潘春雷-平面幾何

2012年江蘇省高中數(shù)學(xué)夏令營平幾講座潘春雷2012年7月PAGEPAGE1平面幾何選講1.如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且BE+DF=EF，試求∠EAF的度數(shù).2.如圖，A、B、C、D為直線上四點(diǎn)，且AB=CD，點(diǎn)P為一動(dòng)點(diǎn)，若∠APB=∠CPD，試求點(diǎn)P的軌跡．3.如圖，以△ABC的底邊BC為直徑作半圓，分別與邊AB，AC交于點(diǎn)D和E，分別過點(diǎn)D，E作BC的垂線，垂足依次為F，G，線段DG和EF交于點(diǎn)M。求證：AM⊥BC.4．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，I是△ABC的內(nèi)心，AI交⊙O于點(diǎn)D．求證：AB，BC，CA成等差數(shù)列的充要條件是S△IBC＝S△DBC．

5．P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，直線AC，BP相交于點(diǎn)Q，直線AB，CP交于點(diǎn)R，已知AR＝RB＝CP，CQ＝PQ，求∠BRC．6．在△ABC中，AB＝AC，∠B的平分線與AC交于點(diǎn)D，且BC＝BD＋AD．求∠A．7．在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝40°，P，Q為三角形內(nèi)兩點(diǎn)，∠PAB＝∠QAC＝20°，∠PCB＝∠QCA＝10°，求證：B，P，Q三點(diǎn)共線．__B_C_A_P_Q8．設(shè)△ABC內(nèi)存在一點(diǎn)F，滿足∠AFB＝∠BFC＝∠CFA，直線BF，CF分別交AC，AB于點(diǎn)D，E．求證：AB＋AC≥4DE．9.上題中，證明：AF、ED、BC的中點(diǎn)M、N、P共線．

10．設(shè)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠APB－∠ACB＝∠APC－∠ABC．又D，E分別是△APB及△APC的內(nèi)心．證明：AP，BD，CE交于一點(diǎn)．11．設(shè)I是△ABC的內(nèi)心，且內(nèi)切圓與三邊BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)K，L，M，過B且平行于MK的直線交直線LM，LK于點(diǎn)R，S．求證：∠RIS＜90°．12．如圖，自⊙O外一點(diǎn)P引圓的兩條切線PE、PF，E、F為切點(diǎn)，過P點(diǎn)任意引圓的割線交⊙O于A，B，交EF于C．證明：EQEQ\F(2,PC)=EQ\F(1,PA)+EQ\F(1,PB)．13．過圓外一點(diǎn)P向⊙O作切線PA，PB與割線PCD，過點(diǎn)C作PA的平行線，分別交AB，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，求證：CE＝EF．

14．如圖，PA，PB分別與⊙O切于點(diǎn)A，B，⊙O的割線PCD交AB于點(diǎn)E，EF⊥PB于點(diǎn)F．求證：∠CFE＝∠DFE．15．P為⊙O外一點(diǎn)，PA切⊙O于點(diǎn)A，割線PBC，BD∥AP交AC于點(diǎn)D，OP交BD于點(diǎn)M，BD中點(diǎn)為N．求證：ON⊥AM．16．I是△ABC的內(nèi)心，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c．求證：eq\f(IA2,bc)＋eq\f(IB2,ac)＋eq\f(IC2,ab)＝1．17．四邊形兩組對邊延長線分別相交且交點(diǎn)連線與四邊形的一條對角線平行．證明：另一條對角線的延長線平分對邊交點(diǎn)連線．

18．在△ABC中，O是外心，I是內(nèi)心，∠C＝30°，邊AC上的點(diǎn)D與BC邊上的點(diǎn)E，使AD＝BE＝AB，求證：OI⊥DE，且OI＝DE．__M_A_D_C_B_E_O_I19．設(shè)△ABC不是直角三角形，O為△ABC的外心，H為垂心，直線OH交AC于點(diǎn)K，交AB于點(diǎn)L，已知OK＝HL，求∠A的值．__L_H_E_F_B_C_D_A_O_K20.設(shè)E、F分別為四邊形ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn)，BF與DE交于點(diǎn)P，若∠BAE=∠FAD，則∠BAP=∠CAD._G_E_F_B_C_D_A21.在凸四邊形ABCD中，∠CAB＝∠CAD，E，F(xiàn)分別是CD，BC_G_E_F_B_C_D_A

22.如圖，在四邊形ABCD中，△ABD，△BCD，△ABC的面積比是3∶4∶1，點(diǎn)M，N分別在AC，CD上，滿足AM∶AC=CN∶CD，并且B、M、N共線。求證：M與N分別是AC和CD的中點(diǎn).23．AF、BE、CD分別是△ABC的角平分線，中線與高，且AC＝b，AB＝c．求證：AF，BE，CD相交于一點(diǎn)的充要條件是cosA＝eq\f(c,b＋c)．24.如圖，△ABC中，O為外心，三條高AD、BE、CF交于點(diǎn)H，直線DE和AB交于點(diǎn)M，DF和AC交于點(diǎn)N．求證：（1）OB⊥DF，OC⊥DE．（2）OH⊥MN．

25.銳角△ABC中，AB>AC,O點(diǎn)是它的外心,射線AO交BC邊于D點(diǎn).OABCD已知：cosOABCD求證：△ABD與△ACD的周長相等.26．設(shè)P為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，AP，BP，CP依次交BC，CA，AB于點(diǎn)A1，B1，C1，求證：A1B1·B1C1·C1A1≥A1B·B1C·C1A．27．△ABC中，∠C＝2∠B，P為△ABC內(nèi)滿足AP＝AC，PB＝PC的點(diǎn)，求證：AP是∠A的一條三等分線．

28．設(shè)D為△ABC的邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AD上，過點(diǎn)D作一直線分別與AB，PB交于點(diǎn)M，E，與線段AC，PC的延長線交于點(diǎn)F，N．如果DE＝DF，求證：DM＝DN．29．在一個(gè)非鈍角三角形ABC中，AB＞AC，∠B