一元一次方程知識點及經典例題

.z.一、知識要點梳理知識點一：方程和方程的解1.方程：含有_____________的______叫方程注意：a.必須是等式b.必須含有未知數。易錯點：〔1〕.方程式等式，但等式不一定是方程；〔2〕.方程中的未知數可以用*表示，也可以用其他字母表示；〔3〕.方程中可以含多個未知數?？挤ǎ号袛嗍遣皇欠匠蹋豪阂韵率阶樱?1).8-7=1+0(2).一元一次方程：一元一次方程的標準形式是：a*+b=0(其中*是未知數，a,b是數，且a≠0)。要點詮釋：一元一次方程須滿足以下三個條件：〔1〕只含有一個未知數；〔2〕未知數的次數是1次；〔3〕整式方程．2、方程的解：判斷一個數是否是*方程的解：將其代入方程兩邊，看兩邊是否相等．知識點二：一元一次方程的解法1、方程的同解原理〔也叫等式的根本性質〕等式的性質1：等式兩邊加〔或減〕同一個數〔或式子〕，結果仍相等。如果，則；(c為一個數或一個式子)。等式的性質2：等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數，結果仍相等。如果，則；如果，則要點詮釋：分數的分子、分母同時乘以或除以同一個不為0的數，分數的值不變。即：〔其中m≠0〕特別須注意：分數的根本的性質主要是用于將方程中的小數系數〔特別是分母中的小數〕化為整數，如方程：－=1.6，將其化為：－=1.6。方程的右邊沒有變化，這要與“去分母〞區(qū)別開。2、解一元一次方程的一般步驟：解一元一次方程的一般步驟變形步驟具體方法變形根據注意事項去分母方程兩邊都乘以各個分母的最小公倍數等式性質21．不能漏乘不含分母的項；2．分數線起到括號作用，去掉分母后，如果分子是多項式，則要加括號去括號先去小括號，再去中括號，最后去大括號乘法分配律、去括號法則1．分配律應滿足分配到每一項2．注意符號，特別是去掉括號移項把含有未知數的項移到方程的一邊，不含有未知數的項移到另一邊等式性質11．移項要變號；2．一般把含有未知數的項移到方程左邊，其余項移到右邊合并同類項把方程中的同類項分別合并，化成“〞的形式〔〕合并同類項法則合并同類項時，把同類項的系數相加，字母與字母的指數不變未知數的系數化成“1〞方程兩邊同除以未知數的系數，得等式性質2分子、分母不能顛倒要點詮釋：理解方程a*=b在不同條件下解的各種情況，并能進展簡單應用:①a≠0時，方程有唯一解；②a=0，b=0時，方程有無數個解；③a=0，b≠0時，方程無解。牛刀小試例1、解方程〔1〕y-例2、由兩個方程的解一樣求方程中子母的值方程的解與方程的解一樣，求m的值.二、經典例題透析類型一：一元一次方程的相關概念1、以下各式：①2*－5＝1；②8－7＝1；③*＋y；④*－y＝*2；⑤3*＋y＝6；⑥5*＋3y＋4z＝0；⑦＝8；⑧*＝0。其中方程的個數是()A、5B、6C、7D、8舉一反三：[變式1]判斷以下方程是否是一元一次方程：〔1〕-2*2+3=*〔2〕3*-1=2y〔3〕*+=2〔4〕2*2-1=1-2(2*-*2)[變式2]：(a-3)(2a+5)*+(a-3)y+6＝0是一元一次方程，求a的值。[變式3]〔2011江津〕3是關于*的方程2*－a=1的解,則a的值是()A．－5B．5C．7D．2類型二：一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步驟是：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1。如果我們在結實掌握這一常規(guī)解題思路的根底上，根據方程原形和特點，靈活安排解題步驟，并且巧妙地運用學過的知識，就可以收到化繁為簡、事半功倍的效果。1．巧湊整數解方程：2、舉一反三：[變式]解方程舉一反三：[變式]〔2011濱州〕依據以下解方程的過程，請在前面的括號填寫變形步驟，在后面的括號填寫變形依據。