測量平差基礎(chǔ)

第一章緒論第一節(jié)測量平差的重要性第三節(jié)補充知識第二節(jié)平差問題產(chǎn)生的原因第一節(jié)測量平差的重要性一、測量平差的定義與任務(wù)定義1、測量數(shù)據(jù)的處理的理論與方法。定義2、按數(shù)理統(tǒng)計的理論與方法處理測量數(shù)據(jù)。理論基礎(chǔ)：數(shù)理統(tǒng)計線性代數(shù)高等數(shù)學(xué)微分 泰勒級數(shù)專業(yè)基礎(chǔ)：普通測量學(xué)（數(shù)字測圖）處理工具：計算機編程二、測量平差的任務(wù)：確定未知量的估值并評定其精度。線性代數(shù)微分 級數(shù)普通測量攝影測量工程測量變形觀測地理信息系統(tǒng)測量平差大地控制測量工程控制測量GPS測量計算機編程數(shù)理統(tǒng)計三、測量平差的重要性理論基礎(chǔ)數(shù)學(xué)工具計算工具數(shù)據(jù)處理理論方法直接處理數(shù)據(jù)控制測量數(shù)據(jù)處理第二節(jié)平差問題產(chǎn)生的原因一、實例說明

1、邊長（距離）測量第一種情況：欲知直線度L（1）進(jìn)行一次觀測便可知（2）進(jìn)行n次觀測，得

L1、L2、···、Ln理論上應(yīng)：

L1=L2=···=Ln

但由于有誤差，實際上各自并不一定相等，出現(xiàn)了同一量的不同觀測值不相等的矛盾。L1L2…Ln第二種情況：欲得L1、L2、L3的長度（1）觀測了L1、L2，則

L3=L1-L2（2）也可直接觀測L1、L2、L3理論上應(yīng)：

L1=L2+L3實際上，由于觀測值有誤差，上式不一定成立，而是：

L1≠L2+L3于是產(chǎn)生了矛盾。L1L2L32、三角測量:欲知三角形三內(nèi)角L1、L2、L3的大?。?）觀測了三角形三內(nèi)角L1、L2，則L3=180°－L1－L2（2）觀測了三角形三內(nèi)角L1、L2、L3，由于有誤差，一般情況下：L1+L2+L3≠180°存在閉合差（觀測值與理論值之差）w=L1+L2+L3－180°出現(xiàn)了三角形三內(nèi)角觀測值之和不等于180°的矛盾。L1L2L3那么，這些觀測值之間的矛盾是怎么產(chǎn)生的呢？我們又如何來解決這些矛盾呢？二、測量平差產(chǎn)生的原因1、觀測值之間的矛盾產(chǎn)生原因（1）、觀測值存在誤差（2）、有多余觀測由于觀測值之間存在矛盾，故必須進(jìn)行數(shù)據(jù)處理—測量平差。注：總觀測元素：對某個幾何模型進(jìn)行的所有觀測，其個數(shù)用n表示。必要元素：確定一個幾何模型所必要的元素，其個數(shù)用t表示。多余觀測：在一個幾何模型中，除必要元素之外的觀測元素，其個數(shù)用r表示，r=n-t。幾何模型：各種控制網(wǎng)的統(tǒng)稱。1、示例設(shè)對某三角形三內(nèi)角進(jìn)行觀測，得觀測值：L1=58°30′40″，L2=61°20′10″，L3=60°08′58″ω=（L1+L2+L3）-1800=-12″若將L1，L2，L3分別加上一個改正數(shù)v1,v2,v3，使得：(L1+v1)+(L2+v2)+(L3+v3）=1800即：(v1+v2+v3)+(L1+L2+L3-1800)=0亦即：v1+v2+v3-12″=0三、測量平差的基本原理

從前面我們知道，由于觀測值之間存在矛盾要進(jìn)行平差，那么怎樣進(jìn)行平差呢？什么樣的平差結(jié)果才是最佳估值？怎樣評定平差結(jié)果的精度呢？這就是測量平差要解決的問題。L1L2L3滿足方程的v1,v2,v3有無限多組，那么，按什么準(zhǔn)則從無限多解當(dāng)中選取合理的解呢？根據(jù)最優(yōu)化數(shù)學(xué)方法，一般按如下準(zhǔn)則，也就是最小二乘準(zhǔn)則來解決該問題。由此可得唯一最優(yōu)解：v1=v2=v3=4″2、平差原則—最小二乘原理（2）、不同精度獨立觀測，改正數(shù)v應(yīng)滿足：（1）、同精度獨立觀測，改正數(shù)v應(yīng)滿足：測量平差數(shù)學(xué)模型包括函數(shù)模型和隨機模型，平差的基本模型有以下四種：3、測量平差數(shù)學(xué)模型1）、條件平差數(shù)學(xué)模型2）、附有參數(shù)的條件平差

3）間接平差模型（高斯－馬爾柯夫模型）最基本模型1912年，A.A.Markov，對最小二乘原理進(jìn)行證明，形成數(shù)學(xué)模型：最小二乘解：4）、附有限制條件的間接平差法4、測量平差的核心內(nèi)容起動數(shù)據(jù)觀測值L觀測值的權(quán)陣P起始數(shù)據(jù)滿足條件VTPV=min線性函數(shù)模型觀測值的平差值參數(shù)的平差值單位權(quán)方差估值觀測值的平差值協(xié)因數(shù)陣參數(shù)的平差值協(xié)因數(shù)陣平差結(jié)果

由觀測值L、觀測值的權(quán)陣P、起始數(shù)據(jù)推求觀測值的平差值、參數(shù)的平差值、觀測值的平差值方差、參數(shù)的平差值方差。注：函數(shù)模型：描述觀測量與未知量間的數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系的模型。停止返回5、測量平差的任務(wù)：

對一系列帶有觀測誤差的觀測值，運用概率統(tǒng)計的方法來消除它們之間的不符值，求未知量的最可靠值。

評定測量成果的質(zhì)量

由此可見，測量平差即數(shù)據(jù)調(diào)整，也就是依據(jù)某種最優(yōu)準(zhǔn)則，由一系列帶有觀測誤差的測量數(shù)據(jù)，求定未知量的最佳估值及精度的理論和方法。6、測量平差中要弄清的幾個重要問題

1）、在一個測量平差問題中，怎樣計算觀測值個數(shù)n,必要觀測數(shù)t,多余觀測數(shù)r，這是進(jìn)行測量平差首先要解決的問題。2）、各種函數(shù)模型的非線性形式及其線性形式怎樣表示，怎樣建立各種線性函數(shù)模型。特別是對于條件平差模型,怎樣列出各種條件方程，對于間接平差模型，怎樣列出誤差方程。

3）、觀測值的權(quán)陣怎么確定，權(quán)陣與協(xié)因數(shù)陣有什么關(guān)系，權(quán)與協(xié)因數(shù)有什么關(guān)系。4）、協(xié)方差傳播律和協(xié)因數(shù)傳播律是指什么？設(shè)向量F，W分別是隨機向量X，Y的以下線性函數(shù):F＝AX+BYW＝CX+DY

試求F和W的協(xié)方差陣D(XY)，并由此導(dǎo)出各種特殊情況下求方差和協(xié)方差的公式。5）、VTPV=min平差原則是怎樣導(dǎo)出來的？按此原則求出的估值L，X有什么優(yōu)越性？或為什么稱L，X為最佳估計？什么是最佳估計？怎樣證明它們是最佳估計（建議對各種不同的平差模型進(jìn)行證明）。6）、以下單位權(quán)方差估值公式：是怎么求出來的。為什么從觀測值方差陣中任意取出一個公因子都是單位權(quán)方差。7）、如何證明以下分布：

