專題34 掌握直線方程的基本類型（解析版）

成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動更新永不過期成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動更新永不過期專題34掌握直線方程的基本類型【考點預(yù)測】一、基本概念斜率與傾斜角我們把直線中的系數(shù)（）叫做這條直線的斜率，垂直于軸的直線，其斜率不存在．軸正方向與直線向上的方向所成的角叫這條直線的傾斜角．傾斜角，規(guī)定與軸平行或重合的直線的傾斜角為0，傾斜角不是的直線的傾斜角的正切值叫該直線的斜率，常用表示，即．當(dāng)時，直線平行于軸或與軸重合；當(dāng)時，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨的增大而增大；當(dāng)時，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角隨的增大而減小；二、基本公式1、兩點間的距離公式2、的直線斜率公式3、直線方程的幾種形式（1）點斜式：直線的斜率存在且過，注：①當(dāng)時，；②當(dāng)不存在時，（2）斜截式：直線的斜率存在且過，（3）兩點式：，不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線．注：可表示經(jīng)過兩點的所有直線（4）截距式：不能表示垂直于坐標(biāo)軸及過原點的直線．（5）一般式：，能表示平面上任何一條直線（其中，向量是這條直線的一個法向量）三、兩直線平行與垂直的判定兩條直線平行與垂直的判定．兩直線方程平行垂直（斜率存在）（斜率不存在）或或中有一個為0，另一個不存在．四、三種距離1、兩點間的距離平面上兩點的距離公式為．特別地，原點O（0，．0）與任一點P（x，y）的距離2、點到直線的距離點到直線的距離特別地，若直線為l：x=m，則點到l的距離；若直線為l：y=n，則點到l的距離3、兩條平行線間的距離已知是兩條平行線，求間距離的方法：（1）轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的特殊點到另一條直線的距離．（2）設(shè)，則與之間的距離注：兩平行直線方程中，x，y前面對應(yīng)系數(shù)要相等．【典例例題】例1．（2023春·廣東·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若直線與直線平行，則，解得或，經(jīng)檢驗或時兩直線平行．故“”能得到“直線與直線平行”，但是“直線與直線平行”不能得到“”故選：A例2．（2023·高三課時練習(xí)）已知點和，直線與線段相交，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．C． D．【答案】A【解析】直線方程可整理為：，則直線恒過定點，，，直線與線段相交，直線的斜率或.故選：A.例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知兩點到直線的距離相等，則（

）A．2 B． C．2或 D．2或【答案】D【解析】（1）若在的同側(cè)，則，所以，，（2）若在的異側(cè)，則的中點在直線上，所以解得,故選:D.例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點、，若線段的垂直平分線的方程是，則實數(shù)的值是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由中點坐標(biāo)公式，得線段的中點坐標(biāo)為，直線的斜率為，由題意知，直線的斜率為，所以，，解得.故選：C.例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使點與重合，求折痕所在直線是（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】，，所以與的中點坐標(biāo)為，又，所以折痕所在直線的斜率為1，故折痕所在直線是，即.故選：D例6．（2023春·河南·高三河南省淮陽中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知傾斜角為的直線與直線垂直，則___________．【答案】5【解析】直線的斜率為，因為傾斜角為的直線與直線垂直，所以解得，所以，則.故答案為：.例7．（2023·高三課時練習(xí)）已知過點和的直線的傾斜角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】設(shè)直線的傾斜角為，則，為鈍角，，則，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.例8．（2023·高三課時練習(xí)）已知點，若直線l過點，且A、B到直線l的距離相等，則直線l的方程為______.【答案】或【解析】依題意，到直線的距離相等.的中點為，當(dāng)過以及時，直線的方程為.直線的斜率為，當(dāng)直線過并與平行時，直線的方程為.綜上所述，直線的方程為或.故答案為：或例9．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）若直線與直線平行，則這兩條直線間的距離是____________．【答案】【解析】由直線與直線平行，可知，即，故直線為，直線變形得，故，故答案為：.例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點P(3，0)有一條直線l，它夾在兩條直線l1：2x－y－2＝0與l2：x＋y＋3＝0之間的線段恰被點P平分，則直線l的方程為________．【答案】8x－y－24＝0【解析】設(shè)直線夾在直線之間的線段是(在上，在上)，的坐標(biāo)分別是.因為被點平分，所以，于是.

