2021年浙江省高考數(shù)學(xué)考前沖刺試卷二

2021年浙江省高考數(shù)學(xué)考前沖刺試卷（2）

一、單選題（本大題共10小題，共40.0分）

1.已知集合4=｛（x,y）|x+y=1,x,yeR｝,B=｛（x,y）|x2+y2=5,x,yeZ）,

則anB中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.2C.1D.0

2.復(fù)數(shù)z=工轟的虛部和實(shí)部的平方和是（）

A.1B.|C.|D.i

3.若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件x+yW1,則z=x+2y的取值范圍是（）

（y>-1

A.[-3,|]B.[-3,3]C.[|<3]D.[-3,-|]

4.函數(shù)y=/譏%勿工的圖象大致為（）

A

5.已知某幾何體的正視圖和俯視圖如圖所示，網(wǎng)格中小正方形的邊長為I,若該幾何

體的側(cè)視圖和正視圖相同，則該幾何體的體積為（）

A.28-3兀B.28C.84-3TTD.84

6.設(shè)?n6R,則“1WznW2"是"直線I：x+y—m=。和圓C：x2+y2—2x—4y+

m+2=0有公共點(diǎn)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知等差數(shù)列{an}的前”項(xiàng)和為％,若55=15,且％,a2,03+1成等比數(shù)列,則

（）

A.%=0,Si。=45B.%=0,S10=90

C.%—1,S10—100D.囪=1,Si。=55

8.已知橢圓C：A+《=l（a>b>0）和點(diǎn)M（貯產(chǎn),0）.若存在過點(diǎn)M的直線交C于P,

。兩點(diǎn)，滿足麗=，祈0（0<；1<},則橢圓C的離心率取值范圍是（）

A.（0號(hào)B.弓凈C.（苧,1）D.喙1）

9,設(shè)正數(shù)"?，"，u=今n，v2=m2+n2+mn,則（孑產(chǎn)的最大值是（）

A.-B.：C.：D.1

432

10.已知非空集合4￡R,設(shè)集合S={x+y\x&A,yE4且xy],T={x-y\xeA,yE

4且x>y}.分別用|川、|S|、|T|表示集合A、S、T中元素的個(gè)數(shù)，則下列說法不正

確的是（）

A.若=4,則|S|+|T|>8

B.若I*=4,則|S|+|T|<12

C.若圈=5,則|S|+|T|可能為18

D.若|*=5,則|S|+|7|不可能為19

二、單空題（本大題共7小題，共36.0分）

第2頁，共19頁

JI

11.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛an｝的前“項(xiàng)和為S，若$5=16(曰+：+'+、+則。3=

12.如圖，在棱長為4的正方體力BCD-AiBiQDi中,

M是棱4遇上的動(dòng)點(diǎn)，N是棱8c的中點(diǎn).當(dāng)平面

Z\MN與底面ABCD所成的銳二面角最小時(shí)，

.

13.已知△ABC是邊長為2的正三角形，平面上兩動(dòng)點(diǎn)O,P滿足而=A1OA+A2'OB+

%沆+%+%=1且及，A2>取20).若|而|=1，則瓦乙南的最大值為

14.若(a+x)n的展開式中工2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為10,則71=;若展開式中的常

數(shù)項(xiàng)為-32,則實(shí)數(shù)。的值為.

15.已知sin(a+弓)=[,則cos?—a)=,sin2a=.

16.已知P(6,6),。是拋物線C：y2=2p%(p>0)上兩點(diǎn)，P0(0為坐標(biāo)原點(diǎn))的延長線

與拋物線C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M,且MQ〃x軸，則拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,直

線PQ的斜率為.

17.某盒中有9個(gè)大小相同的球，分別標(biāo)號(hào)為1,2,9,從盒中任取3個(gè)球，則取

出的3個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和能被3整除的概率是；記f為取出的3個(gè)球的標(biāo)號(hào)之

和被3除的余數(shù)，則隨機(jī)變量《的數(shù)學(xué)期望E(f)=.

