2023年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（新高考Ⅰ）

2023年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（新高考Ⅰ）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，則M∩N＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{0，1，2} C．{﹣2} D．{2}2．（5分）已知z＝，則z﹣＝（）A．﹣i B．i C．0 D．13．（5分）已知向量＝（1，1），＝（1，﹣1）．若（+λ）⊥（+μ），則（）A．λ+μ＝1 B．λ+μ＝﹣1 C．λμ＝1 D．λμ＝﹣14．（5分）設函數(shù)f（x）＝2x（x﹣a）在區(qū)間（0，1）單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，0） C．（0，2] D．[2，+∞）5．（5分）設橢圓C1：+y2＝1（a＞1），C2：+y2＝1的離心率分別為e1，e2．若e2＝e1，則a＝（）A． B． C． D．6．（5分）過點（0，﹣2）與圓x2+y2﹣4x﹣1＝0相切的兩條直線的夾角為α，則sinα＝（）A．1 B． C． D．7．（5分）記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，設甲：{an}為等差數(shù)列；乙：{}為等差數(shù)列，則（）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件8．（5分）已知sin（α﹣β）＝，cosαsinβ＝，則cos（2α+2β）＝（）A． B． C．﹣ D．﹣二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。（多選）9．（5分）有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，?，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則（）A．x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，?，x6的平均數(shù) B．x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，?，x6的中位數(shù) C．x2，x3，x4，x5的標準差不小于x1，x2，?，x6的標準差 D．x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，?，x6的極差（多選）10．（5分）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級Lp＝20×lg，其中常數(shù)p0（p0＞0）是聽覺下限閾值，p是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油汽車1060～90混合動力汽車1050～60電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為p1，p2，p3，則（）A．p1≥p2 B．p2＞10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2（多選）11．（5分）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，f（xy）＝y(tǒng)2f（x）+x2f（y），則（）A．f（0）＝0 B．f（1）＝0 C．f（x）是偶函數(shù) D．x＝0為f（x）的極小值點（多選）12．（5分）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有（）A．直徑為0.99m的球體 B．所有棱長均為1.4m的四面體 C．底面直徑為0.01m，高為1.8m的圓柱體 D．底面直徑為1.2m，高為0.01m的圓柱體三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．14．（5分）在正四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，則該棱臺的體積為．15．（5分）已知函數(shù)f（x）＝cosωx﹣1（ω＞0）在區(qū)間[0，2π]有且僅有3個零點，則ω的取值范圍是．16．（5分）已知雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．點A在C上，點B在y軸上，⊥，＝﹣，則C的離心率為．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）已知在△ABC中，A+B＝3C，2sin（A﹣C）＝sinB．