理學有限元講稿

1彈性力學研究基本內容

彈性力學和材料力學的任務是相同的，都是分析各種工程結構或構件在彈性階段的應力和位移變化情況。

但彈性力學研究的問題比材料力學更為廣泛和深入，研究方法(數(shù)學方法)更為嚴密。如在材料力學中，梁的彎曲問題，需引入平截面的假設，而在彈性力學中可以給出梁彎曲的精確解，并檢查上述假設的有效性。在工程中的應力集中問題，只能采用彈性力學分析方法加以解決。材料力學只研究一些簡單的結構(如桿件、梁、柱構件等)，是彈性力學的一種特例。第二章彈性力學基礎2彈性力學基本假設(比材料力學更為廣泛與普遍)(1)、假設物體是完全彈性的；應力-應變關系為線性（正比）的，即服從虎克定律。(2)、假設物體是連續(xù)的；應力、應變、位移是連續(xù)變量；用坐標的連續(xù)函數(shù)來表示它們的變化規(guī)律。(3)、假設物體是均勻的整個物體由同一材料組成；物體內部任一點的力學性能都是完全相同的。(4)、假設物體是各向同性的

物體的各向同性是指在物體內的每一點處；沿所有方向上的物理性質都是相同的。

凡是符合上述四個假設的物體，稱為理想彈性體。

第二章彈性力學基礎3彈性力學基本假設(5)、假設位移和變形是微小的物體在載荷或溫度變化等外界因素作用下，整個物體內每點的位移都遠小于物體原來的尺寸，因而應變和轉角都遠小于1。

應該指出，小變形的概念是相對而言的，如對（幾十米或上百米）橋梁、高層建筑等，在外載作用下會產(chǎn)生較大的（可見）變形和位移，但與其結構尺寸仍屬于小變形的研究范疇。線彈性力學：是目前理論嚴密、體系較完整，在工程中廣泛應用的、進行結構受力分析的基本理論。第二章彈性力學基礎4彈性力學中的基本概念

(1)、外力

作用于物體上的外力可以分為體積力和表面力，分別簡稱為體力和面力。

“體力”是指分布在物體整個體積內部的力，如重力和慣性力等，體力的量綱為[力][長度]-3

(a)。

“面力”是指分布在物體表面上的力，如流體壓力、物體間接觸力和分布載荷等。面力的量綱為[力][長度]-2(b)。第二章彈性力學基礎5彈性力學中的基本概念

(2)、應力

物體受到外力的作用，或溫度發(fā)生變化，其內部將產(chǎn)生內力。對物體內部任一點受力狀態(tài)：

a、如何表示？b、用幾個參量表示？

為了分析物體內任一點的內力狀態(tài)，采用截面法（研究內力的基本方法）圍繞該點取出一個微元體dxdydz。由于與該點處物體材料的強度直接相關的內力，是微元體表面的法向和切向力的分量(指單位面積上的力)，所以將微元體每一個面上的內力分解為一個正應力和兩個剪應力。第二章彈性力學基礎6應力(1)：正應力+剪切應力7應力(2):

切割平面應力分量yfaceydirectionyfacexdirectionyfacezdirectionxyz對其余的(x,z)2個面進行同樣操作:定義3x3=9應力分量：3個正應力、6個剪切應力8應力(2):剪切應力對稱性xyz微元立方體的力矩平衡要求剪切應力分量必須是對稱的:9應力分量中只有6個是獨立的。寫成“張量”的形式：作用在Z面的應力分量F=9彈性力學中的基本概念

(3)、應變

物體受力作用后，其形狀和尺寸將發(fā)生變化，這種變化歸結為長度和角度的改變。同樣有物體內部任一點變形：

a、如何表示？b、用幾個參量表示？

與分析應力狀態(tài)的方法類似，選取一微元立方體進行變形狀態(tài)分析，與應力分量相對應：

正應力

正應變剪切應力

剪切應變第二章彈性力學基礎10應變(1)對稱應變張量：三個正應變、三個剪切應變正應力

拉伸

正應變

剪切11彈性力學中的基本概念

(4)、位移

位移就是物體中任一點位置的移動距離。在物體內任一點的位移，用其在x,y,z坐標軸上的投影u,v,w表示該點處的位移分量，沿坐標軸正向移動為正，負方向移動為負。位移的量綱為[長度]。第二章彈性力學基礎12彈性平面問題的基本方程

對任何一個彈性物體而言，都是三維的空間問題。但在工程實際中，我們可以根據(jù)研究對象的具體情況進行具體分析，把空間問題簡化為近似的平面問題，因為實際的三維問題確實很復雜。這樣簡化可以大大減少問題復雜性和計算工作量，并使問題能夠求解，獲得滿足工程精度要求的結果。彈性平面問題主要分為兩類：1、平面應力問題2、平面應變問題

第二章彈性力學基礎13(1)平面應力問題

在工程中經(jīng)常存在厚度尺寸與長度和寬度比較很小板狀結構體，這類物體只在板邊受有平行于板平面的外力，且外力沿厚度方向不變，體力也平行于板面并且不沿厚度變化。