怎么由它構(gòu)造t,F統(tǒng)計量，它們有什么作用。

8）、一個點的誤差橢圓說明什么，怎么計算誤差橢圓的有關(guān)參數(shù)。四、測量平差產(chǎn)生的歷史

最小二乘法產(chǎn)生的背景18世紀(jì)末，如何從多于未知參數(shù)的觀測值集合求出未知數(shù)的最佳估值？

最小二乘的產(chǎn)生1794年，C.F.GUASS，從概率統(tǒng)計角度，提出了最小二乘，并利用其解決了上述問題。1806年，A.M.Legendre，從代數(shù)角度，提出了最小二乘?！稕Q定彗星軌道的新方法》1809年，C.F.GUASS，《天體運動的理論》

五、測量平差的發(fā)展1．從單純偶然誤差理論擴展到包含系統(tǒng)誤差和粗差的理論與方法。2．提出了相關(guān)平差3．產(chǎn)生了顧及隨機參數(shù)的最小二乘方法即最小二乘濾波，推估和配置。4．形成了秩虧自由網(wǎng)平差理論5．出現(xiàn)后驗定權(quán)方法，形成了方差－協(xié)方差估計理論。6．展開了對系統(tǒng)誤差特性、傳播、檢驗、分析的理論研究。7．展開了數(shù)據(jù)探測法和可靠性理論的研究，提出了穩(wěn)健估計方法。六、本課程應(yīng)掌握的主要內(nèi)容1、偶然誤差理論：偶然誤差的性質(zhì)、精度指標(biāo)及其估值、中誤差及其估值、誤差傳播定律、權(quán)與定權(quán)的方法；2、測量平差的函數(shù)模型和隨機模型、最小二乘原理及方法；3、測量平差的基本方法：條件平差、間接平差、附有未知參數(shù)的條件平差、附有限制條件的間接平差；4、誤差橢圓。七、學(xué)習(xí)方法1、端正學(xué)習(xí)態(tài)度，充分認(rèn)識學(xué)好測量平差對于學(xué)好測繪工程專業(yè)的重要性。2、學(xué)習(xí)測量平差教材時，要多設(shè)疑，自己多動手去推算和證明，不要輕易相信書上的結(jié)論,并不斷根據(jù)已經(jīng)學(xué)得的知識，預(yù)測后面的內(nèi)容和可能的結(jié)論。

3、學(xué)好所編矩陣基礎(chǔ)知識，還要復(fù)習(xí)、掌握數(shù)理統(tǒng)計的有關(guān)知識。

4、學(xué)習(xí)時，視野關(guān)注主干、核心內(nèi)容，實用時注重細(xì)節(jié)。

5、對一個平差模型證明推導(dǎo)的某些公式，對另一個平差模型自己進(jìn)行證明、推導(dǎo)。6、弄清前述8個問題。7、適當(dāng)記筆記。第三節(jié)、補充知識一、矩陣的定義及其某些特殊矩陣（1）由個數(shù)有次序地排列成m行n列的表叫矩陣通常用一個大寫字母表示，如：(2)若m=n，即行數(shù)與列數(shù)相同，稱A為方陣。元素a11、a22……ann稱為對角元素。(3)若一個矩陣的元素全為0，稱零矩陣，一般用O表示。(4)對于的方陣，除對角元素外，其它元素全為零，稱為對角矩陣。如：(5)對于對角陣，若a11=a22=……=ann=1，稱為單位陣，一般用E、I表示。（6）若aij=aji，則稱A為對稱矩陣。矩陣的基本運算：（1）若具有相同行列數(shù)的兩矩陣各對應(yīng)元素相同，則：（2）具有相同行列數(shù)的兩矩陣A、B相加減，其行列數(shù)與A、B相同，其元素等于A、B對應(yīng)元素之和、差。且具有可交換性與可結(jié)合性。（3）設(shè)A為m*s的矩陣，B為s*n的矩陣,則A、B相乘才有意義，C=AB，C的階數(shù)為m*n。OA=AO=O，IA=AI=A，A（B+C）=AB+AC，ABC=A（BC）二、矩陣的轉(zhuǎn)置對于任意矩陣Cmn:將其行列互換，得到一個nm階矩陣，稱為C的轉(zhuǎn)置。用：矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：（6）若則A為對稱矩陣。三、矩陣的逆給定一個n階方陣 A，若存在一個同階方陣B，使AB=BA=I（E），稱B為A的逆矩陣。記為：A矩陣存在逆矩陣的充分必要條件是A的行列式不等于0，稱A為非奇異矩陣，否則為奇異矩陣矩陣的逆的性質(zhì)矩陣求逆方法：（1）伴隨矩陣法：設(shè)Aij為A的第i行j列元素aij的代數(shù)余子式，則由n*n個代數(shù)余子式構(gòu)成的矩陣為A的伴隨矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣A*稱為A的伴隨矩陣。矩陣求逆方法則：（2）初等變換法：經(jīng)初等變換：四、矩陣的秩定義：矩陣A的最大線性無關(guān)的行(列)向量的個數(shù)r，稱為矩陣A的行(列)秩。由于矩陣的行秩等于列秩，故統(tǒng)稱為矩陣的秩，記為R(A)。對于矩陣的秩有性質(zhì)：

五、矩陣的跡定義：方陣A的主對角元素之和稱為該方陣的跡，記為

對于矩陣的跡有下面的性質(zhì)：tr(AT)=tr(A)

tr(A+B)=tr(A)+tr(B)

tr(kA)=ktr(A) tr(AB)=tr(BA)

六、滿秩矩陣

定義：若n階方陣A的秩R(A)=n，則稱A為滿秩方陣。若m×n階矩陣A的秩R(A)=m，稱A為行滿秩陣；若R(A)=n，則稱A為列滿秩陣。對于任意一m×n階矩陣A，若R(A)=r，則A可分解為其中，R為列滿秩陣，S是行滿秩陣。這種分解不是唯一的。

七、冪等矩陣定義：稱滿足條件A2=AA=A的方陣A為冪等矩陣。冪等矩陣有下述重要性質(zhì)：冪等矩陣A的特征值為0或1。(2)冪等矩陣A的秩，等于它的跡，即R(A)=tr(A)

(3)若方陣A為R(A)=r的冪等矩陣,則E-A也為冪等矩陣，且R(E-A)=n-r八、二次型和正定陣(1)xTAx＞0,稱二次型是正定的，A為正定矩陣，記為A＞0(2)xTAx≥0,稱二次型是半正定的，A為半正定矩陣，記為A≥0(3)xTAx＜0,稱二次型是負(fù)定的，A稱為負(fù)定矩陣，記為A＜0(4)xTAx≤0,稱二次型是半負(fù)定的，A稱為半負(fù)定矩陣，記為A≤0在測量平差中VTPV就是一個二次型。二次型及其有關(guān)定理，對于參數(shù)估計和假設(shè)檢驗是重要的。它為許多理論證明提供了基本工具。，式中A=AT，上式稱為二次型，定義：設(shè)A稱為二次型矩陣。若對于任意x≠0的函數(shù)，記為九、函數(shù)對向量的微分且函數(shù)對所有自變量可微，則對向量的偏導(dǎo)數(shù)定義為的n個元素若函數(shù)f是以n維向量為自變量構(gòu)成函數(shù)向量時，則F對的微分為一階矩陣：

利用這一定義，函數(shù)的泰勒級數(shù)展開式（取至二次項）可寫為矩陣形式其中m元函數(shù)向量對于n維向量的微分有如下性質(zhì)：(以下C為常數(shù)向量,F,G為函數(shù)向量)(1)

(3)(2)(4)當(dāng)A為常數(shù)矩陣時=(5)當(dāng)A=AT時，概率與數(shù)理統(tǒng)計內(nèi)容隨機變量誤差分布曲線概率密度曲線數(shù)學(xué)期望方差第二章誤差分布及精度指標(biāo)第一節(jié)概述第二節(jié)偶然誤差的規(guī)律性第三節(jié)衡量精度的指標(biāo)第一節(jié)概述一、專業(yè)符號介紹觀測真值向量觀測向量誤差向量L1L2L3s1s2s3ADCBh1h6h5h2h4h3觀測值平差值向量觀測值改正數(shù)向量未知參數(shù)真值向量未知參數(shù)改正數(shù)真值向量未知參數(shù)近似值向量未知參數(shù)平差值向量未知參數(shù)改正數(shù)平差值向量L1L2L3s1s2s3A(x1,y1)B(x2,y2)1、測量平差的研究對象——觀測誤差觀測數(shù)據(jù)：用測繪儀器工具或其他手段獲取的反映地球及其它實體的空間分布有關(guān)信息的數(shù)據(jù)。

