理學(xué)直線的投影

⒉直線在三個投影面中的投影特性投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側(cè)平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面(1)一般位置直線投影特性：

三個投影都縮短了。即:都不反映空間線段的實長及與三個投影面夾角，且與三根投影軸都傾斜。abb

a

b

a

投影面平行線b

a

aba

b

b

aa

b

ba

(2)投影面平行線①在其平行的那個投影面上的投影反映實長，并反映直線與另兩投影面傾角。②另兩個投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸。水平線側(cè)平線正平線γ投影特性：與H面的夾角:α與V面的角:β與W面的夾角:γ實長實長實長βγααβba

aa

b

b

投影面垂直線

反映線段實長。且垂直于相應(yīng)的投影軸。(3)投影面垂直線鉛垂線正垂線側(cè)垂線②另外兩個投影，①在其垂直的投影面上，投影有積聚性。投影特性:●c

(d

)cdd

c

●a

b

a(b)a

b

●e

f

efe

(f

)例題：判斷下列直線的位置二、直線與點的相對位置◆若點在直線上,則點的投影必在直線的同名投影上。并將線段的同名投影分割成與空間相同的比例。即：

◆若點的投影有一個不在直線的同名投影上，則該點必不在此直線上。判別方法：AC/CB=ac/cb=a

c

/c

b

ABCVHbcc

b

a

a定比定理點C不在直線AB上例1：判斷點C是否在線段AB上。abca

b

c

①c

②abca

b

●點C在直線AB上例2：判斷點K是否在線段AB上。a

b

●k

因k

不在a

b

上，故點K不在AB上。應(yīng)用定比定理abka

b

k

●●另一判斷法?三、兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置分為：平行、相交、交叉。⒈兩直線平行投影特性：

空間兩直線平行，則其各同名投影必相互平行，反之亦然。aVHc

bcdABCDb

d

a

abcdc

a

b

d

例1：判斷圖中兩條直線是否平行。

對于一般位置直線，只要有兩個同名投影互相平行，空間兩直線就平行。AB//CD①b

d

c

a

cbadd

b

a

c

對于投影面平行線，只有這兩個同名投影互相平行，空間直線不一定平行。要用兩個投影判斷，其中應(yīng)包括反映實長的投影。求出側(cè)面投影后可知：AB與CD不平行。例2：判斷圖中兩條直線是否平行。②求出側(cè)面投影如何判斷？HVABCDKabcdka

b

c

k

d

abcdb

a

c

d

kk

⒉兩直線相交判別方法：

若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影規(guī)律。交點是兩直線的共有點●●cabb

a

c

d

k

kd例：過C點作水平線CD與AB相交。先作正面投影d

b

a

abcdc

1

(2

)3(4)⒊兩直線交叉投影特性：★同名投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點的投影規(guī)律?！铩敖稽c”是兩直線上的一對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。●●Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影點，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影點。為什么？12●●3

4

●●兩直線相交嗎？⒋兩直線垂直相交（或垂直交叉）直角的投影特性：

若直角有一邊平行于投影面，則它在該投影面上的投影仍為直角。設(shè)直角邊BC//H面因BC⊥AB,同時BC⊥Bb所以BC⊥ABba平面直線在H面上的投影互相垂直即∠abc為直角因此bc⊥ab故bc⊥ABba平面又因BC∥bcABCabcHa

c

b

abc.證明：d

abca

b

c

●●d例：過C點作直線與AB垂直相交。AB為正平線,正面投影反映直角。.

小結(jié)

★點與直線的投影特性，尤其是特殊位置直線的投影特性。★點與直線及兩直線的相對位置的判斷方法及投影特性。★定比定理。★直角定理，即兩直線垂直時的投影特性。重點掌握：一、點的投影規(guī)律aaZayayaXYYO

●●●xa

za①a

a⊥OX軸②aax=a

az=y=A到V面的距離a

ax=a

ay=z=A到H面的距離aay=a

az=x=A到W面的距離

a

a

⊥OZ軸二、各種位置直線的投影特性⒈一般位置直線三個投影與各投影軸都傾斜。⒉投影面平行線

在其平行的投影面上的投影反映線段實長及與相應(yīng)投影面的夾角。另兩個投影平行于相應(yīng)的投影軸。⒊投影面垂直線

在其垂直的投影面上的投影積聚為一點。另兩個投影反映實長且垂直于相應(yīng)的投影軸。三、直線上的點⒈點的投影在直線的同名投影上。⒉點分線段成定比，點的投影必分線段的投影成定比——定比定理。四、兩直線的相對位置⒈平行⒉相交⒊交叉（異面）