（1）求sinA；（2）設AB＝5，求AB邊上的高．18．（12分）如圖，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．點A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3．（1）證明：B2C2∥A2D2；（2）點P在棱BB1上，當二面角P﹣A2C2﹣D2為150°時，求B2P．19．（12分）已知函數(shù)f（x）＝a（ex+a）﹣x．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）證明：當a＞0時，f（x）＞2lna+．20．（12分）設等差數(shù)列{an}的公差為d，且d＞1．令bn＝，記Sn，Tn分別為數(shù)列{an}，{bn}的前n項和．（1）若3a2＝3a1+a3，S3+T3＝21，求{an}的通項公式；（2）若{bn}為等差數(shù)列，且S99﹣T99＝99，求d．21．（12分）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第i次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且P（Xi＝1）＝1﹣P（Xi＝0）＝qi，i＝1，2，?，n，則E（）＝．記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)為Y，求E（Y）．22．（12分）在直角坐標系xOy中，點P到x軸的距離等于點P到點（0，）的距離，記動點P的軌跡為W．（1）求W的方程；（2）已知矩形ABCD有三個頂點在W上，證明：矩形ABCD的周長大于3．

2023年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（新高考Ⅰ）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，則M∩N＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{0，1，2} C．{﹣2} D．{2}【分析】先把集合N表示出來，再根據(jù)交集的定義計算即可．【解答】解：∵x2﹣x﹣6≥0，∴（x﹣3）（x+2）≥0，∴x≥3或x≤﹣2，N＝（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），則M∩N＝{﹣2}．故選：C．【點評】本題考查集合的運算，屬于基礎題．2．（5分）已知z＝，則z﹣＝（）A．﹣i B．i C．0 D．1【分析】根據(jù)已知條件，結合復數(shù)的四則運算，以及共軛復數(shù)的定義，即可求解．【解答】解：z＝＝＝，則，故＝﹣i．故選：A．【點評】本題主要考查復數(shù)的四則運算，以及共軛復數(shù)的定義，屬于基礎題．3．（5分）已知向量＝（1，1），＝（1，﹣1）．若（+λ）⊥（+μ），則（）A．λ+μ＝1 B．λ+μ＝﹣1 C．λμ＝1 D．λμ＝﹣1【分析】由已知求得+λ與+μ的坐標，再由兩向量垂直與數(shù)量積的關系列式求解．【解答】解：∵＝（1，1），＝（1，﹣1），∴+λ＝（λ+1，1﹣λ），+μ＝（μ+1，1﹣μ），由（+λ）⊥（+μ），得（λ+1）（μ+1）+（1﹣λ）（1﹣μ）＝0，整理得：2λμ+2＝0，即λμ＝﹣1．故選：D．【點評】本題考查平面向量加法與數(shù)乘的坐標運算，考查兩向量垂直與數(shù)量積的關系，是基礎題．4．（5分）設函數(shù)f（x）＝2x（x﹣a）在區(qū)間（0，1）單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，0） C．（0，2] D．[2，+∞）【分析】利用換元法轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)單調(diào)性進行求解即可．【解答】解：設t＝x（x﹣a）＝x2﹣ax，對稱軸為x＝，拋物線開口向上，∵y＝2t是t的增函數(shù)，∴要使f（x）在區(qū)間（0，1）單調(diào)遞減，則t＝x2﹣ax在區(qū)間（0，1）單調(diào)遞減，即≥1，即a≥2，故實數(shù)a的取值范圍是[2，+∞）．故選：D．【點評】本題主要考查復合函數(shù)單調(diào)性的應用，利用換元法結合指數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性進行求解是解決本題的關鍵，是基礎題．5．（5分）設橢圓C1：+y2＝1（a＞1），C2：+y2＝1的離心率分別為e1，e2．若e2＝e1，則a＝（）A． B． C． D．【分析】利用橢圓C2：+y2＝1的方程可求其離心率e2，進而可求e1，可求a．【解答】解：由橢圓C2：+y2＝1可得a2＝2，b2＝1，∴c2＝＝，∴橢圓C2的離心率為e2＝，∵e2＝e1，∴e1＝，∴＝，∴＝4＝4（﹣）＝4（﹣1），∴a＝或a＝﹣（舍去）．故選：A．