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(二)線面積分的計(jì)算方法1.曲線積分的計(jì)算⑴基本方法:曲線積分定積分第一類線積分:設(shè)在曲線弧L上有定義且連續(xù),L的參數(shù)方程為,,(要解決1、積分限,2、被積函數(shù),3、弧微分)其中在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,則【例1】求,其中L是由所表示的曲線上相應(yīng)于的一段弧.解(法一),故原式=.(法二)容易看出積分弧段關(guān)于軸對(duì)稱,而被積函數(shù)是關(guān)于變量的奇函數(shù),故OAB【例2】求,其中L是以為頂點(diǎn)的三角形(圖10.1)邊界。OAB解【例3】求,式中L為圓周解L的極坐標(biāo)方程為則【例4】求,其中L是曲線解,于是

第二類線積分:設(shè)在有向曲線?。躺嫌卸x且連續(xù),L的參數(shù)方程為,當(dāng)單調(diào)地時(shí),(要解決1、積分限,2、被積函數(shù),3、弧微分)點(diǎn)從L的起點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn),在以及為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,則【例1】求,其中是曲線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧.解由得,故原式=B(0,1)B(0,1)A(1,0)C(B(0,1)B(0,1)A(1,0)C(-1,0)xy其中如圖10.2所示圖10.2圖10.2解(法一)原式=解(法二)因?yàn)?,又,故原式=【例3】求,其中C為曲線,解當(dāng)時(shí),,則;當(dāng)時(shí),,則;?⑵基本技巧利用對(duì)稱性簡化計(jì)算;【例1】求,其中為圓周.解由對(duì)稱性得,故【例2】求,其中解利用對(duì)稱性?利用格林公式(注意:添加輔助線的技巧);【定理10。1】格林(Green)公式設(shè)函數(shù)和在分段光滑的閉曲線所圍成的閉區(qū)域上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有其中是的正向邊界.【例1】計(jì)算,其中是,順時(shí)針方向計(jì)算對(duì)于坐標(biāo)的曲線積分第二種解法:利用格林公式求解,計(jì)算前必須使用代入技巧,消去分母,否則工作量太大。因?yàn)槭欠聪虻模允褂酶窳止绞切枰a(bǔ)加一個(gè)負(fù)號(hào)。解將代入被積分式中,=根據(jù)格林公式,原式.【例2】計(jì)算,其中是的上半圓周,順時(shí)針方向。不易直接計(jì)算,應(yīng)該檢驗(yàn).補(bǔ)充由2至0,原式=。然后利用格林公式.解設(shè)。補(bǔ):由2至0,與所圍成的區(qū)域記為.原式=?利用積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件【定理10。3】(積分與路徑無關(guān)的條件)設(shè)函數(shù)和在單連通區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則下列四個(gè)條件相互等價(jià),即互為充要條件:(1)在內(nèi)與路徑無關(guān);(2)在內(nèi)存在一個(gè)函數(shù),使,其中為內(nèi)任一取定的點(diǎn).(3),其中L為內(nèi)任一分段光滑的閉曲線(4)在內(nèi)等式恒成立【例1】求,其中L為從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧解,故積分與路徑無關(guān),選取折線路徑原式=【例2】適當(dāng)選取,使是某個(gè)函數(shù)的全微分,并求出解因?yàn)榱?比較系數(shù)得【例3】試確定可導(dǎo)函數(shù),使積分與路徑無關(guān),且求為時(shí)的積分值。此處解令,則有,解一階線性非齊次微分方程得,代入得,,即。當(dāng)為時(shí),積分為【例4】計(jì)算,其中為任意一條不通過原點(diǎn)的簡單光滑正向的封閉曲線.解設(shè)則,除去原點(diǎn)以外一切點(diǎn)上式都成立.①當(dāng)曲線的內(nèi)部不含原點(diǎn)時(shí)。②當(dāng)曲線的內(nèi)部含原點(diǎn)時(shí),可在的內(nèi)部做一個(gè)充分小的橢圓,從到。利用復(fù)連通域上的格林公式,有

利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式【定理10.2】(兩類曲線積分之間的關(guān)系)其中,和表示曲線的切向量的方向角。

2.曲面積分的計(jì)算⑴基本方法:曲面積分二重積分第一類面積分:當(dāng)曲面由方程給出,,(為在面上的投影區(qū)域)要解決?1、曲面方程如及投影區(qū)域,2、被積函數(shù),3、面積微分)注:如果積分曲面由方程或給出,也可類似地把對(duì)面積的曲面積分化為相應(yīng)的二重積分.【例1】求,其中為錐面介于及之間的部分.解曲面在坐標(biāo)平面上的投影為。,,故【例2】求,為曲面被平面割下的部分解設(shè)表示在第一卦限內(nèi)部分,則?第二類面積分:,(其中由方程給出前側(cè)取正,后側(cè)取負(fù)),(其中由方程給出右側(cè)取正,左側(cè)取負(fù)),(其中由方程給出上側(cè)取正,下側(cè)取負(fù))【例1】求,為錐面及平面和所圍成的立體表面的外側(cè)解設(shè),其中,在面上的投影分別為【例2】設(shè)是橢球面的外側(cè),求.解設(shè)是的上半橢球面的上側(cè)和下半橢球面的下側(cè),在面的投影為,則同理得,所以?⑵基本技巧①利用對(duì)稱性及重心公式簡化計(jì)算;【例1】求,為球面的外側(cè).解記,利用Gauss公式,有原式=,由重心坐標(biāo)得原式=?②利用高斯公式(注意公式使用條件,添加輔助面的技巧);【定理10。5】高斯(Gauss)公式設(shè)空間閉區(qū)域是由分片光滑的閉曲面所圍成,函數(shù)在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有或這里是的整個(gè)邊界曲面的外側(cè),是在點(diǎn)處的法向量的方向余弦【例1】求,其中是球面內(nèi)側(cè).解【例2】求,其中是球面外側(cè).解由已知得,則由Gauss公式得原式=【例3】求,其中是曲面的下側(cè)。解補(bǔ)充,取上側(cè)?③兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化.【定理10.

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