2021年中考人教版數(shù)學一輪復習 第6章 圓

第六章圓

第一節(jié)圓的基本性質(zhì)

考點

易錯自糾

易錯點1未準確掌握圓的相關(guān)概念而出錯

1.下列說法中，正確的個數(shù)是（A）

①直徑是弦;②經(jīng)過圓內(nèi)一定點可以作無數(shù)條直徑;③平分弦的直徑垂直于弦;④過三點可以作一個圓;⑤兩條弧

長度相等,它們所對的圓心角也相等;⑥到圓心距離相等的弦（非直徑）有兩條.

A.1個B.2個C.3個D.4個

易錯點2忽略非直徑的弦對應的圓周角的度數(shù)有兩個而漏解

2.在半徑為2的中，弦AB=2,則弦AB所對的圓周角的度數(shù)為30或150。.

方法

命題角度圓周角定理及其推論

0提分特訓

1.如圖,A是。0上一點,BC是直徑,AC=2,AB=4,點D是前的中點，則DC的長為（D）

A.2yf2B.V5C.2V5D.V1O

2.[2019安徽]如圖,Z\ABC內(nèi)接于0O,NCAB=3O°,/CBA=45-￡D_LAB于點D.若00的半徑為2,則CD的長

真題

考法速覽

考法1垂徑定理及其推論（10年6考）

考法2與圓周角有關(guān)的計算（10年4考）

考法1垂徑定理及其推論

1.[2012河北,5]如圖,CD是00的直徑,AB是弦（不是直徑）,AB,CD于點E,則下列結(jié)論正確的是(D)

C

D

A.AE>BE

B.AD=BC

C.ZD^ZAEC

2

D.AADE^ACBE

考法2與圓周角有關(guān)的計算

2.[2020河北14]有一題目：“已知:點0為aABC的外心NB0C=130°,求NA.”嘉嘉的解答為:畫△ABC以

及它的外接圓。連接0BQC如圖，由/BOC=2NA=13O1得/A=65°.而淇淇說：“嘉嘉考慮的不周全,NA還應有

另一個不同的值.”下列判斷正確的是（A）

A.淇淇說的對，且NA的另一個值是115。

B.淇淇說的不對,NA就得65°

C.嘉嘉求的結(jié)果不對,NA應得50°

D.兩人都不對,NA應有3個不同值

3.[2011河北16]如圖，點0為優(yōu)弧ACB所在圓的圓心,NA0C=108°,點D在AB的延長線上,BD=BC,則ND=

第二節(jié)與圓有關(guān)的位置關(guān)系

考點

易錯自糾

易錯點1對圓的相關(guān)概念掌握不準確而出錯

1.有下列說法:①圓的切線垂直于圓的半徑;②三角形的外心到三邊的距離相等;③垂直于半徑的直線是圓的切

線;④若直線1與。0有公共點，則點0到直線1的距離小于或等于半徑.其中正確的是④（填序號）.

易錯點2混淆三角形的外心與內(nèi)心的定義而出錯

2.已知在AABC中,NC=90°,AC=4,BC=3,點0為aABC的內(nèi)心很?。cO,C之間的距離為_V5_.

易錯點3因考慮問題不全面而出錯

3.已知00的直徑為8cm,直線1上一點P到圓心0的距離0P=6cm,則直線1與00的位置關(guān)系是相切、相

交或相離.

方法

命題角度1與切線有關(guān)的證明與計算

叫分特訓

1.[2020黑龍江哈爾濱]如圖,AB為O0的切線點A為切點,OB交O0于點C,點D在O0上，連接AD,CD,OA,若

NADC=35°,則NAB0的度數(shù)為（B）

A.25°B.20°C.30°D.35°

2.[2020福建]如圖,AB與OO相切于點B,AO交于點C,AO的延長線交O()于點l),E是RB上不與B,D重合的

點,sinA=-.

(1)求NBED的大小;

⑵若0。的半徑為3,點F在AB的延長線上，且BF=3A/5,求證:DF與00相切.

⑴解:如圖，連接0B.

AB與。0相切于點B,J.OB1AB.

VsinA=i.\ZA=30°ZA0B=60"ZB0D=120°.

???點E在俞上，

ZBED--ZB01)=60°.

2

⑵證明如圖，連接OF.

由⑴得0B_LAB,NB0D=I20。.

3宿

tanNBOF巖V5,二ZB0F=60",ZD0F=60°.

rOB=OD,

在△BOF與△DOF中,]/BOF=zDOF,

(OF=OF,

ABOF^ADOF,Z0DF=Z0BF=90°.

