圓輪運(yùn)動(dòng)的曲線方程

圓輪運(yùn)動(dòng)的曲線方程

在圖1所示的坐標(biāo)空間中，有均勻、相互正交的均勻強(qiáng)場和均勻、不規(guī)則的磁場，場強(qiáng)分別為ej和bk，重力加速度為gj。由于初速帶v0沿一定坐標(biāo)軸傳輸，所需壓力為。F=(eE-mg)j+e|ijkvxvyvz00B|F=(eE?mg)j+e∣∣∣∣∣ivx0jvy0kvzB∣∣∣∣∣帶電粒子的運(yùn)動(dòng)微分方程為mdvxdt=evyBmdvydt=(eE-mg)-evxBmdvzdt=0}(1)mdvxdt=evyBmdvydt=(eE?mg)?evxBmdvzdt=0?????????(1)假設(shè)帶電粒子帶正電,并且沿著Ox軸正向以速度v0=v0i自坐標(biāo)原點(diǎn)射入電磁場中,解以上方程得到x=bω2ωt+(v0ω-bω2)sinωty=-(v0ω-bω2)(1-cosωt)z=0}(2)其中eBm=ω、eE-mgm=b.我們看到,式(2)表示帶電粒子的軌跡為坐標(biāo)面xOy內(nèi)的旋輪線.旋輪線可以認(rèn)為是一個(gè)圓輪沿著某一直線作純滾動(dòng)形成的.但是,不同條件下所形成的不同旋輪線對(duì)應(yīng)于怎樣的圓輪作怎樣的運(yùn)動(dòng)?以下討論在不同條件下的旋輪線方程式(2),指出與之對(duì)應(yīng)的圓輪滾動(dòng)的情況.同時(shí),根據(jù)圓輪的滾動(dòng)過程,導(dǎo)出計(jì)算旋輪線曲率半徑的普遍公式.1e-mg時(shí)粒子在ox軸上的運(yùn)動(dòng)帶電粒子的軌跡形狀決定于其所受豎直方向上的力F1=(eE-mg)j和在初始時(shí)刻所受到的洛倫茲力-ev0Bj之間的大小和方向上的比較.1)當(dāng)eE-mg>ev0B(因?yàn)閑v0B≥0,所以定有b>0),即0≤v0＜bω時(shí),根據(jù)式(2)的第二式,恒有y≥0,表示帶電粒子始終在Ox軸及Ox軸上方.式(2)可化為{x=Rωt-qsinωty=q(1-cosωt)(3)其中R=bω2?q=-v0ω-bω2)(4)如果v0>0,形成這種旋輪線的過程如圖2所示:圓輪半徑為R,圓輪內(nèi)與圓心距離為q(<R)處有一點(diǎn)M,起初與坐標(biāo)原點(diǎn)重合;Ox軸下方(R-q)處有直線AB,圓輪在AB上方沿AB作順時(shí)針的勻角速純滾動(dòng)時(shí)(N為瞬心),M點(diǎn)的軌跡即為式(3).當(dāng)ωt=nπ(n=0,1,2,…)時(shí),恒有vx>0,切線斜率k=0,粒子在這些位置處沿Ox軸正向水平運(yùn)動(dòng),如圖2所示.如果v0=0,則q=R,式(3)表示普通旋輪線,如圖3所示.2)當(dāng)eE-mg=ev0B,即v0=bω時(shí),y=0.此時(shí)電磁場相當(dāng)于一個(gè)“速度選擇器”,粒子只能以速度v0=bω=eE-mgeB沿x軸正向作勻速直線運(yùn)動(dòng).3)當(dāng)eE-mg<ev0B,即v0＞bω時(shí),y≤0,表示帶電粒子總在Ox軸及Ox軸下方.有以下3種情況.a)如果b>0,即F1=(eE-mg)j豎直向上,則式(2)可化為{x=Rωt+qsinωty=-q(1-cosωt)(5)其中R=bω2?q=v0ω-bω2(6)此時(shí)也有3種情況.第一種是v0＞2bω＞0.此時(shí)q>R.形成這種旋輪線的過程如圖4所示:圓輪半徑為R,在圓輪的拓展部分上與圓心距離為q(>R)處有一點(diǎn)M,起初與坐標(biāo)原點(diǎn)重合;Ox軸的下方(q+R)處有直線AB,圓輪在AB的上方沿AB作順時(shí)針勻角速純滾動(dòng)時(shí),M點(diǎn)軌跡即為式(5).當(dāng)ωt=(2n-1)π(n=1,2,…)時(shí),vx=Rω-qω<0且切線斜率k=0,粒子在這些位置處沿Ox軸負(fù)向水平運(yùn)動(dòng),與輪心的運(yùn)動(dòng)方向相反.