油氣層滲流力學(xué)第二版第四章(張建國版中國石油大學(xué)出版社)

第四章彈性微可壓縮液體的不穩(wěn)定滲流第一節(jié)彈性不穩(wěn)定滲流的物理過程在剛體中，力的傳播→瞬間完成彈性體受力即壓縮，卸載即恢復(fù)。在彈性體中，力的傳播→有一傳播過程（1）關(guān)閉油井時，井底壓力不是瞬間恢復(fù)到靜止地層壓力pe，而是逐步上升至pe

的。tppepw（2）開井時，井底壓力不是一下子降至某個值就穩(wěn)定下來，而是逐漸下降到某個值才穩(wěn)定下來。tppwpeBApepwftAB（3）A井投產(chǎn)引起地層壓力下降，B井不會立刻感受到，而是要經(jīng)過一個時間段之后，B井井底壓力及產(chǎn)量才受到影響而發(fā)生變化。

t巖石與流體具有壓縮性巖石和流體釋放彈性能的結(jié)果地層壓力下降流體體積膨脹

Vl孔隙體積縮小

V

從地層中排出流體：

Vl+V

彈性驅(qū)動方式——彈性驅(qū)動方式的特點：對于實際地層，在彈性方式下，滲流是一個不穩(wěn)定的過程，而這種壓力變化過程總是從井底開始，然后逐漸向地層外部邊界傳播。在油田開采初期，地層壓力高于飽和壓力，主要就是依靠原油和巖石的彈性能量開采的開采方式原始地層壓力開井生產(chǎn)井筒壓力下降井壁附近地層壓力下降地層壓力下降范圍向外擴大壓力波的傳播非瞬時完成井筒qpe在實際的礦場生產(chǎn)中，油井可能采用不同的工作制度生產(chǎn)。井的工作制度(內(nèi)邊界)定產(chǎn)量生產(chǎn)定井底流壓生產(chǎn)油層外邊界封閉外邊界定壓外邊界無窮大外邊界混合外邊界一、水壓彈性驅(qū)動水壓彈性驅(qū)動——當(dāng)?shù)貙油饷婢哂袕V大的含水區(qū)，能充分

地向地層補充彈性能量定壓邊界——在水壓彈性驅(qū)動方式下，供給邊界上的壓力

可以保持不變1、井以定產(chǎn)量投產(chǎn)時地層壓力傳播及變化規(guī)律投產(chǎn)前，各點壓力相等，壓力分布曲線為水平線(AB)，對應(yīng)的時間t=0。Bt=0

開井后，形成壓降漏斗曲線A1H，在r1以外，沒有壓降，沒有液體流動，滲流速度為0，壓降漏斗曲線A1H與水平線AB在H點相切。ABA1Hr(t1)A2Gr(t2)A3t=0t1t2

t1時刻以后，同理，壓降漏斗曲線A2G與水平線AB在G點相切。

隨著時間的增加，壓降漏斗曲線不斷擴大和加深。

t>tB后，邊界外的能量過B點補充進(jìn)來，壓降漏斗曲線在B點的切線與水平線AB之間有一夾角，隨外補充能量的增多，夾角也增大，滲流速度增大，當(dāng)外補充的液量逐漸趨于井產(chǎn)量時，地層中的壓降漏斗曲線變化越來越小，經(jīng)過無限長時間，壓降漏斗曲線在AnB處穩(wěn)定(穩(wěn)定滲流的壓降漏斗曲線)。ABA1Hr(t1)A2Gr(t2)A3A4Ant=0t1t2t>tB油井以定產(chǎn)量生產(chǎn)的流量由兩部分組成：式中：q1—通過供給邊界流入地層的液量q2—供給半徑re以內(nèi)，地層及流體彈性膨脹排除的液量。隨著地層壓力不斷下降，靠近邊界的點的壓力也隨之下降，因而通過邊界流入地層的流量q2將越來越多，相應(yīng)地q1將愈來愈小。理論上要經(jīng)過無限長的時間后才能達(dá)到q=q2，即通過邊界流入地層的液量等于井產(chǎn)量。此時，流動變成穩(wěn)定流，其壓力分布曲線與穩(wěn)定流的壓力分布曲線完全一致。（1）井產(chǎn)量保持不變，在井壁上各點壓降漏斗的切線相互平行。（2）影響區(qū)以內(nèi)的地層任意點上滲流速度逐漸增加。（3）彈性驅(qū)動方式下，井以定產(chǎn)量投產(chǎn)后，地層中將產(chǎn)生一個壓降漏斗不斷擴大、不斷加深的過程。r(t1)r(t2)r(t3)x在彈性開采期，地層內(nèi)壓力波的傳播可分為兩個階段：第一階段：不穩(wěn)定早期—壓力波傳播到邊界之前的階段第二階段：不穩(wěn)定晚期—壓力波傳到邊界之后的階段2、井以定井底壓力生產(chǎn)時地層壓力傳播及變化規(guī)律井生產(chǎn)時，壓力波的傳播也分為兩個階段，壓力波傳到邊界之前為壓力波傳播的第一階段，傳到邊界之后為壓力波傳播的第二階段。定壓邊界下井以定井底壓力投產(chǎn)時地層壓力分布曲線Gsre