解：原方程可變形為(__________________________)去分母，得3〔3*+5〕=2(2*-1).(__________________________)去括號，得9*+15=4*-2.〔____________________________〕(____________________),得9*-4*=-15-2.(____________________________)合并，得5*=-17.(合并同類項)〔____________________〕,得*=.〔_________________________〕6．巧組合解方程：7、8．利用整體思想解方程：9、思路點撥：因為含有的項均在“〞中，所以我們可以將作為一個整體，先求出整體的值，進而再求的值。三、課堂練習一、選擇題1、以下方程：〔1〕*-2=;(2)0.3*=1;(3)=5*-1;(4)*-4*=3;(5)*=0;(6)*+2y=0.其中一元一次方程的個數是〔〕A2B3C4D52、以下四組變形中，正確的選項是〔〕A由5*+7=0,得5*=-7B由2*-3=0,得2*-3+3=0C由=2,得*=D由5*=7,得*=353、一個水池有甲、乙兩個水龍頭，單獨開甲水龍頭2小時可把空池灌滿；單獨開乙水龍頭3小時可把空池灌滿，假設同時開放兩個水龍頭，灌滿空池需〔〕A小時B小時C2小時D3小時4、以下方程中，是由方程7*-8=*+3變形而得到的是〔〕A7*=*+5B7*+5=*C6*=11D-8+3=-6*5、以下方程的變形中，是移項的是〔〕A由3=*，得*=3B由6*=3+5*，得6*=5*+3C由2*=-1，得*=-D由2*-3=*+5，得2*-*=5+36、方程6*=3+5*的解為〔〕A*=2B*=3C*=-2D*=-37、方程4(a-*)-4(*+1)=60的解是*=-1，則a為〔〕A-14B20C14D-168、動物園的門票售價：成人50元／，兒童30元／。*日動物園售出門票700，共得29000元。設兒童票售出*，依題意可列出以下哪個一元一次方程〔〕A、30*+50(700-*)=29000B、50*+30(700-*)=29000C、30*+50(700+*)=29000D、50*+30(700+*)=290009、解方程-=1，去分母正確的選項是〔〕A2(*-1)-3(4*-1)=1B2*-1-12+*=1C2(*-1)-3(4-*)=6D2*-2-12-3*=610、如果-2的倒數是3，則*的值是〔〕A、-3B、-1C、1D、311、超市同時賣出兩臺電子琴，每臺均賣960元，以本錢計算，其中一臺盈利20％，另一臺賠本20％，則這次出售中商場〔〕A不賠不賺B賺160元C賺80元D賠80元12、籠中有雞兔共12只，共40條腿，設雞有*只，根據題意，可列方程為〔〕A2(12-*)+4*=40B4(12-*)+2*=40C2*+4*=40D-4(20-*)=*12、以下方程：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④；=5\*GB3⑤；=6\*GB3⑥．其中一元一次方程的個數是〔〕．A．2B．3C．4 D．513、關于的方程的解是，則的值是〔〕．A．-5B．-6C．-7 D．814、方程移項后，正確的選項是〔〕．A．B．C．D．15、方程，去分母得〔〕．A．B．C．D．16、甲、乙兩人騎自行車同時從相距65km的兩地相向而行，2小時相遇，假設甲比乙每小時多騎2．5km，則乙的時速是〔〕．A．12．5kmB．15kmC．17．5kmD．20km17、*商店賣出兩件衣服，每件60元，其中一件賺25％，另一件賠25％，則這兩件衣服售出后商店是〔〕．A．不賺不賠B．賺8元C．虧8元D．賺15元二、填空題：1、圓的周長為4，半徑為*,列出方程為。