又點I)在O0上,DF與O0相切.

命題角度2三角形的內(nèi)心與外心

G提分特訓

3.[2020承德二模]如圖，在RtAABC中,NBCA=90°,將RtAABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°得到RtAAB,C,

點B'在直線AC上，若BC=1,則點C和AAB'C'的外心之間的距離是

A.1B.V3-1C.2-V3D.V3

4.[2020山東濟寧]如圖，在AABC中，點D為AABC的內(nèi)心,NA=60°,CD=2,BD=4,則ADBC的面積是(B)

A.4gB.25/3C.2D.4

5.如圖，點A,B,C的橫、縱坐標均是整數(shù)廁AABC外心的坐標是（5⑵.

真題

考法速覽

考法1三角形的內(nèi)心與外心（10年6考）

考法2切線的性質(zhì)與判定（必考）

考法1三角形的內(nèi)心與外心

1.[2016河北,9]如圖為4X4的網(wǎng)格圖,A,B,C,D,0均在格點上，點0是（B）

A.AACD的外心

B.AABC的外心

C.AACD的內(nèi)心

2.[2015河北,6]如圖,AC,BE是的直徑，弦AD與BE交于點F,下列三角形中，外心不是點（）的是（B）

A.AABEB.AACFC.AABDD.AADE

A

3.[2018河北15]如圖，點I為4ABC的內(nèi)心,AB=4,AC=3,BC=2.將NACB平移,使其頂點與點I重合,則圖中陰影部

分的周長為（B）

A.4.5B.4C.3D.2

AB

考法2切線的性質(zhì)與判定

4.[2020河北22]如圖，點0為AB的中點，分別延長0A到點C,0B到點D,使0C=0D.以點0為圓心，分別以0A,0C為

半徑在CD上方作兩個半圓.點P為小半圓上任一點（不與點A,B重合），連接OP并延長交大半圓于點E,連接

AE,CP.

⑴①求證:△AOE/APOC；

②寫出Z1,Z2和NC三者間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

⑵若OC=2OA=2,當ZC最大時直接指出CP與小半圓的位置關(guān)系，并求此時S扇形皿（答案保留”）.

Rn

(OA=OP,

⑴①證明:在△，、()「：和△POC中"AOE=zPOC,

(OE=OC,

/.△AOE^APOC.

②N2=N1+NC.

理由:由①知aAOE名△POC,

JZC=ZE,

.'.Z2=Z1+ZE=Z1+ZC.

(2)如圖，當NC最大時與小半圓相切.

AOR

VOC=2OA=2f.'.OP=OA=L

???CP是小半圓的切線，

.'.OP±CP,

rosZP0C=-AZP0C=60°,

OC2

.,.ZE0D=180°-60°=120°,

5.[2017河北,23]如圖,AB=16,0為AB的中點，點C在線段0B上（不與點0,B重合），將0C繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)270°

后得到扇形COD,AP,BQ分別切優(yōu)弧CD于點P,Q,且點P,Q在AB異側(cè)，連接0P.

⑴求證:AP=BQ;

⑵當BQ=4百時，求近的長（結(jié)果保留”）;

⑶若aAPO的外心在扇形COD的內(nèi)部，求0C的取值范圍.

⑴證明:連接0Q.

：AP,BQ分別與電相切，

.,.0P±AP,0Q±BQ,BPZAP0=Z0QB=90o.

又OA=OB,OP=OQ,

ARtAAPO^RiABQO,

AAP=BQ.

(2)VBQ=lV3,0B=i\B=8,/OQB=90°,

.?.sin/BOQ咨

，NB0Q=60°.

V0Q=8Xcos600=4,

??.而的長為華黑吧等

⑶設(shè)點M為RtAAPO的外心，

則點M為0A的中點，

.\0M=4.

當點M在扇形COD的內(nèi)部時,OM〈OC,

.,.4<0C<8.

6.[2013河北24]如圖,ZXOAB中仆=(?=10,/人08=80°,以點0為圓心,6為半徑的優(yōu)弧\1N分別交OA,OB于點M,N.

⑴點P在右半弧上(NBOP是銳角)，將0P繞點0逆時針旋轉(zhuǎn)80°得0P'.求證:AP=BP'.

⑵點T在左半弧上，若AT與弧相切，求點T到0A的距離.

⑶設(shè)點Q在優(yōu)弧MN上，當△AOQ的面積最大時，直接寫出ZB0Q的度數(shù)

⑴證明:'."NA0P=NA0B+NB0P=80°+NBOP/BOP'=/POP'+NB0P=80°+ZBOP,

.,.ZA0P=ZB0P'.

