三角恒等變換講義

《三角恒等變換》廣州卓越教育集團(tuán)教育學(xué)院2011級第三期數(shù)學(xué)班沈榮春開心哈哈三角函數(shù)是函數(shù)，象限符號坐標(biāo)注。函數(shù)圖象單位圓，周期奇偶增減現(xiàn)。同角關(guān)系很重要，化簡證明都需要。正六邊形頂點(diǎn)處，從上到下弦切割。制勝裝備和與差的三角函數(shù)公式會用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式；能利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式；能利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，推導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解他們的內(nèi)在聯(lián)系；簡單的三角恒等變換能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換；戰(zhàn)前動員失之毫厘，謬以千里1967年8月23日在電視上，觀眾們看到了宇航員科馬洛夫鎮(zhèn)定自若的形象。他面帶微笑叮囑女兒說：“你學(xué)習(xí)時，要認(rèn)真對待每一個小數(shù)點(diǎn)。聯(lián)盟一號今天發(fā)生的一切，就是因?yàn)榈孛鏅z查時忽略了一個小數(shù)點(diǎn)……”即使是一個小數(shù)點(diǎn)的錯誤，也會導(dǎo)致永遠(yuǎn)無法彌補(bǔ)的悲壯告別。古羅馬的愷撒大帝有句名言：“在戰(zhàn)爭中，重大事件常常就是小事所造成的后果。”換成我們中國的警句大概就是“失之毫厘，謬以千里”吧。戰(zhàn)況分析重點(diǎn)導(dǎo)出兩角和差的三角函數(shù)的十一個公式，并了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，為運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡單的恒等變換打好基礎(chǔ)；難點(diǎn)兩角差的余弦公式的探索與證明?？键c(diǎn)兩角和與差的三角函數(shù)；二倍角的三角函數(shù)在求值、化簡中的應(yīng)用；化一公式的使用。易錯點(diǎn)用方程的思想把求多項(xiàng)式取值范圍問題轉(zhuǎn)化為求變量取值范圍問題是擴(kuò)大了自變量的取值范圍。掃清障礙1．兩角和與差的三角函數(shù)；；。2．二倍角公式；；。3．半角公式（）4．三角函數(shù)式的化簡常用方法：①直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng)；②切割化弦，異名化同名，異角化同角；③三角公式的逆用等。（2）化簡要求：①能求出值的應(yīng)求出值；②使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；③使項(xiàng)數(shù)盡量少；④盡量使分母不含三角函數(shù)；⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)。（1）降冪公式；；。（）（2）輔助角公式，。5．三角函數(shù)的求值類型有三類（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題；（2）給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的范圍的討論；（3）給值求角：實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角。6．三角等式的證明（1）三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同”；（2）三角條件等式的證題思路是通過觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系，采用代入法、消參法或分析法進(jìn)行證明。小試牛刀1.已知sin=,且∈，那么的值等于.2.已知tan(+)=3，tan(-)=5，則tan2=.3.設(shè)∈（0，），若sin=，則cos（+）=.4.（2008·山東理）已知cos+sin=,則sin的值是.5.函數(shù)y=cosx(sinx+cosx)的最小正周期為. 6.若sinA=,sinB=,且A,B均為鈍角,求A+B的值.卓越兵法【兵法案例】【作戰(zhàn)策略】（1）（2）解析：【適用兵法】在利用判別式進(jìn)行三角函數(shù)運(yùn)算時，不要忽視對判別式△≥0的情況；沙場點(diǎn)兵1.y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小正周期和最小值分別為.2.（2009·徐州六縣一區(qū)聯(lián)考）設(shè)sin=(＜＜),tan(-)=,則tan(-)的值等于.3.cos(+)=,sin=,,∈，那么cos的值為.4.若cos(+)=,cos(-)=,則tan·tan=.5.已知∈,∈且sin(+)=,cos=-.求sin.6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個銳角、，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點(diǎn)，已知A，B的橫坐標(biāo)分別為，.（1）求tan(+)的值；（2）求+2的值.7.已知cos()=-,sin(-)=,且＜＜π，0＜＜，求cos的值.錦旗飄揚(yáng)已知tan、tan是方程x2-4x-2=0的兩個實(shí)根，求:cos2(+)+2sin(+)cos(+)-3sin2(+)的值.課后小結(jié)在學(xué)習(xí)中要切實(shí)掌握公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，把我哥哥公式的結(jié)構(gòu)特征，要善于變通，體現(xiàn)一個活字，明確各個公式的適用范圍；在解三角問題時，我們常常根據(jù)具體問題運(yùn)用函數(shù)與方程的思想，構(gòu)造相關(guān)的函數(shù)或方程來解題。掌握各個公式的推導(dǎo)過程，是理解和運(yùn)用公式的首要環(huán)節(jié)，熟練地運(yùn)用公式進(jìn)行“升冪”和“降冪”；三角函數(shù)的化簡與求值的難點(diǎn)在于眾多三角公式的靈活運(yùn)用和解題突破口的合理選擇，認(rèn)真分析所求式子的整體結(jié)構(gòu)，分析各個三角函數(shù)及角的相互關(guān)系式靈活選用公式的基礎(chǔ)，是恰當(dāng)尋找解題思路起點(diǎn)的關(guān)鍵所在；求值常用的方法：切割化弦法，升冪降冪法，和積互化法，輔助元素法、“1”的代換法等；要掌握求值問題的解題規(guī)律和途徑，尋求角之間關(guān)系的特殊性，化非特殊角為特殊角，正確選用公式，靈活地掌握各個公式的正用、逆用、變形用。小試牛刀答案：1、；2、-；3、4、5、6、解∵A、B均為鈍角且sinA=,sinB=，∴cosA=-=-=-，cosB=-=-=-，∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=×-×=①又∵＜A＜,＜B＜,∴＜A+B＜2②，由①②知，A+B=沙場點(diǎn)兵答案：1.,2-2.-3.4.5.解∵∈，cos=-,∴sin=，又∵0＜＜,＜＜,∴＜+＜,又sin(+)=,∴＜+＜,cos(+)=-=-=-,∴sin=sin［(+)-］=sin(+)cos-cos(+)sin=·-·=.6.解由條件得cos=,cos=.∵,為銳角,∴sin==,sin==.因此tan==7,tan==.(1)tan(+)===-3.(2)∵tan2===,∴tan(+2)===-1.∵,為銳角,∴0＜+2＜,∴+2=.7.解