2、方程〔m-2〕*+5=9是關于*的一元一次方程，則m=.3、代數式*+2y的值是3，則代數式2*+4y+1的值是。4、3ab與2ab是同類項，則m=.5、假設+〔y+1〕=0,則*-y=.6、*商品的進價為250元，為了減少庫存，決定每件商品按標價打8折銷售，結果每件商品仍獲利10元，則原來標價為。7、當*=時，的值是0.8、7.1班發(fā)作業(yè)本，假設每人發(fā)4本，則還余12本，假設每人發(fā)5本，則還少18本，則該班有名學生。9、使為關于的一元一次方程的＝______〔寫出一個你喜歡的數即可〕．10、當＝______時，式子的值是-3．11、假設與在*運算中可以合并，則，．12、設*數為，根據以下條件列出方程：〔1〕*數的比它的相反數大5．______________________________；〔2〕*數的與的差剛好等于這個數的2倍．________________________．13、*次數學競賽共出了15道選擇題，選對一題得4分，選錯一題扣2分．假設*同學得36分，他選對了________道題〔不選算錯〕．14、*商場對*種商品作調價，按原價8折出售，此時商品的利潤率為10％，此商品的進價是1000元，則商品的原價是________.15、*人將1000元存入銀行，定期兩年，假設年利率為2.27％，則兩年后利息為________元，假設扣除20％的利息稅，則實際得到的利息為________元，銀行應付給該儲戶本息共____________元．三、解答題：1、解方程〔1〕6*-3(5*-2)=0(2)20-2*=*-1〔3〕=*-2(4)-=2〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕家庭練習填空題：1、方程〔a-2〕*|a|-1=1是一元一次方程，則a=______，*=______．2、以下說法：①、等式是方程；②、*=4是方程5*+20=0的解；③、*=-4和*=6都是方程│*-1│=5的解．其中說確的是____．〔填序號〕3、代數式與的值互為相反數，則的值等于________4、如果方程______．5、三個連續(xù)奇數的和是75，則這三個數分別是__________。6、我校球類聯賽期間買回排球和足球共16個，花去900元錢，排球每個42元，足球每個80元，設排球買了*個。則可列程為，7、小慧在一日歷的一橫列上圈了連續(xù)的四個數，它們的和為22，這四個數為8、數學競賽共有10道題，每答對一道題得5分，不答或答錯一道題倒扣3分，要得到34分必須答對的題數是，9、自來水公司為鼓勵節(jié)約用水，對水費按以下方式收取：用水不超過10噸，每噸按0.8元收費，超過10噸的局部按每噸1.5元收費，王教師三月份平均水費為每噸1.0元，則王教師家三月份用水_______噸.二、選擇題：1、假設a＝b，則以下式子正確的有〔〕①a－2＝b－2②a＝b③－a＝－b④5a－1＝5b－1．〔A〕1個 〔B〕2個 〔C〕3個 〔D〕4個2、以下變形中，正確的選項是A、假設ac=bc，則a=b。B、假設，則a=bC、＝，則a=b。D、假設a=b則a=b3、給出下面四個方程及其變形：①；②；③；④；其中變形正確的選項是〔〕A．①③④B．①②④ C．②③④ D．①②③4、如果方程6*+3a=22與方程3*+5=11的解一樣，則a=〔〕A.B.C.-D.-5、將方程去分母，得到，錯在〔〕A、最簡公分母找錯B、去分母時，漏乘3項C、去分母時，分子局部沒有加括號D、去分母時，各項所乘的數不同6、初一〔一〕班舉行了一次集郵展覽，展出的郵票比平均每人3多24，比平均每人4少26，這個班共展出郵票的數是〔〕A.164B.178C.168D.1747、*商場賣出兩個進價不同的手機，都賣了1200元，其中一個盈利50%，另一個賠本20%，在這次買賣中，這家商場〔〕A.