剛體平面運(yùn)動(dòng)中瞬心的基點(diǎn)

剛體平面運(yùn)動(dòng)中瞬心的基點(diǎn)

在剛體的平坦運(yùn)動(dòng)中，要討論旋轉(zhuǎn)問題，必須明確以下問題。以瞬心為基點(diǎn)的合理性;以瞬心為基點(diǎn)時(shí),什么時(shí)候慣性力矩為零,什么時(shí)候不為零?或者說作用在剛體上慣性力的作用點(diǎn)在哪里,慣性力矩等于多少?不論我們根據(jù)質(zhì)點(diǎn)組角動(dòng)量定理還是根據(jù)牛頓第二定律導(dǎo)出剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理,都是在以選定點(diǎn)為原點(diǎn)的慣性坐標(biāo)系中進(jìn)行討論的.該坐標(biāo)原點(diǎn)通常稱作“基點(diǎn)”或“選定中心”.此時(shí)選定中心的加速度等于零.既然剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理是在慣性系中導(dǎo)出的,那么剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)問題似乎只能在慣性系中討論,或者說選定中心的加速度一定要等于零.實(shí)際上在討論剛體轉(zhuǎn)動(dòng)問題時(shí),一切可以確定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的點(diǎn)都可以作為選定中心.顯然有些點(diǎn)的加速度為零,有些點(diǎn)的加速度不為零.下面我們先討論選定中心加速度不為零時(shí)作用在剛體上慣性力的作用點(diǎn)以及慣性力對(duì)于選定中心的慣性力矩的大小.設(shè)在一慣性坐標(biāo)系中有動(dòng)點(diǎn)O′,以O(shè)′為原點(diǎn)作一平動(dòng)坐標(biāo)系O′X′Y′Z′,如圖1.O′相對(duì)于慣性系加速度為→aa?0.有一個(gè)由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)組,質(zhì)心在C點(diǎn),質(zhì)心的矢徑為→rr?c.質(zhì)點(diǎn)組中任一質(zhì)點(diǎn)mi的矢徑為→ρρ?i,mi除了受到實(shí)際作用力外還受到慣性力-mi→a′0的作用.→ri是mi相對(duì)于質(zhì)心C的矢徑.作用在mi上的慣性力對(duì)O′點(diǎn)的慣性力矩為→ρi×(-mi→a′0),則作用在整個(gè)質(zhì)點(diǎn)組上慣性力對(duì)O′的力矩為→Μ′=n∑i=1→ρi×(-mi→a′0)=n∑i=1(→rc+→ri)×(-mi→a0).注意到n∑i=1mi為質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)量m,在質(zhì)心坐標(biāo)系中n∑i=1mi→ri=0,則→Μ=→rc×(-mi→a′0).上式表明,當(dāng)選定中心的加速度→a′0不為零時(shí),作用在所有質(zhì)點(diǎn)上慣性力的合力的作用點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心,大小等于ma0,對(duì)選定中心的慣性力矩等于質(zhì)心的矢徑與慣性力的矢積.顯然,如果選定中心的加速度→a0=0,即坐標(biāo)系O′X′Y′Z′是慣性系,則慣性力矩→Μ′=0.如果→rc=0,即選定中心就是質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心,無論質(zhì)心的加速度是否為零,慣性力矩均為零.如果選定中心的加速度→a′0的方向指向或者反指向質(zhì)心C,則慣性力矩為零.在使用轉(zhuǎn)動(dòng)定理解決剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)問題時(shí),若滿足以上三種情況,慣性力矩均不出現(xiàn).若不滿足上述情況時(shí),由牛頓第二定律的推廣可知,須在轉(zhuǎn)動(dòng)地理原來的形式上加上慣性力矩→Μ′,即Ι′0β=→Μ+→Μ′,其中I′0是剛體對(duì)選定中心O′的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.若要知道慣性力矩的大小,首先要知道選定中心的加速度.通常遇到最多的轉(zhuǎn)動(dòng)問題是圓形剛體(如圓環(huán)、圓盤、圓柱、球、球殼)在承滾面(如平面、斜面、曲面)上的滾動(dòng)問題.根據(jù)前面的討論,若以質(zhì)心為選定中心,無論質(zhì)心的加速度是多少,也不論剛體作純滾動(dòng)還是滑動(dòng)滾動(dòng),因?yàn)閼T性力作用在質(zhì)心上,慣性力矩恒為零.雖然質(zhì)心坐標(biāo)系未必是慣性系,但這時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)定理的形式與在慣性系中是一樣的.當(dāng)剛體作純滾動(dòng)時(shí),還可以瞬心為選定中心討論轉(zhuǎn)動(dòng)問題.如圖2,在某一時(shí)刻,剛體的滾動(dòng)可看作繞P點(diǎn)垂直于紙面的軸轉(zhuǎn)動(dòng).P點(diǎn)為瞬心,該軸為瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸.