三角比-01教案(任意角及其三角比)

第1講：任意角及其三角比【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】１．任意角的概念與弧度制；２．任意角三角比定義；３．同角三角比的關(guān)系；４．誘導(dǎo)公式．【典型例題】［例1］(1)設(shè)，且的終邊與角的終邊相同，則＝____答：1提示:與角終邊相同的角的集合是(2)如果是第一象限角，那么①,②,③,④中恒成立的有_____個(gè)。答：1提示:利用三角函數(shù)線(xiàn)知②總成立.(3).若tanα＝3，則=_______答：提示:用公式(4)已知扇形的半徑為10㎝，圓心角為120°，則扇形的弧長(zhǎng)為；面積為．答：㎝,㎝2提示:利用弧長(zhǎng)公式及扇形面積公式,注意圓心角的單位化為弧度(5)已知．答：提示：利用誘導(dǎo)公式［例2］若，求（1）的值；（2）的值．解（1）（2）原式［例3］若的值．解：［例4］已知．化簡(jiǎn)；若是第三象限的角，且，求的值；若，求的值．解：（1）（2）（3）【課內(nèi)練習(xí)】1．第_______象限答：四.提示；由，可得２．已知，且是第二象限角，則應(yīng)滿(mǎn)足的條件是______.答：.提示：由可得．３．已知=_________答：.提示：４．設(shè)是第三象限角，且是第_______象限的角答：二.提示：由設(shè)是第三象限角知是第二、四象限角，再由可得５．函數(shù)滿(mǎn)足．答：提示：６．若角和的終邊關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且，則角的集合是；．答：提示：由對(duì)稱(chēng)性知，角的終邊與的終邊相同７．已知．答：提示：將分子１寫(xiě)成然后用弦化切可得８．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，試判斷角所在的象限，并求的值．解：由題意，得故角是第二或第三象限角．當(dāng)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，當(dāng)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，９．已知：是三角形的內(nèi)角，若的值．解；由解得或所以所以10．已知關(guān)于x的方程4x2－2(m+1)x+m=0的兩個(gè)根恰好是一個(gè)直角三角形的兩個(gè)銳角的余弦，求實(shí)數(shù)m的值．解：設(shè)直角三角形的兩個(gè)銳角分別為α、β，則可得α+β=，∴cosα=sinβ∵方程4x2－2(m+1)x+m=0中，Δ=4（m+1)2－4·4m=4(m－1)2≥∴當(dāng)m∈R，方程恒有兩實(shí)根.又∵cosα+cosβ=sinβ+cosβ=，cosα·cosβ=sinβcosβ=∴由以上兩式及sin2β+cos2β=1，得1+2·=()2解得m=±當(dāng)m=時(shí)，cosα+cosβ=＞0，cosα·cosβ=＞0，滿(mǎn)足題意，當(dāng)m=－時(shí)，cosα+cosβ=＜0，這與α、β是銳角矛盾，應(yīng)舍去.綜上，m=【課后鞏固】A組１．若的終邊所在象限是第_______象限 答：四.提示：可得２．y=的值域是________ 答：{－1,3}提示：討論角ｘ在四個(gè)象限的情況 ３．若f(cosx)=cos2x，則f(sin15°)=________ 答：－提示：４．計(jì)算．答：提示：利用誘導(dǎo)公式５．已知角的終邊上一點(diǎn)Ｐ與點(diǎn)Ａ關(guān)于ｙ軸對(duì)稱(chēng)，角的終邊上一點(diǎn)Ｑ與點(diǎn)Ａ關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，那么的值等于．答：０提示：由題設(shè)條件求出點(diǎn)Ｐ、點(diǎn)Ｑ的坐標(biāo)，從而依正弦函數(shù)的定義求、６．已知sin（3π＋θ）＝，求的值．解：sin（3π＋θ）＝－sinθ，∴sinθ＝－原式＝＝＝＝32７．如果角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，），試寫(xiě)出角α的集合A，并求集合A中最大的負(fù)角和絕對(duì)值最小的角.解：在0°到360°范圍內(nèi)，由幾何方法可求得α=60°.∴A={α|α=60°+k·360°，k∈Z}其中最大的負(fù)角為－300°（當(dāng)k=－1時(shí)）絕對(duì)值最小的角為60°（當(dāng)k=0時(shí)）８．已知是方程的兩個(gè)根中較小的根，求的值．解：由題意知：，解得，故 當(dāng)時(shí)，原方程為，解之得故，所以當(dāng)時(shí)，原方程為，解之得故，所以B組1．已知點(diǎn)在第一象限，則在內(nèi)的取值范圍是______.答：.提示：由。２．如果滿(mǎn)足條件，則所在象限是________.答：第二象限的角。提示：可得．３．＝_____________.答：sin2+cos2.提示：及可得４．已知：．答：提示；由是第四象限角，所以５．在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，角和的終邊為OA和OB，OA過(guò)點(diǎn)M，OA與OB關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則角的的集合是；．