第一階段：壓力波傳到地層內(nèi)任一點M時，在M點以內(nèi)的地層釋放彈性能，而在M點以外則沒有流動，壓力曲線在M點的切線是水平的。其特點是壓降漏斗不斷擴大，除井點外各點均加深。由于壓降區(qū)域不斷增加，滲流阻力也逐漸增大，在保持井底壓力恒定情況下，相應(yīng)地井的產(chǎn)量會下降。定壓邊界下井以定井底壓力投產(chǎn)時地層壓力分布曲線Gsre

第二階段：壓降曲線傳到邊界以后開始壓力波傳播的第二階段，這時邊界外的液體開始向地層內(nèi)不斷補充，在相當(dāng)長時間后，從邊界外部流入的液量等于井內(nèi)排出的液量，此后滲流過程就趨于穩(wěn)定，壓力分布曲線和穩(wěn)定滲流時的對數(shù)曲線一致。定壓邊界下井以定井底壓力投產(chǎn)時地層壓力分布曲線Gsreqt1、井以定產(chǎn)量投產(chǎn)時地層壓力傳播及變化規(guī)律同樣可以分為兩個階段，壓力波傳到邊界之前為壓力波傳播的第一階段，傳到邊界之后為壓力波傳播的第二階段。二、封閉彈性驅(qū)動

t=tBB0

t=tp第一階段：壓力波傳到地層內(nèi)任意一點M時，在M點以內(nèi)的地層釋放彈性能，而在M點以外則沒有流動，壓力曲線在M點的切線是水平的。其特點是壓降漏斗不斷擴大，除井點外各點均加深。由于壓降區(qū)域不斷增加，滲流阻力也逐漸增大，在保持井底壓力恒定情況下，相應(yīng)地井的產(chǎn)量會下降。B0t=tpt=tB第二階段：壓力傳到B0后，邊界B0處的壓力不斷下降，在開始時邊界上壓力下降的幅度比井壁及地層各點要小些，即B0B1<A0A1，B1B2<A1A2；…，隨著時間的增加，從井壁到邊界各點壓降幅度逐漸趨于一致。即當(dāng)井的產(chǎn)量不變，滲流阻力不變（釋放能量的區(qū)域已固定）時，地層內(nèi)彈性能量的釋放也相對穩(wěn)定下來，這種狀態(tài)稱為“擬穩(wěn)定狀態(tài)”，在該狀態(tài)下，地層中任意一點壓降速度為常數(shù)，直到地層內(nèi)各點壓力低于飽和壓力時，彈性開采階段結(jié)束。B0t=tpt=tB在封閉邊界上壓力梯度擬穩(wěn)定流狀態(tài)B0t=tpt=tB

擬穩(wěn)定狀態(tài)的出現(xiàn)，主要是因為井產(chǎn)量保持不變，彈性能釋放也就相對的穩(wěn)定不變。擬穩(wěn)定狀態(tài)對于油井不可能無限制地進(jìn)行下去，當(dāng)?shù)貙訅毫Φ陀陲柡蛪毫χ螅瑢⑦M(jìn)入溶解氣驅(qū)階段，彈性驅(qū)動的滲流規(guī)律就被破壞。