任何量測數(shù)據(jù)不可避免地含有誤差，如何處理含有誤差的測量數(shù)據(jù)便成了一門研究課題。閉合、附合水準(zhǔn)路線閉合、附合導(dǎo)線距離測量角度測量………..二、觀測誤差2、產(chǎn)生誤差的原因測量儀器：i角誤差、2c誤差觀測者：人的分辨力限制外界條件：溫度、氣壓、大氣折光等觀測條件：測量儀器、觀測者、外界條件三者綜合起來為觀測條件3、誤差的分類系統(tǒng)誤差：在相同的觀測條件下進(jìn)行的一系列觀測，如果誤差在大小、符號上表現(xiàn)出系統(tǒng)性，或者按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。如大多數(shù)儀器誤差，有規(guī)律的外界影響等。系統(tǒng)誤差具有累積性，它的存在必然影響觀測結(jié)果。削弱方法：采用一定的觀測程序、改正、附加參數(shù)誤差的分類偶然誤差/隨機誤差：在相同的觀測條件下進(jìn)行的一系列觀測，如果誤差在大小、符號上都表現(xiàn)出偶然性，從單個誤差上看沒有任何規(guī)律，但從大量誤差上看有一定的統(tǒng)計規(guī)律，這種誤差稱為偶然誤差。如照準(zhǔn)誤差、讀數(shù)誤差、毫無規(guī)律的外界影響等。不可避免，經(jīng)典測量平差研究的內(nèi)容粗差：錯誤，大誤差三、誤差構(gòu)成的四種情況一、正態(tài)分布一）、一維正態(tài)分布正態(tài)分布是一種最常見的分布形式，一般隨機變量都遵循正態(tài)分布，正態(tài)分布還是許多其他分布的極限分布。通常認(rèn)為測量誤差服從正態(tài)分布。其中,u為隨機變量x的數(shù)學(xué)期望，σ為其標(biāo)準(zhǔn)方差。稱隨機向量x服從參數(shù)為u、σ的正態(tài)分布，記為x～N（u、σ

）。1、設(shè)一維隨機向量X服從正態(tài)分布，則其分布密度函數(shù)為：第二節(jié)偶然誤差的規(guī)律性2、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布若隨機變量X的數(shù)學(xué)期望u=0，標(biāo)準(zhǔn)差σ=1，則稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為X～（0，1）。3、正態(tài)隨機變量X出現(xiàn)在區(qū)間（u-kσ,u+kσ

）內(nèi)的概率由此可得二）、n維正態(tài)分布設(shè)n維隨機向量X=（x1，x2，···，xn）T服從正態(tài)分布，其聯(lián)合分布密度函數(shù)為：其中觀測值：對某量觀測所得的值，一般用Li表示。1、幾個概念真誤差：觀測值與真值之差，一般用

i=-Li表示。二、偶然誤差的規(guī)律性真值：觀測量客觀上存在的一個能代表其真正大小的數(shù)值，一般用表示。觀測向量：若進(jìn)行n次觀測，觀測值：L1、L2……Ln可表示為：

2、偶然誤差的特性例1：在相同的條件下獨立觀測了358個三角形的全部內(nèi)角，每個三角形內(nèi)角之和應(yīng)等于180度，但由于誤差的影響往往不等于180度，計算各內(nèi)角和的真誤差，并按誤差區(qū)間的間隔0.2秒進(jìn)行統(tǒng)計。

誤差區(qū)間—△+△個數(shù)K頻率K/n(K/n)/d△個數(shù)K頻率K/n(K/n)/d△0.00~0.20450.1260.630460.1280.6400.20~0.40400.1120.560410.1150.5750.40~0.60330.0920.460330.0920.4600.60~0.80230.0640.320210.0590.2950.80~1.00170.0470.235160.0450.2251.00~1.20130.0360.180130.0360.1801.20~1.4060.0170.08550.0140.0701.40~1.6040.0110.05520.0060.030>1.60000000和1810.5051770.495

例2：在相同的條件下獨立觀測了421個三角形的全部內(nèi)角，每個三角形內(nèi)角之和應(yīng)等于180度，但由于誤差的影響往往不等于180度，計算各內(nèi)角和的真誤差，并按誤差區(qū)間的間隔0.2秒進(jìn)行統(tǒng)計。誤差區(qū)間—△+△個數(shù)K頻率K/n(K/n)/d△個數(shù)K頻率K/n(K/n)/d△0.00~0.20400.0950.475460.0880.4400.20~0.40340.0810.405410.0850.4250.40~0.60310.0740.370330.0690.3450.60~0.80250.0590.295210.0640.3200.80~1.00200.0480.240160.0430.2151.00~1.20160.0380.190130.0400.200…………………….………………2.40~2.6010.0020.01020.0050.0025>2.60000000和2100.4992110.501(K/n)/d△00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差概率密度函數(shù)曲線用直方圖表示:面積=[(K/n)/d△]*d△=K/n所有面積之和=k1/n+k2/n+…..=1

頻數(shù)/d

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差0.630

頻數(shù)/d

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差0.475對照前面兩個表中的數(shù)據(jù)可知:當(dāng)誤差小時,誤差分布曲線較高且陡峭，精度高當(dāng)誤差大時,誤差分布曲線較低且平緩，精度低1）、有界性：在一定條件下的有限觀測值中，其誤差的絕對值不會超過一定的界限；2）、單峰性：絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多；3）、對稱性：絕對值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)大致相等；4）、抵償性：當(dāng)觀測次數(shù)無限增多時，其算術(shù)平均值趨近于零即Lim——n

i=1nni=Limn

——n[]=0偶然誤差的特性：即E(△)=03、偶然誤差的分布密度函數(shù)設(shè)偶然誤差△的分布密度函數(shù)為f(△),由性質(zhì)3可知f(△)是△的偶函數(shù)，由性質(zhì)2可知，在-∞～0區(qū)間f(△)是增函數(shù)，在0～∞區(qū)間是減函數(shù),則可構(gòu)造函數(shù):其中A，k為常數(shù)。因為設(shè)偶然誤差的方差D(△)=σ2:所以，偶然誤差的分布密度函數(shù)為：提示：觀測值定了，其分布也就確定了，因此一組觀測值對應(yīng)相同的分布。不同的觀測序列，分布不同。但其極限分布均是正態(tài)分布。

頻數(shù)/d

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差偶然誤差的分布密度函數(shù)第三節(jié)衡量精度的指標(biāo)精度：所謂精度是指偶然誤差分布的密集離散程度。一組觀測值對應(yīng)一種分布，也就代表這組觀測值精度相同。不同組觀測值，分布不同，精度也就不同。提示：一組觀測值具有相同的分布，但偶然誤差各不相同。

頻數(shù)/d

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差

頻數(shù)/d

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差

頻數(shù)/d

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差可見：左圖誤差分布曲線較高且陡峭，精度高右圖誤差分布曲線較低且平緩，精度低一、方差/中誤差f()00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差