三、解答題(本大題共5小題，共74.0分)

18.已知△4BC的內(nèi)角，A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且百asinB+bcosA=2b.

(I)求角A的大小；

(11)若6+?=6,且△ABC的面積S=2百，求”.

19.已知四邊形ABC。，/.ABC=^CAD=90,AB=BC=—AD，將△ABC沿AC翻折

2

至△「女.

(I)若PA=PC,求證：AP1CD；

(n)若二面角P-AC-。的余弦值為一右求PD與面PAC所成角的正弦值.

n,n為奇數(shù)

20.已知數(shù)列｛即｝的前"項(xiàng)和為%，且％=

.n2,n為偶數(shù)

(1)求。2,。3及通項(xiàng)公式為I；

⑺記匕=an+an+1,求數(shù)列｛2時(shí)1?匕｝的前2〃項(xiàng)的和0-

21.如圖，已知拋物線y2=2px(p>0),過點(diǎn)P(zn,0)(m>0)的直線交拋物線于A,B

兩點(diǎn)，過點(diǎn)8作拋物線的切線交)，軸于點(diǎn)M,過點(diǎn)A作AN平行PM交y軸于點(diǎn)N,

交直線于點(diǎn)Q.

第4頁，共19頁

(1)若p=m=1,求|/B|的最小值;

(2)若A40B的面積為SrAMNQ的面積為S2，求之的值.

22.已知函數(shù)f(x)=alnx+%24-%.

(1)若/(%)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若函數(shù)F(%)=f(x+1)-3%-2有兩個(gè)極值點(diǎn)%1，小，且%1<%2,求證：F%)+

G一仇2)%i>0.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：:集合A={(x,y)|x+y=1,x,y&R],B={(x,y)|x2+y2=5,x,yeZ],

(x4-v=1

??.4nB={(x,y)|小工2-J=KT2),(2,-1)).

???an8中元素的個(gè)數(shù)為2.

故選：B.

求出anB={(x,y)|2J2_3={(-1，2)，(2,-1)}.由此能求出408中元素的個(gè)數(shù).

\X十y-D

本題考查集合的運(yùn)算，考查交集、方程組的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)

核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：復(fù)數(shù)z=A斤黑繆六=薩需=一乎+、的虛部和實(shí)部分

1-2V21(l-2V2l)(l+2V2l)12+(2V2)233

別為：[，——，

33

虛部和實(shí)部的平方和=(|)2+(一竽)2=1.

故選：A.

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部與實(shí)部的定義即可得出.

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部與實(shí)部的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

3.【答案】3

【解析】解：由約束條件作出可行域如圖,

第6頁，共19頁

聯(lián)立｛；；；=「解得吟3

作出直線％+2y=0,由圖可知，平移直線％+2y=0至4時(shí)，z=%+2y取最小值為

-1-2=-3,

至8時(shí)，z=x+2y取最大值為g+2x3=|.

???z=x+2y的取值范圍是

故選：A.

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最

優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.

本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

4.【答案】C

【解析】解：當(dāng)x=0時(shí)，y=0,排除8,D,

/(-%)=e-slnx-(-sinx)力f⑺,且/(一式)*f(x),即f(x)為非奇非偶函數(shù)，

/(x+-)=esmg+x).sm(x+藥)=6的電”》是偶函數(shù)，則f(x)關(guān)于％=三對(duì)稱，排除A,

故選：C.

利用/(0)=0,以及函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行判斷排除即可.

本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，利用函數(shù)的對(duì)稱性以及函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系利用排

除法是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：

該幾何體為一個(gè)底面分別邊長為2和4的正方形，

高為3的正四棱臺(tái)挖去一個(gè)半徑為1,高為3的圓柱組成的組合體，

故V=：x(42+V42x22+22)x3—兀?#*3=28—3兀.

故選：A.