同名投影互相平行。

同名投影相交，交點是兩直線的共有點，且符合空間一個點的投影規(guī)律。

同名投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點的投影規(guī)律。“交點”是兩直線上一對重影點的投影。五、相互垂直的兩直線的投影特性⒈兩直線同時平行于某一投影面時，在該投影面上的投影反映直角。⒉兩直線中有一條平行于某一投影面時，在該投影面上的投影反映直角。⒊兩直線均為一般位置直線時，在三個投影面上的投影都不反映直角。直角定理2.4平面的投影一、平面的表示法●●●●●●abca

b

c

不在同一直線上的三個點●●●●●●abca

b

c

直線及線外一點abca

b

c

●●●●●●d●d

●兩平行直線abca

b

c

●●●●●●兩相交直線●●●●●●abca

b

c

平面圖形二、平面的投影特性平行垂直傾斜投影特性★平面平行投影面-----投影就把實形現(xiàn)★

平面垂直投影面-----投影積聚成直線

★平面傾斜投影面-----投影類似原平面實形性類似性積聚性⒈平面對一個投影面的投影特性⒉平面在三投影面體系中的投影特性平面對于三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面與三個投影面都傾斜

正垂面

側(cè)垂面

鉛垂面

正平面

側(cè)平面

水平面投影面垂直面abca

c

b

c

b

a

⒈投影面垂直面類似性類似性積聚性鉛垂面投影特性：

在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。

另外兩個投影面上的投影有類似性。為什么？γβ是什么位置的平面？投影面平行面a

b

c

a

b

c

abc⒉投影面平行面積聚性積聚性實形性水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實形。

另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。一般位置平面a

b

c

a

c

b

abc⒊一般位置平面三個投影都類似。投影特性：三、平面上的直線和點判斷直線在平面內(nèi)的方法

定理一若一直線過平面上的兩點，則此直線必在該平面內(nèi)。定理二若一直線過平面上的一點，且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。⒈平面上取任意直線abcb

c

a

abcb

c

a

d

mnn

m

d例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線。解法一解法二根據(jù)定理二根據(jù)定理一有多少解？有無數(shù)解。例2：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到

H面的距離為10mm。n

m

nm10c

a

b

cab

唯一解！有多少解？⒉平面上取點

先找出過此點而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。例1：已知K點在平面ABC上，求K點的水平投影。b①acc

a

k

b

●k●

面上取點的方法：首先面上取線②●abca

b

k

c

d

k●d利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線求解bckada

d

b

c

ada

d

b

c

k

bc例2：已知AC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形

ABCD的水平投影。解法一解法二2.5直線與平面及兩平面的相對位置相對位置包括平行、相交和垂直。一、平行問題

直線與平面平行

平面與平面平行包括⒈直線與平面平行定理：

若一直線平行于平面上的某一直線，則該直線與此平面必相互平行。n

●●a

c

b

m

abcmn例1：過M點作直線MN平行于平面ABC。有無數(shù)解有多少解？正平線例2：過M點作直線MN平行于V面和平面

ABC。c

●●b

a

m

abcmn唯一解n

⒉兩平面平行①若一平面上的兩相交直線對應(yīng)平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。②若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。f

h

abcdefha

b

c

d

e

c

f

b

d

e

a

abcdef二、相交問題直線與平面相交平面與平面相交⒈直線與平面相交

直線與平面相交，其交點是直線與平面的共有點。要討論的問題：●求直線與平面的交點。

●

判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可見性。

我們只討論直線與平面中至少有一個處于特殊位置的情況。abcmnc

n

b

a

m

⑴平面為特殊位置例：求直線MN與平面ABC的交點K并判別可見性?？臻g及投影分析

平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點即為K點的水平投影。①求交點②判別可見性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上k

n

為可見。還可通過重影點判別可見性。k

●1

(2

)作圖k●●2●1●km(n)b●m

n

c

b

a

ac⑵直線為特殊位置空間及投影分析

直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個點，故交點K的水平投影也積聚在該點上。①求交點②判別可見性

