中考數(shù)學(xué)-數(shù)形結(jié)合專題

-.z.第九講數(shù)形結(jié)合思想【中考熱點分析】數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中重要的思想方法，它根據(jù)數(shù)學(xué)問題中的條件和結(jié)論之間的在聯(lián)系，既分析其數(shù)量關(guān)系，又提醒其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙的結(jié)合起來，并充分利用這種結(jié)合，探求解決問題的思路，使問題得以解決的思考方法。幾何圖形的形象直觀，便于理解；代數(shù)方法的一般性，解題過程的操作性強，便于把握?！窘?jīng)典考題講練】例1.〔2015〕如圖，直線分別交*軸、y軸于點A、B，P是拋物線的一個動點，其橫坐標(biāo)為a，過點P且平行于y軸的直線交直線于點Q，則當(dāng)PQ=BQ時，a的值是．例2.〔2014?〕平面直角坐標(biāo)系中兩定點A〔-1，0〕，B〔4，0〕，拋物線〔〕過點A、B，頂點為C．點P〔m，n〕〔n<0〕為拋物線上一點．〔1〕求拋物線的解析式與頂點C的坐標(biāo)．〔2〕當(dāng)∠APB為鈍角時，求m的取值圍．〔3〕假設(shè)，當(dāng)∠APB為直角時，將該拋物線向左或向右平移t〔〕個單位，點P、C移動后對應(yīng)的點分別記為、，是否存在t，使得首尾依次連接A、B、、所構(gòu)成的多邊形的周長最短？假設(shè)存在，求t值并說明拋物線平移的方向；假設(shè)不存在，請說明理由．解析：〔1〕待定系數(shù)法求解析式即可，求得解析式后轉(zhuǎn)換成頂點式即可．