第二章彈性力學基礎14(1)平面應力問題

對這類問題，假設薄板的厚度為t，以板厚度的中面為xy坐標平面，垂直于板平面方向為z軸，由于板表面不受力，其表面應力分量必為零：第二章彈性力學基礎(

z)z=

t/2=0,(

zx)z=

t/2=0,(

zy)z=

t/2=015平面應力2-D變形的理想情況，應力狀態(tài)：3-D應力-應變狀態(tài)，簡化為一個較簡單的2-D數(shù)學模型；有用的理想化處理對遠離裂紋前緣的“薄”金屬結構；簡化的Hooke定律；and...yxzInvert…16(2)平面應變問題

與上述情況相反，在工程中又會存在截面不變化但長度很長的柱形結構體，它們只受到平行于截面、并且沿長度不變化的體力和面力：第二章彈性力學基礎17(2)平面應變問題

對這類問題，假設該柱狀結構體為無限長，以任意橫截面為xy坐標平面，垂直于截面沿柱長度方向為z軸，則所有的應力、應變和位移分量僅為x,y的函數(shù)，不隨z方向變化。第二章彈性力學基礎w=0；

z=

zx=

zy=0

18平面應變2-D變形的理想情況，應變狀態(tài)：3-D應力-應變狀態(tài)，簡化為一個較簡單的2-D數(shù)學模型；有用的理想化處理對裂紋前緣的“約束”條件遠離邊界處；簡化的Hooke定律；yxzxyand...Invert…19(3)平衡微分方程

在彈性力學分析中從三方面考慮建立控制方程：第二章彈性力學基礎1、靜力平衡微分方程(應力參量之間關系)；2、幾何方程(應變參量與位移參量之間關系)；3、物理方程(應力和應變的關系)；20(3)平衡微分方程

基本研究思路：從彈性體中任一點取出一個微元體，根據(jù)靜力平衡條件就可以推導出平衡微分方程。由靜力學可知，物體中任一點的平衡條件為：①

Fx=0,②

Fy=0,③

Mo=0。假設從平面問題中任選一微元體。微元體在x,y方向的尺寸分別為dx,dy，在z方向的厚度為t。第二章彈性力學基礎21(3)平衡微分方程

第二章彈性力學基礎由泰勒級數(shù)展開公式可得：22(3)平衡微分方程

第二章彈性力學基礎23(3)平衡微分方程

第二章彈性力學基礎①

Fx=0①②③④⑤①②③④⑤24平衡微分方程xy同樣可以包括體力

Xb

和

Yb25(4)幾何方程第二章彈性力學基礎考慮平面問題的幾何關系，推導應變分量和位移分量的關系，即平面問題的幾何方程。假設在彈性體中任選一點P，沿x和y方向取兩個微小線段PA=dx和PB=dy，如圖所示，在外力作用下，P,A,B三點分別移動到P’,A’,B’。26(4)幾何方程第二章彈性力學基礎正應變

xx和

yy與位移分量u,v的關系。設P點移動至P’點位移為u，則A點的位移由于坐標x的變化為：

27(4)幾何方程第二章彈性力學基礎這樣PA線段的正應變?yōu)椋?/p>

28(4)幾何方程第二章彈性力學基礎同樣可得PB線段的正應變?yōu)椋?/p>

29(4)幾何方程第二章彈性力學基礎剪應變與位移分量的關系，即PA和PB線段之間直角的變化。設P點在y方向的位移為v，則A點由于x的變化在y方向的位移為：

30(4)幾何方程第二章彈性力學基礎這樣，PA線段的轉角為：

31(4)幾何方程第二章彈性力學基礎同樣可得PB線段的轉角為：

32(4)幾何方程第二章彈性力學基礎PA和PB線段之間的直角改變（減小為正），即剪應變

xy=

yx的大小為：

33(4)幾何方程第二章彈性力學基礎當物體的位移分量u,v完全確定后，應變分量也就完全確定了。但反過來，當應變分量確定后，其對應的位移分量并不能完全確定。因為物體的位移分量由兩個因素引起：一是物體做剛性運動引起的；二是物體在外力作用下變形引起的。有位移的物體不一定有變形，即剛性位移并不產(chǎn)生應變（應力），產(chǎn)生應變（應力）的物體同樣可以做剛性運動。但要對物體進行受力分析，必須給定位移約束條件。

34(5)物理方程第二章彈性力學基礎彈性體內應力分量和應變分量之間的關系式稱為物理方程，只有將應力和變形聯(lián)系起來才能進行彈性結構的受力分析。實驗表明對完全彈性的各向同性體，應力和變形之間呈線性變化規(guī)律，在材料力學中根據(jù)廣義虎克定律（Hookelaw）可推導出如下關系：

35Hooke定律(1)材料是各項同性的(與方向無關)應力-應變是線性相關的；應變是微小的(采用線性應變-位移關系)；法向和剪切變形模式之間相互不偶合；從物理觀察推導出唯象定律；E:(Robert)楊氏模量

:泊松比

+熱+蠕變+殘余+...36Hooke定律(2)測量彈性常數(shù)轉換為用應變表示的應力關系E:(Robert)Young’s modulus

:Poisson’sratio3-DCase37(5)物理方程第二章彈性力學