XVOA=OB,OP=OP，,

?,.△AOP^ABOP".

.,.AP=BP'.

⑵如圖，連接OT,過T作TII10A于點H.

???AT與弧相切，

.../AT0=90°.

v|xOAXTH=ixz\TXOT,

BP|X1OXT1I=1X8X6,

???TH號即為所求距離.

⑶10°,170°.

提示:當0Q10A時,aAOQ的面積最大，且左右兩半弧上各存在一點.

高分突破?微專項三角形的內(nèi)心與外心

1.如圖，在4ABC中,BC=6,NB=90°,/A=60",點0為AABC的外心，則點0到BC邊的距離是（C）

2.如圖，點F是4ABC的內(nèi)心,/A=50°,連接BF.CF并延長，分別交AC,AB于點E,D,則NBFC=

A.100°B.115°C,130°D.135°

3.如圖,已知點。是AABC的外心，連接A0并延長交BC于點D,若NBAD=22°,則NC的度數(shù)為

A.44°B.58°C.62°D.68°

4.如圖所示是由九個相同的等邊三角形拼成的圖形，已知點0是一個三角形的外心，則這個三角形是

A.AABCB.AABEC.AABDD.AACE

5.如圖,在平面直角坐標系中，點A,B的坐標分別是（3,0）,（0,4）,則RtAABO的內(nèi)心的坐標是

6.若一個銳角三角形ABC的三邊兩兩不等,D是BC邊上的一點,NBAD+NC=90°,則直線AD一定過4ABC的（C）

A.垂心B.內(nèi)心C.外心D.重心

7.AABC的頂點B,C者聯(lián)直線1上,且其內(nèi)心為點I.如圖,固定點C,將aABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn),使得新三角形

A'B'C的頂點A’落在1上,且其內(nèi)心為點I,.若NAVNABCXNACB,則下列說法正確的是（C）

A.IC和I'A平行,11'和1平彳丁

B.IC和I'A'平行,ir和1不平行

C.IC和人'不平行,11'和1平行

D.ic和rA*不平彳丁,11'和1不平彳了

8.如圖#1/\八1^^n/^口口乃二6力08,/8=90°,點D在AC上，且AD=2,若ADEF可以繞點D自由旋轉(zhuǎn)，則AABC的

外心與4DEF的外心之間的距離可以為

A.-B.5

9.如圖，點I為AABC的內(nèi)心，點0為aABC的外心，若NBIC=140。，則NBOC二⑹)°.

10.如圖，在RtAABC中,NACB=90°,在斜邊AB上分別截取AD=AC,BE=BC.若DE=6,點0是4CDE的外心，則點0到

△ABC的三邊的距離之和是9.

11.如圖,。是AABC的外心」是AABC的內(nèi)心，連接AT并延長，分別交BC,00于點D,E,連接BE.

⑴求證:EB二EI；

⑵若AB=4,AC=3,BE=2,求AI的長.

⑴證明:連接BI/ZI是△ABC的內(nèi)心，

???AE平分/CAB,B1平分/ABC,

?,.ZBAE=ZCAE,ZABI=ZCBT.

丁ZBTE=ZBAE+ZABLZTBE=ZIBD+ZEBD,ZCBE=ZCAEr

???ZBTE=ZEBI,

AEB=EI.

⑵連接EC.

???ZBAE=ZCAE,

:.BE=EC,

AEC=BE=2.

ZADB=ZCDE,ZBAD=ZDCE,

.'.△ADB^ACDE,

.BDADAB4

*,DEDCEC2

設(shè)DE二m￡D=n,則BD=2m,AD=2n.

同理可證△ADCs^BDE,

.ADAC

?■BDBE'

.2n_3

**2m2'

An:m=3:2.

設(shè)n=3k,m=2k,

??,ZCED=ZAECrZECD=ZBAE=ZCAE,

AAECD^AEAC,/.^黑

AEC2=ED?EA,

4=m?(m+2n),

???4=2k?(2k+6k),

解得上;或片M舍去)，

.,.DE=1,AD=3,

.,.AE=4.

又,；EI=BE=2,

/.AI=AE-EI=2.

12.在AABC中,NBAC=90。，NB=60。，AB=2.AD±BC于點D.E為邊BC上一點(不與點B,C重合)，且

AE_LEF,NEAF=NB,如圖.

⑴填空:AC=2舊，NF=30。.