對氣井來說，視穩(wěn)定狀態(tài)將延續(xù)至氣層能量枯竭為止。常用名詞激動區(qū)域（影響區(qū)）——井底壓力變化的波及區(qū)域。條件影響邊緣半徑（影響半徑）——壓力降波及區(qū)域的半徑，即激動區(qū)半徑。壓降漏斗前緣——激動區(qū)前緣。彈性驅(qū)動第一相（不穩(wěn)定流動初期）——壓降漏斗前緣到達(dá)地層邊界以前稱為彈性驅(qū)動第一相。彈性驅(qū)動第二相——壓降漏斗到達(dá)地層邊界以后稱為彈性驅(qū)動第二相。

對于定產(chǎn)量生產(chǎn)的油井來說，彈性驅(qū)動第一相的生產(chǎn)特征是：壓降漏斗不斷擴大，加深；激動區(qū)內(nèi)，任一地層點上的壓力不斷下降，流速逐漸增大。彈性驅(qū)動第二相的兩種情況：（1）當(dāng)?shù)貙舆吔缟嫌幸涸垂┙o時，彈性驅(qū)動第一相將由不穩(wěn)定滲流逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)定流。（2）當(dāng)?shù)貙舆吔缟蠜]有液源供給時，情況轉(zhuǎn)為復(fù)雜。彈性驅(qū)動第二相初期或不穩(wěn)定滲流晚期彈性驅(qū)動第二相晚期或擬穩(wěn)定滲流期不穩(wěn)定滲流早期不穩(wěn)定滲流晚期擬穩(wěn)定流期彈性驅(qū)動第一相彈性驅(qū)動第二相生產(chǎn)時間邊界井底

t=tP2、井以定井底壓力投產(chǎn)時地層壓力傳播及變化規(guī)律同樣可以分為兩個階段，壓力波傳到邊界之前為壓力波傳播的第一階段，傳到邊界之后為壓力波傳播的第二階段。Gsre

t=tBpw

t=

第一階段：壓力波傳到地層內(nèi)任意一點M時，在M點以內(nèi)的地層釋放彈性能，而在M點以外則沒有流動，壓力曲線在M點的切線是水平的。其特點是壓降漏斗不斷擴大，除井點外各點均加深。由于壓降區(qū)域不斷增加，滲流阻力也逐漸增大，在保持井底壓力恒定情況下，相應(yīng)地井的產(chǎn)量會下降。第二階段：壓力波傳到邊界后的第二階段，由于邊界封閉，無外來能量補充，邊界B處的壓力逐漸下降。由于井底壓力保持不變，從第一階段起壓降漏斗的范圍不斷向外擴大，而井的產(chǎn)量也不斷下降，到第二階段后仍不斷下降直到趨于零為止，這時地層內(nèi)各點壓力都等于井底壓力。第二節(jié)彈性不穩(wěn)定滲流無限大地層的典型解一、無限大地層中一口井以定產(chǎn)量投產(chǎn)1、數(shù)學(xué)模型型◆均質(zhì)水平等厚無限大地層中一口井以定產(chǎn)量投產(chǎn)◆流體在地層中的流動服從達(dá)西定律?！舻貙釉級毫閜i◆地層厚度為h，◆地下條件下的油井產(chǎn)量為q。假設(shè)：rpih滲流微分方程：初始條件：不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型內(nèi)邊界條件：井底r=rw處的邊界外邊界條件：無限大地層處的邊界目的：求壓力（是徑向距離和時間的函數(shù)）2、數(shù)學(xué)模型的求解