〔2〕因為AB為直徑，所以當(dāng)拋物線上的點P在⊙C的部時，滿足∠APB為鈍角，所以-1＜m＜0，或3＜m＜4．

〔3〕左右平移時，使A′D+DB″最短即可，則作出點C′關(guān)于*軸對稱點的坐標(biāo)為C″，得到直線P″C″的解析式，然后把A點的坐標(biāo)代入即可．答案：(1)解:依題意把的坐標(biāo)代入得:;解得:拋物線解析式為頂點橫坐標(biāo),將代入拋物線得(2)如圖,當(dāng)時,設(shè),則過作直線軸,(注意用整體代入法)解得,當(dāng)在之間時，或時，為鈍角.(3)依題意，且設(shè)移動〔向右，向左〕連接則又的長度不變四邊形周長最小，只需最小即可將沿軸向右平移5各單位到處沿軸對稱為∴當(dāng)且僅當(dāng)、B、三點共線時，最小，且最小為，此時，設(shè)過的直線為，代入∴即將代入，得：，解得：∴當(dāng)，P、C向左移動單位時，此時四邊形ABP’C’周長最小。例3.〔2012〕如圖，AE切⊙O于點E，AT交⊙O于點M，N，線段OE交AT于點C，OB⊥AT于點B，∠EAT＝30°，，．〔1〕求∠COB的度數(shù)；〔2〕求⊙O的半徑R；〔3〕點F在⊙O上〔是劣弧〕，且EF＝5，把△OBC經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，使它的兩個頂點分別與點E，F(xiàn)重合．在EF的同一側(cè)，這樣的三角形共有多少個？你能在其中找出另一個頂點在⊙O上的三角形嗎？請在圖中畫出這個三角形，并求出這個三角形與△OBC的周長之比．解：(1)∵AE切⊙O于點E，∴OE⊥AE，∵OB⊥AT，∴在△CAE和△COB中，∠AEC＝∠CBO＝90°，而∠BCO＝∠ACE，∴∠COB＝∠A＝30°.(3分)圖(1)(2)在Rt△ACE中，AE＝3，∠A＝30°，∴EC＝AE·tan30°＝3.如圖(1)，連接OM，在Rt△MOB中，OM＝R，MB＝＝，∴OB＝＝.在Rt△COB中，∠COB＝30°，∴OC＝.∵OC＋EC＝R，∴·＋3＝R整理得R2＋18R－115＝0，即(R＋23)(R－5)＝0，∴R＝－23(不符合題意，舍去)，或R＝5，∴R＝5.(8分)(3)在EF的同一側(cè)，滿足題意的三角形共有6個，如圖(2)(3)(4)，每個圖有2個滿足題意的三角形．能找出另一個頂點也在⊙O上的三角形，如圖(1)，延長EO交⊙O于D，連接DF，則△DFE為符合條件的三角形．圖(2)圖(3)圖(4)由題意得，△DFE∽△OBC.由(2)得，DE＝2R＝10，OC＝＝2，∴＝＝＝5.(14分)【解答策略提煉】解題策略，數(shù)形結(jié)合思想包含“以形助教〞和“以數(shù)助形〞兩個方面，即用數(shù)形結(jié)合思想解題可分兩類：一是依形判教，用形解決數(shù)的問題，常見于借助數(shù)軸、函數(shù)圖像、幾何圖形來求解代數(shù)問題；二十就數(shù)論形，用數(shù)解決形的問題，常見于運用恒等變形、建立方程〔組〕、面積轉(zhuǎn)換等求解幾何問題?！緦ｍ椷_(dá)標(biāo)訓(xùn)練】填空題如下圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=6，BC=14，點M是線段BC上一定點，且MC=8，動點P從C點出發(fā)沿C→D→A→B的路線運動，運動到點B停頓，在點P的運動過程中，使△PMC為等腰三角形的點P有〔〕個。拋物線y=a*2-2a*-1+a(a>0)與直線*=2,*=3,y=1圍成的正方形有公共點，則a的取值圍是。如圖，拋物線y=*2+b*-2與*軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A〔-1,0〕，點M〔m,0〕是*軸上的一個動點，當(dāng)MC+MD的值最小時，m的值是24/41。拋物線y=a*2+b*+c(a≠0)與*軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，假設(shè)△ABC是直角三角形，則ac=.5.如圖，半徑為r1的圓切于半徑為r2的圓，切點為P，過圓心O1的直線與⊙O2交于A、B，與⊙O1交于C、D，AC：CD：DB=3：4：2，則=．解答題〔1〕如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別找一點M、N,使△AMN周長最小時，求∠AMN+∠ANM的度數(shù)。如圖，直線y=+b與雙曲線y=交于A、B兩點，其橫坐標(biāo)分別為1和5，求不等式<+b的解集。7.如圖，AC為⊥AC于F點，交AD于M點?！?〕求證：BC是⊙O的切線?！?〕EM=FM.8.〔2015?〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系*Oy中，直線y=*+2與*軸交于點A，與y軸交于點C．拋物線y=a*2+b*+c的對稱軸是*=﹣且經(jīng)過A、C兩點，與*軸的另一交點為點B．〔1〕①直接寫出點B的坐標(biāo)；②求拋物線解析式．〔2〕假設(shè)點P為直線AC上方的拋物線上的一點，連接PA，PC．求△PAC的面積的最大值，并求出此時點P的坐標(biāo)．〔3〕拋物線上是否存在點M，過點M作MN垂直*軸于點N，使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似？假設(shè)存在，求出點M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．【根底重點輪動】選擇題〔-〕-1+〔π-〕0+√〔-2〕2的值為〔〕-1B.-3C.1D.0要使分式有意義，則*的取值圍是〔〕*1B.*<1C.*>1D.*≠-1對于函數(shù)，以下說法錯誤的選項是〔〕A.它的圖象分布在一、三象限B.它的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形C.當(dāng)*＞0時，y的值隨*的增大而增大D.當(dāng)*＜0時，y的值隨*的增大而減小如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點是A、B，∠P=60°，OA=3，則∠AOB所對弧的長度為〔〕。A.6πB.5πC.3πD.2π拋物線y=*2+b*+c〔a≠0〕圖像向右平移2個單位再向下平移3個單位，所得的圖像解析式為=*2-2*-3，則b，c的值為〔〕。b=2，c=2B.b=2，c=0C.b=-2，c=-1D.b=-3，c=2如圖，△ABC中，CD⊥AB，垂足為D。以下條件中，不能證明△ABC是直角三角形的是〔〕A.∠A+∠B=90°

B.AB2=AC2+BC2

C.