⑵若BD=DE,求證:Z\ABC峪aEAF.

⑶當4EAF的內(nèi)心在AABC的外部時直接寫出AE的范圍.

A

⑴2b30"

解法提示:；/BAC=90°,/B=60°,AB=2,；.AC=2VJ.

?.?AE_LEF,/EAF=NB=6(T,

.,.ZF=90°-ZEAF=90°-60°=30°.

⑵證明：：AD_LBC,BD=DE,

.,.AB=AE.

又NEAF=NB,NAEF=90°=ZBAC,

.,.△ABC^AEAF.

(3)2<AE<2V3.

解法提示:設(shè)aEAF的內(nèi)心為點連接EN.

當點N恰好落在AC上時,如圖.

???點N是4EAF的內(nèi)心，

AAN平分/EAF,EN平分NAEF,

/.ZEAC=iZEAF=ix60°=30°.

22

VZBAC=90o,

ZBAE=ZBAC-ZEAC=90°-30°=60°,

又.：/B=60。，

.,.△ABE是等邊三角形，

.\AE=AB=2.

XVE為BC上的一點,不與點B,C重合,AC=2V5,

.,.當AEAF的內(nèi)心在△”(,的外部時,2<AE〈2V5.

第三節(jié)弧長、扇形面積的相關(guān)計算

考點

易錯自糾

易錯點混淆弧長公式和扇形面積公式而出錯

L已知一個扇形的半徑為6,弧長為2n，則這個扇形的圓心角的度數(shù)為32^.

2.已知。0的半徑0A=6,點B在。0上,且扇形0AB的面積為12B，則a所對的圓周角的度數(shù)是60。.

方法

命題角度1弧長的計算

G提分特訓

1.如圖，在邊長為6的菱形ABCD中,分別以各頂點為圓心，以邊長的一半為半徑,在菱形內(nèi)作四條圓弧，則圖中陰

影部分的周長是」?（結(jié)果保留”）

2.如圖，在7X7的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1）中，一條圓弧經(jīng)過格點（網(wǎng)格線的交點）A,B,C,則弧AC的

長為_V5Jt.

命題角度2與扇形面積有關(guān)的計算

口提分特訓

3.[2019四川南充]如圖，在半徑為6的00中，點A,B,C都在00上,四邊形0ABC是平行四邊形，則圖中陰影部分

的面積為（A）

A.6"B.3V3nC.2V3nD.2n

4.[2019吉林]如圖,在扇形OAB中,NA0B=90°.D,E分別是半徑OA,OB上的點，以O(shè)D,OE為鄰邊的。ODCE的頂點C

在如上.若0D=8,0E=6,則陰影部分圖形的面積是（結(jié)果保留n）.

B,

真題

考法弧長、扇形面積的計算（10年7考）

1.[2013河北14]如圖,AB是00的直徑，弦CD_LAB,NC=30°,CD=2g.貝！|S陰影=(D)

A..nBn.2cnC.—2^3DC.—2n

33

2.[2014河北19]如圖,將長為8cm的鐵絲AB首尾相接圍成半徑為2cm的扇形.則S扇形=4c￡

高分突破?微專項10陰影部分面積的計算

口強化訓練

1.如圖，分別以等邊三角形ABC的三個頂點為圓心、邊長為半徑畫弧彳導到的封閉圖形是萊洛三角形，若AB=2,則

萊洛三角形的面積（即陰影部分的面積）為（D）

A.n+V3B.it-^/3

C.2n-V3D.2n-2^3

2.如圖是一張扇形紙片OAC,NA0C=120。，0A=8,連接AB,BC,A。若0A=AB,則圖中陰影部分的面積為—詈

3.如圖，在RtAABC中,NACB=90°,AC=BC=2,將RtAABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°后得到RtZXADE,點B經(jīng)過的路

徑為弧BD,則圖中陰影部分的面積為

4.如圖,已知點B,E是以AD為直徑的半圓0的三等分點，弧BE的長為gn，過點B作BCLAE,交AE的延長線于點

C,則圖中陰影部分的面積為一曝g_.

5.如圖,在扇形AOB中,/A0B=120。，連接AB以0A為直徑作半圓C交AB于點D,若0A=6,則圖中阻影部分的面積

6.如圖，在正方形ABCD中,AD=3,將線段AB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EB,將線段AC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°

得到線段FC',連接EF,BF,則圖中陰影部分的面積是土.