不賠不賺B.賠100元C.賺100元D.賺360元8、*牧場放養(yǎng)的鴕鳥和奶牛一共70只,鴕鳥和奶牛的腿數之和為196條,則鴕鳥的頭數比奶牛多()A、20只B、14只C、15只D、13只三、運算題：1、2、3、4、5.6.．四．當*為何值時，代數式與的值大2.三、一元一次方程應用題〔找出等量關系〕一、列一元一次方程解應用題的一般步驟〔1〕審題：弄清題意．〔2〕找出等量關系：找出能夠表示此題含義的相等關系．〔3〕設出未知數，列出方程：設出未知數后，表示出有關的含字母的式子，然后利用已找出的等量關系列出方程．〔4〕解方程：解所列的方程，求出未知數的值．〔5〕檢驗，寫答案：檢驗所求出的未知數的值是否是方程的解，是否符合實際，檢驗后寫出答案．1、數字問題要搞清楚數的表示方法：一個三位數的百位數字為a，十位數字是b，個位數字為c〔其中a、b、c均為整數，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9〕則這個三位數表示為：100a+10b+c。例1、假設三個連續(xù)的偶數和為18，求這三個數。例2、一個兩位數，個位上的數是十位上的數的2倍，如果把十位與個位上的數對調，則所得的兩位數比原兩位數大36，求原來的兩位數等量關系：原兩位數+36=對調后新兩位數例3、有一個三位數，個位數字為百位數字的2倍，十位數字比百位數字大1，假設將此數個位與百位順序對調〔個位變百位〕所得的新數比原數的2倍少49，求原數。分析：然后抓住數字間或新數、原數之間的關系找等量關系列方程．2、日歷中的規(guī)律：橫行相鄰兩數相差____豎行相鄰兩數相差___。例1、如果今天是星期三，則一年〔365天〕以后的今天是星期___________例2、在日歷表中，用一個正方形任意圈出2*2個數，則它們的和一定能被___________整除。A3B4C5D6例3、如果*一年的5月份中，有5個星期五，且它們的日期之和為80，則這個月的4號是星期幾？3、等積變形問題常用等量關系為：①形狀面積變了，周長沒變；②原料體積＝成品體積。例1、用直徑為4cm的圓鋼，鍛造一個重0.62kg的零件毛坯，如果這種鋼每立方厘米重7.8g，應截圓鋼多長？例2.用直徑為90mm的圓柱形玻璃杯〔已裝滿水〕向一個由底面積為高為81mm的長方體鐵盒倒水時，玻璃杯中的水的高度下降多少mm？〔結果保存整數〕4、和、差、倍、分問題：倍數關系：通過關鍵詞語“是幾倍，增加幾倍，增加到幾倍，增加百分之幾，增長率……〞來表達。多少關系：通過關鍵詞語“多、少、和、差、缺乏、剩余……〞來表達。〔1〕勞力調配問題：這類問題要搞清人數的變化.例1.*廠一車間有64人，二車間有56人?，F因工作需要，要求第一車間人數是第二車間人數的一半。問需從第一車間調多少人到第二車間？例2．甲、乙兩車間各有工人假設干，如果從乙車間調100人到甲車間，則甲車間的人數是乙車間剩余人數的6倍；如果從甲車間調100人到乙車間，這時兩車間的人數相等，求原來甲乙車間的人數。〔2〕配套問題：例1、*車間有28名工人生產螺栓和螺母，每人每小時平均能生產螺栓12個或螺母18個，應如何分配生產螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套〔一個螺栓配兩個螺母〕例2.機械廠加工車間有85名工人，平均每人每天加工大齒輪16個或小齒輪10個，2個大齒輪與3個小齒輪配成一套，問需分別安排多少名工人加工大、小齒輪，才能使每天加工的大小齒輪剛好配套？分析：列表法。