面積為1方差：中誤差：提示：越小，誤差曲線越陡峭，誤差分布越密集，精度越高。相反，精度越低。凡事是能體現(xiàn)以上定義的指標(biāo)都有可作為衡量精度的指標(biāo)。常用的精度指標(biāo)有如下幾種方差的估值：二、平均誤差在一定的觀測條件下，一組獨立的偶然誤差絕對值的數(shù)學(xué)期望。則得平均誤差與中誤差的關(guān)系：平均誤差的估值：三、或然誤差ρ誤差出現(xiàn)在（-ρ，ρ）之間的概率等于1/2，即f()0閉合差50%四、極限誤差五、相對誤差誤差與觀測值之比，一般用1/M表示。與長度（大?。┯嘘P(guān)的誤差，有相對誤差的指標(biāo)相對中誤差：σ/S=1/M相對真誤差：△/S=1/M絕對誤差：真誤差、中誤差、極限誤差第五節(jié)精度、準(zhǔn)確度與精確度一、精度—衡量偶然誤差△的離散程度，指標(biāo)中誤差σ。當(dāng)觀測值只含有偶然誤差△時：1、一維隨機向量的精度指標(biāo)：方差σ2或中誤差σ2、多維隨機向量X=[x1,x2,…,xn]T的精度指標(biāo)：協(xié)方差陣DXX1）、協(xié)方差對于變量X，Y，其協(xié)方差為：當(dāng)X、Y間互不相關(guān)，對于正態(tài)分布而言，相互獨立時當(dāng)X、Y間相關(guān)時用真誤差△計算：對于向量X=[X1，X2，……Xn]T，將其元素間的方差、協(xié)方差陣表示為：矩陣表示為：2）、方差協(xié)方差陣向量方差協(xié)方差陣定義特點：I對稱

II正定

III各觀測量互不相關(guān)時，為對角矩陣。當(dāng)對角元相等時，為等精度觀測。若：若DXY=0，則X、Y表示為相互獨立的觀測量。3）、互協(xié)方差陣二、準(zhǔn)確度——觀測值的數(shù)學(xué)期望Ｅ(X)與其真值接近的程度。衡量系統(tǒng)誤差大小的程度，指標(biāo)偏差ε。當(dāng)觀測值誤差△含有系統(tǒng)誤差時：三、精確度——觀測值X與其真值接近的程度，指標(biāo)均方誤差MSE(X)。隨機向量X=[X1，X2，…，Xn]的均方誤差的定義：四、精度、準(zhǔn)確度與精確度的關(guān)系

XE（X）第三章協(xié)方差傳播與權(quán)第二節(jié)協(xié)方差傳播律第三節(jié)協(xié)方差傳播律在測量上的應(yīng)用第六節(jié)由真誤差計算中誤差及實際應(yīng)用第四節(jié)權(quán)與定權(quán)的常用方法第五節(jié)協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律第一節(jié)數(shù)學(xué)期望傳播律第七節(jié)系統(tǒng)誤差的傳播本章在全書中有重要地位：起動數(shù)據(jù)觀測值L觀測值的權(quán)陣P起始數(shù)據(jù)滿足條件VTPV=min線性函數(shù)模型觀測值的平差值參數(shù)的平差值單位權(quán)方差估值觀測值的平差值協(xié)因數(shù)陣參數(shù)的平差值協(xié)因數(shù)陣平差結(jié)果測量平差的任務(wù)之一就是精度評定，也就是求平差值的協(xié)方差陣。觀測值方差DLL=D或權(quán)陣或協(xié)因數(shù)陣協(xié)方差傳播律協(xié)因數(shù)傳播律ABCL1L2S0α0實例：已知L1，L2的中誤差，求C點坐標(biāo)值的中誤差協(xié)方差傳播律：表述觀測值函數(shù)的方差協(xié)方差與觀測值的方差協(xié)方差的關(guān)系的公式。第一節(jié)數(shù)學(xué)期望的傳播一、數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)1、C為常數(shù)，E(C)=C2、E(CX)=CE(X)3、E(K1X1+K2X2+···+KnXn)=K1E(X1)+K2E(X2)+···+KnE(Xn)4、若x,y獨立，則E(xy)=E(x)E(y)已知隨機變量的數(shù)學(xué)期望求其函數(shù)數(shù)學(xué)期望二、隨機矩陣的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)其性質(zhì)與前相同。第二節(jié) 協(xié)方差傳播律一、觀測值線性函數(shù)的方差那么：證明：設(shè)：那么,根據(jù)方差的定義有：純量形式

例1:設(shè)，已知，求的方差。例2:若要在兩已知點間布設(shè)一條附合水準(zhǔn)路線,已知每公里觀測中誤差等于±5.0mm,欲使平差后線路中點高程中誤差不大于±10mm,問該路線長度最多可達(dá)幾公里?二、多個觀測值線性函數(shù)的協(xié)方差陣已知：則那么,根據(jù)協(xié)方差的定義有：幾種特殊情況:例3：在一個三角形中，同精度獨立觀測得到三個內(nèi)角L1、L2、L3，其中誤差為

，將閉合差平均分配后各角的協(xié)方差陣。例4：設(shè)有函數(shù)，已知求:三、非線性函數(shù)的情況設(shè)有觀測值X的非線性函數(shù)：已知：將Z按臺勞級數(shù)在X0處展開：也可寫為微分的形式:也可得四、多個非線性函數(shù)的情況線性化例5、根據(jù)極坐標(biāo)法測設(shè)P點的坐標(biāo)，設(shè)已知點無誤差，測角中誤差為m

，邊長中誤差ms，試推導(dǎo)P點的點位中誤差。ABP

mssmump協(xié)方差傳播應(yīng)用步驟:根據(jù)實際情況確定觀測值與函數(shù),寫出具體表達(dá)式寫出觀測量的協(xié)方差陣對函數(shù)進(jìn)行線性化協(xié)方差傳播a1b1a2b2abaNbN1(s)h12(s)h2…N(s)hNABTP1TP2TPN-1第三節(jié)協(xié)方差傳播在測量中的應(yīng)用一、水準(zhǔn)測量的精度經(jīng)N個測站測定A、B兩水準(zhǔn)點間的高差，其中第i站的觀測高差為hi，則A、B兩水準(zhǔn)點間的總高差hAB為設(shè)各測站觀測高差是精度相同的獨立觀測值，其中誤差均為則hAB的方差為：若水準(zhǔn)路線敷設(shè)在平坦地區(qū)，前后兩測站間的距離s大致相等，設(shè)A、B間的距離為S，則測站數(shù)N=S/s，代入上式得：如果S=1km，s以km為單位，則一公里的測站數(shù)為：而一公里觀測高差的中誤差即為：所以，距離為S公里的A、B兩點的觀測高差的中誤差為二、同精度觀測值的算術(shù)平均值的精度設(shè)對某量以同精度獨立觀測了N次，得觀測值L1，L2，LN，它們的中誤差均等于σ，N次觀測值的算術(shù)平均值x的中誤差為：由協(xié)方差傳播律知，平均值x的方差中誤差為例1、在高級水準(zhǔn)點A、

（高程為真值）間布設(shè)水準(zhǔn)路線，如下圖，路線長分別為，設(shè)每公里觀測高差的中誤差為，試求：（1）將閉合差按距離分配之后的p1、p2點間高差的中誤差；（2）分配閉合差后P1點的高程中誤差。AP1P2B例2、在相同條件下，觀測兩個角度

A=15

00

00

，

B=75

00

00

，設(shè)對

A觀測4個測回的測角精度（中誤差）為3

，問觀測9個測回的精度為多少？三、若干獨立誤差的聯(lián)合影響四、交會定點的精度ABPL1L2S0α0oyxSαP′σασuσsσp已知L1，L2的中誤差，求p點坐標(biāo)值的中誤差及點位中誤差。五、GIS線元要素的方差A(yù)（X1，Y1）P（XP，YP）B（X2，Y2）SS1XY已知直線兩端點數(shù)字化坐標(biāo)A（XA，YA），B（XB，YB），其協(xié)方差陣為：求P點坐標(biāo)及其協(xié)方差。第四節(jié)權(quán)與定權(quán)的常用方法一、權(quán)的定義稱為觀測值Li的權(quán)。權(quán)與方差成反比。實例：在如圖的水準(zhǔn)網(wǎng)中，已知各條路線的距離為：S1=1.5kmS2=2.5kmS3=2.0km

S4=4.0kmS5=3.0kmAP1P2P312345設(shè)每公里觀測高差中誤差為σkm，σ0是可任選取的常數(shù)。根據(jù)協(xié)方差傳播律可得：取?。ㄈ?quán)是衡量精度的相對指標(biāo)，為了使權(quán)起到比較精度的作用，一個問題只選一個