【點評】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查運算求解能力，屬基礎題．6．（5分）過點（0，﹣2）與圓x2+y2﹣4x﹣1＝0相切的兩條直線的夾角為α，則sinα＝（）A．1 B． C． D．【分析】圓的方程化為（x﹣2）2+y2＝5，求出圓心和半徑，利用直角三角形求出sin，再計算cos和sinα的值．【解答】解：圓x2+y2﹣4x﹣1＝0可化為（x﹣2）2+y2＝5，則圓心C（2，0），半徑為r＝；設P（0，﹣2），切線為PA、PB，則PC＝＝2，△PAC中，sin＝，所以cos＝＝，所以sinα＝2sincos＝2××＝．故選：B．【點評】本題考查了直線與圓的位置關系應用問題，也考查了三角函數(shù)求值問題，是基礎題．7．（5分）記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，設甲：{an}為等差數(shù)列；乙：{}為等差數(shù)列，則（）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【分析】首先明確充要條件的判定方法，再從等差數(shù)列的定義入手，進行正反兩方面的論證．【解答】解：若{an}是等差數(shù)列，設數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，則Sn＝na1+d，即＝a1+d＝n+a1﹣，故{}為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件．反之，若{}為等差數(shù)列，則可設﹣＝D，則＝S1+（n﹣1）D，即Sn＝nS1+n（n﹣1）D，當n≥2時，有Sn﹣1＝（n﹣1）S1+（n﹣1）（n﹣2）D，上兩式相減得：an＝Sn﹣Sn﹣1＝S1+2（n﹣1）D，當n＝1時，上式成立，所以an＝a1+2（n﹣1）D，則an+1﹣an＝a1+2nD﹣[a1+2（n﹣1）D]＝2D（常數(shù)），所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列．即甲是乙的必要條件．綜上所述，甲是乙的充要條件．故本題選：C．【點評】本題主要考查利用定義進行等差數(shù)列的判斷，穿插了充要條件的判定，屬中檔題．8．（5分）已知sin（α﹣β）＝，cosαsinβ＝，則cos（2α+2β）＝（）A． B． C．﹣ D．﹣【分析】由已知結合和差角公式先求出sinαcosβ，再求出sin（α+β），然后結合二倍角公式可求．【解答】解：因為sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣sinβcosα＝，cosαsinβ＝，所以sinαcosβ＝，所以sin（α+β）＝sinαcosβ+sinβcosα＝＝，則cos（2α+2β）＝1﹣2sin2（α+β）＝1﹣2×＝．故選：B．【點評】本題主要考查了和差角公式，二倍角公式的應用，屬于中檔題．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。（多選）9．（5分）有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，?，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則（）A．x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，?，x6的平均數(shù) B．x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，?，x6的中位數(shù) C．x2，x3，x4，x5的標準差不小于x1，x2，?，x6的標準差 D．x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，?，x6的極差【分析】根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，標準差，極差的概念逐一判定即可．【解答】解：A選項，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)不一定等于x1，x2，?，x6的平均數(shù)，A錯誤；B選項，x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于，x1，x2，?，x6的中位數(shù)等于，B正確；C選項，設樣本數(shù)據(jù)x1，x2，?，x6為0，1，2，8，9，10，可知x1，x2，?，x6的平均數(shù)是5，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)是5，x1，x2，?，x6的方差×[（0﹣5）2+（1﹣5）2+（2﹣5）2+（8﹣5）2+（9﹣5）2+（10﹣5）2]＝，x2，x3，x4，x5的方差[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（8﹣5）2+（9﹣5）2]＝，，∴s1＞s2，C錯誤．