首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖，進(jìn)一步利用割補(bǔ)法的應(yīng)用求出幾何體的體積.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三視圖和兒何體的直觀圖之間的轉(zhuǎn)換，兒何體的體積公式的應(yīng)用，

主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：圓的圓心C(1,2),半徑r=.4+16—4(m+2)=

圓心C到直線的距離d=更等=邑券

V2V2

?；直線與圓有公共點(diǎn)，idWr,

即<\/3—m,1<Tn<3.

vJ2'

"[1,2]:[1.3],

1<m<2是直線x+y-m=0與圓M+y2-2x-4y+m+2-0有公共點(diǎn)的充分

不必要條件.

故選：A.

由直線與圓的位置關(guān)系可得dSr,可解得ISmW3,由[1,2]曙[1.3],可得結(jié)論.

本題考查充要條件的判斷，涉及直線與圓的位置關(guān)系，從集合的包含關(guān)系入手是解決問

題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：設(shè)等差數(shù)列｛a.｝的公差為心

由S5=15,且％,a2,a3+1成等比數(shù)列，

得[5%+平d=15,即產(chǎn)+2g=3

+d)2=Qi(%+2d+1)31—d

解得:｛?；或自二?

結(jié)合選項(xiàng)可知，。1=1,則d=1,

故選：D.

設(shè)等差數(shù)列的公差為乩由已知列關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程組，求得首項(xiàng)與公差，則Si。

可求，答案可求.

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：設(shè)T(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn)，

則=(x_￡.)2+y2=￡_X2_2￡_x+?+爐，

對(duì)稱軸為x=a,所以|TM『在xe[-a,a]上單調(diào)遞減，

設(shè)4i(一a,0),A2^a,0),由題意可知，只要管即可，

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則需I可得：好(點(diǎn)即標(biāo)<3,2,所以曰<e<l，

故選：C.

設(shè)7(x,y)為橢圓上的一點(diǎn)，求出根據(jù)其單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為解<3其中

A^-a,0),A2(a,0),得出a,c的關(guān)系式,由此即可求解.

本題考查了橢圓的性質(zhì)，考查了學(xué)生的運(yùn)算推理能力，屬于中檔題.

9.【答案】B

【解析】解：(與2=(嚶產(chǎn)="M+2mn=l+lx吧!,

m2+n2+mn4m2+n2+mn44m2+n2+mn

m

法一：令t=則原式=：+；X產(chǎn)、2nm=；+：X也二1(%=t)=：+：X—i—w：+

n44(—)2+—+144t2+t+ln44t+-+l4

—1=-1?

123,

當(dāng)且僅當(dāng)t=3即t=l，rn=n時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最大值/

、，一.

法二：原式Y(jié)1,+11,1,+1有1，1，

nm

當(dāng)且僅當(dāng);=￡,即nt=n時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最大值

故選：B.

法一：先對(duì)己知式子進(jìn)行變形，然后進(jìn)行換元令t=三代入后結(jié)合基本不等式即可求

解；

法二：把M,V代入后，分子分母同時(shí)除以加7,然后結(jié)合基本不等式可求.

本題主要考查了利用基本不等式求解最值，解題的關(guān)鍵是應(yīng)用條件的配湊.

10.【答案】D

【解析】解：當(dāng)|川=4時(shí)，分兩種情況如下，

①不考慮重復(fù)情況時(shí)：|S|S第=6,|7|S盤=6,

???\S\+\T\<12,

②考慮重復(fù)情況時(shí)：例如A={1,2,3,4}時(shí)，

S={3,4,5,6,7),7={1,2,3},二|S|+⑺28,二4,B正確.

當(dāng)|川=5時(shí)，分兩種情況如下，

①不考慮重復(fù)情況時(shí)：|S|<Cl=10,\T\<Cl=10,

???\S\+|T|<20,

②考慮重復(fù)情況時(shí)，例如4={1,2,3,5,10}時(shí)，

S={3,4,5,6,7,8,11,12,13,15},7={1,2,3,4,5,7,8,9},|S|+|7|=18,

■■C正確，

例如4={1,2,4,6,16}時(shí)，

S={3,5,6,7,8,10,17,18,20,22},T={1,2,3,4,5,10,⑵14,15},\S\+|T|=19,

'''D正確.