求解步驟：①引入一個新的中間變量，使偏微分方程變?yōu)槌Ｎ⒎址匠挞谌缓笤賹ΤＮ⒎址匠滩捎梅蛛x變量法求通解③最后利用定解條件就可以得到其特解冪積分函數(shù)（指數(shù)積分函數(shù)）求解過程：令：引進(jìn)新變量u(r,t)后，未知壓力函數(shù)p可寫成：p=p(u)無限大地層以定產(chǎn)量q投產(chǎn)后，距離井r處地層壓力計算公式：冪積分函數(shù)的性質(zhì)：x值增大，-Ei(-x)值下降→不穩(wěn)定早期地層中任一點壓力的計算方程1）當(dāng)r一定時：時間t增大→

x值下降，→

-Ei(-x)值增大，→(pi-p)值上升。生產(chǎn)時間越長，點r處壓力降越大。2）當(dāng)t不變時：距離r增大

x值增大，-Ei(-x)值變小，(pi-p)值減少。3）在一定時刻t：當(dāng)r增到一定程度時，

x已大到使Ei→0,(pi-p)→0在一定時刻只在一定的范圍內(nèi)形成壓力降。在同一時刻，r越大，壓力降越小，離井越遠(yuǎn)壓力降越小。冪積分函數(shù)的級數(shù)形式：式中：γ=0.577216，歐拉常數(shù)當(dāng)x≤0.01時可以只保留級數(shù)的前兩項，即冪積分函數(shù)可展開成級數(shù)：當(dāng)時可以只保留級數(shù)的前兩項。井底壓降表示為：則可表示為：井底壓降的計算公式不穩(wěn)定滲流早期井底壓降的計算公式。這一階段的流動稱為“無限作用徑向流”，在壓降與時間的半對數(shù)圖中表現(xiàn)為直線。常規(guī)試井分析的基本公式pwf(t)lnt不穩(wěn)定滲流早期不穩(wěn)定滲流晚期擬穩(wěn)定流期彈性驅(qū)動第一相彈性驅(qū)動第二相生產(chǎn)時間邊界井底t=tP第三節(jié)彈性不穩(wěn)定滲流有界地層典型解在外邊界半徑為re的均質(zhì)封閉地層中心有一口半徑為rw的油井定產(chǎn)量投產(chǎn)。徑向封閉地層中心一口井以定產(chǎn)量投產(chǎn)1、數(shù)學(xué)模型假設(shè)：不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型滲流微分方程：初始條件：內(nèi)邊界條件：外邊界條件：可直接用分離變量法，也可直接作變量代換以后，進(jìn)行拉普拉氏變換，使其象函數(shù)變?yōu)槌Ｎ⒎址匠滩⒃谙鄳?yīng)定解條件求解，再進(jìn)行拉氏反演求解。由此原理，獲得地層中任一點在任意時刻的壓力表達(dá)式為：2、數(shù)學(xué)模型的解上述解經(jīng)簡化運算得到：上式為當(dāng)壓力波傳到封閉邊界后，由于邊界沒有供給，邊界壓力開始下降，滲流進(jìn)入不穩(wěn)定晚期的井底壓力表達(dá)式。不穩(wěn)定滲流早期不穩(wěn)定滲流晚期擬穩(wěn)定流期彈性驅(qū)動第一相彈性驅(qū)動第二相生產(chǎn)時間邊界井底t=tP當(dāng)生產(chǎn)時間t很長時，井底壓力的表達(dá)式：上式為滲流早已進(jìn)入不穩(wěn)定晚期，隨著時間的增加，當(dāng)?shù)貙又械膲航邓俣葹槌?shù)，即滲流進(jìn)入擬穩(wěn)定流動時的井底壓力表達(dá)式。探邊測試：求單井控制儲量三、徑向定壓地層中心一口井以定產(chǎn)量投產(chǎn)在外邊界半徑為re的均質(zhì)封閉地層中心有一口半徑為rw的油井定產(chǎn)量投產(chǎn)。假設(shè)：1、數(shù)學(xué)模型不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型滲流微分方程：初始條件：內(nèi)邊界條件：外邊界條件：利用與徑向封閉地層滲流數(shù)學(xué)模型的求解過程類似的方法，可求得徑向有界定壓外邊界地層中心一口井定產(chǎn)量投產(chǎn)時地層中任意一點的壓力表達(dá)式：βn是方程J0(rDβ)Y1(β)-Y0(rDβ)J1(β)=0的第n個根。Jo、J1——第一類零階、一階貝塞爾函數(shù)；Yo、Y1——第二類零階、一階貝塞爾函數(shù)。2、數(shù)學(xué)模型的解穩(wěn)定滲流過程，地層中任意一點壓力及井底壓力公式：當(dāng)生產(chǎn)時間很長，即后，流體流動表現(xiàn)為穩(wěn)定滲流。第七節(jié)油井的不穩(wěn)定試井壓降疊加原則也適用于不穩(wěn)定滲流問題的井間干擾分析。疊加原理是研究油氣井測試?yán)碚?，特別是研究不穩(wěn)定滲流常用的一種方法。對于一些比較復(fù)雜的情況，如多井系統(tǒng)、變產(chǎn)量生產(chǎn)、壓力恢復(fù)及斷層系統(tǒng)等問題的求解，都可使用壓降疊加原則。設(shè)地層中有n口井在彈性驅(qū)動方式下投產(chǎn)，地層中任意一點M上的壓力降，應(yīng)等于每口井單獨投產(chǎn)時，在該點形成的壓力降的疊加。