每人每天人數數量大齒輪16個*人16*小齒輪10個人等量關系：小齒輪數量的2倍＝大齒輪數量的3倍解：設分別安排*名、名工人加工大、小齒輪答：略.〔3〕分配問題：例1.學校分配學生住宿，如果每室住8人，還少12個床位，如果每室住9人，則空出兩個房間。求房間的個數和學生的人數。例2.三個正整數的比為1：2：4，它們的和是84，則這三個數中最大的數是幾？〔比例分配問題常用等量關系：各局部之和＝總量?！场?〕年齡問題：例1、甲比乙大15歲，5年前甲的年齡是乙的年齡的兩倍，乙現在的年齡是多少歲？例2、小華的爸爸現在的年齡比小華大25歲，8年后小華爸爸的年齡是小華的3倍多5歲，求小華現在的年齡。5、工程問題工程問題中的三個量及其關系為：工作總量=工作效率×工作時間經常在題目中未給出工作總量時，設工作總量為單位1。例1.一件工程，甲獨做需15天完成，乙獨做需12天完成，現先由甲、乙合作3天后，甲有其他任務，剩下工程由乙單獨完成，問乙還要幾天才能完成全部工程？分析設工程總量為單位1，等量關系為：甲完成工作量+乙完成工作量=工作總量。解：設乙還需*天完成全部工程，設工作總量為單位1，由題意得，(EQ\f(1,15)+EQ\f(1,12))×3+EQ\f(*,12)=1，例2、在西部大開發(fā)中，根底建立優(yōu)先開展，甲、乙兩隊共同承包了一段長6500米的高速公路工程，兩隊分別從兩端施工相向前進，甲隊平均每天可完成480米，乙隊平均每天比甲隊多完成220米，乙隊比甲隊晚一天開工，乙隊開工幾天后兩隊完成全部任務？6、①打折銷售問題〔1〕銷售問題中常出現的量有：進價、售價、標價、利潤等〔2〕根本關系式：①利潤＝售價—進價；②售價=標價×折數；③利潤率＝利潤/進價。由①②可得出④利潤＝標價×折數－進價。由③④可得出⑤利潤率＝。②市場經濟問題〔1〕商品利潤＝商品售價－商品本錢價〔2〕商品利潤率＝×100%〔3〕商品銷售額＝商品銷售價×商品銷售量〔4〕商品的銷售利潤＝〔銷售價－本錢價〕×銷售量〔5〕商品打幾折出售，就是按原標價的百分之幾十出售，如商品打8折出售，即按原標價的80%出售．例1、一件衣服標價是200元，現打7折銷售。問：買這件衣服需要多少錢？假設這件衣服的本錢〔進價〕是115元，則商家賣出這件衣賺了多少錢？利潤是多少？例2、*商場售貨員同時賣出兩件上衣，每件都以135元售出，假設按本錢計算，其中一件贏利25%，另一件虧損25%，問這次售貨員是賠了還是賺了？7、行程問題。〔行程問題可以采用畫示意圖的輔助手段來幫助理解題意，并注意兩者運動時出發(fā)的時間和地點〕要掌握行程中的根本關系：路程＝速度×時間。①相遇問題〔相向而行〕，這類問題的相等關系是：甲走的路程+乙走的路程=全路程②追及問題〔同向而行〕，這類問題的等量關系是：同時不同地：甲的時間=乙的時間甲走的路程-乙走的路程=原來甲、乙相距的路程同地不同時；甲的時間=乙的時間-時間差甲的路程=乙的路程解此類題的關鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關系或所走的路程關系，一般情況下問題就能迎刃而解。并且還常常借助畫草圖來分析，理解行程問題。例1.甲、乙兩站相距480公里，一列慢車從甲站開出，每小時行90公里，一列快車從乙站開出，每小時行140公里。〔1〕慢車先開出1小時，快車再開。兩車相向而行。問快車開出多少小時后兩車相遇？〔2〕兩車同時開出，相背而行多少小時后兩車相距600公里？〔3〕兩車同時開出，慢車在快車后面同向而行，多少小時后快車與慢車相距600公里？〔4〕兩車同時開出同向而行，快車在慢車的后面，多少小時后快車追上慢車？〔5〕慢車開出1小時后兩車同向而行，快車在慢車后面，快車開出后多少小時追上慢車？此題關鍵是要理解清楚相向、相背、同向等的含義，弄清行駛過程。故可結合圖形分析?！?〕分析：相遇問題，畫圖表示為：等量關系是：慢車走的路程+快車走的路程=480公里。解：設快車開出*小時后兩車相遇，由題意得，140*+90(*+1)=480解這個方程，230*=390∴*=1EQ