D.CD2=AD?BD7.以下命題是真命題的是〔〕A.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形B．有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等C．兩條對角線相等的平行四邊形是矩形D．兩邊相等的平行四邊形是菱形8.如下圖，正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點。A、B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則C點的個數(shù)是〔C〕A．6B．7C．8D．9填空題如圖，直線l1∥l2∥l3,點A、B、C分別在在直線l1、l2、l3上，假設(shè)∠1=70°,∠2=50°，則∠ABC=度。第9題圖第10題圖10.如圖*水庫堤壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1：，堤壩高BC=50m，則迎水坡面AB的長度是。11.*課外小組的同學(xué)們在社會實踐活動中調(diào)查了20戶家庭*月的用電量，如下表所示：

用電量〔度〕120140160180200戶數(shù)23672則這20戶家庭該月用電量的眾數(shù)和中位數(shù)分別是。菱形ABCD的邊長是8，點E在直線AD上，假設(shè)DE=3，連接BE與對角線AC相交于點M，則S△ABM：S△CBM的值為。第10講綜合性解答問題【中考熱點分析】代數(shù)型綜合題是指以代數(shù)知識為主的或以代數(shù)變形技巧為主的一類綜合題，涉及知識：主要包括方程、函數(shù)、不等式等容。解題策略：用到的數(shù)學(xué)思想方法有化歸思想、分類思想、數(shù)形結(jié)合思想以及代入法、待定系數(shù)法、配方法等。幾何型綜合題是指以幾何知識為主或者以幾何變換為主的一類綜合題。涉及知識：主要包括幾何的定義、公理、定理、幾何變換等容。解題策略：解決幾何型綜合題的關(guān)鍵是把代數(shù)知識與幾何圖形的性質(zhì)以及計算與證明有機融合起來，進(jìn)展分析、推理，從而到達(dá)解決問題的目的。代數(shù)和幾何型綜合題是指以代數(shù)知識與幾何知識綜合運用的一類綜合題。涉及知識：代數(shù)與幾何的重要知識點和多種數(shù)學(xué)思想方法?！窘?jīng)典考題講練】例1.如圖，矩形OABC中，OA＝2，AB＝4，雙曲線〔k＞0〕與矩形兩邊AB、BC分別交于E、F?！?〕假設(shè)E是AB的中點，求F點的坐標(biāo)；例1題圖〔2〕假設(shè)將△BEF沿直線EF對折，B點落在*軸上的D點，作EG⊥OC，垂足為G，證明△EGD∽△DCF，并求k的值。例1題圖例2.〔2014?〕拋物線C1：y=a〔*+1〕2﹣2的頂點為A，且經(jīng)過點B〔﹣2，﹣1〕．〔1〕求A點的坐標(biāo)和拋物線C1的解析式.〔2〕如圖1，將拋物線C1向下平移2個單位后得到拋物線C2，且拋物線C2與直線AB相交于C，D兩點，求S△OAC：S△OAD的值.〔3〕如圖2，假設(shè)過P〔﹣4，0〕，Q〔0，2〕的直線為l，點E在〔2〕中拋物線C2對稱軸右側(cè)局部〔含頂點〕運動，直線m過點C和點E．問：是否存在直線m，使直線l，m與*軸圍成的三角形和直線l，m與y軸圍成的三角形相似？假設(shè)存在，求出直線m的解析式；假設(shè)不存在，說明理由．分析：〔1〕由拋物線的頂點式易得頂點A坐標(biāo)，把點B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可解決問題．〔2〕根據(jù)平移法則求出拋物線C2的解析式，用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再通過解方程組求出拋物線C2與直線AB的交點C、D的坐標(biāo)，就可以求出S△OAC：S△OAD的值．〔3〕設(shè)直線m與y軸交于點G，直線l，m與*軸圍成的三角形和直線l，m與y軸圍成的三角形形狀、位置隨著點G的變化而變化，故需對點G的位置進(jìn)展討論，借助于相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的增減性等知識求出符合條件的點G的坐標(biāo)，從而求出相應(yīng)的直線m的解析式．例3.〔10分〕〔2015?〕如圖，四邊形ABCD是⊙O的接正方形，AB=4，PC、PD是⊙O的兩條切線，C、D為切點．〔1〕如圖1，求⊙O的半徑；〔2〕如圖1，假設(shè)點E是BC的中點，連接PE，求PE的長度；〔3〕如圖2，假設(shè)點M是BC邊上任意一點〔不含B、C〕，以點M為直角頂點，在BC的上方作∠AMN=90°，交直線CP于點N，求證：AM=MN．分析：〔1〕利用切線的性質(zhì)以及正方形的判定與性質(zhì)得出⊙O的半徑即可；〔2〕利用垂徑定理得出OE⊥BC，∠OCE=45°，進(jìn)而利用勾股定理得出即可；〔3〕在AB上截取BF=BM，利用〔1〕中所求，得出∠ECP=135°，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出即可．【解答策略提煉】代數(shù)綜合題是以代數(shù)知識及代數(shù)變形為主的綜合題。主要包括方程、函數(shù)、不等式等容。解題策略：用到的數(shù)學(xué)思想方法有化歸思想、分類思想、數(shù)形結(jié)合思想以及代入法、待定系數(shù)法、配方法等。解代數(shù)綜合題要注意方程、不等式和函數(shù)、統(tǒng)計等知識點之間的橫向聯(lián)系和數(shù)學(xué)思想方法、解題技巧的靈活運用，要抓住題意，化整為零，層層深入，各個擊破，從而解決問題。幾何綜合題考察的圖形種類多、條件隱晦，在觀察方法上要注意從三角形、四邊形、圓的定義、性質(zhì)、判定來觀察分析圖形，通過尋找、分解、構(gòu)造根本圖形以發(fā)現(xiàn)圖形特征；在思考方法上分析挖掘題目的隱含條件，注意結(jié)合代數(shù)知識與幾何圖形的性質(zhì)思考，不斷的由想未知，為解決問題創(chuàng)造條件?！緦ｍ椷_(dá)標(biāo)訓(xùn)練】一、填空題如圖，在四邊形ABCD中，AB=4,BC=7，CD=2，AD=*,則*的取值圍是。如圖，在△ABC中，AB=AC，D在AB上，BD=AB，則∠A的取值圍是。ADADBCA*DBC742第1題圖第2題圖在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.假設(shè)以C點為圓心，r為半徑所作的圓與斜邊AB只有一個公共點，則r的取值圍是。如圖，矩形ABCD中，E為DC的中點，AD：AB=：2，CP：BP=1：2，連接EP并延長，交AB的延長線于點F，AP、BE相交于點O．以下結(jié)論：①EP平分∠CEB；②△EBP∽△EFB；③△ABP∽△ECP；④AO?AP=OB2．其中正確的序號是．〔把你認(rèn)為正確的序號都填上〕