點Ⅰ位于平面上，在前；點Ⅱ位于MN上，在后。故k

2

為不可見。1

(2

)k

●2●1●●作圖用面上取點法⒉兩平面相交

兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時交線上的點都是兩平面的共有點。要討論的問題：①求兩平面的交線方法：⑴確定兩平面的兩個共有點。⑵確定一個共有點及交線的方向。

只討論兩平面中至少有一個處于特殊位置的情況。②判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即：

判別可見性。可通過正面投影直觀地進(jìn)行判別。abcdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)空間及投影分析

平面ABC與DEF都為正垂面，它們的正面投影都積聚成直線。交線必為一條正垂線，只要求得交線上的一個點便可作出交線的投影。①求交線②判別可見性作圖

從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。n●m●●能否不用重影點判別？能!如何判別？例：求兩平面的交線MN并判別可見性。⑴b

c

f

h

a

e

abcefh1(2)空間及投影分析

平面EFH是一水平面，它的正面投影有積聚性。a

b

與e

f

的交點m

、b

c

與f

h

的交點n

即為兩個共有點的正面投影，故m

n

即MN的正面投影。①求交線②判別可見性點Ⅰ在FH上，點Ⅱ在BC上，點Ⅰ在上，點Ⅱ在下，故fh可見，n2不可見。作圖m●●n

●2

●n●m

●1

●⑵c

d

e

f

a

b

abcdef⑶投影分析N點的水平投影n位于Δdef的外面，說明點N位于ΔDEF所確定的平面內(nèi)，但不位于ΔDEF這個圖形內(nèi)。所以ΔABC和ΔDEF的交線應(yīng)為MK。n●n

●m

●k●m●k

●互交

小結(jié)

重點掌握：二、如何在平面上確定直線和點。三、兩平面平行的條件一定是分別位于兩平面內(nèi)的兩組相交直線對應(yīng)平行。四、直線與平面的交點及平面與平面的交線是兩者的共有點或共有線。解題思路：★空間及投影分析目的是找出交點或交線的已知投影?！锱袆e可見性尤其是如何利用重影點判別。一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。要點一、各種位置平面的投影特性⒈一般位置平面⒉投影面垂直面⒊投影面平行面三個投影為邊數(shù)相等的類似多邊形——類似性。在其垂直的投影面上的投影積聚成直線

——積聚性。另外兩個投影類似。

在其平行的投影面上的投影反映實形

——實形性。另外兩個投影積聚為直線。二、平面上的點與直線⒈平面上的點一定位于平面內(nèi)的某條直線上⒉平面上的直線⑴過平面上的兩個點。⑵過平面上的一點并平行于該平面上的某條直線。三、平行問題⒈直線與平面平行直線平行于平面內(nèi)的一條直線。⒉兩平面平行必須是一個平面上的一對相交直線對應(yīng)平行于另一個平面上的一對相交直線。四、相交問題⒈求直線與平面的交點的方法⑴一般位置直線與特殊位置平面求交點，利用交點的共有性和平面的積聚性直接求解。⑵投影面垂直線與一般位置平面求交點，利用交點的共有性和直線的積聚性，采取平面上取點的方法求解。⒉求兩平面的交線的方法⑴兩特殊位置平面相交，分析交線的空間位置，有時可找出兩平面的一個共有點，根據(jù)交線的投影特性畫出交線的投影。⑵一般位置平面與特殊位置平面相交，可利用特殊位置平面的積聚性找出兩平面的兩個共有點，求出交線。2.6換面法一、問題的提出★如何求一般位置直線的實長？★如何求一般位置平面的真實大小？

換面法：物體本身在空間的位置不動，而用某一新投影面（輔助投影面）代替原有投影面，使物體相對新的投影面處于解題所需要的有利位置，然后將物體向新投影面進(jìn)行投射。解決方法：更換投影面。VHABa

b

ab二、新投影面的選擇原則1.新投影面必須對空間物體處于最有利的解題位置。

平行于新的投影面

垂直于新的投影面2.新投影面必須垂直于某一保留的原投影面，以構(gòu)成一個相互垂直的兩投影面的新體系。Pa1b1VHAa

a

axX

⒈更換一次投影面

舊投影體系X—VH

新投影體系P1HX1—A點的兩個投影：a，a

A點的兩個投影：a，a1⑴新投影體系的建立三、點的投影變換規(guī)律X1P1a1ax1

VHXP1HX1a

aa1

axax1.ax1

VHXP1HX1a

aa1VHA

a

axXX1P1a1ax1

⑵新舊投影之間的關(guān)系

aa1

X1

a1ax1=a

ax

點的新投影到新投影軸的距離等于被代替的投影到原投影軸的距離。axa

一般規(guī)律：

點的新投影和與它有關(guān)的原投影的連線，必垂直于新投影軸。.