第二種情況是v0=2bω＞0.此時(shí)q=R.形成這種旋輪線的過程如圖5所示:圓輪的半徑為R,圓輪邊緣上有一點(diǎn)M,起初與坐標(biāo)原點(diǎn)重合;Ox軸的下方2R處有直線AB,圓輪在AB的上方沿AB順時(shí)針勻角速純滾動(dòng)時(shí),M點(diǎn)的軌跡即為式(5).第三種是0＜v0＜2bω.此時(shí)q<R.形成這種旋輪線的過程如圖6所示:圓輪的半徑為R,圓輪內(nèi)與圓心距離為q(<R)處有一點(diǎn)M,起初與坐標(biāo)原點(diǎn)重合;Ox軸的下方(q+R)處有直線AB,圓輪在AB上方沿AB作順時(shí)針勻角速純滾動(dòng)時(shí),M點(diǎn)的軌跡即為式(5).當(dāng)ωt=(2n-1)π(n=1,2,…)時(shí),vx>0且切線斜率k=0,粒子在這些位置處沿Ox軸正向運(yùn)動(dòng).b)如果b<0,即F1=(eE-mg)j豎直向下,則式(2)為{x=-Rωt+qsinωty=-q(1-cosωt)(7)其中R=-bω2?q=v0ω-bω2(8)如果v0>0,形成這種旋輪線的過程如圖7所示:圓輪半徑為R,其拓展部分上與圓心距離為q(>R)處有一點(diǎn)M,起初與坐標(biāo)原點(diǎn)重合;Ox軸下方(q-R)處有直線AB,圓輪在AB下方沿該直線作順時(shí)針勻角速純滾動(dòng)時(shí),M點(diǎn)的軌跡即為式(7).當(dāng)ωt=2nπ(n=0,1,…)時(shí),恒有vx=-Rω+qω>0,且切線斜率k=0,表示粒子在這些位置沿Ox軸正向運(yùn)動(dòng),與輪心的運(yùn)動(dòng)方向相反.如果v0=0,則q=R,式(7)表示普通旋輪線.c)如果b=0,即F1=(eE-mg)j為零,則式(5)可化為{x=Rsinωty=-R(1-cosωt)(9)粒子軌跡為O點(diǎn)正下方的順時(shí)針圓,半徑R=v0ω,圓心為(0,-R).上述各種曲線中,凡曲線位于Ox軸上方時(shí),帶電粒子與Ox軸的最大距離為D=2bω2-v0ω=2q(10)D隨v0減小而增大;凡曲線位于Ox軸下方時(shí),帶電粒子與Ox軸的最大距離為D=2v0ω-bω2=2q(11)D隨v0增大而增大.圖8是v0＞bω＞0情況下帶電粒子的軌跡,其中數(shù)字是v0與bω的比值n.2m點(diǎn)加速度的計(jì)算知道了圓輪形成旋輪線的具體細(xì)節(jié),可以很簡單地導(dǎo)出求旋輪線曲率半徑的計(jì)算公式.如圖9所示,半徑為R的圓輪的拓展部分上與圓心距離為q(q>R)處有點(diǎn)M.圓輪在Ox軸的下方沿著該軸逆時(shí)針純滾動(dòng),M點(diǎn)起初在最低點(diǎn).設(shè)圓心C的速度vC恒定.以C為基點(diǎn),任一時(shí)刻M的加速度a等于圓輪質(zhì)心的加速度aC與該點(diǎn)相對(duì)于基點(diǎn)系的加速度a(n)CM+a(τ)CM的矢量和.aC=0,故a(τ)CM=0,故a=a(n)CM.M的加速度又等于對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的切向加速度和法向加速度的矢量和,即a=an+aτ.綜上,有an+aτ=a(n)CM.故M點(diǎn)對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的法向加速度an(見圖9)的大小為an=a(n)CMcosα=ω2qcosα(12)設(shè)線段ˉCΜ與ˉCΝ夾角(不是圓輪的轉(zhuǎn)角)為θ,由幾何關(guān)系(圖9)可知,有ˉΝΜcosα=q-Rcosθ(13)代入上式消去cosα,得到an=ω2q(q-Rcosθ)ˉΝΜ(14)而M點(diǎn)速度大小的平方為v2=ω2ˉΝΜ2(15)N為瞬心.由ˉΝΜ2=R2+q2-2Rqcosθ及以上兩式得到旋輪線的曲率半徑為ρ=v2an=(R2+q2-2Rqcosθ)3/2q(q-Rcosθ)(16)曲線的最大和最小曲率半徑分別為ρmax=(q+R)2q?ρmin