7.如圖⑴，扇形紙片的圓心角為90°泮徑為6.將這張扇形紙片折疊，如圖⑵所示“點A的對應點A'與點()恰好

重合寸斤痕為CD,圖中陰影為重合部分，則陰影部分的面積為6n竽.

-------2--

8.如圖,正方形ABCD內(nèi)接于。0,。0的半徑為2,以點A為圓心,AC長為半徑畫弧交AB的延長線于點E,交AD的

延長線于點F,則圖中陰影部分的面積是4n-4.

9.如圖,在扇形A0D中,OA=6,NAOD=90°.分別以點A,D為圓心、OD的長為半徑畫弧，分別交弧AD于點C,B,則圖

中阻影部分的面積是15.

10.如圖,正方形ABCD的邊AB=2,分別以A,B為圓心、AB的長為半徑畫弧，則圖中兩個陰影部分的面積之差的絕

對值是2n-4.

11.[2019湖北武漢]已知AB是。。的直徑,AM和BN是。0的兩條切線,DC與00相切于點E,分別交AM,BN于D,C

兩點

⑴如圖⑴,求證:ABJAD?BC.

⑵如圖⑵，連接0E并延長，交AM于點F,連接CI'.若/ADE=2N0FC,AD=l,求圖中陰影部分的面積.

⑴方法一：

證明:如圖⑴，過點D作DH±BC,1I為垂足.

?.,AD,BC,CI)是CO的切線

0A±AD,OB±BC,AD=ED,BC=EC,

四邊形ABHD是矩形，

,,.DH=AB,

在RtACDHtf.DH^CD-CH2,

.,.Atf=(AD+BC)：-(BC-ADy,；.AB2=4AD?BC.

方法二：

證明:如圖⑴，連接OD,OC,OE.

???AD,BC￡D是Q0的切線，

.'.0A±AD,OB±BC,OE±CD,AD=ED,BC=EC,/ODE=|ZADC,ZOCE=|ZBCD,

AD//BC,/.ZODE+ZOCE|(NADONBCD)=90°.

又/ODE+ND0E=90",/DOE=/OCE.

又,.?/0ED=/CE0=90°/.△ODEsacOE,

,,DE5E,A()EDE'lr，-'-40E2=4AD*BC,

.-.AB2=4AD?BC.

⑵方法一：如圖⑵，連接OC,OD,易知NADE=NBOE.

N

圖⑵

,/ZADE=2Z0FC,ZB0E=2ZC0F,AZCOF=ZOFC,

OC=FC,ACOF是等腰三角形.

；OE_LCD,.*.直線Cl)垂直平分OF,.\DO=DF,

ZA0D=ZD0F=Z0FD=300,

.,.ZB0E=120o,ZB0C=60°,OA=^^=V3,ABC=OB?tan600=3,

/.S陰影」2s「““-S扇形，一2X2X3XV3-120n^)2"3V3”.

2360

方法二:如圖(2),連接OC,OD,VZADE=2ZOFC,

:.ZODE=ZOFC,

又/OED=/CEF,，AODE^ACFE,

.?播”,.\0E?EI-DE?EC.

OEEC

由(1)知OE:=DE?EC,.\OE=EF,

二直線CD垂直平分OF,DO=DF,；.ZAOD=ZD0F=Z0FD=30°,

AZB0E=120,ZB0C=607,0A=-^-=V3,

tan300

ABC=OB-tan60°=3,

S阻影=2S；山-S扇形，，一2X：X3XV3-120^2-3V3n.

參考答案

第一節(jié)圓的基本性質(zhì)

Q考點幫

【易錯自糾】

1.A經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，故①中說法正確;經(jīng)過圓心可以作無數(shù)條直徑，經(jīng)過圓內(nèi)除圓心外的其他點只能作

一條直徑，故②中說法錯誤;平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，故③中說法錯誤;過不在同一條直線上的三點可

以作一個圓，故④中說法錯誤;在同圓或等圓中，兩條弧相等，它們所對的圓心角也相等，故⑤中說法錯誤;到圓心

距離相等的弦(非直徑)有無數(shù)條，故⑥中說法錯誤.故選A.

2.30°或150°如圖，連接OAQB廁OA=OB=AB,.\A0AB是等邊三角形,，NA0B=60°.分兩種情況討論:①弦AB

在其左側(cè)所對的圓周角的度數(shù)為30°；②弦AB在其右側(cè)所對的圓周角的度數(shù)為150。.

方法

例B

VAB=CD,ZA0B=40°,AZC0D=ZA0B=40°.VZA0B+ZB0C+ZC0D=180o,AZB0C=100°ZBPC=|ZB0C=50

°.故選B.