故選：D.

由題中所給的定義分別計(jì)算|S|,|7|值范圍，不重復(fù)時(shí)，利用組合計(jì)算，重復(fù)時(shí)舉實(shí)例

列舉出來，即可得出結(jié)論.

本題主要考查了集合中新定義，考查了推理分析問題的能力，是中檔題.

11.【答案】4

【解析】解:根據(jù)題意,設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為g,若55=16(t+^+.+/+/

則有(%+a2+a3+a4+a5)=16(高+,+.+*+?

即&3娘+亍+i+q+q2)=1(城+亍+1+勺+q2),

變形可得試=16,又由{時(shí)}為正項(xiàng)等比數(shù)列，

則=4,

故答案為：4.

根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列{斯}的公比為夕，若取=16什+5+^■+今+：),由等比數(shù)列

ala2a3a4a5

的通項(xiàng)公式可得。3弓+：+1+q+q2)=中&+：+1+q+q2),變形解可得答案.

qqqq

本題考查等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和的計(jì)算，涉及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案W

【解析】解：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如

圖所示，

設(shè)AM=k,則￡>i(0,0,4),C(0,4,0),N(2,3,0),M(4,0,

k),

所以印i=(4,0,k-4),O=(2,4,-4).

設(shè)平面DiMN的法向量為元=(無,y,z),

第10頁，共19頁

,^(n-D^M=O(4x+(fc-4)z=0

則有&.取=0'即區(qū)+4y-2z=。，

令z=8,則x=8-2k,y=4+k,故k=(8—2/c,4+k,8),

平面ABCD的一個(gè)法向量為沅=(0,0,1)，

設(shè)平面Di"N與底面ABC。所成的銳二面角為a,

同cosa=匠河=_____________-_____________=、8

人」|n||n?|一V(8-2fc)2+(4+k)2+64-V5fc2-24fc+144'

銳二面角a越小，則cosa越大，

所以求5k2-24k+144的最小值，

令/'(￡)=5k2-24k+144=5(k-y)2+軍，

所以當(dāng)k=￡時(shí)，a有最小值，此時(shí)41M=4-k=4-￡=

故答案為：

建立合適的空間直角坐標(biāo)系，MA=k,求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，利用待定系

數(shù)法求出平面的法向量，利用向量的夾角公式表示出二面角的關(guān)系式，由余弦函

數(shù)的單調(diào)性以及二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

本題考查了二面角的應(yīng)用，在求解有關(guān)空間角問題的時(shí)候，一般會(huì)建立合適的空間直角

坐標(biāo)系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進(jìn)行研究，屬于中檔題.

13.【答案】3+2汽

【解析】解：如圖,

■■'OP=A1OA+X2'OB+A3OC>

:.OP=^(pp+PA)+A2(OP+^B)+A3(OP+PC)

=(”i+%+DOP+41PA+%PB+A3PC=OP+AjPA+A，2PB+A3PC,

??.PA+A2PB+23PC=0

???AjM+A2(PA+AB)+A3(PA+而)=6,

AP—A，2AB+%AC>Aj+A，2+%=1,Aj)&a3C[0,1],

???P在△ABC內(nèi)或邊界上，取AB的中點(diǎn)。，

則刃-OB=(OD+AD)-(OD+DB)=OD2-AD2=OD2-1>

當(dāng)|而|最大時(shí)，記?布最大，

???\0P\=1，由圖知，當(dāng)。在以為C圓心，以I為半徑的圓弧上，

且。，c,。三點(diǎn)共線時(shí)，|南|最大，此時(shí)，?而|=V5+i,

0A■質(zhì)的最大值為(遮+1產(chǎn)-1=3+2相,

故答案為：3+2遍.