0。（四）只要事先給定一定的條件，就可以定權(quán)。權(quán)的特性：（五）同類觀測值定權(quán)時，由于單位權(quán)中誤差與觀測值中誤差單位相同，權(quán)是無量綱的數(shù)值；不同類觀測值定權(quán)時，某些類觀測值的權(quán)是有量綱的數(shù)值。二、單位權(quán)中誤差三、常用的定權(quán)方法1、水準(zhǔn)測量的權(quán):要求每站或每km高差精度相同。或2、同精度觀測值的算術(shù)平均值的權(quán)設(shè)有n個人對某量以同精度獨立觀測了N1，N2，…，Nn

次，得n個平均值L1，L2，Ln，若每次觀測的中誤差均為σ。以角度測量為例3、邊角定權(quán)ABCβ2β3S0α0β1S1S2注意權(quán)的單位第五節(jié)協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律一、協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)陣不難得出：特點：I對稱，對角元素為權(quán)倒數(shù)

II正定

III各觀測量互不相關(guān)時，Qij=0（i≠j），為對角矩陣。當(dāng)為等精度觀測，單位陣。稱QXX為協(xié)因數(shù)陣。二、權(quán)陣1、權(quán)陣的定義設(shè)觀測值向量L=[L1，L2，…，Ln]T，其協(xié)因數(shù)陣為QLL，那么其權(quán)陣為：

由于DLL是對稱矩陣，因此，PLL也是對稱矩陣。若記權(quán)陣為：1）設(shè)獨立觀測值向量L=[L1，L2，…，Ln]T，單位權(quán)中誤差為σ0，組成向量和矩陣：2、權(quán)與協(xié)因數(shù)的關(guān)系2）當(dāng)觀測值向量L=[L1，L2，…，Ln]T的元素相關(guān)時，σij≠0，Qij≠0,Pij≠0。權(quán)陣的特點：

I對稱，對角元素不一定就是相應(yīng)觀測值的權(quán)

II正定

III各觀測量互不相關(guān)時，Pij=0（i≠j），為對角矩陣。當(dāng)為等精度觀測，單位陣。三、協(xié)因數(shù)傳播律1、協(xié)因數(shù)傳播律設(shè)有觀測值X，其協(xié)因數(shù)陣為QXX，方差陣為DXX，由協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)陣定義可知：Y和Z是X的線性函數(shù)：如果函數(shù)是非線性函數(shù)，則先線性化再用協(xié)因數(shù)傳播律求函數(shù)的協(xié)因數(shù)。2、權(quán)倒數(shù)傳播律設(shè)獨立觀測值向量L=[L1，L2，…，Ln]T，其權(quán)分別為P1,p2,…,pn,如果有函數(shù)：

Z=f(L1,L2,…,Ln)

線性化由于觀測值獨立，則：例題：P48～P51例1、同精度觀測了L1

，L2

，令P1=P2=1，求L3的權(quán)。L1L3L2l1l3l2L2L1四、控制網(wǎng)權(quán)陣（協(xié)因數(shù)陣）的確定

在如圖的水準(zhǔn)網(wǎng)中，已知各條路線的距離為：S1=1.5kmS2=2.5kmS3=2.0km

S4=4.0kmS5=3.0km

又各高差觀測值獨立，Pi=C/Si,取C=3.0km,則：AP1P2P3123451、水準(zhǔn)網(wǎng)取C=1.5km2、測角網(wǎng)1）、角度為獨立觀測值(測回法）觀測值：L1

，L2

，L3測回數(shù)：N1,N2,N3L1L3L2各測回為等精度獨立觀測，一測回中誤差為σ，根據(jù)同精度觀測值算術(shù)平均值定權(quán)方法有：Pi=Ni/C,取C=1，則：2）、相關(guān)觀測值的情況用全圓測回觀測L1，L2，L3l1l3l2L3L2L1l1l3l2L2L13、測邊網(wǎng)獨立觀測了六條邊S1～S6S1S4S3S6S5S2則權(quán)陣為3、邊角網(wǎng)ABCβ2β3S0α0β1S1S2則權(quán)陣為第六節(jié)由真誤差計算中誤差及其實際應(yīng)用一、用不同精度的真誤差計算單位權(quán)中誤差的基本公式設(shè)有一組同精度獨立觀測值L1，L2，…，Ln，它們的數(shù)學(xué)期望為μ1，μ2,…,μn,真誤差為△1,

△2,…,△n,有

△i的數(shù)學(xué)期望為E(△i)=0，它們的中誤差也等于σ。由于Li和△i都服從正態(tài)分布，所以可以將它們寫為

：

由中誤差的定義，觀測值Li的中誤差為當(dāng)n為有限值時由于L1，L2，…，Ln是同精度獨立觀測值，可設(shè)它們的權(quán)P1=P2=···=Pn=1,可見σ為單位權(quán)中誤差。

現(xiàn)在設(shè)L1，L2，…，Ln

是一組不同精度的獨立觀測值，它們所對應(yīng)的數(shù)學(xué)期望，中誤差和權(quán)分別為：Li和△i都服從下列正態(tài)分布由權(quán)的定義可得：可見，若知道單位權(quán)中誤差σ0與觀測值Li的權(quán)Pi,則可計算其中誤差σi。

從前面可以看到，為了求得單位權(quán)中誤差σ0，應(yīng)需要得到一組精度相同且其權(quán)為1的獨立的數(shù)學(xué)期望為0的真誤差，為此，令：利用不同精度觀測值的真誤差求單位權(quán)中誤差σ0：根據(jù)權(quán)倒數(shù)傳播律知可得：可見，△′是一組同精度且權(quán)為1，數(shù)學(xué)期望E(△′)=0的誤差，由于△

是獨立的真誤差，所以，△′

也是一組獨立的真誤差，根據(jù)前面的知識就可得到當(dāng)n為有限值時即有觀測值Li的方差（中誤差）為：二、由真誤差計算中誤差的實際應(yīng)用1．由三角形閉合差求測角中誤差ω1ω2ω3ωn2、由雙觀測（成對觀測）值之差求中誤差h1′h1h2′h2h4h3BM1h3′h4′BM2123水準(zhǔn)測量L1′L1′L1′L1′L1″L3″L2″L4″距離測量設(shè)對量X1，X2，…，Xn

各測兩次，得獨立觀測值為設(shè)已知各觀測對(Li′與Li″相同)的權(quán)分別為例題見P54第七節(jié)系統(tǒng)誤差的傳播

前幾節(jié)所講的問題，是以觀測值只含有偶然誤差為前提的。也就是說，要求在測量過程中設(shè)法消除系統(tǒng)誤差，但由于種種原因，觀測成果中總是或多或少地存在殘余的系統(tǒng)誤差，這些系統(tǒng)誤差的數(shù)值和符號隨著觀測條件的變化而變化。由于系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因多種多樣，它們的性質(zhì)各不相同，因而只能對不同的具體情況采用不同的處理方法，不可以得到些通用的處理方法。所以，對于殘余的系統(tǒng)誤差對成果的影響，也不可能有嚴(yán)密的計算方法。這里僅講估計系統(tǒng)誤差的概念和一種在某些情況下可以應(yīng)用的近似估算方法。第四章平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理第一節(jié)測量平差概述第二節(jié)測量平差的數(shù)學(xué)模型第三節(jié)參數(shù)估計與最小二乘原理一、必要觀測、多余觀測

確定平面三角形的形狀觀測三個內(nèi)角的任意兩個即可,稱其必要元素個數(shù)為2，必要元素有種選擇第一節(jié)測量平差概述

確定平面三角形的形狀與大小s1s3s26個元素中必須有選擇地觀測三個內(nèi)角與三條邊的三個元素，因此，其必要元素個數(shù)為3。任意2個角度+1個邊、2個邊+1個角度、三個邊。必須有選擇地觀測6個高差中的3個，其必要元素個數(shù)為3。h1、h5、h6或h1、h2、h3或h1、h2、h4等