〔2015〕關(guān)于*的一元二次方程a*2-3*-1=0的兩個不相等的實數(shù)根都在-1和0之間〔不包括-1和0〕，則a的取值圍是。二、解答題6.〔2014〕(2014年)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于點D．點P從點D出發(fā)，沿線段DC向點C運動，點Q從點C出發(fā)，沿線段CA向點A運動，兩點同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度，當(dāng)點P運動到C時，兩點都停頓．設(shè)運動時間為t秒．〔1〕求線段CD的長；〔2〕設(shè)△CPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定在運動過程中是否存在*一時刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100？假設(shè)存在，求出t的值；假設(shè)不存在，說明理由．〔3〕當(dāng)t為何值時，△CPQ為等腰三角形？備用圖1備用圖2〔2013?〕如圖，一次函數(shù)y=2*+2的圖像與y軸交于點B，與反比例函數(shù)y=k1/*的圖像的一個交點為A〔1，m〕，過點B作AB的垂線BD，與反比例函數(shù)y=k2/*交于點D〔n,-2〕.

〔1〕求k1和k2的值；

〔2〕假設(shè)直線AB、BD分別交*軸于點C、E，試問在y軸上是否存在一個點F，使得△BDF∽△ACE？假設(shè)存在，求出點F的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．8.(2015)如圖，AB是半圓O的直徑，CD⊥AB于點C，交半圓于點E，DF切半圓于點F.∠AEF=135°.〔1〕求證：DF∥AB；〔2〕假設(shè)OC=CE，BF=，求DE的長.9.〔2015?〕如圖，二次函數(shù)y=a*2+b*+3的圖象與*軸相交于點A〔﹣3，0〕、B〔1，0〕，與y軸相交于點C，點G是二次函數(shù)圖象的頂點，直線GC交*軸于點H〔3，0〕，AD平行GC交y軸于點D．〔1〕求該二次函數(shù)的表達(dá)式；〔2〕求證：四邊形ACHD是正方形；〔3〕如圖2，點M〔t，p〕是該