先由向量的線性運(yùn)算得到方=不荏+右而，即「在AABC內(nèi)或邊界上，再利用數(shù)形

結(jié)合即可求出，

本題主要考查向量的運(yùn)線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，正三角形的解法，向量的模的運(yùn)算，屬

于中檔題.

14.【答案】5-2

【解析】解：若(a+工尸的展開式中/項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為10,

則C/=10,所以n=5,

若展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-32,

則。覬5=-32,

解得a=-2.

故答案為:5；-2.

由題意可得鬣=10,解得〃，再利用通項(xiàng)公式即可求得。的值.

本題考查二項(xiàng)式定理，考查二項(xiàng)式系數(shù)，特定項(xiàng)的求法，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】|

【解析】解：,已知sin(a+g)=?,則cos6-a)=sing-(g-a)]=：,

???sin2a=cos(^—2a)=2cos2—a)—l=2x1—1=—

故答案為：：；一：.

由題意利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式，計(jì)算求得結(jié)果.

本題主要考查誘導(dǎo)公式、二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

16.【答案】(|,0)：

第12頁，共19頁

【解析】解：P（6,6）在拋物線C：V=2px（p>0）上，可得36=12p,可得p=3,

y—x

所以y2=6x,焦點(diǎn)坐標(biāo)（|,0）,準(zhǔn)線方程為：X=-|,所以y-一三可得

則嗎_|），

所以直線p。的斜率為：竺|

6~83

故答案為：（|,0）,￡

利用P求解拋物線方程，得到焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程，然后求解M、。的坐標(biāo)，然后求解

直線的向量即可.

本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查直線的斜率的求法，是基礎(chǔ)題.

17.【答案】磊

【解析】解：某盒中有9個(gè)大小相同的球，分別標(biāo)號(hào)為1,2,…，9,從盒中任取3個(gè)

球，

基本事件總數(shù)n=Cl=84,

取出的3個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和能被3整除包含的基本事件有：

(1,2,3),(1,2,6),(1,2,9),(1,3,5),(1,3,8),(1,4,7),(1,5,6),(1,5,9),

(1,6,8),(1,8,9),(2,3,4),(2,3,7),(2,4,6),(2,4,9),(2,5,8),(2,6,7),

(2,7,9),(3,4,5),((3,4,8),(3,5,7),(3,6,9),(3,7,8),(4,5,6),(4,5,9),

(4,6,8),(4,8,9),(5,6,7),(5,7,9),(6,7,8),(7,8,9),共30個(gè),

則取出的3個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和能被3整除的概率是P=^=搐.

8414

記《為取出的3個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和被3除的余數(shù)，則§的可能取值為0,1,2,

PG=。)=卷，

f=1包含的基本事件有：

(1,2,4),(1,2,7),(1,3,6),(1,3,9),(1,4,5),(1,4,8),(1,5,7),(1,7,8),

(1,6,9),(2,3,5),(2,3,8),(2,4,7),(2,5,6),(2,5,9),(2,6,8),(2,8,9),

(3,4,6),(3,4,9),(3,5,8),(3,6,7),(3,7,9),(4,5,7),(4,6,9),(4,7,8),

(5,6,8),(6,7,9),(5,8,9),共27個(gè)，

?一八

-27=9,

8428

f=2包含的基本事件有：

(1,2，5),(1,2,8),(1,3,4),(1,3,7),(1,4,6),(1,4,9),(1,5,8),(1,6,7),

(1,7,9),(2,3,6),(2,3,9),(2,4,5),(2,4,8),(2,5,7),(2,6,9),(2,7,8),

(3,4,7),(3,5,6),(3,5,9),(3,6,8),(3,8,9),(4,5,8),(4,6,7),(4,7,9),

(5,6,9),(5,7,8),(6,8,9),共27個(gè)，

、、279

..P(C=2)=—=—,

SJ8428

5Q927

???E(f)=0x—+lx-+2x-=-.

14282828

故答案為:ag.