D選項，x6＞x5，x2＞x1，∴x6﹣x1＞x5﹣x2，D正確．故選：BD．【點評】本題考查平均數(shù)、中位數(shù)、標準差、極差的計算，是基礎題．（多選）10．（5分）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級Lp＝20×lg，其中常數(shù)p0（p0＞0）是聽覺下限閾值，p是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油汽車1060～90混合動力汽車1050～60電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為p1，p2，p3，則（）A．p1≥p2 B．p2＞10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2【分析】根據(jù)題意分別計算p1，p2，p3的范圍，進行比較即可求解．【解答】解：由題意得，60≤20lg≤90，1000p0≤p1≤p0，50≤20lg≤60，1p0≤p2≤1000p0，20lg＝40，p3＝100p0，可得p1≥p2，A正確；p2≤10p3＝1000p0，B錯誤；p3＝100p0，C正確；p1≤p0＝100×1p0≤100p2，p1≤100p2，D正確．故選：ACD．【點評】本題考查函數(shù)模型的運用，考查學生的計算能力，是中檔題．（多選）11．（5分）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，f（xy）＝y(tǒng)2f（x）+x2f（y），則（）A．f（0）＝0 B．f（1）＝0 C．f（x）是偶函數(shù) D．x＝0為f（x）的極小值點【分析】在已知等式中，取x＝y(tǒng)＝0判斷A；取x＝y(tǒng)＝1判斷B；求出f（﹣1），再取y＝﹣1判斷C；取滿足等式的特殊函數(shù)判斷D．【解答】解：由f（xy）＝y(tǒng)2f（x）+x2f（y），取x＝y(tǒng)＝0，可得f（0）＝0，故A正確；取x＝y(tǒng)＝1，可得f（1）＝2f（1），即f（1）＝0，故B正確；取x＝y(tǒng)＝﹣1，得f（1）＝2f（﹣1），即f（﹣1）＝f（1）＝0，取y＝﹣1，得f（﹣x）＝f（x），可得f（x）是偶函數(shù)，故C正確；由上可知，f（﹣1）＝f（0）＝f（1）＝0，而函數(shù)解析式不確定，不妨取f（x）＝0，滿足f（xy）＝y(tǒng)2f（x）+x2f（y），常數(shù)函數(shù)f（x）＝0無極值，故D錯誤．故選：ABC．【點評】本題考查抽象函數(shù)的應用，取特值是關鍵，是中檔題．（多選）12．（5分）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有（）A．直徑為0.99m的球體 B．所有棱長均為1.4m的四面體 C．底面直徑為0.01m，高為1.8m的圓柱體 D．底面直徑為1.2m，高為0.01m的圓柱體【分析】對于A，由正方體的內(nèi)切球直徑大于0.99可判斷；對于B，由正方體內(nèi)部最大的正四面體的棱長大于1.4可判斷；對于C，由正方體的體對角線小于1.8可判斷；對于D，取E，F(xiàn)，G，H，I，J都為棱中點，則六邊形EFGHIJ為正六邊形，由正六邊形的內(nèi)切圓直徑大于1.2可判斷．【解答】解：對于A，棱長為1的正方體內(nèi)切球的直徑為1＞0.99，選項A正確；對于B，如圖，正方體內(nèi)部最大的正四面體D﹣A1BC1的棱長為，選項B正確；對于C，棱長為1的正方體的體對角線為，選項C錯誤；對于D，如圖，六邊形EFGHIJ為正六邊形，E，F(xiàn)，G，H，I，J為棱的中點，高為0.01米可忽略不計，看作直徑為1.2米的平面圓，六邊形EFGHIJ棱長為米，∠GFH＝∠GHF＝30°，所以米，故六邊形EFGHIJ內(nèi)切圓直徑為米，而，選項D正確．故選：ABD．【點評】本題考查簡單幾何體的體積，考查空間想象能力與運算求解能力，屬于中檔題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有64種（用數(shù)字作答）．【分析】利用分類計數(shù)原理進行計算即可．【解答】解：若選2門，則只能各選1門，有種，如選3門，則分體育類選修課選2，藝術類選修課選1，或體育類選修課選1，藝術類選修課選2，則有+＝24+24＝48，綜上共有16+48＝64種不同的方案．故答案為：64．【點評】本題主要考查簡單的計數(shù)問題，利用分類計數(shù)原理進行計算是解決本題的關鍵，是基礎題．14．（5分）在正四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，則該棱臺的體積為．【分析】先根據(jù)題意求出四棱臺的高，再代入臺體的體積公式即可求解．