由于在上，在上，所以，解得，即的坐標(biāo)是.

直線的方程是，

即

.

所以直線的方程是.例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線：，.(1)證明直線過定點，并求出點的坐標(biāo)；(2)在（1）的條件下，若直線過點，且在軸上的截距是在軸上的截距的，求直線的方程；(3)若直線不經(jīng)過第四象限，求的取值范圍.【解析】（1）證明：整理直線的方程，得，所以直線過直線與的交點，聯(lián)立方程組，解得，所以直線過定點，點的坐標(biāo)為.（2）當(dāng)截距為0時，直線的方程為，即，當(dāng)截距不為0時，設(shè)直線的方程為，則，解得，直線的方程為，即，故直線的方程為或.（3）當(dāng)時，直線的方程為，符合題意；當(dāng)時，直線的方程為，不符合題意；當(dāng)，且時，，所以解得或，綜上所述，當(dāng)直線不經(jīng)過第四象限時，的取值范圍是：.【能力提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2023春·湖北荊州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）若直線經(jīng)過兩點，，且其傾斜角為135°，則m的值為（

）A．0 B． C． D．【答案】D【解析】經(jīng)過兩點，的直線的斜率為，又直線的傾斜角為135°，∴，解得．故選：D2．（2023·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）直線的傾斜角為（

）A．0 B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)直線的傾斜角為，由題意可知：，所以，故選：.3．（2023·甘肅慶陽·高二?？计谀┮阎本€與直線平行，則實數(shù)a的值為（

）A． B． C．1 D．或1【答案】D【解析】由，解得或，經(jīng)過驗證滿足題意.故選：D.4．（2023春·甘肅武威·高二民勤縣第一中學(xué)校考開學(xué)考試）已知三角形三個頂點的坐標(biāo)分別為，，，則邊上的高的斜率為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】，，設(shè)邊上的高的斜率為，則，故選：C5．（2023春·安徽·高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）若直線：與直線：（）互相垂直，則（

）A． B． C．12 D．【答案】B【解析】由題意得，當(dāng)時，直線，與直線不垂直，故，直線的斜率為，直線的斜率為，所以，解得，故選：B．6．（2023·山東威?！じ叨y(tǒng)考期末）經(jīng)過，兩點的直線的傾斜角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】B【解析】由斜率公式可得，故經(jīng)過，兩點的直線的傾斜角為60°.故選：B.7．（2023·山西運(yùn)城·高二統(tǒng)考期末）已知直線：與：平行，則實數(shù)a的值為（

）A．或2 B．0或2 C． D．2【答案】C【解析】若兩直線斜率都不存在，直線中，直線中，所以沒有實數(shù)a能同時滿足兩條直線斜率均不存在；若兩條直線都有斜率，兩直線平行斜率相等，得，解得或，經(jīng)過驗證：時兩直線重合，舍去，所以,故選：C8．（2023·山西臨汾·高二統(tǒng)考期末）若三點在同一直線上，則實數(shù)等于（

）A． B． C．6 D．12【答案】C【解析】因為，又，所以，即.故選：C.9．（2023·湖北黃岡·高二統(tǒng)考期末）已知直線與軸垂直，則為（

）A． B．0 C． D．或0【答案】A【解析】因為與軸垂直，所以直線的斜率為0，所以，且，解得.故選：A.10．（2023·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）直線l：的傾斜角θ為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】的傾斜角θ滿足，故.故選：D.11．（2023·江蘇連云港·高二?？计谀┙?jīng)過點作直線，且直線與連接點，的線段總有公共點，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題知，直線的傾斜角為，則，，，且直線與連接點，的線段總有公共點，如下圖所示，則，即，.故選：B12．（2023·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)校考期末）已知、，直線過定點，且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】A【解析】設(shè)直線與線段交于點，其中，所以，.故選：A.13．（2023·山東東營·高二統(tǒng)考期末）已知經(jīng)過兩點和的直線的傾斜角為，則m的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為直線的傾斜角為，所以該直線的斜率為.所以，解得.故選:C.14．（2023·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期末）設(shè)為實數(shù)，已知過兩點，的直線的斜率為，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】因為過兩點，的直線的斜率為，所以，解得.故選：C15．（2023·甘肅慶陽·高二?？计谀┲本€的縱截距為（