提分特訓

1.DYBC是OO的直徑,.?.NBAC=ND=90°.VAC=2,AB=4,/.BC=VAB24-AC2=V42+22=2>/5.fi^S55]DC=Bb,

2.ADC=BD,DC=E|=^=V10.

3.V2如圖，連接OB,OC,貝!|NB0C=2NA=60°.又?.?0B=0C,，aB0C是等邊三角形,，BC=0B=2.又：NCDB=90。,

NCBD=45",；.CD=BC?sin45°=2X^=V2.

真題

1.D?.七口是直徑,,也不是直徑,且?？赺1人13,；.八￡=1^,故人中的結(jié)論不正確;連接A0出0（如圖）,可知/人（》〉90°,

ZB0E<90°ZAOD>ZBOE,.,.AD>BC,KB中的結(jié)論不正確;易知NA0E=2ND,：ZAEC是△AEO的外角，

二ZAEOZAOE,；.NDK^NAEC,故C中的結(jié)論不正確;：ZBAD=ZC,ZD=ZABC,.,.ZkADEs/XCBE,故D中的結(jié)論

正確.

2.A如圖,當外心0在AABC的外部，即點A在劣弧BC上時,在優(yōu)弧BC上取一點D（異于點B,C）,連接BD,CD,則

N吟NB0C=65°,所以NA=180--ND=115°.故選A.

3.27°因為NA0C=108°,所以NABC=54°.因為NABC是4BCD的外角，所以NABC=ZD+ZBCD.因為BC=BD,

所以/D=NBCD,所以NDW/ABC=1X54°=27°.

第二節(jié)與圓有關(guān)的位置關(guān)系

考點

【易錯自糾】

1.@圓的切線垂直于過切點的半徑，故①中說法錯誤;三角形的外心到三角形各頂點的距離相等，故②中說法

錯誤;經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，故③中說法錯誤;若直線1與。（）有公共點,則直線

1與。0相交或相切，故點0到直線1的距離小于或等于半徑故④中說法正確.

2.V2如圖，根據(jù)勾股定理可得AB=VF不孕=5.過點0分別作AC,BC,AB的垂線，垂足分別為點D,E,F,連接

OA,OB,OC.：點0jfcjAABC的內(nèi)心,.?.OD=OE=OF.易得AD=AF,CD=CE,BE=BF,四邊形ODCE是正方形.設(shè)OD=x,JI!!!

AF=AD=4-x,BF=BE=3-x,.14-x+3-x=5,解得x=l,.,.0C=V2.

3.相切、相交或相離直線1與。0的位置關(guān)系分三種情況，如圖所示.

方法

例1略例2略

例：3B連接OA,OB,OD.。是△ABC的外心,；.OA=OB=OC.四邊形OCDE是正方形,OA=OB=OC=OE,0是

△ABE的外心.,.?OA=OE#OD,...O不是△不D的外心，故選B.

■一提分特訓

1.BVZADC=35°.AZ0=2ZADC=70°.TAB是0()的切線,N0AB=90°ZAB0=90°-Z0=20°.

2.略

3.B由題意知NBAC=30。，BC=1,...AC=VXAB'=AB=2.設(shè)AB'的中點是D.：?直角三角形的外心是其斜邊的中

點,.?.點D是△AB'C'的外心.：AD=DB'=|AB'=1,CD=AC-AD=V3-1.故選B.

4.B如圖，過點B作BE_LCD,垂足為點E.?.?點D是AABC的內(nèi)心,，BD,CD分別平分NABC,NACB,，NBDC=

180°-i(ZABC+ZACB)=180<>-1(180°-ZA)=180<>-60°=120°.在RtZ\BDE中,NBDE=60°,BD=4,，BEqBD=

2W.SA°一2XCDXBE』2X2X2仔2Vs.

5.(5,2)如圖，分別作線段BC,AB的垂直平分線，兩線交于點D,則點D是AABC外接圓的圓心，其坐標為(5,2).

l.B連接OA,OB,OC,01),設(shè)每個小正方形邊長為1.由勾股定理彳導0A=0B=0C=VP10=V5,OD=揚*奪=2或，故

點。到AABC三個頂點的距離相等，則點0是AABC的外心.

2.B???點F不在O0上,O0不是△ACF的外接圓，即點0不是△ACF的外》

3.B如圖，連接AI,BI.?.?點I是AABC的內(nèi)心,,ZCAI=ZIAD.根據(jù)平移的性質(zhì)，可知DI〃AC,:.ZAID=ZCAI,

.-.ZA1D=Z1AD,.,.ID=AD.同理可得IE=BE,故陰影部分的周長為［D+IE+DE=AD+BE+DE=AB=4.