【解答】解：如圖，設正四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1的上下底面中心分別為M，N，過A1作A1H⊥AC，垂足點為H，由題意易知A1M＝HN＝，又AN＝，∴AH＝AN﹣HN＝，又AA1＝，∴A1H＝MN＝，∴該四棱臺的體積為×（1+4+）×＝．故答案為：．【點評】本題考查臺體的體積公式的應用，屬基礎題．15．（5分）已知函數(shù)f（x）＝cosωx﹣1（ω＞0）在區(qū)間[0，2π]有且僅有3個零點，則ω的取值范圍是[2，3）．【分析】利用余弦函數(shù)的周期，結合函數(shù)的零點個數(shù)，列出不等式求解即可．【解答】解：x∈[0，2π]，函數(shù)的周期為（ω＞0），cosωx﹣1＝0，可得cosωx＝1，函數(shù)f（x）＝cosωx﹣1（ω＞0）在區(qū)間[0，2π]有且僅有3個零點，可得2≤2π＜，所以2≤ω＜3．故答案為：[2，3）．【點評】本題考查三角函數(shù)的周期的應用，函數(shù)的零點的應用，是基礎題．16．（5分）已知雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．點A在C上，點B在y軸上，⊥，＝﹣，則C的離心率為．【分析】（法一）設F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），B（0，n），根據(jù)題意可得點A的坐標，進一步得到，再由⊥，可得n2＝4c2．結合點A在雙曲線上，可得解；（法二）易知，設，∠F1AF2＝θ，解三角形可知5c2＝9a2，進而得解．【解答】解：（法一）如圖，設F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），B（0，n），設A（x，y），則，又，則，可得，又⊥，且，則，化簡得n2＝4c2．又點A在C上，則，整理可得，代n2＝4c2，可得，即，解得或（舍去），故．（法二）由，得，設，由對稱性可得，則，設∠F1AF2＝θ，則，所以，解得t＝a，所以，在△AF1F2中，由余弦定理可得，即5c2＝9a2，則．故答案為：．【點評】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）已知在△ABC中，A+B＝3C，2sin（A﹣C）＝sinB．（1）求sinA；（2）設AB＝5，求AB邊上的高．【分析】（1）由三角形內(nèi)角和可得C＝，由2sin（A﹣C）＝sinB，可得2sin（A﹣C）＝sin（A+C），再利用兩角和與差的三角函數(shù)公式化簡可得sinA＝3cosA，再結合平方關系即可求出sinA；（2）由sinB＝sin（A+C）求出sinB，再利用正弦定理求出AC，BC，由等面積法即可求出AB邊上的高．【解答】解：（1）∵A+B＝3C，A+B+C＝π，∴4C＝π，∴C＝，∵2sin（A﹣C）＝sinB，∴2sin（A﹣C）＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C），∴2sinAcosC﹣2cosAsinC＝sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC＝3cosAsinC，∴，∴sinA＝3cosA，即cosA＝sinA，又∵sin2A+cos2A＝1，∴，解得sin2A＝，又∵A∈（0，π），∴sinA＞0，∴sinA＝；（2）由（1）可知sinA＝，cosA＝sinA＝，∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝×＝，∴＝＝5，∴AC＝5sinB＝5＝2，BC＝5＝5＝3，設AB邊上的高為h，則＝，∴＝，解得h＝6，即AB邊上的高為6．【點評】本題主要考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式，考查了正弦定理和余弦定理的應用，屬于中檔題．18．（12分）如圖，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．點A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3．（1）證明：B2C2∥A2D2；（2）點P在棱BB1上，當二面角P﹣A2C2﹣D2為150°時，求B2P．【分析】（1）建系，根據(jù)坐標法及向量共線定理，即可證明；（2）建系，根據(jù)向量法，向量夾角公式，方程思想，即可求解．【解答】解：（1）證明：根據(jù)題意建系如圖，則有：B2（0，2，2），C2（0，0，3），A2（2，2，1），D2（2，0，2），∴，，∴，又B2，C2，A2，D2四點不共線，∴B2C2∥A2D2；（2）在（1）的坐標系下，可設P（0，2，t），t∈[0，4]，又由（1）知C2（0，0，3），A2（2，2，1），D2（2，0，2），∴，，，設平面PA2C2的法向量為，則，取，設平面A2C2D2的法向量為，則，取，∴根據(jù)題意可得|cos150°|＝|cos＜，＞|＝，∴，∴t2﹣4t+3＝0，又t∈[0，4]，∴解得t＝1或t＝3，∴P為B1B2的中點或B2B的中點，∴B2P＝1．