確定如圖四點的相對高度關(guān)系A(chǔ)DCBh1h6h5h2h4h3必要觀測:能夠唯一確定一個幾何模型所必要的觀測一般用t表示。特點:1、給定幾何模型，必要觀測及類型即定，與觀測無關(guān)。

2、必要觀測之間沒有任何函數(shù)關(guān)系，即相互獨立。

3、確定幾何模型最大獨立觀測個數(shù)多余觀測:觀測值的個數(shù)n與必要觀測個數(shù)t之差一般用r表示，r=n-t。4、確定幾何模型最大獨立觀測個數(shù)為t,那么再多進(jìn)行一個觀測就相關(guān)了，即形成函數(shù)關(guān)系，也稱為觀測多余了。觀測值:為了確定幾何模型中各元素的大小進(jìn)行的實際觀測，稱為觀測值，觀測值的個數(shù)一般用n表示。n<t，則無法確定模型n=t，唯一確定模型，不能發(fā)現(xiàn)粗差。n>t,，可以確定模型，還可以發(fā)現(xiàn)粗差。二、測量平差

必要觀測可以唯一確定模型，其相互獨立?？梢娙粲卸嘤嘤^測，每個多余觀測必然可用這t個元素表示，r個多余觀測即形成r個條件。ADCBh1h6h5h2h4h3實際上：ABCL2L3S0α0L1S1S2可見，有多余觀測就存在觀測元素之間的函數(shù)關(guān)系，就可以建立函數(shù)模型，而誤差的存在又導(dǎo)致了觀測值之間的矛盾，使得觀測值之間不能滿足應(yīng)有的函數(shù)關(guān)系。

可將上式左端在（L1，L2，L3，S1，S2）處用泰勒級數(shù)展開，進(jìn)行線性化。設(shè)觀測值向量為L=[L1，L2，…Ln]T，以上各方程均可表示為：F（L1，L2，…Ln）=F（L）=0，這種形式的方程稱為條件方程。測量平差就是根據(jù)觀測值和未知量的關(guān)系組成方程（函數(shù)模型），在一定的平差準(zhǔn)則下求未知量的估值，并評定成果精度。第二節(jié)測量平差的函數(shù)模型一、條件平差法ABCL2L3S0α0L1S以條件方程為函數(shù)模型的平差方法，稱為條件平差法。

2、條件平差的未知量（待求量）為觀測值的真值或觀測值的真誤差△。

3、在條件平差中，總觀測數(shù)為n,必要觀測數(shù)為t,多余觀測數(shù)為r,方程個數(shù)為c=r。

3、條件平差的自由度即為多余觀測數(shù)r，即條件方程個數(shù)。1、條件平差的函數(shù)模型為：二、間接平差法

選擇幾何模型中t個獨立變量為平差參數(shù)，每一個觀測量表達(dá)成所選參數(shù)的函數(shù)，即列出n個這種函數(shù)關(guān)系式，稱為觀測方程。以此為平差的函數(shù)模型，成為間接平差法。ABCL2L3S0L1S

在間接平差中,總觀測數(shù)為n,必要觀測數(shù)為t,參數(shù)個數(shù)為u,多余觀測數(shù)為r,方程個數(shù)為c=r+u=n.

盡管間接平差法是選了t個獨立參數(shù)，但多余觀測數(shù)不隨平差不同而異，其自由度仍是r=n-t?？梢?間接平差的函數(shù)模型為:三、附有參數(shù)的條件平差法

設(shè)在平差問題中，觀測值個數(shù)為n，t為必要觀測數(shù)，則可列出r=n-t個條件方程，現(xiàn)有增設(shè)了u個獨立量作為參數(shù)，而0<u<t，每增設(shè)一個參數(shù)應(yīng)增加一個條件方程。以含有參數(shù)的條件方程作為平差的函數(shù)模型，稱為附有參數(shù)的條件平差法。ABCL2L3S0L1SABCL2L3S0L1S

2、在附有參數(shù)的條件平差中，n個總觀測值，t個必要觀測，r個多余觀測，選擇了u個獨立參數(shù)，方程總數(shù)由r個增加到c=r+u個。3、附有參數(shù)的條件平差的自由度為r=c-u。可見1、附有參數(shù)的條件平差的函數(shù)模型為四、附有限制條件的間接平差法

如果采用間接平差，就要選出t個獨立量為平差參數(shù)，按每一個觀測值與所選參數(shù)間函數(shù)關(guān)系，組成n個觀測方程。如果在平差問題中，不是選t個而是選定u>t個參數(shù)，其中包含t個獨立參數(shù)，則多選的s=u-t個參數(shù)必是t個獨立參數(shù)的函數(shù)，亦即在u個參數(shù)之間存在著s個函數(shù)關(guān)系，它們是用來約束參數(shù)之間應(yīng)滿足的關(guān)系。在選定u>t個參數(shù)進(jìn)行平差時，除了建立n個觀測方程外，還要增加s個約束參數(shù)方程，故稱此平差方法為附有限制件的間接平差法。ABCL2L3S0L1S

2、在附有限制條件的間接平差中，n個總觀測值，t個必要觀測，r個多余觀測，選擇了u＞t個參數(shù)，方程總數(shù)由r個增加到c=r+u個，其中有s=u-t個限制條件方程。3、附有參數(shù)的條件平差的自由度為r=c-u。可見1、附有限制條件的間接平差的函數(shù)模型為注意：

1、各種平差模型所列方程組中，方程之間必須獨立。

2、選取參數(shù)的目的：（1）、直接求出某些未知量的估值（2）、便于列立方程第三節(jié)函數(shù)模型的線性化一、函數(shù)的泰勒級數(shù)展開：為了線性化，取X的近似值為取的近似值為L

將F按泰勒級數(shù)在（X0，L）處展開，并略去二次以及以上項：設(shè)函數(shù)二、平差函數(shù)模型的線性化1、條件平差法：2、間接平差法3、附有參數(shù)的條件平差法4、附有限制條件的間接平差法第四節(jié)測量平差的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型函數(shù)模型隨機模型：條件平差間接平差附有參數(shù)的條件平差附有限制條件的間接平差數(shù)學(xué)模型函數(shù)模型隨機模型：條件平差間接平差附有參數(shù)的條件平差附有限制條件的間接平差第五節(jié)參數(shù)估計與最小二乘原理一、參數(shù)估計及其最優(yōu)性質(zhì)

對于上節(jié)提出的四種平差方法都存在多解的情況。以條件平差為例：

條件的個數(shù)r=n-t<n，即方程的個數(shù)少，求解的參數(shù)多，方程多解。其它模型同。1、測量平差中的估計量1）、參數(shù)的平差值2）、觀測值的平差值3）、未知量的方差與協(xié)方差（協(xié)因數(shù)與單位權(quán)方差）2、參數(shù)的最優(yōu)性質(zhì)

唯一解，對最終估計值應(yīng)該提出某種要求，考慮平差所處理的是隨機觀測值，這種要求自然要從數(shù)理統(tǒng)計觀點去尋求，即參數(shù)估計要具有最優(yōu)的統(tǒng)計性質(zhì)，從而可對平差數(shù)學(xué)模型附加某種約束，實現(xiàn)滿足最優(yōu)性質(zhì)的參數(shù)唯一解。

數(shù)理統(tǒng)計中所述的估計量最優(yōu)性質(zhì)，主要是估計量應(yīng)具有無偏性、一致性和有效性的要求。可以證明，這種估計為最小二乘估計。1）、無偏性：1、最小二乘法實例：勻速運動的質(zhì)點在時刻

的位置y表示為：實際上：二、最小二乘原理寫成矩陣：間接平差函數(shù)模型y2、最小二乘原理與極大似然估計

按照最小二乘原理的要求，應(yīng)使各個觀測點觀測值偏差的平方和達(dá)到最小。測量中的觀測值是服從正態(tài)分布的隨機變量，最小二乘原理可用數(shù)理統(tǒng)計中的最大似然估計來解釋，兩種估計準(zhǔn)則的估值相同。

