與或”表達式和標準的“或與”表達式。最小項的表示方法為方便起見，將最小項表示為mi。

n=3的8個最小項為：

標準的“與或”表達式任何邏輯函數(shù)均可表示為唯一的一組最小項之和，稱為標準的“與或”表達式某一最小項不是包含在F的原函數(shù)中，就是包含在F的反函數(shù)中。例：

)7,4,3,2()()(4723?=+++=+++=++++=mmmmmCBAABCCBABCACBABCAACCBA

標準的“或與”表達式：

最大項：設有n個變量，由它們組成的具有n個變量的或項，每個變量以原變量或反變量的形式出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次，則稱這個項為最大項。n個變量有2n個最大項。例如：n=3，對A、B、C，有8個最大項。

標準的“或與”表達式：任何一個邏輯函數(shù)均可表示為唯一的一組最大項之積，稱為標準的“或與”表達式。

例如：

標準的“或與”表達式：)4,1,0()()()()()]([)()(410?=··=++·++·++=++··++=++·+=MMMMCBACBACBACBACCBACBABAF最小項和最大項的性質(zhì)對于一個具有n個變量的邏輯問題，在輸入變量的任意一種取值情況下，總有：必有且僅有一個最小項的邏輯值為1；必有且僅有一個最大項的邏輯值為0。任意兩個不同的最小項之積為0；任意兩個不同的最大項之和為1。（i≠j）全體最小項之和恒為1；全體最大項之積恒為0。相同序號的最小項和最大項互為反函數(shù)。最小項和最大項的性質(zhì)將任意邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換為標準“與–或”表達式或標準“或–與”表達式的方法：代數(shù)法和真值表法。1．代數(shù)法轉(zhuǎn)換成“與–或”表達式的步驟分為兩步：第一步：將函數(shù)表達式轉(zhuǎn)換成一般“與–或”表達式。第二步：使用X=X?（Y+）將表達式中所有非最小項的“與項”擴展成最小項。例：

=m0+m1+m3+m6+m7

=

將邏輯函數(shù)化成標準形式的方法轉(zhuǎn)換成“或–

與”表達式的步驟分為兩步：第一步：將函數(shù)表達式轉(zhuǎn)換成一般“或–

與”表達式。第二步：使用A=(A+B)(A+)將表達式中所有非最大項的“或項”擴展成最大項。例：將邏輯函數(shù)化成標準形式的方法

假定在函數(shù)F的真值表中有k組變量取值使F值為0，則函數(shù)F的最大項表達式由這k組變量對應的k個最大項組成。則根據(jù)真值表可寫出最大項表達式：

2．真值表法：由真值表寫邏輯函數(shù)的標準式假定在函數(shù)F的真值表中有k組變量取值使F值為1，則函數(shù)F的最小項表達式由這k組變量對應的k個最小項組成。例：將變換成最小項表達式。解：列出真值表，有四項F為1，根據(jù)真值表可寫出最小項表達式。

A

B

C

F00000010010101101001101111011110將邏輯函數(shù)化成標準形式的方法兩種標準表達式的關系標準“與–或”式和標準“或–與”式是同一邏輯函數(shù)的兩種不同表示形式，因此二者在本質(zhì)上是相等的。兩種標準式中的最小項和最大項序號間存在一種互補關系。有相同自變量和相同序號構成的最小項表達式與最大項表達式互為反函數(shù)。

三、卡諾圖描述法卡諾圖的結構：將n個輸入變量的每個最小項分別用小方格表示，并且將邏輯相臨的最小項放在相臨的幾何位置上，所得到的方格圖就是n變量的卡諾圖?？ㄖZ圖的每一個方塊（最小項）代表一種輸入組合，并且把對應的輸入組合注明在方格圖的上方和左方。

AB

0

101兩變量卡諾圖三、卡諾圖描述法二變量卡諾圖：三變量卡諾圖：AB0101

m0m1m3M2m4m5m7m6

ABC0001111001三變量卡諾圖Ｆ(A,B)=

三、卡諾圖描述法

m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m10

CDAB00011110

00011110

四變量卡諾圖：三、卡諾圖描述法用卡諾圖描述邏輯函數(shù)：

由真值表畫出卡諾圖：將真值表上各行的取值填入卡諾圖上對應的小方格。由邏輯表達式畫出卡諾圖：將邏輯表達式變?yōu)闃藴市问健Ｈ绻亲钚№棻磉_式，則只要將最小項表達式中出現(xiàn)的序號對應的卡諾圖編號填入1即可；如果是最大項表達式，則只要將最大項表達式中出現(xiàn)的序號對應的卡諾圖編號填入0即可。注：非標準形式的邏輯表達式，可直接填寫卡諾圖。三、卡諾圖描述法ABC0001111001F(A,B,C)=m(1,2,4,7)1,2,4,7單元取1，其它取0例：用卡諾圖描述下列函數(shù)相鄰ABCD0001111000011110四變量卡諾圖編號為0010的單元對應于最小項：ABCD=0100時函數(shù)取值函數(shù)取0、1均可，稱為任意項或無關項。相鄰三、卡諾圖描述法例：用卡諾圖描述下列函數(shù)F(A,B,C,D)=四、邏輯圖把相應的邏輯關系用邏輯符號和連線表示出來，就構成了邏輯圖。

1AB

1CD&FF=(A+B)(C+D)第1章數(shù)字邏輯基礎1324緒論邏輯函數(shù)的描述方法邏輯代數(shù)基礎邏輯函數(shù)的化簡

5數(shù)制與代碼邏輯函數(shù)的化簡化簡目的：降低系統(tǒng)成本、減少復雜度、提高可靠性。最簡“與-或”表達式應滿足兩個條件：

表達式中的“與”項個數(shù)最少;

每個“與”項中變量個數(shù)最少。最簡“或–與”表達式應滿足兩