基本事件總數(shù)n=篇=84,利用列舉法求出取出的3個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和能被3整除包含

的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出取出的3個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和能被3整除的概率.記f為取出

的3個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和被3除的余數(shù)，貝”的可能取值為0,1,2,利用列舉法分別求出相

應(yīng)的概率，由此能求出E(f).

本題考查概率、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，

考查運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(I)因?yàn)閹譈+bcosA=2b,由正弦定理得；

yJSsinAsinB+sinBcosA=2shiB,

所以+cosA=2,

得2s譏(4+乙)=2,得加(4+9=1,

因0<A<7T,故A+g=g,得

DZ3

(U)S=[bcsinA==2遍，得be=8,

va2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3be=36-24=12>

???a-25/3-

【解析】(I)利用正弦定理結(jié)合輔助角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可.

(口)根據(jù)三角形的面積公式，以及余弦定理，利用配方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.

本題主要考查解三角形的應(yīng)用，利用正弦定理,

余弦定理，以及輔助角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本

題的關(guān)鍵，是

中檔題.

19.【答案】解:

(I)取CQ的

中點(diǎn)E,連接

x

AE,PE,

不妨設(shè)4D=2,則4B=BC=>/2,

即ZP=PC=y/2

因?yàn)?BC=/.CAD=90°,

所以AC=2,^\AE1CD,

又因?yàn)镽4=AC=P。，所以PEICD,且AECiPE=E,

???CD1?PAE,PAc?PAE,則4P_LC0,

(11)取46'的中點(diǎn)。，連接P。，OE,PE,過點(diǎn)E作EHIPO,

不妨設(shè)4。=2,則4B=BC=&，即AP=PC=VI，

因?yàn)?ABC=/.CAD=90°,則PO±AC,

又因?yàn)?。為AC中點(diǎn)，E為CO的中點(diǎn)，則OE〃/ID,所以。EJ.AC,

所以/POE為二面角P-AC-。的平面角.

且。EnPO=O,ACijSfPOE,ACcfgfPAC,又EHLPO,則￡77_L面PAC,

在△EOH中，OE=1,coszEOH=所以七//=正，

44

所以點(diǎn)。到面PAC距離為2EH=叵，PD=V7.

2

設(shè)PO與面PAC所成的角為氏貝紜譏。=型=①匹，

PD14

解法2：取AC的中點(diǎn)。，連接P。，EO,PE,過點(diǎn)E作EH1PO,

不妨設(shè)4。=2,則AB=BC=企，即AP=PC=&，

因?yàn)橐?BC=^CAD=90°,則P。1AC,

又因?yàn)?。為AC中點(diǎn)，E為CO的中點(diǎn)，則OE〃AD,所以。ELAC,

所以NPOE為二面角P-AC-。的平面角.

因此以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A,OE,Oz分別為x,y,z軸建空間直角坐標(biāo)系如圖:

4(1,0,0),6(1,2,0),c(-1,0,0),p(o,_2,巧，

44

設(shè)面PAC的法向量為元=(x,y,z),CA=(2,0,0),

赤=(0,；,卓)，加=(-1,一：,手)，

(2x=0

貝必危1所以％=0,令y=d1E,則z=l,

所以面PAC的一個(gè)法向量為記=(0,715,1).

設(shè)與面P4C所成的角為。，貝bin。=I看盛jl=誓?

【解析】(I)結(jié)合已知可考慮取C￡＞的中點(diǎn)E,可證出ZE，CD,PELCD,然后結(jié)合

線面垂直的判定及性質(zhì)即可；

(U)先取AC的中點(diǎn)。，結(jié)合已知及二面角定義可求出4P0E為二面角P-4C-。的平面

角.然后結(jié)合直角三角形可求；

解法2：同法一找出4P0E為二面角P-4C-D的平面角，然后建立空間直角坐標(biāo)系，

結(jié)合空間向量可求.

本題主要考查了直線與平面垂直的判定，二面角平面角的定義，線面角的求解，屬于中

檔題.