設(shè)觀測向量為L，L為n維隨機正態(tài)向量，其數(shù)學(xué)期望與方差分別為：其似然函數(shù)為：以間接平差法為例，顧及間接平差的模型與E（

）=0得：按最大似然估計的要求，應(yīng)選取能使lnG取得極大值時的作為X的估計量。由于上式右邊的第二項前是負(fù)號，所以只有當(dāng)該項取得極小值時，lnG才能取得極大值，換言之，的估計量應(yīng)滿足如下條件：即最小二乘原則。最小二乘原理中的P陣為觀測值權(quán)陣，P=Q-11、當(dāng)觀測值L1，L2，…，Ln獨立時2、當(dāng)觀測值L1，L2，…，Ln相關(guān)時此時，權(quán)陣不具有權(quán)的意義，只在運算時起著權(quán)的作用例、設(shè)對某物理量進(jìn)行了n次同精度觀測得試用最小二乘原理求該量的估值。第五章條件平差第一節(jié)條件平差原理第二節(jié)條件方程第三節(jié)精度評定第四節(jié)水準(zhǔn)網(wǎng)平差示例第一節(jié)條件平差原理一、線性條件方程的矩陣形式1、平差值線性條件方程設(shè)有r個平差值線性條件方程2、改正數(shù)線性條件方程式中Wi=(i=1,2,…,r)稱為條件方程的閉分差，或稱不符值令則有:二、條件平差的基礎(chǔ)方程及其解1、數(shù)學(xué)模型及平差準(zhǔn)則2、基礎(chǔ)方程及其解按求函數(shù)極值的拉格朗日乘數(shù)法，構(gòu)造新的函數(shù)Φ：求其一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0：二、條件平差的計算步驟根據(jù)平差問題的具體情況，列出條件方程式，條件方程的個數(shù)等于多余觀測數(shù)r。根據(jù)條件式的系數(shù)，閉合差及觀測值的權(quán)組成法方程式，法方程的個數(shù)等于多余觀測數(shù)r。解算法方程，求出聯(lián)系數(shù)K值。將K值代入改正數(shù)方程式，求出V值，并求出平差值為了檢查平差計算的正確性，常用平差值重新列出平差值條件方程式，看其是否滿足方程。BADh1h4h2h3CBADh1h4h2h3C例3、A、B、C三點在同一直線上，測出了AB、BC、AC的長分別為l1=200.010m,l2=300.010m,l3=300.070m,l4=500.090m。令100m量距權(quán)為單位權(quán)，試按條件平差法求各段的平差值。l1l3l2l4解：1、列條件方程

n=4,t=2,故r=2，c=2，可列兩個條件方程2、定權(quán)，pi=100/Si3、組成法方程，并解算4、代入原方程檢查。h1=+1.596mn1=3h2=-0.231mn2=4h3=+4.256mn3=12h4=-5.642mn4=6123第二節(jié)條件方程一、水準(zhǔn)網(wǎng)列條件的原則：1、閉合水準(zhǔn)路線2、附合水準(zhǔn)路線包含的線路數(shù)最少為原則h1h7h5h6h3h4h2h8AODCBBAFGEDCh1h6h7h2h5h4h3二、測角網(wǎng)4個必要的起算數(shù)據(jù)為：一個已知點（2個坐標(biāo)）一個方位（1個）一個尺度（1個兩已知點（4個坐標(biāo)）列條件的原則：將復(fù)雜圖形分解成典型圖形。條件類型：圖形條件、圓周條件、極條件、固定方位條件、固定邊長條件、固定坐標(biāo)條件三角鎖b1c1a1a4b2c4b4a2c2c3b3a3大地四邊形a1a2b1b2a3BDb4a4Ob3CA中心多邊形ABCDa1b3b1c1a2a3b2c3c2AFEDCBG16543211109872220211918171615141312S、T條件方程個數(shù):p=7,q=2,n=22,t=2p-4-q=8c=r=n-t=148個圖形條件3個極條件1個圓周條件1個邊長條件1個方位條件

三、測邊網(wǎng)邊角網(wǎng)ADCBh1h3h2S1S2S3S4S6S5β1β2β31)、以角度改正數(shù)表示的條件方程2）、角度改正數(shù)與邊長改正數(shù)的關(guān)系式ACBhbhchaScSaSb角度改正數(shù)方程式的規(guī)律：任意角的改正數(shù)等于其對邊改正數(shù)與其兩夾邊的改正數(shù)與相應(yīng)鄰角余弦乘積的負(fù)值之和，再乘以除以該角對邊的高。角值用余弦定理計算。那么，由V1+V2+V3+ω=0得：在具體計算圖形條件的系數(shù)和閉合差時，一般取邊長改正數(shù)的單位為cm，高h(yuǎn)的單位為km，取2.062，而閉合差的單位為（″）。由觀測邊長計算系數(shù)中的角值（圖3-10），可按余弦定理或下式計算：四、以坐標(biāo)為觀測值的條件方程1、直角與直線型的條件方程，β0為90°、270°或0°、180°。j(Xj,Yj)h(Xh,Yh)k(Xk,Yk)五、距離型的條件方程j(Xj,Yj)k(Xk,Yk)S0第三節(jié)精度評定一、計算單位權(quán)中誤差（該公式證明在后面）二、協(xié)因數(shù)陣

因為

所以

將以上結(jié)果列于下表，以便查用。條件平差各量的協(xié)因數(shù)LWKVLQ-AQT

-QvvWAQNaa-I-AQ0K-I0V-Qvv-QAT0000Q-QVV

由表可知：與V、W、K是不相關(guān)的統(tǒng)計量，即相互獨立。三、觀測值真誤差（粗差）對平差值的影響四、平差值函數(shù)的中誤差A(yù)BCDa1b3b1c1a2a3b2c3c2設(shè)平差值函數(shù)為：條件平差公式匯編

條件平差的函數(shù)模型和隨機模型是

條件方程

AV+W=0

法方程：

改正數(shù)方程：觀測量平差值：平差值函數(shù)：

其權(quán)函數(shù)式為

單位權(quán)方差的估值：

平差值函數(shù)的方差：

例1、如圖同精度觀測了6個角得L1=45°30′46″,L2=67°22′10″,L3=67°07′14″,L4=69°03′14″,L6=52°32′22″,L6=58°24′18″,求各觀測值的平差值及平差后CD邊長的相對中誤差。第四節(jié)平差示例A132BDC456例：如圖，A、B是已知的高程點，P1、P2、P3是待定點。已知數(shù)據(jù)與觀測數(shù)據(jù)列于下表。按條件平差求各點的高稱平差值。路線號觀測高差（m）路線長度（km）已知高程（m)1+1.3591.1HA=5.016HB=6.0162+2.0091.73+0.3632.34+1.0122.75+0.6572.46+0.2381.47-0.5952.5h2Ah1h3h4h5h6h7P1P2P3B解：1、列條件方程2、定權(quán)取C=1，則：3、形成法方程4、解算法方程5、計算改正數(shù)6、計算平差值7、計算高程平差值作業(yè)1：線號高差（m）路線長度（km）點號高程（m）11.1004A5.00022.3982B3.95330.2004C7.65041.0002

53.4042

63.4524

A

oooBC123456P1P2P3如圖所示的水準(zhǔn)網(wǎng)，A、B、C已知水準(zhǔn)點，P1、P3、P3為待定點，已知水準(zhǔn)點的高程、各水準(zhǔn)路線的長度及觀測高差列入下表

