《三反證法與放縮法》教學(xué)設(shè)計(jì)(福建省縣級(jí)優(yōu)課)x-數(shù)學(xué)教案

放縮法證數(shù)列不等式福建省漳州市薌城中學(xué)戴震時(shí)指導(dǎo)老師：福建省漳州市薌城中學(xué)陳燕一、教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)與技能（1）掌握數(shù)列求和常用的方法。（2）理解放縮法證明不等式的思考方式，掌握相應(yīng)的證明步驟。2、過程與方法教師引導(dǎo)、學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)，領(lǐng)會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，體會(huì)用放縮法證明簡(jiǎn)單數(shù)列不等式的本質(zhì)。3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀理解放縮法的思維本質(zhì)，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想、放縮法的價(jià)值。二、重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：數(shù)列求和常用方法、放縮法難點(diǎn)：放縮法（放縮形式合理與精度控制）三、教學(xué)過程：用放縮法證明數(shù)列不等式是高考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。所謂放縮法，就是利用不等式的傳遞性，對(duì)不等式的局部進(jìn)行合理的放大或縮小，從而向結(jié)論轉(zhuǎn)化。其難度在于放縮的合理和適度，對(duì)放縮法的應(yīng)用把握就是指對(duì)放縮力度的大小，以及放縮精細(xì)的程度，以達(dá)到預(yù)定的標(biāo)準(zhǔn)。通過對(duì)題目類型的把握，迅速的找到解題突破口。已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=14n+2分析：注意到通項(xiàng)公式里有含n的指數(shù)型函數(shù)，聯(lián)想到等比數(shù)列通項(xiàng)公式是含n的指數(shù)函數(shù)，故可考慮嘗試放縮成等比求和。證明：∵∴=<==∵∴已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=14n分析：由例一的經(jīng)驗(yàn)，知放縮成等比求和是可行的，只需想辦法控制放縮的量，少一點(diǎn)（少1/12就可以）。而在例一里，a1由14+2↗14，放大了112；a證明：∵∴=<==∵∴注意到例一和例二的精度區(qū)別，由例二的證明過程，我們發(fā)現(xiàn)，原來，減少放縮的項(xiàng)數(shù)，可以提高放縮的精確度。練習(xí)：已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=12證明：∵∴=<==1∵無法繼續(xù)！證明：∵∴=<13==∵∴已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=1n2分析：注意到通項(xiàng)公式里有含n的二次型函數(shù)，聯(lián)想到數(shù)列求和中的裂項(xiàng)相消法適用類型，故可考慮嘗試放縮成裂項(xiàng)相消法求和。證明：∵∴<=1+1∵在這里，我們從第二項(xiàng)起，把每一項(xiàng)的分母都縮小了n。已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=1n分析：由例二經(jīng)驗(yàn)，知仿例三，再控制精度即可成功。證明：∵∴<=1+∵另證：∵∴<=1+∵在這里，我們把每一項(xiàng)的分母都只縮小了1，精確度更高啦！測(cè)試：（2018年3月漳州市質(zhì)量檢測(cè)）已知數(shù)列an滿足n（n≥（1）求證：數(shù)列ann+1為等差數(shù)列，并求（2）記數(shù)列1an的前n項(xiàng)和為sn解:（1）∵na∴數(shù)列ann+1是以a1∴即an（2）∵1∴<=∵n>0，每堂小結(jié)：1、用放縮法證數(shù)列不等式，常見的方向有放縮成等比求和或裂項(xiàng)求和。為達(dá)到預(yù)定目標(biāo)，可通過調(diào)整放縮項(xiàng)的起點(diǎn)或放縮項(xiàng)的量，來達(dá)到控制放縮精度。2、常見放縮形式：an=1a