一、多井系統(tǒng)pi-pM——n口井同時投產(chǎn)后，時刻t在點M形成的壓力降pi——投產(chǎn)前，地層靜止壓力；qj——第j井的產(chǎn)量；rj——點M至j井的距離；tj——到時刻t為止，第j井的生產(chǎn)時間?！馈a(chǎn)井產(chǎn)量取正，注入井產(chǎn)量取負(fù)由上式獲得任一口井的井底壓降：pwfk——時刻t，第k井的井底壓力；qj——第j井的產(chǎn)量；rjk——第j井到第k井的距離；當(dāng)j=k時，rjk=rwk，表示k井的井半徑。二、變產(chǎn)量生產(chǎn)油井從t0生產(chǎn)到t1，產(chǎn)量q1；在時刻t1產(chǎn)量突變?yōu)閝2；在t2時刻產(chǎn)量又突變?yōu)閝3；在tn-1時刻產(chǎn)量突變?yōu)閝n。求：在tn-1時刻以后任一時間t(t>tn-1)的油井井底壓力pwf(t)—t關(guān)系。每一時間的新產(chǎn)量(q1,q2,...，qn)都假想延續(xù)到t時刻，在t時刻上一系列產(chǎn)量增量(或負(fù)增量)(qi-qi-1)(i=1,2,…，n)所引起的井底壓力的壓力降（或壓力升）的代數(shù)和即為油井在t時刻的壓力降求解基本思想：在t0~t內(nèi)以q1生產(chǎn)引起的壓降在t1~t內(nèi)以(q2-q1)生產(chǎn)引起的壓降在tn-1~t內(nèi)以(qn–qn-1)生產(chǎn)引起的壓降…………在t時刻的井底壓降特別地，當(dāng)n=1，即恒定產(chǎn)量q生產(chǎn)時：當(dāng)n=2，即兩流量生產(chǎn)時：壓力恢復(fù)問題是當(dāng)一口井以恒定產(chǎn)量生產(chǎn)一段時間后關(guān)井，關(guān)井后井底壓力的變化同樣可由壓降方程利用壓降疊加原則來求得。三、壓力恢復(fù)設(shè)有一口井在以恒定產(chǎn)量q生產(chǎn)tp時間后關(guān)井，關(guān)井時間用Δtb表示。(1)井A在關(guān)井后繼續(xù)以恒定產(chǎn)量q一直生產(chǎn)下去，生產(chǎn)時間為tp+Δt；(2)在A井的位置上，有一口虛擬井B，從井A關(guān)井的時刻開始以恒定的注入量q注入（或以恒定產(chǎn)量-q生產(chǎn)）；(3)關(guān)井后的井底壓降應(yīng)等于A井以產(chǎn)量q生產(chǎn)到tp+Δt時間產(chǎn)生的壓降與B井以產(chǎn)量-q生產(chǎn)Δt時間產(chǎn)生的壓降(壓力升)的代數(shù)和。求解思路：壓力恢復(fù)試井的Horner方程四、斷層系統(tǒng)在無限大地層中，應(yīng)用疊加原則相對簡單。對有限地層，對疊加原則需作一些變換后才能使用。有限地層問題無限大地層問題鏡象反映原理無限大地層的壓降公式求解疊加原則首先利用鏡像反映原理(與第四章相同)，再應(yīng)用壓降疊加原則，則獲得生產(chǎn)井井底壓降為：當(dāng)生產(chǎn)時間較短(即壓力波未傳到斷層)時，上式中的第二項可忽略不計，由冪積分函數(shù)的性質(zhì)，則上式變?yōu)椋?/p>