4'6.略

高分突破?微專項9

1.C在△ABC中,BC=6,NB=90。，NA=60。，.\NC=30。，AC=4次.過點0作OD_LBC于點D,則N0DC=90。.?點0

為AABC的外心,.?.OCWACMZVI???NC=30°,；.0D=V5,即點。到BC邊的距離是國.

2.BZA=50"/ABC+NACB=130°.I,點F是△ABC的內(nèi)心,；.FB,FC分別是NABC,NACB的平分線，

ZFBC=iZABC,ZFCB=|ZACB,.\ZBFC=180°-(ZFBC+ZFCB)=180°-1(ZABC+ZACB)=115°.古嫡B.

3.D以點0為圓心、0A長為半徑畫圓，如圖,點0是4ABC的外心,.?.點B,C均在00上.延長AD交。。于點

E,連接CE廁NACE=90°,ZBCE=ZBAD=22"ZACB=ZACE-ZBCE=90°-22°=68°.故選1).

4.C由外心的定義及等邊三角形的性質(zhì)，易知點0是aABD的外心，故選C.

5.C設(shè)aOAB的內(nèi)切圓的半徑為R.VA(3,0),B(0,4),A0A=3,0B=4.在RtAOAB中，由勾股定理，得

AB=VOA2+OB2=5,，RK(OA+OB-AB)=1,故RtAOAB的內(nèi)心的坐標為(1,1),故選C.

6.C如圖，過點B作AB的垂線，交AD的延長線于點E,則NBAD+NE=90°.I,NC+NBAD=90°,二NC=NE,...點E

在AABC的夕展圓上.I,NABE=90°,AE是AABC的外接圓的直徑直線AD一定過△ABC的外心.故選C.

7.C如圖，過點1作IDLBA'于點D,過點I'作I'FLBA'于點F,則ID〃I'F.VAABC的內(nèi)心為點1,旋轉(zhuǎn)后得至I」

的AA'B'C的內(nèi)心為點I'ID=『F/ICD^NACBZI'A'C=|ZB'A'C,：.四邊形IDFI'是矩

形,...11'〃1.YZA<ZABC<ZACB,/.NB'A'C<NCB'A'<NA'CB',，NICD>NI'A'C,IC和1'A'不平行.古姆C.

8.B由勾股定理，可得AC=VAB2+BC2=1O.設(shè)點P,Q分別為△ABC,4FDE的外心，則點P為AC的中點，點Q為EF

的中點，連接PQ.-/Rt△ABC^RtAFDE,AD=2,PD=3,DQ=1EF=5.如圖⑴，當點Q在線段CA的延長線上時,PQ取得

最大值，為PD+DQ=8.如圖⑵，當點Q在線段AC上時,PQ取得最小值，為l)Q-PD=2.故2WPQW8.故選B.

9.160I,點I為AABC的內(nèi)心,.?.NICB+NIBC=1(NABC+NACB)a：NBIC=140°,ZICB+ZIBC+ZBIC=180°,

.,.1(ZABC+ZACB)=180°-140°=40°ZABC+ZACB=80°ZA=180°-(ZABC+ZACB)=100°.作AABC的外

接圓如圖所示，在BC下方的上取一點D,連接BD￡D,則ND=180°-NA=80°.I.點0為aABC的外心，

/.ZB0C=2ZD=160o.

1o.9由題意彳導點0是EC,CD的垂直平分線的交點.???AD=AC,BE=BC,EC的垂直平分線經(jīng)過點B且平分

ZABC.CD的垂直平分線經(jīng)過點A且平分NBAC,...點0是AABC的內(nèi)心.設(shè)△ABC內(nèi)切圓的半徑為r,則

rg(AC+BC-AB)g(AD+BE-AB)gDE=3,...點0到aABC的三邊的距離之和是3r=9.

11.略12.略

第三節(jié)弧長、扇形面積的相關(guān)計算

考點

【易錯自糾】

1.60°設(shè)這個扇形的圓心角的度數(shù)為n。，根據(jù)弧長公式可得端=2or，解得n=60.

2.60°設(shè)姮所對的圓心角的度數(shù)為n。，根據(jù)扇形面積公式可得嗤生二12“，解得n=120,所以“所對的圓周

角的度數(shù)是60°.