小為奇數(shù)，可得…=1,

20.【答案】解：⑴由%=

.小中為偶數(shù)

52==%所以a2=3,

S3=Q]++。3=3,所以=-1'

2

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，Sn=n,Sn_r=(n-l),n>3,0n=Sn-Sn_i=-污+3九-1,

Qi=1也符合上式；

22

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，Sn=n,Sn-i=n-1,an=Sn-=n-n4-1,

士后、吊吊八t(—n2+3九一l,n為奇數(shù)

故通項(xiàng)公式即=2?,”的物?

In2-n+1,九為偶數(shù)

22

(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，=an+an+1=-n4-3n-14-(n4-l)—(n+1)+1=4n,

22

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，%=Qn+an+1=n—n4-1-(n+l)+3(n+1)-1=2,

4n,n為奇數(shù)

故b=令Cn=2n-1-b,

2,n為偶數(shù)n

2n+i?n,n為奇數(shù)

則。

2n,n為偶數(shù)

令72n=4i+既，4t為奇數(shù)項(xiàng)和，品為偶數(shù)項(xiàng)和,

242n

所以4n=2xl+2x3+-+2x(2n-1),

B=22+24+…+22n=雪上=邛三,

n1-43

224n=24xl+26x3+-+22n+2x(2n-1),

2462n2n+2

An-224n=2x1+2x24-2x2+-+2x2-2x(2n-1)=4+

小二二-22n+2x(2n-1)=-y+(|-2n)-22n+2,

所以4,=g+?_》22"+2,

第16頁，共19頁

所以7^=41+為=?+年一|122"+2+^=3+《一|)-22"+2.

【解析】(1)由數(shù)列遞推式計(jì)算可得。2,。3,利用斯=Sn-Sn_i，分別求出“為奇數(shù)和

〃為偶數(shù)時(shí)的通項(xiàng)公式，即可得解；

(2)分別求出〃為奇數(shù)和〃為偶數(shù)時(shí)數(shù)列｛2吁1.&｝的通項(xiàng)公式，再利用等比數(shù)列前“項(xiàng)

和公式，錯(cuò)位相減法求和即可求得結(jié)論.

本題主要考查數(shù)列遞推式、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法以及數(shù)列的求和，考查運(yùn)算求解能力，

屬于難題.

21.【答案】解：(1)由p=m=l,可得拋物線的方程為好=2x,P(1,O),

設(shè)直線48的方程為x=ty+1,A,8的縱坐標(biāo)分別為y2,

由［y2=，可得丫？-2ty_2=0,則以+y2=23yxy2=-2,

*12*22

貝l11=V1+t?|yj-y2|=V1+t-J(%+y2)2-4yly2=V1+t-74t2+8=

2Vt4+3t2+2

=2J(t2+|)2>2=2V2,當(dāng)t=0時(shí)，取得等號(hào)，則|AB|的最小值為2e;

(2)不妨設(shè)8位于第四象限，故8在丫=一，標(biāo)的圖象上，"=一忘=￡

設(shè)直線A8的方程為刀=ty+m,A,8的縱坐標(biāo)分別為力，及，

由I*=2px，可得y2-2pty-2Pm=0,則yi+y2=2pt,yry2=-2pm,

因?yàn)橹本€BM與拋物線相切，所以直線的斜率為MM=《，

直線8M的方程為曠=琶(％-景+為=9+葭，令x=0,可得y沖，則M(0,第,

心M=U-4

1Mo-m2m

又因?yàn)?N〃PM,可得AN的斜率為一頭，

直線”的方程為丫=一器。一第+為=一4+簿+%，令"。，'=窸+%=

yi

2

即N(o,拳)，連接PN,則=疊^=^=々BM,

所以PN〃BM,又因?yàn)?V〃PM,

即有四邊形MQNP是平行四邊形，所以S2=S&QMN=SAMNP=l\0P\\yN-yM\=

50Pl?嚀1=