當(dāng)生產(chǎn)時間t較長(即壓力波已傳到斷層)時，則上式中第二項不能忽略，由冪積分函數(shù)的性質(zhì)，上式可寫成：lntpw第三節(jié)彈性不穩(wěn)定滲流有界地層典型解在外邊界半徑為re的均質(zhì)封閉地層中心有一口半徑為rw的油井定產(chǎn)量投產(chǎn)。徑向封閉地層中心一口井以定產(chǎn)量投產(chǎn)1、數(shù)學(xué)模型假設(shè)：不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型滲流微分方程：可直接用分離變量法，也可直接作變量代換以后，進(jìn)行拉普拉氏變換，使其象函數(shù)變?yōu)槌Ｎ⒎址匠滩⒃谙鄳?yīng)定解條件求解，再進(jìn)行拉氏反演求解。由此原理，獲得地層中任一點在任意時刻的壓力表達(dá)式為：2、數(shù)學(xué)模型的解上述解經(jīng)簡化運算得到：上式為當(dāng)壓力波傳到封閉邊界后，由于邊界沒有供給，邊界壓力開始下降，滲流進(jìn)入不穩(wěn)定晚期的井底壓力表達(dá)式。不穩(wěn)定滲流早期不穩(wěn)定滲流晚期擬穩(wěn)定流期彈性驅(qū)動第一相彈性驅(qū)動第二相生產(chǎn)時間邊界井底t=tP當(dāng)生產(chǎn)時間t很長時，井底壓力的表達(dá)式：上式為滲流早已進(jìn)入不穩(wěn)定晚期，隨著時間的增加，當(dāng)?shù)貙又械膲航邓俣葹槌?shù)，即滲流進(jìn)入擬穩(wěn)定流動時的井底壓力表達(dá)式。探邊測試：求單井控制儲量三、徑向定壓地層中心一口井以定產(chǎn)量投產(chǎn)在外邊界半徑為re的均質(zhì)封閉地層中心有一口半徑為rw的油井定產(chǎn)量投產(chǎn)。假設(shè)：1、數(shù)學(xué)模型不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型滲流微分方程：初始條件：內(nèi)邊界條件：外邊界條件：利用與徑向封閉地層滲流數(shù)學(xué)模型的求解過程類似的方法，可求得徑向有界定壓外邊界地層中心一口井定產(chǎn)量投產(chǎn)時地層中任意一點的壓力表達(dá)式：βn是方程J0(rDβ)Y1(β)-Y0(rDβ)J1(β)=0的第n個根。Jo、J1——第一類零階、一階貝塞爾函數(shù)；Yo、Y1——第二類零階、一階貝塞爾函數(shù)。2、數(shù)學(xué)模型的解穩(wěn)定滲流過程，地層中任意一點壓力及井底壓力公式：當(dāng)生產(chǎn)時間很長，即后，流體流動表現(xiàn)為穩(wěn)定滲流。第七節(jié)油井的不穩(wěn)定試井穩(wěn)定流狀態(tài)穩(wěn)定、擬穩(wěn)定、不穩(wěn)定流動狀態(tài)概念及區(qū)別pi=con壓力變化為常數(shù)半徑方向上壓力梯度保持不變流量、井底流壓不變qqqq不穩(wěn)定流狀態(tài)穩(wěn)定、擬穩(wěn)定、不穩(wěn)定流動狀態(tài)概念及區(qū)別無限大油藏系統(tǒng)中，流量有彈性膨脹引起泄油區(qū)逐漸擴大，無壓降無流量系統(tǒng)的壓力降隨半徑減小而增大qq1q2q擬穩(wěn)定流狀態(tài)穩(wěn)定、擬穩(wěn)定、不穩(wěn)定流動狀態(tài)概念及區(qū)別半徑