方法

例1C在AABC中,NACB=90°,NA=30°,AB=4,.\BCgxAB=2,NB=60°?.比的長為黑X2n.故選C.

例2DZC=45",；.ZA0B=90".；0B=0A=2,S陰斷S扇形，xS口X2X2=n-2.搬D.

麗特訓

1.6”圖中陰影部分的周長是企優(yōu)圓用的長度之和，易得這四條弧所在的扇形剛好圍成T半徑為3的

圓,所以圖中陰影部分的周長是2X3n=6”.

2.V5n如圖，連接BC,0N,易得0M垂直平分AB,0N垂直平分BC,則點0為弧AC所在圓的圓心.連接AC,A0,0C.

3.VAC2=62+22=40,0A2+0C2=42+22+42+22=40,:.AC2=OA2+OC2,AZA0C=90°.又V0A=0C=2>/5,：.弧AC的長為

3.A連接OB.,/四邊形OABC為平行四邊形,OA=OC,.I四邊形OABC為菱形，:.OA=AB,OC//AB,/.SAC/SaatB,:.S陰

影=S弓形.\B+SACM=S引/B+SA0AB=S扇形MB.???OA=OB=AB,...Z\OAB是等邊三角形,...NAOtMiO。，；.S陰影=S扇形

筆生=6”,故選A.

4.25”-48四邊形ODCE是平行四邊形,NA0B=90°四邊形ODCE是女,.,.CD=0E=6.連接0&在RtAOCD

22902

4',OC=VOD+CD=10,S陰影=S扇形做-S^B（TO=^0-6X8=25n-48.

360

真題

1.D如圖，設(shè)AB與CD相交于點E.?.?CDJ_AB,CD=2V5,；.NAEC=N0ED=90°,CE=DE=V3.VZC=30°,AZAOD=

60°.在RtAODEcp,OD=-^—=^2,.,.S扇形”“A。7rx在^ACE和aODE中,NAEC=NOED,CE=DE,NC

sinZ.EODXz3603

二NODE二

300i*?△ACE^△ODE,S陰影二S扇形A3）一§.

2.4根據(jù)題意，可知扇形的弧長為8-2-2=4(而,所以S扇形二今r=jX4X2=4(cm2).

高分突破-微專項10

例13--過點D作D1I1AB于點II.在RtAADIl中,NA=30°用D=2,，加=為口上X2=1.?.?AB=4,.\BE=AB-AE=2,

--------322

SOAB（：I）=AB?DH=4X1-4,SACEB=~EB?DH^X2X1=1,S扇形網(wǎng)廠，北:‘一'?'SABC（?-S△CEB_S扇形DRE=4-1-^=3-三.

例2:-等連接AC,OC「??點C是秘勺三等分點NAOB=90°,?,?NB0C=30°,NAOC=60°.,??0C=3,

SAACI）=1X|X易知△OAC是等邊三角形,/.SAAOC=^Xf><3'=^^,S陰影:SAAU）+（S扇形OAC-

,60XITX3；973.3IT_9V3

4,28

例3C如圖，連接OA,OB,OC,則OA-OB-OC,AS弓形°產(chǎn)S弓形（由二S弓形1?S陰膨部分二$乙0乂+5/\?鋁.作點0關(guān)于直線AB

的對稱點0',連接00',交AB于點D,則

22

0A=00'=2,0D=100'=1,00'±AB,AAD-JoA-OD=V3,/.AB=2AD=2V3,.,.SAMB=|xABX0D=|x2V3X1=V3.同理，

SAOAC=V3.故S陰影部分:2代，故選C.

例4子-12如圖，用Si,&分別表示兩個陰影部分的面積，點0為AI）的中點分析題意可知,S半圓計S扇形近

Si+S產(chǎn)S賺廁即攻22頁+歿二Si+Sz=3X4,整理可得S2-S尸12-".:12〈生,06=--12.

2360444

■一強化訓練

1.D根據(jù)萊洛三角形的定義，可知S陰影=3S扇形配-2SA*3乂等<2xfx2-2“-2百，故選D.

36U4

2.等連接OB,：OA=AB,OA=OB,.\OA=OB=AB".Z\AOB是等邊三角形,...NA0B=NAB0=60°.?.?NA0C=12（T,

ZBOC=120°-600=60°,ZAB0=ZB0C,；.AB//0C,AS&K=S△幽,二S陰影部分=$扇形<“廣60：：y37.

3603

3.—；NACB=90°,AC=BC=2,；.AB=2VXNCAB=NCBA=45°,；.S扇形,麗=^^^=