【點評】本題考查利用向量法證明線線平行，利用向量法求解二面角問題，向量共線定理及向量夾角公式的應用，方程思想，屬中檔題．19．（12分）已知函數(shù)f（x）＝a（ex+a）﹣x．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）證明：當a＞0時，f（x）＞2lna+．【分析】（1）先求出導函數(shù)f'（x），再對a分a≤0和a＞0兩種情況討論，判斷f'（x）的符號，進而得到f（x）的單調(diào)性；（2）由（1）可知，當a＞0時，f（x）min＝f（ln）＝1+a2+lna，要證f（x）＞2lna+，只需證1+a2+lna＞2lna+，只需證＞0，設g（a）＝，a＞0，求導可得g（x）min＝g（）＞0，從而證得f（x）＞2lna+．【解答】解：（1）f（x）＝a（ex+a）﹣x，則f'（x）＝aex﹣1，①當a≤0時，f'（x）＜0恒成立，f（x）在R上單調(diào)遞減，②當a＞0時，令f'（x）＝0得，x＝，當x∈（﹣∞，ln）時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當x∈（ln，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，綜上所述，當a≤0時，f（x）在R上單調(diào)遞減；當a＞0時，f（x）在（﹣∞，ln）上單調(diào)遞減，在（ln，+∞）上單調(diào)遞增．證明：（2）由（1）可知，當a＞0時，f（x）min＝f（ln）＝a（+a）﹣ln＝1+a2+lna，要證f（x）＞2lna+，只需證1+a2+lna＞2lna+，只需證＞0，設g（a）＝，a＞0，則g'（a）＝2a﹣＝，令g'（a）＝0得，a＝，當a∈（0，）時，g'（a）＜0，g（a）單調(diào)遞減，當a∈（，+∞）時，g'（a）＞0，g（a）單調(diào)遞增，所以g（a）≥g（）＝﹣＝﹣ln＞0，即g（a）＞0，所以＞0得證，即f（x）＞2lna+得證．【點評】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題．20．（12分）設等差數(shù)列{an}的公差為d，且d＞1．令bn＝，記Sn，Tn分別為數(shù)列{an}，{bn}的前n項和．（1）若3a2＝3a1+a3，S3+T3＝21，求{an}的通項公式；（2）若{bn}為等差數(shù)列，且S99﹣T99＝99，求d．【分析】（1）根據(jù)題意及等差數(shù)列的通項公式與求和公式，建立方程組，即可求解；（2）根據(jù)題意及等差數(shù)列的通項公式的特點，可設an＝tn，則，且d＝t＞1；或設an＝k（n+1），則，且d＝k＞1，再分類討論，建立方程，即可求解．【解答】解：（1）∵3a2＝3a1+a3，S3+T3＝21，∴根據(jù)題意可得，∴，∴2d2﹣7d+3＝0，又d＞1，∴解得d＝3，∴a1＝d＝3，∴an＝a1+（n﹣1）d＝3n，n∈N*；（2）∵{an}為等差數(shù)列，{bn}為等差數(shù)列，且bn＝，∴根據(jù)等差數(shù)列的通項公式的特點，可設an＝tn，則，且d＝t＞1；或設an＝k（n+1），則，且d＝k＞1，①當an＝tn，，d＝t＞1時，則S99﹣T99＝﹣＝99，∴，∴50t2﹣t﹣51＝0，又d＝t＞1，∴解得d＝t＝；②當an＝k（n+1），，d＝k＞1時，則S99﹣T99＝＝99，∴，∴51k2﹣k﹣50＝0，又d＝k＞1，∴此時k無解，∴綜合可得d＝．【點評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項公式與求和公式的應用，方程思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，屬中檔題．21．（12分）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第i次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且P（Xi＝1）＝1﹣P（Xi＝0）＝qi，i＝1，2，?，n，則E（）＝．記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)為Y，求E（Y）．【分析】（1）設第2次投籃的人是乙的概率為P，結合題意，即可得出答案；（2）由題意設Pn為第n次投籃的是甲，則Pn+1＝0.6Pn+0.2（1﹣Pn）＝0.4Pn+0.2，構造得Pn+1﹣＝0.4（Pn﹣），結合等比數(shù)列的定義可得{Pn﹣}是首項為，公比為0.4的等比數(shù)列，即可得出答案；（3）由（2）得Pi＝+×（）i﹣1，當n∈N*時，E（Y）＝P1+P2+...+Pn，求解即可得出答案．【解答】解：（1）設第2次投籃的人是乙的概率為P，由題意得P＝0.5×0.4+0.5×0.8＝0.6；（2）由題意設Pn為第n次投籃的是甲，