）A． B． C． D．3【答案】A【解析】因為直線，令，可得，所以直線的縱截距為.故選：A.16．（2023·廣東河源·高二龍川縣第一中學(xué)?？计谀┻^點引直線，使，，兩點到直線的距離相等，則直線方程是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】若直線斜率不存在，即，此時，兩點到直線的距離分別為3和5，故距離不相等，舍去；若直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，由得：或，故直線方程為或，整理得或.故選：D17．（2023·河南商丘·高二商丘市第一高級中學(xué)?？计谀┙?jīng)過點且斜率為的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由點斜式得，即.故選：A18．（2023·湖南益陽·高二統(tǒng)考期末）過點且與直線平行的直線方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)與直線平行的直線方程為：，又因為直線過點，所以，解得：，所以所求直線方程為，故選：.19．（2023春·河南焦作·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知直線，點和到直線l的距離分別為且，則直線l的方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】∵點到直線l的距離為，點到直線l的距離為，而，∴，可得，解得或，故直線l的方程為或．故選：C20．（2023·廣東廣州·高二廣州市協(xié)和中學(xué)?？计谀┻^點引直線，使，兩點到直線的距離相等，則這條直線的方程是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】若過的直線與平行，因為，故直線的方程為：即.若過的直線過的中點，因為的中點為，此時，故直線的方程為：即.故選：D.21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如果關(guān)于直線的對稱點為，則直線的方程是()A．B．C．D．【答案】A【解析】因為已知點關(guān)于直線的對稱點為，故直線為線段的中垂線，求得的中點坐標(biāo)為，的斜率為，故直線的斜率為，故直線的方程為，即.故選：A.22．（2023·高二單元測試）兩平行直線與的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，所以這兩條平行線的距離為：，故選：B23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線關(guān)于點對稱的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)對稱的直線方程上的一點的坐標(biāo)為，則其關(guān)于點對稱的點的坐標(biāo)為，因為點在直線上，所以即.故選：D.二、多選題24．（2023·甘肅慶陽·高二校考期末）已知，直線l的方程為，則直線l的傾斜角可能為（

）A．0 B． C． D．【答案】CD【解析】當(dāng)時，則直線的斜率為，所以直線的傾斜角可能為，當(dāng)時，則直線的斜率不存在，所以直線的傾斜角為，當(dāng)時，則直線的斜率為，所以直線的傾斜角范圍為，不可能為0和.故選：CD.25．（2023·山東泰安·高二統(tǒng)考期末）下列說法正確的是（

）A．直線必過定點B．直線在y軸上的截距為1C．過點且垂直于直線的直線方程為D．直線的傾斜角為120°【答案】AC【解析】對于A，由直線方程，整理可得，當(dāng)時，，故A正確；對于B，將代入直線方程，可得，解得，故B錯誤；對于C，由直線方程，則其垂線的方程可設(shè)為，將點代入上式，可得，解得，則方程為，故C正確；對于D，由直線方程，可得其斜率為，設(shè)其傾斜角為，則，解得，故D錯誤.故選：AC.26．（2023·江蘇鹽城·高二?？计谀┫铝姓f法錯誤的是（