試用條件平差法求P1、P3、P3點高程的平差值。第一節(jié)間接平差原理第二節(jié)誤差方程第三節(jié)精度評定第四節(jié)平差示例第六章間接平差1、數(shù)學(xué)模型及平差準(zhǔn)則第一節(jié)間接平差原理二、基礎(chǔ)方程和它的解按函數(shù)極值的求法，極值函數(shù)：求其一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0：代入誤差方程：即為法方程式三、間接平差法平差步驟1、選擇t個獨立的未知參數(shù)2、將每個觀測值表示成未知參數(shù)的函數(shù)，形成誤差方程。3、形成法方程4、求解法方程5、計算改正數(shù)6、精度評定1、2、3、4、5、例題〔7-1〕如圖所示的水準(zhǔn)網(wǎng)中，已知水準(zhǔn)點A的高程是HA=237.483m，為求B、C、D三點高程，進(jìn)行了水準(zhǔn)測量，測得高差和水準(zhǔn)路線長度si,見表7-1。試按照間接平差方法求B、C和D的高程平差值。ADCB12354水準(zhǔn)路線觀測高差(m)路線長度(km)123455.8353.7829.6407.3842.2703.52.74.03.02.5解：n=-5,t=3,r=2,選取B、C、D三點的高程為參，u=3，c=r+u=5、1、根據(jù)所示水準(zhǔn)路線列出誤差方程，即參數(shù)的近似值選為未知參數(shù)近似值的改正數(shù)為：將上式代入到誤差方程有

取10km觀測高差為單位權(quán)觀測，則：2、 組成法方程：3、 解法方程：4、 計算改正數(shù)：5、 計算平差值：例[7-2]A、B、C三點在同一直線上，測出了AB、BC、AC的長分別為l1=200.010m,l2=300.010m,l3=300.070m,l4=500.090m。令100m量距權(quán)為單位權(quán)，試按間接平差法求各段的平差值。l1l3l2l4解：1、列誤差方程

n=4,t=2,故r=2，選取l1、l2的平差值為未知參數(shù)，u=2，可列4個誤差方程2、定權(quán)，pi=100/Si3、組成法方程，并解算一個平差問題，無論采用條件平差還是間接平差，其最小二乘解是唯一和一致的。即與具體的平差方法無關(guān)！與條件平差的結(jié)果比較，結(jié)果完全一致?？梢姡阂?、確定待定參數(shù)的個數(shù)第二節(jié)誤差方程在間接平差中，待定參數(shù)的個數(shù)必須等于必等于必要觀測的個數(shù)t，而且要求這t個參數(shù)必須是獨立的。這樣才有可能將每個觀測量表達(dá)成這個t個參數(shù)的函數(shù)，而這種類型的函數(shù)式正是間接平差函數(shù)模型的基本形式。水準(zhǔn)網(wǎng)測角網(wǎng)測邊網(wǎng)邊角網(wǎng)GPS網(wǎng)采用GPS尺度與方位不采用GPS尺度與方位二、參數(shù)的選取高程控制網(wǎng)：待定點的高程平面控制網(wǎng)：待定點的二維坐標(biāo)三維控制網(wǎng)：待定點的三維坐標(biāo)三、誤差方程的組成1、水準(zhǔn)路線的誤差方程ijXiXjhij當(dāng)i點已知時：當(dāng)j點已知時：2、方向的誤差方程（測方向三角網(wǎng)）——定向角未知數(shù)設(shè)j、k的坐標(biāo)為未知參數(shù)：即：零方向的方位角jk的方位角為：Ljk、Ljl為觀測值N零方向jklαjk為非線性函數(shù)，要進(jìn)行線性化。對上式在初始近似值處進(jìn)行Taylor級數(shù)展開，略去二次以及二次以上項：1)、當(dāng)j點已知時：2）、當(dāng)k點已知時：3）、當(dāng)j、k點已知時：4）、同一邊的正反坐標(biāo)方位角的改正數(shù)相等，與坐標(biāo)改正數(shù)的關(guān)系也相同。例7-3、如圖，A、B、C為已知點，D為待求坐標(biāo)點，在四個測站上共觀測了10個方向，以D點坐標(biāo)為平差參數(shù)，列出誤差方程。A1DCB5691087432解、1、列誤差方程：n=10,待求量為D點坐標(biāo)，4個測站定向角，故必要觀測數(shù)為t=2+4=6,r=4,將D點坐標(biāo)和4個測站定向角設(shè)為未知參數(shù)，u=6,c=r+u=10。根據(jù)前面的內(nèi)容有誤差方程：1）、計算D點的近似坐標(biāo)（可用前方交會余切公式或支導(dǎo)線）、待定邊的近似坐標(biāo)方位角與近似邊長、各定向角近似值。定向角近似值計算：2）、計算坐標(biāo)方位角改正數(shù)的系數(shù)。邊長S，坐標(biāo)增量ΔX，ΔY以m為單位，坐標(biāo)改正數(shù)以dm或cm為單位。3）、計算誤差方程的常數(shù)項ljk.4）、將系數(shù)和常數(shù)項代入下式得到各方向誤差方程。2、組成法方程，并解算法方程。3、求出各平差值。3、測角網(wǎng)函數(shù)模型Li為觀測角值，設(shè)待定點j,h,k坐標(biāo)為參數(shù)：Li的觀測方程為：誤差方程為：jkhLI例7-3、如圖，A、B、C為已知點，D為待求坐標(biāo)點，同精度觀測了6個角，以D點坐標(biāo)為平差參數(shù)，列出誤差方程。A1DCB564321）、計算D點的近似坐標(biāo)（可用前方交會余切公式或支導(dǎo)線）、待定邊的近似坐標(biāo)方位角與近似邊長。解、1、列誤差方程：n=6,待求量為D點坐標(biāo)故必要觀測數(shù)為t=2,r=4,將D點坐標(biāo)設(shè)為未知參數(shù)，u=2,c=r+u=6。根據(jù)前面的內(nèi)容有誤差方程：2）、計算坐標(biāo)方位角改正數(shù)的系數(shù)。邊長S，坐標(biāo)增量ΔX，ΔY以m為單位，坐標(biāo)改正數(shù)以dm或cm為單位。3）、計算誤差方程的常數(shù)項ljk.4）、將系數(shù)和常數(shù)項代入上式得到各方向誤差方程。4、距離的誤差方程（測邊網(wǎng)）jk設(shè)j、k的坐標(biāo)為未知參數(shù)：jk的距離為：為非線性函數(shù)，要進(jìn)行線性化。對上式在初始近似值處進(jìn)行Taylor級數(shù)展開，略去二次以及二次以上項：當(dāng)j點已知時：當(dāng)k點已知時：例7-5：如圖，A、B、C為已知點，D為待定點，同精度觀測了三個邊長，列出誤差方程并求平差值。CAL3L1DBL2解、1、列誤差方程：n=3,待求量為D點坐標(biāo)，故必要觀測數(shù)為t=2,r=1,將D點坐標(biāo)設(shè)為未知參數(shù)，u=2,c=3。根據(jù)前面的內(nèi)容有誤差方程：1）、計算D點的近似坐標(biāo)2）、計算坐標(biāo)方位角改正數(shù)的系數(shù)。3）、計算誤差方程的常數(shù)項ljk.4）、將系數(shù)和常數(shù)項代入上式得到各方向誤差方程。ABDhL1L2l5、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型

設(shè)某點在新坐標(biāo)系的坐標(biāo)為（xi，yi)，在舊坐標(biāo)系的坐標(biāo)為（x′i，y′i)，舊坐標(biāo)系原點在新坐標(biāo)系的坐標(biāo)為（x0，y0)，將舊坐標(biāo)系加以平移、旋轉(zhuǎn)和尺度因子改正，使點的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為新坐標(biāo)。xyX′y′oo′(x0,y0)αixixi′yi′yia,b,c,d為所求的未知量，若兩坐標(biāo)系有n個公共點，令新坐標(biāo)系坐標(biāo)為觀測值，舊坐標(biāo)無誤差，則可列出誤差方程：6、擬合模型1）、高程擬合:數(shù)字高程模型、GPS水準(zhǔn)的高程異常擬合模型等。已知n個點的數(shù)據(jù)為（xi，yi，Zi），其中Zi是高程或向程異常，為觀測值，（xi，yi）為坐標(biāo)，Zi是xi，yi的函數(shù)，