瞬心的速度為零(P點(diǎn)與承滾面相對(duì)靜止,但加速度并不為零).以瞬心為選定中心討論純滾動(dòng)問題,首先要確定瞬心加速度→ap的大小和方向.設(shè)一圓形剛體在純滾動(dòng)中某一時(shí)刻瞬心在P點(diǎn),則P點(diǎn)在滾動(dòng)中的軌跡是一條擺線,如圖3.若圓形剛體的半徑為r,P點(diǎn)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)過的角度為θ,則擺線的參數(shù)方程為x=r(θ-sinθ),y=r(1-cosθ),分別對(duì)x、y求時(shí)間的導(dǎo)數(shù)dxdt=r(dθdt-cosθdθdt)d2xdt2=r[d2θdt2-d2θdt2cosθ+(dθdt)2sinθ]?dydt=rsinθdθdt?d2ydt2=r[d2θdt2sinθ+(dθdt)2cosθ].注意到d2xdt2=ax,d2ydt2=ay,dθdt=ω,d2ωdt2=β,則ax=r[β(1-cosθ)+ω2sinθ],ay=r[βsinθ+ω2cosθ)].當(dāng)θ=0時(shí),即P點(diǎn)與承滾面接觸的那一瞬間,ax=0,ay=ω2r.說明瞬心加速度只有y方向的分量,大小等于ω2r,方向指向圓形剛體的幾何中心O.我們還可以用另一方法推知以上結(jié)果.由圖2知,瞬心加速度→aP,由質(zhì)心的平動(dòng)加速度→ac和P點(diǎn)相對(duì)于O點(diǎn)的加速度→aP′決定的.即→aΡ=→ac+→aΡ′,且→aP′又分為切向加速度→at′和法向加速度→an′兩部分,則上式為→aΡ=→ac+→at′+→an′.由純滾動(dòng)的約束條件知→ac=-→at′,則→aΡ=→an′.顯然→aP過P點(diǎn)指向圓形剛體的質(zhì)心,慣性力矩為零.用同樣的方法可以證明圓形剛體沿斜面或曲面作純滾動(dòng)時(shí),瞬心加速度的方向指向質(zhì)心,慣性力矩為零.如圖4所示,一個(gè)圓形剛體在斜面上作純滾動(dòng),瞬心為P點(diǎn),以P點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系OXY,X軸沿斜面向下.圓形剛體質(zhì)心的加速度為→ac,瞬心加速度為→aΡ=→ac+→at+→an,→an、→at分別為P點(diǎn)的法向及切向加速度.由純滾動(dòng)的約束條件可知,→ac=-→at,則→aΡ=→an.顯然,圓形剛體在斜面滾動(dòng)時(shí),瞬心加速度→aP的方向與法向加速度→an一致,通過P點(diǎn)指向剛體質(zhì)心,所以慣性力矩為零.再看一個(gè)圓形剛體在曲面滾動(dòng)的例子.如圖5a所示,如果AB桿可繞A軸轉(zhuǎn)動(dòng),且通過輪心的固定銷O,帶動(dòng)圓輪在固定圓弧軌道上作純滾動(dòng).當(dāng)θ=30°時(shí),AB桿的角速度為ω,角加速度α=0,AO=R-r,O1OP恰成垂直線.下面討論該瞬時(shí)圓輪的速度瞬心P點(diǎn)的加速度.首先我們可以選用點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)分析法討論圓輪運(yùn)動(dòng)中心的速度.若取輪心O點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn),動(dòng)坐標(biāo)系固連于AB桿,定坐標(biāo)系固連于機(jī)架,那么動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是以O(shè)1點(diǎn)為圓心,(R-r)為半徑的圓周運(yùn)動(dòng),其速度方向垂直于O1O,即水平方向,大小未知;動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)是沿AB桿的直線運(yùn)動(dòng),其速度方向沿AB桿,大小未知;牽連運(yùn)動(dòng)是動(dòng)坐標(biāo)系隨AB桿繞A軸的轉(zhuǎn)動(dòng),其速度方向如圖5(b),大小為νe=ˉAΟ?ω,根據(jù)速度合成定理→νΟ=→νr+→νe,再由平行四邊形法則可知νO=νe/cosθ(如圖5(b)),所以圓輪的角速度為ωO=νO/r沿順時(shí)針方向.至于動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度,由于動(dòng)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng),加速度有切向和法向兩個(gè)分量,如圖5(c)所示.其中→atΟ方向垂直于O1O,指向向右.→anΟ方向沿O1O向上,大小為→anΟ=ν2ΟR-r.其次我們?cè)龠x用平面運(yùn)動(dòng)分析法來討論圓輪速度瞬心P點(diǎn)的加速度.如果取輪心O為基點(diǎn),則P點(diǎn)的加速度為→aΡ=→anΟ+→atΟ+→anpΟ+→atpΟ,其中anpΟ=rω2Ο方向向上,atpΟ方向向左;atΟ方向向右,如圖5(c).由于純滾動(dòng)特點(diǎn),無論是固定直線軌道或固定圓弧軌道,在接觸點(diǎn)P的公切線方向上的加速度分量必等于零.也就是說→atΟ=-→atpΟ?atΟ=atΡΟ=raΟ?aΟ為圓輪的角加速度.所以,P點(diǎn)的加速度為aΡ=anΟ+anΡΟ=ν2ΟR-r+rω2Ο.因此圓輪的速度瞬心P點(diǎn)的加速度只有公法