）A．過點且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為B．直線必過定點C．經(jīng)過點，傾斜角為的直線方程為D．直線和以，為端點的線段相交，則實數(shù)的取值范圍為【答案】ACD【解析】對于A：當(dāng)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等且等于0時，直線過原點，可設(shè)直線方程為，又直線過點，則，即，此時直線方程為，故A錯誤；對于B：直線可變形為，由解得，即直線必過定點，故B正確；對于C：當(dāng)傾斜角時，無意義，故C錯誤；對于D：直線即，經(jīng)過定點，當(dāng)直線經(jīng)過點時，斜率為，當(dāng)直線經(jīng)過點時，斜率為，由于線段與軸相交，故實數(shù)的取值范圍為或，故D錯誤；故選：ACD三、填空題27．（2023·上海楊浦·高二復(fù)旦附中?？计谀┮阎本€：，：，若，則實數(shù)a的值為______.【答案】【解析】，則，解得.故答案為：28．（2023·高二課時練習(xí)）若直線的傾斜角是直線的傾斜角的兩倍，則直線l的方程為______．【答案】【解析】設(shè)直線的傾斜角為，且，則直線的傾斜角是.所以，所以，即，代入直線方程，整理得：.故答案為：29．（2023·上海楊浦·高二復(fù)旦附中校考期末）直線，當(dāng)m變動時，所有直線都通過定點______.【答案】【解析】將直線方程化為.解，可得，所以，當(dāng)m變動時，所有直線都通過定點.故答案為：.30．（2023·高二課時練習(xí)）直線與的交點在曲線上，則______．【答案】【解析】聯(lián)立，得，即直線與的交點為，因為兩直線的交點在曲線上，所以，解得.故答案為：.31．（2023·高二課時練習(xí)）若直線與直線的交點在第一象限，則實數(shù)b的取值范圍是___________.【答案】【解析】由題意，直線，令，可得；令，可得，即，如圖所示，當(dāng)直線過點，可得；當(dāng)直線過點，可得，要使得直線與直線的交點在第一象限，則，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.32．（2023·高二課時練習(xí)）到直線的距離為______．【答案】【解析】到直線的距離為，故答案為：33．（2023·上海長寧·高二上海市延安中學(xué)校考期末）已知，兩點關(guān)于直線對稱，則點的坐標(biāo)為______.【答案】【解析】設(shè)點，因為直線的斜率為，則有，解得：，所以點的坐標(biāo)為.故答案為：34．（2023·福建三明·高二統(tǒng)考期末）兩條平行直線與間的距離為________.【答案】【解析】因為直線與平行，可知,則，解得，直線，即，直線，所以直線與間距離為.故答案為：35．（2023·高二課時練習(xí)）直線與直線的距離為，則實數(shù)a的值為______．【答案】3，-4【解析】直線方程化為和，∴，解得或．故答案為：3或．36．（2023·高二單元測試）直線關(guān)于點的對稱直線方程是______．【答案】【解析】設(shè)對稱直線為，則有，即解這個方程得（舍）或.所以對稱直線的方程中.故答案為：.四、解答題37．（2023春·甘肅武威·高二民勤縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）直線過兩直線：和：的交點，且與直線：平行，求直線的方程．【解析】方程得與的交點為．∵直線的斜率為，，∴直線的斜率為，故直線的方程為，即．38．（2023·高二課時練習(xí)）求直線繞逆時針旋轉(zhuǎn)后所得到的直線方程．【解析】設(shè)直線的傾斜角為，旋轉(zhuǎn)之后的傾斜角為，則，，且旋轉(zhuǎn)之后的直線過點，所以直線方程為.所以旋轉(zhuǎn)之后的直線方程為.39．（2023·高二課時練習(xí)）若直線與的夾角是，求實數(shù)m的值．【解析】由，所以直線的斜率為，由，所以直線的斜率為，因為直線與的夾角是，所以于是有.40．（2023·湖南益陽·高二統(tǒng)考期末）已知點和直線．(1)若直線經(jīng)過點P，且，求直線的方程；(2)若直線過原點，且點P到直線，l的距離相等，求直線的方程．【解析】（1）由直線l的方程可知它的斜率為，因為，所以直線的斜率為2．又直線經(jīng)過點，所以直線的方程為：，即．（2）點P到直線l的距離為：，①當(dāng)直線的斜率不存在時，的方程為：，點P到直線的距離為2，與己知矛盾；②當(dāng)直線的斜率存在時，可設(shè)直線的方程為：，則，解得．所以，直線的方程為：．41．（2023·高二課時練習(xí)）經(jīng)過點并且在兩個坐標(biāo)軸上的截距相