答：提示；OB過(guò)點(diǎn)，的終邊為OB６．已知是方程的兩個(gè)根，求和的值．解：是方程的兩個(gè)根解得７．若k∈Z，求證：＝－1．證明：【法一】若k為偶數(shù)，則左端＝＝－1，若k為奇數(shù)，則左端＝＝－18．已知一扇形的周長(zhǎng)為c(c＞0)，當(dāng)扇形的弧長(zhǎng)為何值時(shí)，它有最大面積？并求出面積的最大值．解：設(shè)扇形的半徑為R，弧長(zhǎng)為l，面積為S∵c=2R+l，∴R=(l＜c)則S=Rl=×·l=(cl－l2)=－(l2－cl)=－(l－)2+∴當(dāng)l=時(shí)，Smax=答：當(dāng)扇形的弧長(zhǎng)為時(shí)，扇形有最大面積，扇形面積的最大值是.補(bǔ)充1.已知銳角α終邊上一點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2sin3,-2cos3)，求α的弧度數(shù)。解：由三角比的定義和誘導(dǎo)公式知tanα＝eq\f(-2cos3,2sin3)＝－cot3＝－tan(eq\f(π,2)－3)＝tan(3－eq\f(π,2))因?yàn)棣翞殇J角，即α∈(0,eq\f(π,2))，而3－eq\f(π,2)∈(0,eq\f(π,2))，所以α＝3－eq\f(π,2)2.已知角α的終邊與eq\f(2π,3)的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且α∈(－2π,2π)，求α解：如圖，據(jù)題意知：與eq\f(2π,3)的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的銳角是eq\f(π,3)，與eq\f(π,3)終邊相同角的集合是{β|β＝eq\f(π,3)+2kπ,k∈Z}由－2π<eq\f(π,3)+2kπ<2π(k∈Z)解得k=-1,0所以α＝－eq\f(5π,3)或α＝eq\f(π,3)3.如圖，已知扇環(huán)ABCD的兩條弧長(zhǎng)分別是l1,l2,兩條直邊的長(zhǎng)為d，求扇環(huán)的面積。解：設(shè)OA＝r，則OB＝r+d因弧l1,l2所對(duì)圓心角都為α，所以有eq\f(l1,r+d)＝eq\f(l2,r)，解得r＝eq\f(l2,l1－l2)d所以扇環(huán)面積＝扇形1面積－扇形2面積＝eq\f(1,2)(r+d)l1－eq\f(1,2)rl2＝eq\f(1,2)[(eq\f(l2,l1－l2)d+d)l1－eq\f(l2,l1－l2)d·l2]＝eq\f(1,2)(l1+l2)d4.解不等式組eq\b\lc\{(\a\al(tanx≤\r(3),sinx<\f(1,2)))解法提示：借助三角函數(shù)線(xiàn)，尋找公共部分。5.已知θ為第二象限角，化簡(jiǎn)eq\f(1,cosθ\r(1+tan2θ))+eq\f(2cotθ,\r(csc2θ－1))(－3)6.已知sinα＝eq\f(4－2m,m+5)，cosα＝eq\f(m－3,m+5)，α為第四象限角，求tanα(－eq\f(12,5))7.已知3sinα＝－4cosα，求eq\f(sin2α－cos2α,1+cos2α)(eq\f(7,34))8.已知sinα+cosα＝eq\f(1,2)，求⑴sinαcosα;⑵sin3α+cos3α;⑶tanα+cotα;⑷tan2α+cot2α(⑴－eq\f(3,8)⑵eq\f(11,16)⑶－eq\f(8,3)⑷eq\f(46,9))9.已知sinα+cosα＝eq\f(1,5)，0<α<π，求cosα－sinα(－eq\f(7,5))10.是否存在實(shí)數(shù)k和銳角α，使得sinα、cosα是方程4x2-4kx+2k-1=0的兩個(gè)根，若存在，求出k和α的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。(k=eq\f(1+\r(3),2),α=eq\f(π,3)或eq\f(π,6))11.已知sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，求cos2α(1或eq\f(3,8))12.如果α是銳角且滿(mǎn)足logeq\s\do3(tanα+cotα)sinα＝－eq\f(3,4)，求logeq\s\do3(tanα)cosα(eq\f(1,2))13.若sinα、cosα是方程2x2－(eq\r(3)+1)x+m=0的兩個(gè)根，求eq\f(sinα,1－cotα)+eq\f(cosα,1－tanα)及m的值(eq\f(1+\r(3),2),eq\f(\r(3),2))14.若cos2α+2msinα－2m－2<0，對(duì)于α∈R恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍[m∈(1－eq\r(2),+∞)]15.已知tan(π－α)＝a2，|cos(π－α)|＝－cosα，求eq\f(1,cos(π+α))的值(當(dāng)a≠0時(shí)，原式＝eq\r(1+a4)，當(dāng)a＝0時(shí)，原式＝1；綜上，原式＝eq\r(1+a4))16.已知方程sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求eq\f(sin(π－α)+5cos(2π－α),2sin(\f(3π,2)－α)－sin(－α))的值(－eq\f(3,4))17.已知sinβ＝eq\f(1,3)，sin(α+β)＝1，求sin(2α+β)的值(eq\f(1,3))18.求cos10+c