XVHaa

ax更換H面⑶求新投影的作圖方法

VHXP1HX1

由點的不變投影向新投影軸作垂線，并在垂線上量取一段距離，使這段距離等于被代替的投影到原投影軸的距離。aa

X1P1H

a1axax1ax1更換V面●a1作圖規(guī)律：

..⒉更換兩次投影面先把V面換成平面P1，P1H，得到中間新投影體系:P1HX1—再把H面換成平面P2，P2

P1，得到新投影體系:X2—P1P2⑴新投影體系的建立按次序更換AaVHa

axXX1P1a1ax1

P2X2

ax2a2

ax2

a

aXVH

⑵求新投影的作圖方法

a2X1HP1X2P1P2

作圖規(guī)律

a2a1X2軸

a2ax2=aax1a1

axax1

..VHABa

b

ab四、換面法的四個基本問題1.把一般位置直線變換成投影面平行線用P1面代替V面，在P1/H投影體系中，AB//P1。X1HP1P1a1b1空間分析：

換H面行嗎？不行！作圖：例：求直線AB的實長及與H面的夾角。a

b

abXVH新投影軸的位置？a1●b1●與ab平行。

.a1●b1●VHa

aXBb

bA2.把一般位置直線變換成投影面垂直線空間分析：a

b

abXVHX1H1P1P1P2X2作圖：X1P1a1b1X2P2二次換面把投影面平行線變成投影面垂直線。X2軸的位置？

a2b2ax2a2b2

.與a1b1垂直一次換面把直線變成投影面平行線；

一般位置直線變換成投影面垂直線，需經(jīng)幾次變換？

a

b

c

abcdVHABCDX

d

3.把一般位置平面變換成投影面垂直面

如果把平面內(nèi)的一條直線變換成新投影面的垂直線，那么該平面則變換成新投影面的垂直面。P1X1c1b1a1

d1空間分析：

在平面內(nèi)取一條投影面平行線，經(jīng)一次換面后變換成新投影面的垂直線，則該平面變成新投影面的垂直面。作圖方法：兩平面垂直需滿足什么條件？能否只進(jìn)行一次變換？

思考：若變換H面，需在面內(nèi)取什么位置直線？正平線！αa

b

c

acbXVH例：把三角形ABC變換成投影面垂直面。HP1X1作圖過程：★在平面內(nèi)取一條水平線AD。d

d★將AD變換成新投影面的垂直線。d1●a1d1●c1●

反映平面對哪個投影面的夾角？.a1

b1●需經(jīng)幾次變換？一次換面,把一般位置平面變換成新投影面的垂直面；二次換面，再變換成新投影面的平行面。X2P1P24.把一般位置平面變換成投影面平行面aba

c

b

XVHc作圖：AB是水平線空間分析：a2●c2●b2●c1●X2軸的位置？平面的實形.X1HP1.與其平行b1

距離dd1X1HP1X2P1P2c2

d

例1：求點C到直線AB的距離，并求垂足D。c

c

b

a

abXVH

五、換面法的應(yīng)用

如下圖：當(dāng)直線AB垂直于投影面時，CD平行于投影面，其投影反映實長。APBDCca

b

d作圖:

求C點到直線AB的距離，就是求垂線CD的實長。空間及投影分析：c1

a1

a2

b2

d2

過c1作線平行于x2軸。...如何確定d1點的位置？b

a

abcd●c

例2：已知兩交叉直線AB和CD的公垂線的長度為MN，且AB為水平線，求CD及MN的投影。MN●m

●d

●a1≡b1≡m1●n1●c1●d1●n空間及投影分析：VHXHP1X1圓半徑=MN●n

●m

當(dāng)直線AB垂直于投影面時，MN平行于投影面，這時它的投影m1n1=MN,且m1n1⊥c1d1。P1ACDNMc1d1a1m1b1n1B作圖：請注意各點的投影如何返回？求m點是難點。..空間及投影分析：AB與CD都平行于投影面時，其投影的夾角才反映實角（60°），因此需將AB與C點所確定的平面變換成投影面平行面。例3: